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數(shù) 學
7.3.2等比數(shù)列前n項和公式
第7章 數(shù)列
拓展模塊一（下冊）
高等教育出版社
第7章 數(shù)列 7.3.2等比數(shù)列前n項和公式
學習目標
知識目標 掌握等差數(shù)列的前n項和公式及推導過程；會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題.
能力目標 培養(yǎng)學生的邏輯推理能力；培養(yǎng)學生分析問題，解決問題的能力．
情感目標 培養(yǎng)學生的辯證唯物主義思想，提高學生的數(shù)學修養(yǎng).
核心素養(yǎng) 通過學習，逐步提升數(shù)學建模、數(shù)學運算、數(shù)學抽象和邏輯推理等核心．
創(chuàng)設情境，生成問題
活動 1
創(chuàng)設情境，生成問題
活動 1
相傳古時候有一位聰明的大臣，他發(fā)明了國際象棋，并將其獻給了國王，國王從此迷上了下棋.作為對這位大臣的獎勛，國王許諾滿足大臣一個要求.大臣說:“就在這個棋盤上放上一些麥粒吧，第一格放1粒,第二格放2粒,第三格放4粒，然后依次是8粒,16粒, ,一直到第六十四格.”“就要這么一點兒麥粒？”國王哈哈大笑，慷慨地答應了.大臣:“就怕您的國庫里沒有這么多麥粒！”為什么大臣說國庫里沒有這么麥粒呢？
創(chuàng)設情境，生成問題
活動 1
可以看出，按照大臣的要求，在棋盤上六十四個格中所放的麥 粒數(shù)構成等比數(shù)列 1,2,4,8,16,32,64,…, .到底棋盤上需要放多少麥粒呢？要回答這一問題，就需要計算出等比數(shù)列
1,2,4,8,16,32,64,…, 各項的和.
創(chuàng)設情境，生成問題
活動 1
要計算一共用了多少盆鮮花,就是要計算等差列10,12,14, ,32各項的和.設想將等腰梯形倒過來,與原來的等腰梯形合并在一起,如圖所示,可以發(fā)現(xiàn)每一排的花盆數(shù)都是42，即
10+32=12+30=14+28=…=32+10.
因為一共有12排花盆,所以這個花壇的花盆總數(shù)為
調動思維，探究新知
活動 2
設{an}是一個公比為q的等比數(shù)列，記{an}的前n項和為
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an . (1)
根據(jù)等比數(shù)列的定義可知，等比數(shù)列的每一項與公比的乘積等于與它相鄰的后一項.我們將(1)式的兩邊同時乘公比q,得到
qSn=a1q+a2q+a3q+…+aqn-1+anq，
即 qSn=a2+a3+a4+…+an+an+1. (2)
比較(1) 、(2)兩式可以看出, (1)式的右邊從第2項至最后一項與(2)式右邊的第1項至倒數(shù)第2項分別相同．將(1)式的兩邊分別減去(2)式的兩邊就可消去相同的項，得到(1-q)Sn=a1-an+1
當q≠1時，).
調動思維，探究新知
活動 2
由等比數(shù)列的通項公式可得an+1=a1q n，將其代入上式即得等比數(shù)列前n項和公式
)
由等比數(shù)列的定義得an+1=anq，帶入前式得等比數(shù)列前n項和公式為)
當q=1時，等比數(shù)列是一個常數(shù)列，其前n項和為 Sn=na1.
調動思維，探究新知
活動 2
現(xiàn)在，我們回到本節(jié)“情境與問題”的等比數(shù)列{an}中,a1=1,q=2,n=64. 因此，棋盤上六十四個格中所放的麥粒總數(shù)為
根據(jù)實際測算可知，1kg麥粒約有52000粒.因此，這些麥粒的總質量約為354745078340t，這大約相當于全世界一千年生產的小麥質量的幾百倍.
探究與發(fā)現(xiàn)
當一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列時，這個數(shù)列具有什么特征？
鞏固知識，典例練習
活動 3
典例1 在等比差數(shù)列{an}中，a1=2，q=3，求該數(shù)列前5項的和．
解：由等比數(shù)列的前n項和公式
得
所以該數(shù)列的前5項和為242.
鞏固知識，典例練習
活動 3
典例2 在等比數(shù)列{an}中，a1=2， q=3，an=162，求該數(shù)列前n項的和．
解：由等比數(shù)列前n項和公式，
得．
所以該數(shù)列前n項和為242.
鞏固知識，典例練習
活動 3
典例3 已知等比數(shù)列1，2，4，8，…，求該數(shù)列第5項至第10項的和．
解：根據(jù)已知條件a1=1，
于是，該數(shù)列項第5項至第10項的和為1008.
分析：第5項至第10項的和為a5+a6+a7+a8+a9+a10，可表示為該數(shù)列前10項的和減去其前4項的和．
鞏固練習，提升素養(yǎng)
活動 5
1.在等比數(shù)列{an}中， ,q=2,求該數(shù)列前5項的和.
2.在等比數(shù)列{an}中， ，求該數(shù)列前n項的和.
3.求等比數(shù)列前6項的和．
課堂小結
/作業(yè)布置/
7.3.2
(1) 讀書部分： 教材章節(jié)7.3.2；
(2) 書面作業(yè)： P64習題7.3的4,5,6.
問題是數(shù)學的心臟
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