資源簡介

2023-2024學年高一數學-空間幾何體外接球和內切球問題（人教A版2019必修第二冊）
知識點一：外接球的概念
（1）外接球定義：在空間，如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那么這個定點就是該簡單多面體的外接球的球心．
（2）簡單多面體外接球問題是立體幾何中的重點，難點，此類問題實質是
①確定球心的位置
②在Rt△用勾股定理求解外接球半徑（其中底面外接圓半徑r可根據正弦定理求得）．
知識點二：補成長方體（墻角模型）
墻角模型是三棱錐有一條側棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構造法(構造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長(在長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝．)，秒殺公式：R2＝．可求出球的半徑從而解決問題．常見構成長方體或正方體方法：
同一頂點三條側棱兩兩垂直；四個面都是直角三角形的三棱錐；相對棱相等的三菱錐；正四面體；三個側面兩兩垂直的三棱錐等等；
知識點三：正棱柱或直棱柱(圓柱)和垂面模型
正棱柱或直棱柱(圓柱)的球心在上下底面外心連線中點處。
推論：垂面模型（一條直線垂直于一個平面）可補成直三菱柱或長方體。
公式：,（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據正弦定理
知識點四：正棱錐（圓錐）模型
正棱錐（圓錐）模型(側棱相等，底面為正多邊形）的球心在其頂點與底面外心連線線段(或延長線）上。
半徑公式：（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據正弦定理
（一邊一對角)
知識點五：對棱相等模型
對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等模型，用構造法(構造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長，即(長方體的長、寬、高分別為a、b、c)．秒殺公式：R2＝(三棱錐的三組對棱長分別為x、y、z)．可求出球的半徑從而解決問題．
知識點六：矩形模型
若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心。
題設：，求三棱錐外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點，連接
，則，為三棱錐外接球球心，然后在中求出半徑），當看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關，只要不是平角球半徑都為定值。
知識點七：面面垂直模型
面面垂直模型是有一側面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如類型Ⅰ，△ABC與△BCD都是直角三角形，類型Ⅱ，△ABC是等邊三角形，△BCD是直角三角形，類型Ⅲ，△ABC與△BCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與△BCD的外心作該三角形所在平面的垂線，交點O即為球心．類型Ⅳ，△ABC與△BCD都一般三角形，解決方法是過△BCD的外心O1作該三角形所在平面的垂線，用代數方法即可解決問題．設三棱錐A－BCD的高為h，外接球的半徑為R，球心為O．△BCD的外心為O1，O1到BD的距離為d，O與O1的距離為m，則Error!解得R．可用秒殺公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2為兩個面的外接圓的半徑，l為兩個面的交線的長)
知識點八：普通棱錐模型
普通三棱錐模型，用找球心法可以解決．如果已知其中兩個面的二面角，則可用秒殺公式：R2＝＋(其中l＝|AB|)解決．
知識點九：內切球的問題
（1）截面相似
①三棱錐；如圖14，三棱錐上正三棱錐，求其外接球的半徑。
第一步：先現出內切球的截面圖，分別是兩個三角形的外心；
第二步：求，，是側面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
②四棱錐；如圖15，四棱錐上正四棱錐，求其外接球的半徑
第一步：先現出內切球的截面圖，三點共線；
第二步：求，，是側面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
（2）等體積法
方法：等體積法，即內切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和相等
第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；
第二步：設內切球的半徑為，建立等式：
第三步：解出
題型一：根據外接球定義求體積和表面積
解題思路：（1）外接球定義：在空間，如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那么這個定點就是該簡單多面體的外接球的球心．
（2）簡單多面體外接球問題是立體幾何中的重點，難點，此類問題實質是
①確定球心的位置
②在Rt△用勾股定理求解外接球半徑（其中底面外接圓半徑r可根據正弦定理求得）．
例1．若平面截球O所得截面圓的半徑為3，且球心O到平面的距離為2，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，由條件可得球的半徑，再由球的表面積公式代入計算，即可得到結果.
【詳解】設球O的半徑為R，則，所以球O的表面積為.
故選：B
例2．若球與球外切，兩球的球心距，球的表面積為，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設球與球的半徑分別為，則，由球的表面積為可求出球的半徑，從而得到球的半徑，進而計算出結果.
【詳解】設球與球的半徑分別為，則，
且，解得，
所以，所以球的表面積為．
故選：D
例3．若一個球的表面積與其體積在數值上相等，則此球的半徑為 .
【答案】
【分析】
根據體積公式和面積公式列式計算.
【詳解】
設此球的半徑為，則，
解得.
故答案為：.
變式訓練
4．已知長方體的8個頂點都在球的表面上，若，則球的表面積為 .
【答案】
【分析】由題意，確定外接球的直徑，根據勾股定理計算即可求解.
【詳解】如圖，該長方體的外接球的直徑為，設其半徑為，
則，
得，所以該外接球的表面積為.
故答案為：

5．已知一平面截球所得截面圓的半徑為2，且球心到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為 ．
【答案】
【分析】
利用球的截面圓性質求得球的半徑，再利用球的體積公式即可得解.
【詳解】由球的截面圓性質可知球的半徑，
則該球的體積為.
故答案為：.
6．如圖所示，圓和圓是球的兩個截面圓，且兩個截面互相平行，球心在兩個截面之間，記圓，圓的半徑分別為，若，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據給定條件，利用球的截面小圓性質列式計算出球半徑即可.
【詳解】設球的半徑為，依題意，，
則，解得，因此，
所以球的表面積.
故選：A
7．已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得等邊的外接圓半徑，進而求出其邊長，得出的值，根據球的截面性質，求出球的半徑，即可得出結論.
【詳解】設圓半徑為，球的半徑為，依題意，
得，為等邊三角形，
由正弦定理可得，
，根據球的截面性質平面，
，
球的表面積.
故選：A

【點睛】本題考查球的表面積，應用球的截面性質是解題的關鍵，考查計算求解能力，屬于基礎題.
題型二：補成長方體（墻角模型）求外接球的體積和表面積
解題思路：用構造法(構造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長(在長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝．)，秒殺公式：R2＝．可求出球的半徑從而解決問題．常見構成長方體或正方體方法：同一頂點三條側棱兩兩垂直；四個面都是直角三角形的三棱錐；相對棱相等的三菱錐；正四面體；三個側面兩兩垂直的三棱錐等等；
例1．如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將四面體補形成長方體，長方體的長 寬 高分別為、、，長方體的外接球即為四面體的外接球，而長方體外接球的直徑即為其體對角線，求出外接球的直徑，即可求出外接球的表面積.
【詳解】將四面體補形成長方體，長方體的長 寬 高分別為、、，
四面體的外接球即為長方體的外接球，
而長方體的外接球的直徑等于長方體的體對角線長，設外接球的半徑為，
故，所以外接球表面積為.
故選：B.
例2．已知S，A，B，C是球O表面上的不同點，平面，，，，若球O的表面積為，則（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
根據四面體的性質可構造長方體模型求得外接球半徑即可得.
【詳解】如下圖所示：
由平面可知，又，
所以四面體的外接球半徑等于以長寬高分別為三邊長的長方體的外接球半徑，
設外接球半徑為，
由球的表面積為，可得，即；
又，，，
所以.
故選：B
例3．已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進而知正方體的體對角線即為球直徑，從而得解.
【詳解】解法一:為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，
，又，分別為、中點，
，，又，平面，平面，，為正方體一部分，，即 ，故選D．
解法二:
設，分別為中點，
，且，為邊長為2的等邊三角形，
又
中余弦定理，作于，，
為中點，，，
，，又，兩兩垂直，，，，故選D.
【點睛】本題考查學生空間想象能力，補體法解決外接球問題．可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關系，快速得到側棱長，進而補體成正方體解決．
變式訓練
4．在三棱錐中，三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直，且，若三棱錐的所有頂點都在同一個球的表面上，則該球的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據三條側棱三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直，可得三棱錐的外接球即為以PA，PB，PC為相鄰的三條棱的正方體的外接球，由此可得答案.
【詳解】由三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直，補全三棱錐，
則三棱錐的外接球的半徑，
所以該球的體積是，
故選：A

5．已知三棱錐中，，且PA，PB，PC兩兩垂直，點是三棱錐外接球的球面上一點，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據題意可求得三棱錐外接球的球心到平面的距離，再利用球面上的點到平面距離的最值問題即可求得三棱錐體積的最大值.
【詳解】由題可得將三棱錐補形成正方體，
可得三棱錐的外接球即正方體的外接球，且外接球半徑．
設為外接球球心，根據正方體的結構特征可知點到平面ABC的距離為，如下圖所示：
又，故可得點到平面ABC的距離，
則點到平面ABC的距離，
故點到平面ABC的距離．
易得是邊長為的等邊三角形，故三棱錐的體積，
因此三棱錐體積的最大值為．
故選：B．
6．在四面體中，，，且滿足，，．若該三棱錐的體積為，則該錐體的外接球的體積為 ．
【答案】
【分析】將四面體放在長方體中，通過求長方體的外接球半徑得出結果.
【詳解】如圖，依題意將四面體放在長方體中，設長方體的高為.
根據錐體的體積，解得，
所以長方體的長寬高分別為，和4，
所以長方體的外接球直徑即為對角線，解得.
所以四面體外接球的體積為．
故答案為：.
7．三棱錐的三條側棱兩兩垂直，三個側面的面積分別是、、，則該三棱錐的外接球的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】三棱錐的三條側棱、、兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴展為長方體的外接球，求出長方體的對角線的長，就是球的直徑，然后求球的體積.
【詳解】三棱錐的三條側棱、、兩兩互相垂直，
它的外接球就是它擴展為長方體的外接球，
設，，，
則，，，
解得，，，.
則長方體的對角線的長為.
所以球的直徑是，半徑長，
則球的表面積，
故選：C.
8．《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐為鱉臑，平面，，，三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
將三棱錐補形為長方體，由勾股定理求出長方體的半徑即可，得到表面積.
【詳解】將三棱錐補形為長方體，則長方體的外接球即為三棱錐的外接球，
如圖，的中點即為外接球的球心，為直徑，
由勾股定理得，
故半徑為，球的表面積為.
故選：B
題型三：直棱柱(圓柱)和垂面模型求外接球的體積和表面積
解題思路：正棱柱或直棱柱(圓柱)的球心在上下底面外心連線中點處。
推論：垂面模型（一條直線垂直于一個平面）可補成直三菱柱或長方體。
公式：,（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據正弦定理
例1．在直三棱柱中，各棱長均為2，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設上下兩個底面的中心分別為，連接，則直三棱柱外接球的球心為的中點，連接，在中可求得球的半徑，從而可求出球的表面積.
【詳解】
設上下兩個底面的中心分別為，連接，
因為所有棱長為2的直三棱柱的六個頂點都在同一球面上，
所以直三棱柱外接球的球心為的中點，
連接，在等邊中，，
在直角中，，
所以直三棱柱外接球的半徑，
所以球的表面積為.
故選：A
例2．已知三棱錐中，平面，，則此三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據題意，利用正弦定理求得的外接圓的半徑，再由球的截面的性質，求得外接球的半徑，結合球的表面積公式，即可求解.
【詳解】因為三棱錐中，平面，，
設底面的外接圓的半徑為，三棱錐外接球的半徑為，
由正弦定理得，可得
所以，
則外接球的表面為.
故選：B.

例3．已知圓柱的兩個底面的圓周在表面積為的球O的球面上，則該圓柱的側面積的最大值為 .
【答案】
【分析】由題意，先求出球的半徑，再由球和圓柱的位置關系得到圓柱的底面半徑、母線和球的半徑的關系，然后利用基本不等式求出圓柱的側面積的最大值.
【詳解】設球的半徑為，圓柱的底面半徑為，母線為，
由題意可知，解得，
又圓柱的兩個底面的圓周在表面積為的球O的球面上，
所以圓柱的兩個底面的的圓心關于球心對稱，且，
圓柱的側面積，，
因為，當且僅當，即時，等號成立，
所以，.
故答案為：.
變式訓練
4．已知正六棱柱的所有棱長均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據正六棱柱的性質可求解半徑，由表面積公式即可求解.
【詳解】如圖，設正六棱柱下底面的中心為，其外接球的圓心為點，
則，為等邊三角形，
故，即為其外接球的半徑，
所以，
所以該正六棱柱的外接球的表面積為.
故選：B.
5．已知在三棱錐中，，，底面是邊長為1的正三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據給定條件，證得平面，再確定三棱錐外接球球心，并求出球半徑及表面積.
【詳解】在三棱錐中，，，正的邊長為1，
則，即有，同理，而平面，
于是平面，令正的外心為，三棱錐外接球球心為，
則平面，顯然球心在線段的中垂面上，取的中點，則，
而，則四邊形是矩形，，
所以球半徑，表面積.
故選：B
6．在三棱錐中，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在中由余弦定理求得，由題意證得平面ABC，進而確定外接球球心O，由球心與相關點的位置關系求球的半徑，最后求表面積即可.
【詳解】在中，，
即，又，
因為，所以，同理，
又由平面ABC，平面.
設的外接圓半徑為，所以，
所以，所以外接球的半徑R滿足，
∴三棱錐外接球的表面積為.
故選：A.
7．已知直三棱柱的6個頂點都在球O的球面上，若，，，，則球O的表面積為 .
【答案】
【分析】根據，得到，的外接圓的圓心分別為邊的中點，則外接球的球心為兩中點連線的中點求解.
【詳解】如圖所示：

因為，，，則，
所以的中點分別為，的外接圓的圓心，
所以直三棱柱的外接球的球心是的中點，
所以其半徑，
所以球的表面積.
故答案為：.
8．在直三棱柱中，，，，，該直三棱柱的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出底面三角形的外接球半徑，再根據直三棱柱求出外接球半徑，最后計算圓的面積.
【詳解】在中，由余弦定理可得，
設外接圓半徑為r，再由正弦定理，
因為三棱柱是直三棱柱，設外接球半徑為R，
所以，
所以外接球表面積為，
故選：C
9．一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，則圓柱、圓錐、球的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據條件，得出圓柱和圓錐的底面半徑均為，高均為，再利用圓柱、圓錐、球的體積公式即可求出結果.
【詳解】設球的半徑為，因為圓柱和圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，
所以圓柱和圓錐的底面半徑均為，高均為，
記圓柱、圓錐和球的體積分別為,
則，，，
，
故選：C.
10．若一個圓柱的底面半徑為1，側面積為，球是該圓柱的外接球，則球的表面積為 ．
【答案】
【分析】
先利用側面積求出圓柱的高，再求出球的半徑可得表面積.
【詳解】設圓柱的高為，其外接球的半徑為，
因為圓柱的底面半徑為1，側面積為，所以，解得；
由圓柱和球的對稱性可知，球心位于圓柱上下底面中心連線的中點處，
所以，所以球的表面積為.
故答案為：
題型四：正棱錐或正棱臺（圓錐或圓臺）模型球外接球體積和表面積
解題思路：正棱錐（圓錐）模型(側棱相等，底面為正多邊形）的球心在其頂點與底面外心連線線段(或延長線）上。
半徑公式：（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據正定
理（一邊一對角)
例1．已知一個圓臺內接于球（圓臺的上、下底面的圓周均在球面上）.若該圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，且其表面積為，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用圓臺表面積得母線長和圓臺的高，由勾股定理求出球的半徑，可計算體積.
【詳解】設圓臺母線長為l，上、下底面半徑分別為和，

則圓臺側面積為，
上、下底面面積分別為和.
由圓臺表面積為，得，
所以圓臺高，
設球半徑為， 圓臺軸截面為等腰梯形，且，高為1.
作于點，
設，由，則球心在圓臺外部.
則有，解得，
所以球的體積為.
故選：C.
例2．已知正四棱錐各頂點都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為4，體積為，則該球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據體積可求正四棱錐的高，再結合外接球球心的性質可求其半徑，故可求外接球的表面積.
【詳解】
如圖，設在底面的射影為，則平面，
且為的交點.
因為正四棱錐底面邊長為4，故底面正方形的面積可為，且，
故，故.
由正四棱錐的對稱性可知在直線上，設外接球的半徑為，
則，故，故，
故正四棱錐的外接球的表面積為，
故選：B.
例3．已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點為球心，圓錐的高為3，且圓錐的側面展開圖是一個半圓，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設圓錐的底面半徑，母線為，外接球的半徑為，依題意求出、，即可得，最后由球的表面積公式計算可得.
【詳解】依題意圓錐高，設圓錐的底面半徑，母線為，圓錐的外接球的半徑為，
因為圓錐的側面展開圖是一個半圓，則，解得，
可知，
所以圓錐的外接球球的表面積.
故選：C.
變式訓練
4．已知圓錐的高為8，底面圓的半徑為4，頂點與底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，由條件可得球的半徑，再由球的表面積公式，即可得到結果.
【詳解】設球的半徑為，則，解得，
所以球的表面積為，
故選：A.
5．已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在棱長為2的正方體中構造棱長為的正四面體，結合正方體的性質和求得表面積公式，即可求解.
【詳解】如圖所示，在棱長為2的正方體中構造棱長為的正四面體 ，
顯然正四面體的棱切球即為正方體的內切球，故球的半徑，
則該球的表面積為．
故選：A．
6．已知一個圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，其頂點為，底面圓心為，點是線段上的一點，是底面內接正三角形，且平面，則 ；三棱錐的外接球的表面積是 .
【答案】
【分析】
（1）根據正弦定理求出的長；
（2）確定三棱錐的外接球，即為以為棱的正方體的外接球，再求其半徑，最后應用球的表面積公式即可求出.
【詳解】解：由題意，圓錐的底面半徑為1，母線長為2，
是底面內接正三角形，結合題設有，所以，
由平面，平面，則，，
為正三角形，則，顯然為中心，
結合對稱性，易知，即，且，
三棱錐的外接球，即為以為相鄰棱的正方體的外接球，
故外接球半徑為，
所以三棱錐的外接球的表面積是.
故答案為：；
7．已知球與圓臺的底面、側面都相切，且圓臺母線與底面所成角為，則球表面積與圓臺側面積之比為（ ）
A．2：3 B．3：4 C．7：8 D．6：13
【答案】B
【分析】
作出圓臺的軸截面，利用切線長定理可得母線與半徑的關系；結合60°可得圓臺的上下半徑以及球的半徑的關系，即可利用面積公式求解.
【詳解】
設圓臺上下底面圓的半徑為，母線為球的半徑為
取圓臺的軸截面，則四邊形為等腰梯形，
圓臺的外接球球心為，則球心在截面內，
在截面內，設圓切梯形的邊、、、分別于點、、、，
由切線長定理可得，，故，即；
由于,所以，解得
；
故選：B．

8．若三棱臺的上、下底面均是正三角形，側面是全等的等腰梯形，且其各頂點都在表面積為的球的表面上，，則三棱臺的高為（ ）
A． B．8 C．6或8 D．或6
【答案】C
【分析】由題可知，三棱臺為正三棱臺，上下底面的中心，連線構成的線段為高，根據球的性質可得，，進而可得.
【詳解】設球的半徑為，則，得，
如圖所示，為的中心，為的中心，
由題意可知，三棱臺為正三棱臺，為其高，球心在上，
在中，在中，
故，，
當在線段上時，，
當在線段的延長線上時，，
故選：C
題型五：對棱相等模型求外接球體積和表面積
解題思路：對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等模型，用構造法(構造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長，即(長方體的長、寬、高分別為a、b、c)．秒殺公式：R2＝(三棱錐的三組對棱長分別為x、y、z)．可求出球的半徑從而解決問題．
例1．在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將三棱錐轉化為長方體，結合長方體的外接球以及長度關系運算求解.
【詳解】如圖，將三棱錐轉化為長方體，

可知三棱錐的外接球即為長方體的外接球，
則，可得，
則外接球的半徑，
所以三棱錐的外接球的表面積為.
故選：C.
例2．已知四面體滿足，，，且該四面體的外接球的表面積是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
將將四面體放入長方體中，求出長方體的體對角線，進而得到外接球半徑，得到表面積.
【詳解】將四面體放入長方體中，如圖，
則四面體的外接球，即為長方體的外接球，
設長方體中，則，
三式相加得，故，
所以四面體的外接球半徑為，
故四面體的外接球表面積為.
故選：B
例3．在三棱錐中，已知，則該三棱錐的體積為 .
【答案】20
【分析】把三棱錐補形到長方體中，設長方體的三條棱長為，根據條件列出方程組，解方程組求出即得解．
【詳解】如圖，設長方體的三條棱長為，

由題得；
；
，
解之得
所以
所以該三棱錐的體積為:
故答案為：20
變式訓練
4．已知四面體中，，，則該四面體外接球的表面積為 ．
【答案】
【分析】
把四面體補成為一個長方體，利用長方體求出外接球的半徑，即可求出外接球表面積.
【詳解】對于四面體中，因為，，
所以可以把四面體放入一個長方體，如圖：

設從同一個頂點出發的三條邊長分別為、、，則有：
，解得，
點、、、均為長、寬、高分別為，，的長方體的頂點，
且四面體的外接球即為該長方體的外接球，
于是長方體的體對角線即為外接球的直徑，
不妨設外接球的半徑為，∴，
∴外接球的表面積為.
故答案為：.
5．在三棱錐中，，則該三棱錐的外接球的體積為 ．
【答案】/
【分析】由對棱相等將三棱錐補形成一個長方體,求其外接球半徑即可求解.
【詳解】依題意得，該三棱錐的三組對棱分別相等，因此可將該三棱錐補形成一個長方體，

設該長方體的長、寬、高分別為a、b、c，且其外接球的半徑為R，
則，得，
即,易知，
∴該三棱錐的外接球的表面積為．
故答案為：.
6．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且，，，則球的表面積是 ．
【答案】
【分析】
將三棱錐放入長方體中，設長方體的長寬高分別為，確定，進而得到球的半徑，進而根據球體的表面積公式計算即可.
【詳解】將三棱錐放入長方體中，設長方體的長寬高分別為，如圖所示：
則，則，
因為球的直徑即為長方體的體對角線，
則球的半徑為，
所以球的表面積是.
故答案為：.
7．在四面體ABCD中，，則四面體的外接球的體積為 ．
【答案】/
【分析】根據四面體棱長關系可知其由長方體切割所得，將其放在長方體中，可知四面體外接球即為長方體外接球，根據長方體外接球半徑為體對角線長度一半，求得體對角線長度即可得到外接球半徑，代入球的體積積公式即可求得結果.
【詳解】因為，
所以由勾股定理可知，，，，
如圖，將四面體ABCD補全為長、寬、高分別為、、的長方體，

則四面體外接球即為長方體外接球，長方體外接球直徑即為體對角線長度，
所以，即，
所以該四面體外接球的體積為.
故答案為：.
【點睛】本題考查多面體外接球體積的求解問題，關鍵是能夠根據四面體棱長長度關系，將其變為長方體的一個部分，從而將問題轉化為長方體外接球體積的求解問題.
題型六：面面垂直模型求外接球體積和表面積
解題思路：面面垂直模型是有一側面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如類型Ⅰ，△ABC與△BCD都是直角三角形，類型Ⅱ，△ABC是等邊三角形，△BCD是直角三角形，類型Ⅲ，△ABC與△BCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與△BCD的外心作該三角形所在平面的垂線，交點O即為球心．類型Ⅳ，△ABC與△BCD都一般三角形，解決方法是過△BCD的外心O1作該三角形所在平面的垂線，用代數方法即可解決問題．設三棱錐A－BCD的高為h，外接球的半徑為R，球心為O．△BCD的外心為O1，O1到BD的距離為d，O與O1的距離為m，則Error!解得R．可用秒殺公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2為兩個面的外接圓的半徑，l為兩個面的交線的長)
例1．已知三棱錐的底面是邊長為3的等邊三角形，且，，平面平面，則其外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分別利用正弦定理求得的外接圓的半徑，再利用兩個面垂直的三棱錐的外接球半徑滿足，從而得解.
【詳解】因為三棱錐的底面是邊長為3的等邊三角形，
所以，則，

設的外接圓的半徑分別為，
則在等邊中，，
在中，，
所以，
則，，
設三棱錐的外接球的半徑為，因為平面平面，
則，
所以其外接球的表面積為.
故選：D.
例2．已知四面體的各頂點都在同一球面上，若，平面平面，則該球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據題中條件作出外接球球心，利用勾股定理計算得到半徑，進一步計算即可.
【詳解】過三角形的中心作平面的垂線，
過三角形的中心作平面的垂線，
兩垂線交于點，連接，
依據題中條件可知，為四面體的外接球球心，
因為，
所以,
則,
即外接球半徑為，
則該球的表面積為，
故選：C.
例3．已知四棱錐中，底面為邊長為3的正方形，側面底面，且為等邊三角形，
則該四棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取側面和底面正方形的外接圓的圓心分別為，分別過作兩個平面的垂線交于點，點即為該球的球心，求出長度，由勾股定理可求出四棱錐外接球的半徑，再由球的表面積公式可得出答案.
【詳解】如圖，在四棱錐中，
取側面和底面正方形的外接圓的圓心分別為，
分別過作兩個平面的垂線交于點，則由外接球的性質知，
點即為該球的球心，連接并延長，交教AB于E,則E線段的中點，
連接，則四邊形為矩形.
在等邊中，可得，則，即，
在正方形中，因為，可得，
在中，，即，
所以四棱錐外接球的表面積為.
故選：B.
變式訓練
4．已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】過點作于E，則PE為四棱錐的高，據此求出正方形棱長.再根據幾何關系找出外接球球心，根據勾股定理求出外接球半徑即可.
【詳解】
設正方形的邊長為，在等邊三角形中，過點作于E，
由于平面平面，∴平面．
由于是等邊三角形，則，
∴，解得．
設四棱錐外接球的半徑為，為正方形ABCD中心，為等邊三角形PAB中心，
O為四棱錐P－ABCD外接球球心，則易知為矩形，
則，，
，
∴外接球表面積．
故選：C．
5．在三棱錐中，平面平面，底面是邊長為3的正三角形，若該三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值為 .
【答案】
【分析】根據已知條件做出圖形，利用球的表面積公式及正弦定理，結合棱錐的體積公式及線面垂直的性質定理，再利用勾股定理及矩形的特征即可求解.
【詳解】依題意，點是三棱錐外接球的球心，設球的半徑為是外接圓的圓心，
設圓的半徑為，點到底面的距離為，
由題意，可得，則.
因為是邊長為3的正三角形，
所以由正弦定理，可得，則.
所以三棱錐的體積為，
三棱錐的體積取最大值則需要最大.
由題意可知，點在過且與底面（此處底面為水平）垂直的截面圓的圓周上運動，當點運動到該圓
的最高點時，最大.
取的中點，連接，過點作.如圖所示，
由圓的對稱性可知，此時，則.
又平面平面，且平面平面平面，
所以平面.
因為在中，，
又，
所以.
易得四邊形為矩形，
所以.
因為在中，，
所以，
所以.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：根據已知條件做出圖形，要使三棱錐的體積取最大值則需要最大即可.
6．已知四棱錐中，底面四邊形為正方形，側面為正三角形，且側面垂直底面，若則該四棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題目做出圖形，連接球心為和正方形中心，先利用，得出，進而求出四棱錐外接球半徑，求出結果.
【詳解】根據題意得出圖形：
球心為，分別為和正方形中心，
因為側面垂直底面，，
所以四棱錐的高為，
底面正方形外接圓半徑為，
則，即，
即，
解得，
所以四棱錐外接球半徑平方，即，
故其表面積為.
故選：B
題型七：幾何體的內切球求體積和表面積
解題思路：方法一：對于正棱柱（圓柱）和正棱錐可以用截面相似來求；方法二：等體積法，即內切球球心與所有面構成的棱錐的體積之和相等
例1．將一個母線長為，底面半徑為的圓錐木頭加工打磨成一個球狀零件，則能制作的最大零件的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】原問題可轉化為求該圓錐的內切球表面積，由圓錐的結構特征可得其內切球的半徑與該圓錐過頂點與底面直徑的軸截面的內切圓半徑相等，借助等面積法求出該半徑，結合球的表面積公式即可得.
【詳解】原問題可轉化為求該圓錐的內切球表面積，
該內切球的半徑與該圓錐過頂點與直徑的軸截面的內切圓半徑相等，
畫出該軸截面如圖，
由母線長為，底面半徑為可得該圓錐的高，
設內切球的半徑為，則有，
解得，即內切球表面積為.
故選：A.
例2．已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側棱長都等于2，則該四棱錐的內切球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出棱錐的高，進而得到棱錐體積，設出內切球半徑，根據體積得到方程，求出半徑，進而得到表面積.
【詳解】設內切球的半徑為的中點為，則⊥平面，
因為四棱錐的底面是邊長為2的正方形，所以，
因為，由勾股定理得，
故棱錐的體積為，棱錐的表面積為，
設內切球的半徑為，

則由等體積法可得，解得，
所以．
故選：A
例3．已知正四棱臺的上底面面積為，其內切球體積為，則該正四棱臺的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
畫出截面圖，由題求出正四棱臺下底面邊長和側棱長即可得出答案.
【詳解】
如圖，做該正棱臺的截面，因為該正四棱臺的上底面積為12，故上底邊長為，
因為內切球體積為，故.
在中，，
所以，根據對稱性，
故 所以 ，
正四棱臺下底面是一個邊長為 的正方形，
故側面梯形的高為.
即.
故選：A.
變式訓練
4．實驗課上，小明將一個小球放置在圓柱形燒杯口處固定（燒杯口支撐著小球），觀察到小球恰好接觸到燒杯底部，已知燒杯的底面半徑為2，小球的表面積為，若燒杯的厚度不計，則燒杯的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
借助球的表面積公式可得其半徑，結合題意可列出與高、底面半徑與球的半徑有關勾股定理，在借助圓柱側面積公式即可得解.
【詳解】設小球的半徑為，則，解得，
設圓柱的高為，由勾股定理可得，解得或（舍去），
所以燒杯的側面積為.
故選：D.
5．已知正三棱柱的側面積為36，則與三棱柱各棱均相切的球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意作出圖形，利用幾何關系，從而可求解.
【詳解】如圖，設上下底面的中心分別為，由對稱性可知，

球的球心為的中點，取的中點，連接，
連接并延長，交于，連接，則，
設，則，
，
而，聯立兩式，解得，則球的半徑為，
則其表面積為，故B正確.
故選：B.
6．在直三棱柱中，，，，，則該三棱柱內能放置的最大球的表面積是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
通過內切圓、內切球等知識進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】，所以，所以三角形是直角三角形，
設的內切圓半徑為，則，
，所以三棱柱內能放置的最大球的半徑為，
則最大球的表面積是.
故選：A
7．已知圓錐的側面展開圖是半徑等于4的半圓，圓錐內有一球體，則此球體最大的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
當球體和圓錐內切時，其半徑最大，表面積最大，作出圓錐的軸截面圖象，根據幾何關系即可求解.
【詳解】
由題可知，圓錐母線長為4，設其底面半徑為．
則有，解得．
當球體與圓錐內切時，其表面積最大，設球體半徑為，作出圓錐的軸截面，如圖：

點為球心，為圓錐底面圓心，表示切點，
則．
因為．
則，即，解得．
則球體表面積為，
故選：．
8．若底面邊長為2的正六棱柱存在內切球，則其外接球體積是 .
【答案】
【分析】由題意可得內切球的半徑，進而可得正六棱柱的高，結合球的體積公式計算即可求解.
【詳解】如圖，在過球心與棱柱棱垂直的截面中，內切球的半徑為，為邊長是2的正三角形，
則，即內切球的半徑為，所以正六棱柱的高為.
其外接球半徑為，
則其體積為.
故答案為：
9．已知一個圓臺的上 下底面半徑分別為1和3，高為.若圓臺內有一個球，則該球體積的最大值為 .（球的厚度可忽略不計）
【答案】
【分析】首先假設球與下底面和側面相切，根據幾何關系和計算，能證明求與上底面也相切，由此可以求得球的半徑，即可求得球的體積的最大值.
【詳解】當球與下底面和側面相切，如圖，
圓臺及其內切球的軸截面如圖所示，
由題意可知，設分別梯形的上下底的中點，連結，
如圖，作，交于點，點為側面的切點，
則，則，，
則，
因為，所以，且,
所以球與上底面也相切，故內切球的半徑為，此時為圓臺內的最大的球，
內切球的體積.
故答案為：
10．已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其所有棱都相切）的表面積分別為，則 ．
【答案】
【分析】由幾何關系求出外接球和棱切球半徑，再由球的表面積公式求出表面積，最后求出比值.
【詳解】
設正三棱柱的棱長為，因為正三棱柱上下底面中心連線的中點為外接球的球心，
則外接球的半徑，，
所以，
因為，所以為棱切球的球心，則棱切球半徑，
所以.
故答案為：
題型八：矩形模型和普通棱錐模型
解題思路：若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心。
普通三棱錐模型，用找球心法可以解決．如果已知其中兩個面的二面角，則可用秒殺公式：R2＝＋(其中l＝|AB|)解決．
例1．在三棱錐中，平面，，且，，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
將該三棱錐置于一個長方體中，利用體對角線即為外接球的直徑，求出球的半徑，由表面積公式求解即可
【詳解】由題意，在三棱錐中，平面，，故將該三棱錐置于一個長方體中，如圖所示：
則體對角線即為外接球的直徑，由于，，
所以，即外接球的半徑，則該三棱錐外接球的表面積為.
故選：A
例2．已知三棱錐所有頂點都在球O的球面上，為邊長為的正三角形，是以BD為斜邊的直角三角形，且，二面角為120°，則球O的表面積為（ ）

A． B．28π C． D．36π
【答案】B
【分析】
利用球內的勾股定理求出半徑，再求表面積即可.
【詳解】
由題知，，，
，所以，
.
故選：B
例3．已知四邊形是邊長為2的菱形，，沿對角線將折起使A位于新位置，且，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
結合四邊形是邊長為2的菱形，求出相關線段長，取的中點E，連接，設三棱錐的外接球球心為O，確定O點位置，解三角形求得外接球半徑，根據球的表面積公式，即可求得答案.
另解：根據兩個全等的等腰三角形共底邊構成的外接球模型的相關結論，即可求得答案.
【詳解】
如圖，由題意可知，四邊形是邊長為2的菱形，，
沿對角線將折起使A位于新位置，
則，為正三角形，
則，，
取的中點E，連接，設三棱錐的外接球球心為O，
連接，則，平面，
故平面，而平面，故平面平面，
則O點位于平面內，
連接，設為底面的中心，連接，
則底面，底面，可得，且，
即為正三角形，由O為三棱錐的外接球球心，
故，即O在的中垂線即的角平分線上，即有，
在直角三角形中，，，，
，即有外接球半徑，
則三棱錐的外接球的表面積為，
故選：A．
另解：此為兩個全等的等腰三角形共底邊構成的外接球模型，
由上面解法可知為二面角的平面角，且二面角，
底面外接圓半徑，高為，
故，
則三棱錐的外接球的表面積為，
故選：A．
變式訓練
4．已知矩形中，，E，F分別為的中點，將四邊形沿折起，使二面角的大小為，則過A，B，C，D，E，F六點的球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
找到球心的位置，通過解直角三角形求得球的半徑，進而求得球的表面積.
【詳解】
如圖所示：

其中分別為正方形和的中心，分別垂直于這兩個平面．
由于，
，而，
∴球的半徑，∴球的表面積為.
故選：B．
5．已知三棱錐中，，三角形為正三角形，若二面角為，則該三棱錐的外接球的體積為 ．
【答案】
【分析】依題意可得，球心在過的中點與平面垂直的直線上，
同時也在過的中心與平面垂直的直線上，即可得到，求出，從而求出三棱錐的外接球的半徑為，即可得到外接球的體積.
【詳解】解：如圖，∵，即，∴.
∴球心在過的中點與平面垂直的直線上，
同時也在過的中心與平面垂直的直線上，.
∴這兩條直線必相交于球心.
∵二面角的大小為，
易知，，
，，
，
∴三棱錐的外接球的半徑為.
∴三棱錐的外接球的體積為.
故答案為：
6．如圖，在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為 .
【答案】/
【分析】
先確定球心位置，再建立半徑R的方程求解即可.
【詳解】
取和的中點分別為，，過點作面于點，
連結，，,平面,故，
又，則又平面,
故平面，平面，故
則為二面角的補角， ，
因為，，則，且，
易知，
因為為等腰直角三角形，所以是的外心.
設三棱錐的外接球的球心為，則面，易知，
作，易知為矩形，，
設，，則在中，，
且中，，解得，
所以外接球表面積為.
故答案為：.
【點睛】
關鍵點點睛：本題考查外接球問題，關鍵是利用球的性質確定球心位置.
一、單選題
1．已知圓錐的高為8，底面圓的半徑為，頂點與底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設球的半徑為，利用勾股定理求出，再由球的表面積公式計算可得.
【詳解】設球的半徑為，則，解得，
所以球的表面積為.
故選：B.
2．已知兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在該球面上，若兩個圓錐的高之比為，它們的體積之和為，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根據同底圓錐高的比得到，兩個圓錐的高分別是，而由它們的體積之和為即可求出，進而得解.
【詳解】
記該截面和球的半徑分別為，由于兩個圓錐的高之比為，
故球心到該截面的距離為，從而，.
而兩個圓錐的高分別是，故體積之和.
從而，故，.
該球的表面積.
故選：B.
3．已知S，A，B，C是球O表面上的不同點，平面，，，，若球O的表面積為，則（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
根據四面體的性質可構造長方體模型求得外接球半徑即可得.
【詳解】如下圖所示：
由平面可知，又，
所以四面體的外接球半徑等于以長寬高分別為三邊長的長方體的外接球半徑，
設外接球半徑為，
由球的表面積為，可得，即；
又，，，
所以.
故選：B
4．側棱長與底面邊長均為的正三棱柱的外接球的表面積為，則（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【分析】
根據正三棱柱性質及球的表面積公式求得，即可得.
【詳解】由球的表面積公式，解得外接球半徑.
因為底面三角形是邊長為的等邊三角形，
所以此三角形的外接圓半徑為，
由正三棱柱的外接球的特點可得，
解得.
故選：C.
5．已知是表面積為的球的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先通過球的表面積公式求出球的半徑，然后在中，由余弦定理得，然后利用正弦定理求得的外接圓半徑，利用勾股定理求得高，從而利用三棱錐的體積公式求解即可.
【詳解】設球的半徑為，因為球的表面積為，解得.
在中，由余弦定理可得，
所以的外接圓半徑為，所以，
設的外接圓的圓心為，則平面，
則球心到平面的距離為，則，
所以三棱錐的體積為.
故選：D
6．四面體的四個頂點都在球的表面上，平面，是邊長為3的等邊三角形，若，則球的表面積為（　?。?br/>A．4π B．12π C．16π D．32π
【答案】C
【分析】
根據四面體的結構特征，由線面垂直可判斷球心位置，進而根據勾股定理求解半徑，即可由表面積公式求解.
【詳解】
取的中點， 中點為，連接,
設的中心為，作,且,
由于,平面，
所以四邊形為矩形，故
則O為外接球的球心，
∵，∴外接球的半徑，
∴四面體ABCD外接球的表面積為．
故選：C．
7．已知直三棱柱的個頂點都在球的表面上，若，，，則球的
體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理及余弦定理求得底面的外接圓的半徑，結合的長度求得球O的半徑，從而得到球的體積.
【詳解】
設的外接圓圓心為，半徑為，連接，則平面，
在中，由余弦定理得：，
，，，
，球的體積為.
故選：A.
8．夾彈珠游戲是兒童特別喜歡的游戲，夾彈珠能有效提高參與者的注意力與協調性，調整邏輯思維判斷和空間控制平衡能力，鍛煉小肌肉，增強手眼協調，培養敏捷的反應能力，從而提高參與者的適應能力.如圖，三個半徑都是的玻璃彈珠放在一個半球面形狀的容器（不計厚度）中，每顆彈珠的頂端恰好與容器的上沿處于同一水平面，則這個容器的表面積（包括容器的內部和外部兩部分）是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據題意，由條件可得大球的半徑，再由球的表面積公式代入計算，即可得到結果.
【詳解】在面上的投影為為大球球心，為小球球心.

，大球半徑為，
，
，
故選：D.
9．已知正四棱錐的側棱長為，其各頂點都在同一球面上.若該球的表面積為，且，則該正四棱錐體積的最大值是（ ）
A．18 B． C． D．27
【答案】C
【分析】
設正四棱錐的底面邊長為，高為，求出的關系式，即可表示出四棱錐的體積，利用導數求得其最大值，即得答案.
【詳解】球的表面積為，所以球的半徑，
設正四棱錐的底面邊長為，高為，則，，
所以，
故正四棱錐的體積為，
，
當時，，當時，，
即在上單調遞增，在上單調遞減，
當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為.
故選：C.
二、填空題
10．已知正三棱柱的體積為，若存在球與三棱柱的各棱均相切，則球的表面積為 .
【答案】
【分析】利用三棱柱的體積公式、球的特征及其體積公式即可.
【詳解】
如圖所示，取上下底面的中心，分別為上底面棱上的切點，
則為的中點，設，
由題意易知，
則，
因為，
所以.
故答案為：.
11．已知三棱錐的底面是邊長為3的等邊三角形，且，，平面平面，則該三棱錐外接球的表面積為 ．
【答案】
【分析】分別得，的外接圓的半徑，再利用兩個面垂直的三棱錐的外接球半徑滿足，從而得解.
【詳解】因為三棱錐的底面是邊長為3的等邊三角形，
所以，則，
設的外接圓的半徑分別為，
則在等邊中，，
在中，，
所以，
則，，
設三棱錐的外接球的半徑為，因為平面平面，
則，
所以該三棱錐外接球的表面積為.
12．設球在圓柱內，且圓柱的底面直徑和高都等于該球的直徑，則球與圓柱的體積之比是 .
【答案】
【分析】設球的半徑為，則由題意可表示出圓柱的底面半徑和高，從而利用球與圓柱的的體積公式即可得解.
【詳解】設球的半徑為，則由題意可得圓柱的底面半徑為和高為，
所以球與圓柱的體積之比為.
故答案為：.2023-2024學年高一數學-空間幾何體外接球和內切球問題（人教A版2019必修第二冊）
知識點一：外接球的概念
（1）外接球定義：在空間，如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那么這個定點就是該簡單多面體的外接球的球心．
（2）簡單多面體外接球問題是立體幾何中的重點，難點，此類問題實質是
①確定球心的位置
②在Rt△用勾股定理求解外接球半徑（其中底面外接圓半徑r可根據正弦定理求得）．
知識點二：補成長方體（墻角模型）
墻角模型是三棱錐有一條側棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構造法(構造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長(在長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝．)，秒殺公式：R2＝．可求出球的半徑從而解決問題．常見構成長方體或正方體方法：同一頂點三條側棱兩兩垂直；四個面都是直角三角形的三棱錐；相對棱相等的三菱錐；正四面體；三個側面兩兩垂直的三棱錐等等；
知識點三：正棱柱或直棱柱(圓柱)和垂面模型
正棱柱或直棱柱(圓柱)的球心在上下底面外心連線中點處。
推論：垂面模型（一條直線垂直于一個平面）可補成直三菱柱或長方體。
公式：,（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據正弦定理
知識點四：正棱錐（圓錐）模型
正棱錐（圓錐）模型(側棱相等，底面為正多邊形）的球心在其頂點與底面外心連線線段(或延長線）上。
半徑公式：（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據正弦定理
（一邊一對角)
知識點五：對棱相等模型
對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等模型，用構造法(構造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長，即(長方體的長、寬、高分別為a、b、c)．秒殺公式：R2＝(三棱錐的三組對棱長分別為x、y、z)．可求出球的半徑從而解決問題．
知識點六：矩形模型
若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心。
題設：，求三棱錐外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點，連接
，則，為三棱錐外接球球心，然后在中求出半徑），當看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關，只要不是平角球半徑都為定值。
知識點七：面面垂直模型
面面垂直模型是有一側面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如類型Ⅰ，△ABC與△BCD都是直角三角形，類型Ⅱ，△ABC是等邊三角形，△BCD是直角三角形，類型Ⅲ，△ABC與△BCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與△BCD的外心作該三角形所在平面的垂線，交點O即為球心．類型Ⅳ，△ABC與△BCD都一般三角形，解決方法是過△BCD的外心O1作該三角形所在平面的垂線，用代數方法即可解決問題．設三棱錐A－BCD的高為h，外接球的半徑為R，球心為O．△BCD的外心為O1，O1到BD的距離為d，O與O1的距離為m，則Error!解得R．可用秒殺公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2為兩個面的外接圓的半徑，l為兩個面的交線的長)
知識點八：普通棱錐模型
普通三棱錐模型，用找球心法可以解決．如果已知其中兩個面的二面角，則可用秒殺公式：R2＝＋(其中l＝|AB|)解決．
知識點九：內切球的問題
（1）截面相似
①三棱錐；如圖14，三棱錐上正三棱錐，求其外接球的半徑。
第一步：先現出內切球的截面圖，分別是兩個三角形的外心；
第二步：求，，是側面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
②四棱錐；如圖15，四棱錐上正四棱錐，求其外接球的半徑
第一步：先現出內切球的截面圖，三點共線；
第二步：求，，是側面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
（2）等體積法
方法：等體積法，即內切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和相等
第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；
第二步：設內切球的半徑為，建立等式：
第三步：解出
題型一：根據外接球定義求體積和表面積
解題思路：（1）外接球定義：在空間，如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那么這個定點就是該簡單多面體的外接球的球心．
（2）簡單多面體外接球問題是立體幾何中的重點，難點，此類問題實質是
①確定球心的位置
②在Rt△用勾股定理求解外接球半徑（其中底面外接圓半徑r可根據正弦定理求得）．
例1．若平面截球O所得截面圓的半徑為3，且球心O到平面的距離為2，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例2．若球與球外切，兩球的球心距，球的表面積為，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例3．若一個球的表面積與其體積在數值上相等，則此球的半徑為 .
變式訓練
4．已知長方體的8個頂點都在球的表面上，若，則球的表面積為 .
5．已知一平面截球所得截面圓的半徑為2，且球心到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為 ．
6．如圖所示，圓和圓是球的兩個截面圓，且兩個截面互相平行，球心在兩個截面之間，記圓，圓的半徑分別為，若，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
7．已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型二：補成長方體（墻角模型）求外接球的體積和表面積
解題思路：用構造法(構造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長(在長方體的同一頂點的三條棱
長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝．)，秒殺公式：R2＝．可求出球的半徑從而解決問題．常見構成長方體或正方體方法：同一頂點三條側棱兩兩垂直；四個面都是直角三角形的三棱錐；相對棱相等的三菱錐；正四面體；三個側面兩兩垂直的三棱錐等等；
例1．如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
例2．已知S，A，B，C是球O表面上的不同點，平面，，，，若球O的表面積為，則（ ）
A． B．1 C． D．
例3．已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為
A． B． C． D．
變式訓練
4．在三棱錐中，三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直，且，若三棱錐的所有頂點都在同一個球的表面上，則該球的體積是（ ）
A． B． C． D．
5．已知三棱錐中，，且PA，PB，PC兩兩垂直，點是三棱錐外接球的球面上一點，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
6．在四面體中，，，且滿足，，．若該三棱錐的體積為，則該錐體的外接球的體積為 ．
7．三棱錐的三條側棱兩兩垂直，三個側面的面積分別是、、，則該三棱錐的外接球的體積是（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐為鱉臑，平面，，，三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型三：直棱柱(圓柱)和垂面模型求外接球的體積和表面積
解題思路：正棱柱或直棱柱(圓柱)的球心在上下底面外心連線中點處。
推論：垂面模型（一條直線垂直于一個平面）可補成直三菱柱或長方體。
公式：,（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據正弦定理
例1．在直三棱柱中，各棱長均為2，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例2．已知三棱錐中，平面，，則此三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例3．已知圓柱的兩個底面的圓周在表面積為的球O的球面上，則該圓柱的側面積的最大值為 .
變式訓練
4．已知正六棱柱的所有棱長均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
5．已知在三棱錐中，，，底面是邊長為1的正三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
6．在三棱錐中，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
7．已知直三棱柱的6個頂點都在球O的球面上，若，，，，則球O的表面積為 .
8．在直三棱柱中，，，，，該直三棱柱的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
9．一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，則圓柱、圓錐、球的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
10．若一個圓柱的底面半徑為1，側面積為，球是該圓柱的外接球，則球的表面積為 ．
題型四：正棱錐或正棱臺（圓錐或圓臺）模型球外接球體積和表面積
解題思路：正棱錐（圓錐）模型(側棱相等，底面為正多邊形）的球心在其頂點與底面外心連線線段(或延長線）上。
半徑公式：（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據正定理（一邊一對角)
例1．已知一個圓臺內接于球（圓臺的上、下底面的圓周均在球面上）.若該圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，且其表面積為，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
例2．已知正四棱錐各頂點都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為4，體積為，則該球表面積為（ ）
A． B． C． D．
例3．已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點為球心，圓錐的高為3，且圓錐的側面展開圖是一個半圓，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式訓練
4．已知圓錐的高為8，底面圓的半徑為4，頂點與底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
5．已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
6．已知一個圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，其頂點為，底面圓心為，點是線段上的一點，是底面內接正三角形，且平面，則 ；三棱錐的外接球的表面積是 .
7．已知球與圓臺的底面、側面都相切，且圓臺母線與底面所成角為，則球表面積與圓臺側面積之比為（ ）
A．2：3 B．3：4 C．7：8 D．6：13
8．若三棱臺的上、下底面均是正三角形，側面是全等的等腰梯形，且其各頂點都在表面積為的球的表面上，，則三棱臺的高為（ ）
A． B．8 C．6或8 D．或6
題型五：對棱相等模型求外接球體積和表面積
解題思路：對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等模型，用構造法(構造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長，即(長方體的長、寬、高分別為a、b、c)．秒殺公
式：R2＝(三棱錐的三組對棱長分別為x、y、z)．可求出球的半徑從而解決問題．
例1．在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例2．已知四面體滿足，，，且該四面體的外接球的表面積是（ ）
A． B．
C． D．
例3．在三棱錐中，已知，則該三棱錐的體積為 .
變式訓練
4．已知四面體中，，，則該四面體外接球的表面積為 ．
5．在三棱錐中，，則該三棱錐的外接球的體積為 ．
6．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且，，，則球的表面積是 ．
7．在四面體ABCD中，，則四面體的外接球的體積為 ．
題型六：面面垂直模型求外接球體積和表面積
解題思路：面面垂直模型是有一側面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如類型Ⅰ，△ABC與△BCD都是直角三角形，類型Ⅱ，△ABC是等邊三角形，△BCD是直角三角形，類型Ⅲ，△ABC與△BCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與△BCD的外心作該三角形所在平面的垂線，交點O即為球心．類型Ⅳ，△ABC與△BCD都一般三角形，解決方法是過△BCD的外心O1作該三角形所在平面的垂線，用代數方法即可解決問題．設三棱錐A－BCD的高為h，外接球的半徑為R，球心為O．△BCD的外心為O1，O1到BD的距離為d，O與O1的距離為m，則Error!解得R．可用秒殺公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2為兩個面的外接圓的半徑，l為兩個面的交線的長)
例1．已知三棱錐的底面是邊長為3的等邊三角形，且，，平面平面，則其外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例2．已知四面體的各頂點都在同一球面上，若，平面平面，則
該球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
例3．已知四棱錐中，底面為邊長為3的正方形，側面底面，且為等邊三角形，則該四棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式訓練：
4．已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱錐中，平面平面，底面是邊長為3的正三角形，若該三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值為 .
6．已知四棱錐中，底面四邊形為正方形，側面為正三角形，且側面垂直底面，若則該四棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型七：幾何體的內切球求體積和表面積
解題思路：方法一：對于正棱柱（圓柱）和正棱錐可以用截面相似來求；方法二：等體積法，即內切球球心與所有面構成的棱錐的體積之和相等
例1．將一個母線長為，底面半徑為的圓錐木頭加工打磨成一個球狀零件，則能制作的最大零件的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例2．已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側棱長都等于2，則該四棱錐的內切球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例3．已知正四棱臺的上底面面積為，其內切球體積為，則該正四棱臺的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式訓練
4．實驗課上，小明將一個小球放置在圓柱形燒杯口處固定（燒杯口支撐著小球），觀察到小球恰好接觸到燒杯底部，已知燒杯的底面半徑為2，小球的表面積為，若燒杯的厚度不計，則燒杯的側面積為（ ）
A． B． C． D．
5．已知正三棱柱的側面積為36，則與三棱柱各棱均相切的球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
6．在直三棱柱中，，，，，則該三棱柱內能放置的最大球的表面積是（）
A． B． C． D．
7．已知圓錐的側面展開圖是半徑等于4的半圓，圓錐內有一球體，則此球體最大的表面積是（ ）
A． B． C． D．
8．若底面邊長為2的正六棱柱存在內切球，則其外接球體積是 .
9．已知一個圓臺的上 下底面半徑分別為1和3，高為.若圓臺內有一個球，則該球體積的最大值為 .（球的厚度可忽略不計）
10．已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其所有棱都相切）的表面積分別為，則 ．
題型八：矩形模型和普通棱錐模型
解題思路：若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心。
普通三棱錐模型，用找球心法可以解決．如果已知其中兩個面的二面角，則可用秒殺公式：R2＝＋(其中l＝|AB|)解決．
例1．在三棱錐中，平面，，且，，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例2．已知三棱錐所有頂點都在球O的球面上，為邊長為的正三角形，是以BD為斜邊的直角三角形，且，二面角為120°，則球O的表面積為（ ）

A． B．28π C． D．36π
例3．已知四邊形是邊長為2的菱形，，沿對角線將折起使A位于新位置，且，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式訓練
4．已知矩形中，，E，F分別為的中點，將四邊形沿折起，使二面角的大小為，則過A，B，C，D，E，F六點的球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
5．已知三棱錐中，，三角形為正三角形，若二面角為，則該三棱錐的外接球的體積為 ．
6．如圖，在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為 .
一、單選題
1．已知圓錐的高為8，底面圓的半徑為，頂點與底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．已知兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在該球面上，若兩個圓錐的高之比為，它們的體積之和為，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
3．已知S，A，B，C是球O表面上的不同點，平面，，，，若球O的表面積為，則（ ）
A． B．1 C． D．
4．側棱長與底面邊長均為的正三棱柱的外接球的表面積為，則（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
5．已知是表面積為的球的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
6．四面體的四個頂點都在球的表面上，平面，是邊長為3的等邊三角形，若，則球的表面積為（　?。?br/>A．4π B．12π C．16π D．32π
7．已知直三棱柱的個頂點都在球的表面上，若，，，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
8．夾彈珠游戲是兒童特別喜歡的游戲，夾彈珠能有效提高參與者的注意力與協調性，調整邏輯思維判斷和空間控制平衡能力，鍛煉小肌肉，增強手眼協調，培養敏捷的反應能力，從而提高參與者的適應能力.如圖，三個半徑都是的玻璃彈珠放在一個半球面形狀的容器（不計厚度）中，每顆彈珠的頂端恰好與容器的上沿處于同一水平面，則這個容器的表面積（包括容器的內部和外部兩部分）是（ ）

A． B． C． D．
9．已知正四棱錐的側棱長為，其各頂點都在同一球面上.若該球的表面積為，且，則該正四棱錐體積的最大值是（ ）
A．18 B． C． D．27
二、填空題
10．已知正三棱柱的體積為，若存在球與三棱柱的各棱均相切，則球的表面積為 .
11．已知三棱錐的底面是邊長為3的等邊三角形，且，，平面平面，則該三棱錐外接球的表面積為 ．
12．設球在圓柱內，且圓柱的底面直徑和高都等于該球的直徑，則球與圓柱的體積之比是 .

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