資源簡介

(共20張PPT)
數 學
9.2 正態分布
第9章 隨機變量及其分布
拓展模塊一（下冊）
高等教育出版社
第9章 隨機變量及其分布 9.2 正態分布
學習目標
知識目標 了解正態分布的概念與正態曲線；了解利用標準正態分布表計算服從正態分布的隨機變量的概率；初步了解用正態分布和正態曲線解決實際問題的方法．
能力目標 通過學習利用正態分布解決生活中的實際問題．
情感目標 感受數學來源于生活，并服務于生活.
核心素養 通過學習，逐步提升數學運算、數據分析、邏輯推理和數學建模等核心素養．
創設情境，生成問題
活動 1
在日常生活和生產實踐中,經常還會遇到這樣一類隨機變量，它們受眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素共同作用，其概率分布往往服從或近似服從正態分布.
調動思維，探究新知
活動 2
如圖所示為高爾頓釘板實驗的示意圖，每一圓點表示釘在木板上的一顆釘子，所有相鄰釘子之間的距離均相等．在入 口處放入一個直徑小于兩顆釘子之問距離的小圓球，在小圓球向下降落的過程中，碰到釘子后皆以0.5的概率向左或向右滾下，直到最后落入木板下方的空槽內.試作小球落入空槽內的頻率分布直方圖.
調動思維，探究新知
活動 2
調動思維，探究新知
活動 2
把空槽從左向右分成區間段，根據實驗數據可得如圖所示的頻率分布直方圖.
如果把上述小球落入的區間從左往右編號1,2,…,10,那么區間的編號ξ可以看做離散型隨機變量.
調動思維，探究新知
活動 2
若將相鄰釘子之間的距離逐漸縮小,則上述頻率分布直方圖中的折線就會逐漸接近下圖中的鐘形曲線,稱為正態曲線.相應 于上述正態曲線，其隨機變量ξ的取值范圍是一個區間，稱這樣的隨機變量為連續型隨機變量.
調動思維，探究新知
活動 2
研究表明，正態曲線的方程為
其中σ和μ是兩個參數.習慣上,與正態曲線f(x)對應的正態分布記為 N(μ, σ ).有時，也說隨機變量ξ服從參數為σ和μ的正態分布，記作ξ ~ N(μ, σ ). 在生產實踐和科學研究中，經常會遇到類似的隨機現象. 如，測量的誤差、某地區人群的身高、某月的平均氣溫等.
調動思維，探究新知
活動 2
圖中畫出的是μ=0時某些正態曲線.
可以看出，正態曲線具有以下基本性質：
(1)曲線在x軸上方，并且關于直線x=μ對稱；
(2)曲線在x=μ時處于最高點，呈現“中間高，兩邊低”的鐘形形狀；
(3)當μ確定時，曲線的形狀依賴于σ的取值. σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ 越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.
調動思維，探究新知
活動 2
調動思維，探究新知
活動 2
參數μ=0， σ =1 的正態分布稱為標準正態分布，記作N(0,1). 當隨機變量ξ服從標準正態分布時，將ξ的取值小于x的概率記作Φ(x)，即Φ(x)=P(ξ 調動思維，探究新知
活動 2
可以證明Φ(x)有如下性質：
Φ(-x)=1-Φ(x).
當隨機變量ξ服從正態分布N(μ, σ )時，有以下計算公式.
鞏固知識，典例練習
活動 3
典例1 若ξ ~N(0,1)，查表計算：
(1) P(ξ <2.8) ；
(2) P(ξ ≥2)；
(3) P(ξ <-1).
解：(1) 查表可知，P(ξ <2.8)= Φ(2.8)=0.9974 ；
(2) P(ξ ≥2)=1-P(ξ <2)=1-Φ(2)=1-0.9972=0.0228 ；
(3) P(ξ <-1)=Φ(-1)=1-Φ(1)=1-0.8413=0.1587.
鞏固知識，典例練習
活動 3
典例2 若ξ ~N(0,2 )，查表計算：
(1) P(ξ <3) ；
(2) P(ξ ≥-2).
解：
溫馨提示
研究表明，服從正態分布 N(μ,σ )的隨機變量 ξ 在區間(μ-σ, μ+σ)， (μ-2σ, μ+2σ)， (μ-3σ, μ+3σ)內取值的概率分別是 0.6826，0.9544，0.9974，如圖所示.
可以看出，服從正態分布的隨機變量 ξ 幾乎總是取之于區間(μ-3σ, μ+3σ)之內，而在此區間以外取值的概率只有0.0026，也就是說 ξ 在此區間以外取值是小概率事件，這種情況在一次試驗中是幾乎不可能發生的，在實際應用中，通常認為服從正態分布 N(μ,σ )的隨機變量 ξ 只取區間 (μ-3σ, μ+3σ)內的值，這就是正態分布的 3σ 原則.
鞏固知識，典例練習
活動 3
典例3 在某次數學考試中，考生的成績ξ服從正態分布 N(120, 100).
(1)求考生成績ξ位于區間(110, 130).內的概率；
(2)若此次考試共有2000名考生，試估計成績在區間(100,140)內的考生人數.
解：根據題意， ξ ~N(120,100)，μ=120， σ =10.
(1) P(110< ξ <130) = P(μ-σ < ξ < μ+σ) = 0.6826，所以，考生成績位于區間(110, 130)內的概率是 0.6826；
(2) P(100< ξ <140) = P(μ-2σ < ξ < μ+2σ) = 0.9544，即考生成績在區間(100,140)內的概率為 0.954 4.
于是，成績在區間(100,140)內的考生大約有
2000×0.954 4 =1909(人).
鞏固練習，提升素養
活動 5
1.設ξ ~N(1,9)，求P ξ (ξ≥13)和P(ξ <4).
2.某校高三男生共1000人. 他們的身高X (cm)近似服從正態分布 N(176,16), 身高在區間(172,180)內的男生人數大約有多少？
3. 某批燈有10000 個，其壽命服從正態分布N(1000,100 )
(單位：小時)，試估計壽命在下列范圍內的燈的個數.
(1) (900，1100) ；
(2) (800，1200).
課堂小結
/作業布置/
9.2
(1) 讀書部分： 教材章節9.2；
(2) 書面作業： P148習題9.2的1，2，3.
問題是數學的心臟
感 謝 觀 看

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