資源簡介

(共27張PPT)
數 學
8.1 計數原理
第8章 數列
拓展模塊一（下冊）
高等教育出版社
第8章 數列 8.1 計數原理
學習目標
知識目標 掌握等差數列的前n項和公式及推導過程；會用等差數列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題.
能力目標 培養學生的邏輯推理能力；培養學生分析問題，解決問題的能力．
情感目標 培養學生的辯證唯物主義思想，提高學生的數學修養.
核心素養 通過學習，逐步提升數學運算、數據分析和邏輯推理等核心．
計數問題是數學中的重要研究對象之一，分類計數原理、分步計數原理也稱為基本計數原理，是解決計數問題的基本方法，它們為解決很多實際問題提供了思想和工具.
8.1.1分類計數原理
創設情境，生成問題
活動 1
某校擬從3名男生、6名女生中，推選1 名參加全國職業院校技能大賽某一賽項的市級選拔賽，問共有多少種不同的選法？
調動思維，探究新知
活動 2
推選工作可以分兩類進行.第1類是從男生中選，有3種選法；第2類是從女生中選，有6種選法. 并且，每一種選法都能夠完成推選工作.因此，不同的選法共有
3+6=9（種）.
調動思維，探究新知
活動 2
一般地，如果完成一件事有n類方式. 第1類方式有k1種方法， 第2類方式有k2種方法， ，第n類方式有kn種方法，那么完成這件事的方法共有
N= k1+k2+ +kn (種).
上面的計數原理稱為分類計數原理.分類計數原理又稱加法原理.
鞏固知識，典例練習
活動 3
典例1 張老師要從某市去上海出差,出發前查詢到,當天抵達的高 鐵有 46 班次,客運汽車有62班次,輪船有4班次．張老師當天要從某市到上海,共有多少種不同的選擇？
解：根據分類計數原理，不同的選擇共有 N=46+62+4=112(種).
分析：在高鐵、客運汽車、輪船三類公共交通工具中任選一類,都 可以完成這件事(當天從某市到上海),符合分類計數原理.
第1類：乘坐高鐵,從46個班次中任意選擇一個,有k1 =46種選擇；
第2類：乘坐汽車,從62個班次中任意選擇一個,有k2=62種選擇；
第3類：乘坐輪船,從4個班次中任意選擇一個，有k3=4種選擇.
鞏固練習，提升素養
活動 5
1. 書架上有9本數學書 、6本語文書、4本英語書. 從書架上任取一本，共有多少種不同的取法？
2. 某地區山川秀美，3A 級景區有7個，4A 級景區有5個. 某旅行團計劃從中任選一處景區游玩，有多少種不同的選法？
3.用一個大寫的英文字母或0~9中的一個數字給新植的樹苗進行編號，一共能編出多少個不同的號碼？
8.1.2分步計數原理
創設情境，生成問題
活動 1
某校擬從3名男生、6名女生中，各推選1名參加全國職業院校技能大賽某一賽項的市級選拔賽，問共有多少種不同的選法？
調動思維，探究新知
活動 2
要推選男生、女生各1名，可以分兩個步驟進行. 第一步選男生，第二步選女生.若選出“男生 1”后再選女生，可列出6 種不同的選法.類似地，我們可以列出第一步選“男生2 ”時所有可能的選法和第一步選“男生3” 時所有可能的選法．因此，不同的選法共有
6+6+6=3×6=18 (種).
調動思維，探究新知
活動 2
一般地，如果完成一件事有n個步驟. 完成第一個步驟有k1種方法，完成第2個步驟有k2種方法， ，完成第n個步驟有kn種方法，并且只有這n個步驟都完成后，這件事才能完成，那么完成這件事的方法共有
N= k1k2 kn (種).
上面的計數原理稱為分步計數原理.分類計數原理又稱乘法原理.
鞏固知識，典例練習
活動 3
典例2 書架的第一層有6本不同的數學書，第二層有7本不同的語文書，第三層有5本不同的英語書. 若從這些書中取1本數學書、1本語文書和1本英語書，共有多少種不同的取法？
解：根據分步計數原理，不同的取法共有 N=6×7×5 = 210 (種).
分析：解決這個問題可以分成3個步驟：第1步取1本數學書，第2步取1本語文書，第3步取1本英語書.符合分步計數原理.
第1步：從6本不同的數學書中取 1本，有k1=6種取法；
第2步：從7本不同的語文書中取1本，有k2=7種取法；
第3步：從5本不同的英語書中取1 本，有k3=5種取法．
鞏固練習，提升素養
活動 5
1.小明到黃山游覽，他計劃先從某市乘坐火車到合肥，第二天再從合肥乘坐汽車到黃山.一天中從該市到合肥適合乘坐的火車有10個班次，從合肥到黃山適合乘坐 的汽車有10個班次，那么小明從該市到黃山有多少種不同的乘車方案？
2.某班甲、乙、丙、丁4 名同學報名參加學校的兵乓球、羽毛球、網球三項不同的 比賽，每人只能報名參加一項比賽，且每項比賽只允許1人報名參加，問共有多少種不同的參賽方案？
8.1.3計數原理的應用
創設情境，生成問題
活動 1
一個口袋內裝有3個小球，另一個口袋內裝有4個小球，所有這些小球的顏色各不相同.
(1)從兩個口袋內任取1個小球，有多少種不同的取法？
(2)從兩個口袋內各取1個小球，有多少種不同的取法？
創設情境，生成問題
活動 1
(1)從兩個口袋內任取1個小球，有兩類方式：第一類是從第一個口袋內任取1個小球，有k1=3種取法；第二類是從第二個口袋內任取 1個小球，有k2=4種取法；
(2)從兩個口袋內各取1個小球，分為兩個步驟來完成：第一步是從第一個口袋內取1個小球，有k1=3種取法；第二步是從第二個口袋內取1個小球，有么k2=4種取法.
解： (1)根據分類計數原理，不同的取法共有 3+4=7 (種) ；
(2)根據分步計數原理，不同的取法共有 3×4= 12 (種).
鞏固知識，典例練習
活動 2
典例3 學校開展“我和我的祖國”書面展，要從8幅學生作品中選出4幅分別掛在1—4號四個不同的展位上，一共有多少種不同的掛法？
解：根據分步計數原理，不同的掛法共有8×7×6×5=1680 (種).
分析： 解決這個問題需要四個步驟：第一步，從8幅作品中選擇1幅作品掛在1號展位，有k1=8種不同的選擇；第二步，從剩下的7幅作 品中選擇一幅掛在 2號展位上，有k2=7種不同的選擇，以此類推，我們可以用下圖來表示.
8種 7種 6種 5種
1號展位 2號展位 3號展位 4號展位
鞏固知識，典例練習
活動 2
典例4 甲廠生產的汽車型號有3種，每種有4 個顏色；乙廠生產的汽車型號有4種，每種有5個顏色；丙廠生產的汽車型號有5種，每種有3個顏色. 劉某要從中選購一款，他共有多少種不同的選擇？
分析：解決這個問題要分別對甲、乙、丙三個汽車廠討論，并考慮每個汽車廠生產的汽車有多少種不同的款式．需要綜合運用分類計數原理和分步計數原理.
第1類：從甲廠生產的汽車中選擇，分兩步：第1步選擇汽車型號，有3種；第2步選擇汽車顏色，有4個．共k1=3×4=12種款式；
第2類：從乙廠生產的汽車中選擇，分兩步：第1步選擇汽車型號，有4種；第2步選擇汽車顏色，有5個．共有k2=4×5=20種款式；
鞏固知識，典例練習
活動 2
典例4 甲廠生產的汽車型號有3種，每種有4 個顏色；乙廠生產的汽車型號有4種，每種有5個顏色；丙廠生產的汽車型號有5種，每種有3個顏色. 劉某要從中選購一款，他共有多少種不同的選擇？
解：根據分類計數原理和分步計數原理，劉某的選擇共有
3×4+4×5+5×3=47 (種).
分析：
第3類：從丙廠生產的汽車中選擇，分兩步：第1步選擇汽車型號，有5種；第2步選擇汽車顏色，有3個．共有k3=5×3=15 種款式.
鞏固練習，提升素養
活動 3
1. 電路包含開關組 A 和開關組 B.
(1)如左圖所示，若只閉合 1只開關接通電路，使電燈發光，有多少種不同的方法(開關組A 與開關組B是并聯關系)？
(2)如右圖所示，若閉合A、B中各1只開關接通電路，使電燈發光，有多少種不同的方法(開關組 A 與開關組 B是串聯關系)？
鞏固練習，提升素養
活動 3
2.從甲、乙、丙、丁四名同學中隨機選擇兩名同學參加學校羽毛球、跳繩兩個活動，每人最多只能參加一項，一共有多少種選擇？
3. 有9個互不相同的小球，其中4 個紅球、3個綠球和2個黃球. 現從中取兩個顏 色相同的球，分別放入兩個不同的杯子，一共有多少種放法？
課堂小結
/作業布置/
8.1
(1) 讀書部分： 教材章節8.1；
(2) 書面作業： P94習題8.1的1，2，3.
問題是數學的心臟
感 謝 觀 看

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