資源簡介

小升初六年級下冊數學知識點梳理
知識分類
一、數論基礎: 質數、合數、約數、倍數、整除性質、公約數、公倍數、互質數
二、計算方法: 和差問題、和倍問題、差倍問題、倍比問題、方程求解、分數小數百分數混合運算、小數和分數轉換問題
三、應用題類型: 年齡問題、雞兔同籠、相遇問題、追及問題、列車問題、行船問題、盈虧問題、工程問題、正反比例問題、按比例分配問題、百分比問題、商品利潤問題、存款利率問題、溶液濃度問題、牛吃草問題、植樹問題、方陣問題、時鐘問題、幻方問題、概率和頻率
四、其他: 排列組合、等差數列、圖形相關問題
一、數論基礎
1. 質數、合數、約數、倍數
定義: 質數 (素數) 只有 1 和它本身兩個約數；合數除了 1 和它本身還有其他約數。約數是能夠整除一個數的數；倍數是一個數的整數倍。
點撥: 掌握質數和合數的判定方法，了解約數和倍數的互逆關系。
易錯點: 混淆質數和奇數的概念，忽略 1 既不是質數也不是合數。
及時練：
列出 100 以內的所有質數。
判斷下列數是質數還是合數: 15, 23, 36, 47
寫出 24 的所有約數和前 5 個倍數。
2. 整除性質
內容: 能被 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11 等數整除的數的特征。
點撥: 熟記各種整除法則，并能夠靈活運用。
易錯點: 混淆不同整除法則的適用條件。
及時練：
判斷下列數能被哪些數整除: 128, 315, 522, 704
填空: 能被 9 整除的最小三位數是____；能被 11 整除的最大兩位數是____.
3. 公約數、公倍數、互質數
定義: 兩個或多個數的公約數是指能夠同時整除這些數的數；公倍數是指這些數的共同倍數。互質數是指公約數只有 1 的兩個數。
點撥: 掌握求最大公約數和最小公倍數的方法 (短除法、輾轉相除法)。
易錯點: 混淆最大公約數和最小公倍數的概念，計算錯誤。
及時練：
求 12 和 18 的最大公約數和最小公倍數。
判斷下列數是否互質: 15 和 22, 21 和 28, 35 和 48
二、計算方法
1. 和差問題、和倍問題、差倍問題、倍比問題
內容: 已知兩個數的和/差以及倍數關系，求這兩個數。
點撥: 理解題意，正確列出方程或比例式，并進行計算。
易錯點: 混淆不同類型問題的數量關系，計算錯誤。
及時練：
甲乙兩數的和是 25，甲數是乙數的 2 倍，求甲乙兩數。
甲乙兩數的差是 10，甲數是乙數的 3 倍，求甲乙兩數。
一塊布，用去 米后，剩下的比用去的 3 倍還多 米，這塊布原來長多少米？
2. 方程求解
內容: 利用方程解決各種應用題。
點撥: 認真審題，正確設未知數，列出方程并求解。
易錯點: 設未知數錯誤，列方程錯誤，計算錯誤。
及時練：
學校買了若干個籃球和足球，籃球比足球多 5 個，籃球的個數是足球的 2 倍，學校買了多少個籃球？
3. 分數小數百分數混合運算
內容: 分數、小數、百分數之間的互化和四則混合運算。
點撥: 掌握分數小數百分數之間的轉換方法，注意運算順序和符號變化。
易錯點: 轉換錯誤，運算順序錯誤，符號錯誤。
及時練：
計算: + 0.25 - 20%
化簡: ÷ ( + )
4. 小數和分數轉換問題
內容: 循環小數和分數之間的互化。
點撥: 理解循環小數的意義，掌握轉換方法。
易錯點: 混淆純循環小數和混循環小數的轉換方法。
及時練：
將 0.3(6) 化為分數。
三、應用題類型
1. 年齡問題
內容: 涉及人物年齡變化的問題，通常涉及年齡差和倍數關系。
點撥: 抓住年齡差不變，年齡倍數關系變化的特點，列方程或畫圖解決。
易錯點: 混淆年齡差和年齡本身，計算錯誤。
及時練：
父親今年 40 歲，兒子 10 歲，多少年后父親的年齡是兒子的 3 倍
2. 雞兔同籠
內容: 已知雞兔的總頭數和總腿數，求雞兔的數量。
點撥: 可以使用假設法、方程法或畫圖法解決。
易錯點: 計算錯誤，答案不符合實際情況 (例如出現小數只雞)。
及時練：
雞兔同籠，共有頭 35 個，腳 94 只，雞兔各有多少只
3. 相遇問題
內容: 研究兩個或多個物體相向運動相遇的時間、地點或路程等問題。
點撥: 理解相遇的含義，掌握相遇問題的基本數量關系：路程 = 速度 × 時間。
易錯點: 混淆相遇時間和各自運動時間，計算錯誤。
及時練：
甲乙兩人同時從 AB 兩地相向而行，4 小時相遇，甲每小時行 5 千米，乙每小時行 4 千米，AB 兩地相距多少千米
4. 追及問題
內容: 研究一個物體追趕另一個物體的問題，涉及追及時間、路程等。
點撥: 理解追及的含義，掌握追及問題的基本數量關系：追及時間 = 追及路程 ÷ 速度差。
易錯點: 混淆追及時間和各自運動時間，計算錯誤。
及時練：
甲乙兩人從同一地點出發，同向而行，甲的速度是 5 米/秒，乙的速度是 3 米/秒，5 秒后兩人相距多少米
5. 列車問題
內容: 涉及火車過橋、隧道，火車追及或相遇等問題。
點撥: 理解火車長度的概念，掌握列車過橋、追及、相遇等問題的數量關系。
易錯點: 忽略火車長度，計算錯誤。
及時練：
一列火車長 150 米，以每秒 20 米的速度通過一座 350 米長的橋，火車全部通過橋需要多少秒
6. 行船問題
內容: 涉及船在靜水和水流中的速度關系，以及順水逆水航行等問題。
點撥: 理解船速、水速、順水速度、逆水速度之間的關系，掌握行船問題的數量關系。
易錯點: 混淆船速和水速，計算錯誤。
及時練：
一艘輪船，順水每小時行 15 千米，逆水每小時行 10 千米，求水速和船速各是多少
7. 盈虧問題
內容: 涉及按一定規則分配物品，出現盈虧情況的問題。
點撥: 理解盈虧的含義，掌握盈虧問題的數量關系。
易錯點: 混淆盈虧情況，計算錯誤。
及時練：
100 個蘋果，平均分給若干人，每人分 5 個余 5 個，每人分 7 個則不足 7 個，問有多少人
8. 工程問題
內容: 研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。
點撥: 理解工作效率的含義，掌握工程問題的數量關系: 工作量 = 工作效率 × 工作時間。
易錯點: 混淆工作效率和工作時間，計算錯誤。
及時練：
甲乙兩人共同做一項工作，甲獨做 10 小時完成，乙獨做 15 小時完成，兩人合做幾小時完成
9. 正反比例問題
內容: 研究兩種相關聯的量之間的正比例或反比例關系。
點撥: 理解正比例和反比例的定義，掌握正反比例問題的數量關系。
易錯點: 混淆正比例和反比例關系，計算錯誤。
及時練：
5 個工人 8 小時可以生產 240 個零件，照這樣計算，3 個工人 10 小時可以生產多少個零件
10. 按比例分配問題
內容: 將一個總量按一定的比例分配給幾個部分。
點撥: 理解比例的意義，掌握按比例分配問題的計算方法。
易錯點: 計算錯誤，分配結果不符合比例要求。
及時練：
將 60 元按 2:3 的比例分成兩份，每份是多少元
11. 百分比問題
內容: 涉及百分數的計算和應用問題。
點撥: 理解百分數的意義，掌握百分數的計算方法和應用。
易錯點: 混淆百分數和分數、小數的轉換，計算錯誤。
及時練：
一件商品打八折出售，售價為 80 元，這件商品的原價是多少元
12. 商品利潤問題
內容: 涉及商品的成本、售價、利潤、利潤率等問題。
點撥: 理解利潤、利潤率的含義，掌握利潤問題的數量關系。
易錯點: 混淆利潤和利潤率，計算錯誤。
及時練：
一件商品的進價為 100 元，售價為 120 元，這件商品的利潤率是多少
13. 存款利率問題
內容: 涉及存款的本金、利率、時間、利息等問題。
點撥: 理解利率的含義，掌握存款利息的計算方法。
易錯點: 混淆利率和利息，計算錯誤。
及時練：
將 10000 元存入銀行，年利率為 2.25%，兩年后可得利息多少元
14. 溶液濃度問題
內容: 涉及溶液、溶質、溶劑、濃度等問題。
點撥: 理解濃度的含義，掌握溶液濃度的計算方法。
易錯點: 混淆溶液、溶質、溶劑的概念，計算錯誤。
及時練：
將 10 克鹽溶解在 90 克水中，所得鹽水的濃度是多少
15. 牛吃草問題
內容: 涉及草的生長速度和牲畜的食用速度，研究草地剩余情況等問題。
點撥: 理解牛吃草問題的特點，建立數學模型進行分析和計算。
易錯點: 忽略草的生長或減少因素，計算錯誤。
及時練：
一塊草地上的草每天均勻生長，一頭牛 10 天可以吃完這塊草地上的草，這頭牛吃草的同時草繼續生長，問這頭牛多少天可以吃完草地上的草
16. 植樹問題
內容: 涉及按一定距離或規律種植樹木的問題，包括線形、環形、方形等多種形式。
點撥: 理解植樹問題的特點，掌握不同形式植樹問題的數量關系。
易錯點: 混淆棵樹和間隔數，計算錯誤。
及時練：
在一條公路的一側植樹，每隔 5 米種一棵，一共種了 41 棵，這段公路長多少米
17. 方陣問題
內容: 研究將一定數量的人或物排成正方形方陣的問題，涉及方陣總人數、每邊人數、層數等。
點撥: 理解方陣的特點，掌握實心方陣和空心方陣的數量關系。
易錯點: 混淆實心方陣和空心方陣的計算方法，計算錯誤。
及時練：
40 人排成一個空心方陣，每邊人數相同，且都比每層人數多 2 人，這個方陣有多少層
18. 時鐘問題
內容: 研究鐘面上時針和分針的運動規律和位置關系，例如兩針重合、垂直、成直線等。
點撥: 理解時針和分針的轉速關系，掌握時鐘問題的數量關系。
易錯點: 混淆時針和分針的轉速，計算錯誤。
及時練：
3 點到 4 點之間，時針和分針成直角是幾時幾分
19. 幻方問題
內容: 研究幻方的排列規律和性質，例如幻和、對稱性等。
點撥: 理解幻方的定義和特點，掌握幻方的構造方法和計算方法。
易錯點: 混淆幻和和幻方數字的排列規律，計算錯誤。
及時練：
構造一個三階幻方，使每行、每列、每條對角線上的三個數之和都等于 15。
20. 概率和頻率
內容: 研究隨機事件發生的可能性大小，涉及概率和頻率的概念和計算。
點撥: 理解概率和頻率的定義和區別，掌握概率的計算方法和應用。
易錯點: 混淆概率和頻率，計算錯誤。
及時練：
一枚硬幣拋擲 100 次，出現正面 52 次，出現反面的頻率是多少
四、其他
1. 排列組合
內容: 研究從 n 個不同元素中取出 m 個元素進行排列或組合的方法數。
點撥: 理解排列和組合的定義和區別，掌握排列數和組合數的計算方法。
易錯點: 混淆排列和組合，計算錯誤。
及時練：
從 5 名學生中選出 3 名參加比賽，有多少種不同的選法
2. 等差數列
內容: 研究數列中每一項與前一項的差都相等的數列，涉及等差數列的通項公式、求和公式等。
點撥: 理解等差數列的定義和特點，掌握等差數列的通項公式和求和公式。
易錯點: 混淆等差數列和其它數列，計算錯誤。
及時練：
求等差數列 2, 5, 8, 11, ... 的第 20 項和前 20 項的和。
3. 圖形相關問題
內容: 涉及各種平面圖形和立體圖形的面積、周長、體積等計算，以及圖形的變換、組合等。
點撥: 掌握各種圖形的計算公式和性質，培養空間想象能力。
易錯點: 混淆不同圖形的計算公式，計算錯誤。
及時練：
計算一個底面半徑為 3 厘米，高為 5 厘米的圓錐的體積。
配套練習：
一、計算題
1.計算：
（1）12.5 × 0.8 ÷ 0.25
（2） + 5/6 -
（3）(1 - ) × (1 -)
（4）1.2 ÷ 0.4 + 0.8 × 2.5
（5）15 ÷ (3/4 - 1/6)
2.解方程：
（1）3x - 5 = 16
（2）2(x + 4) = 20
（3）+ 1/2 =
3.化簡比：
（1）18:24
（2）0.75:1.5
（3）:
4.求下列各數的最大公約數和最小公倍數：
（1）24 和 36
（2）15 和 25
5.將下列分數化為小數，并將循環小數化為分數：
（1）
（2）
（3）0.3(6)
二、應用題
（一）項目：校園綠化設計
情境: 學校計劃對操場周圍進行綠化，操場是一個長 80 米，寬 60 米的長方形。計劃種植樹木和花草，并鋪設草坪。你被選為綠化設計小組成員，負責制定綠化方案。
任務一：計算與規劃
1.學校計劃在操場四周每隔 5 米種一棵樹，兩端都要種樹，一共需要種多少棵樹
2.草坪面積占操場總面積的 70%，草坪的面積是多少平方米
3.假設每棵樹苗價格為 20 元，每平方米草坪價格為 15 元，學校預算 5000 元，是否足夠購買所有樹苗和草坪？
4.學校計劃在草坪上修建一個圓形花壇，花壇直徑為 10 米，花壇的面積是多少平方米？
5.花壇周圍需要鋪設一圈石子路，石子路的寬度為 0.5 米，這條石子路的面積是多少平方米？
任務二：方案設計
1.繪制操場平面圖，標出樹木、草坪和花壇的位置。
2.計算花壇的周長和石子路的周長。
（二）項目：設計理想中的臥室
情境: 你的臥室是一個長 4 米，寬 3 米的長方形房間，層高 2.5 米。你將設計自己理想中的臥室，包括家具的擺放、房間的裝飾等。
任務一：空間規劃)
1.你希望在臥室中擺放一張床、一個書桌和一個衣柜。床的尺寸是長 2 米，寬 1.5 米；書2.桌的尺寸是長 1.2 米，寬 0.6 米；衣柜的尺寸是長 1 米，寬 0.6 米。請在房間平面圖上繪制出這些家具的擺放位置，并確保留出足夠的活動空間。
（1）計算臥室的面積和周長。
（2）計算臥室的體積。
3.假設你想購買一塊地毯，地毯的面積需要覆蓋臥室面積的 80%，這塊地毯的面積是多少平方米？
任務二：裝飾設計
1.你計劃用壁紙裝飾臥室的一面墻，這面墻的面積是多少平方米？
2.壁紙的價格是每平方米 25 元，你需要購買多少平方米的壁紙才能裝飾這面墻？總共需要花費多少錢？
（三）項目：設計社區健身路徑
情境: 社區公園是一個圓形，直徑為 200 米。社區計劃建設一條環繞公園一周的健身路徑，并配備健身器材。
任務一：路徑規劃與器材選擇
1.計算這條環形健身路徑的長度。
2.選擇 3 種適合社區健身路徑的器材，并分別計算每種器材占地面的面積。
3.假設社區計劃購買 2 個漫步機、3 個橢圓機和 1 個力量訓練器械，計算這些器材占地面的總面積。
4.公園內有一個圓形花壇，花壇的半徑為 5 米，計算花壇的面積和周長。
任務二：器材布置與成本預算
1.在公園平面圖上標出健身路徑、三種器材和花壇的布置位置。
2.假設每種器材的價格分別為 500 元、800 元和 1200 元，社區預算 5000 元，是否足夠購買這些器材？
及時練參考答案：
一、數論基礎
1. 質數、合數、約數、倍數
列出 100 以內的所有質數:
解析: 質數是指只能被 1 和自身整除的自然數。我們可以使用篩選法，逐步排除合數，最終留下質數。
答案: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
判斷下列數是質數還是合數: 15, 23, 36, 47
解析: 根據質數和合數的定義，逐個判斷每個數是否只能被 1 和自身整除。
答案: 15(合數), 23(質數), 36(合數), 47(質數)
寫出 24 的所有約數和前 5 個倍數:
解析: 約數是能夠整除 24 的所有自然數；倍數是 24 的整數倍。
答案: 約數: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; 倍數: 24, 48, 72, 96, 120
2. 整除性質
判斷下列數能被哪些數整除: 128, 315, 522, 704
解析: 應用各種整除法則判斷每個數能被哪些數整除。例如，128 的個位數是 8，所以能被 2 整除；各位數字之和為 1+2+8=11，不能被 3 或 9 整除；末兩位數字 28 能被 4 整除，所以 128 能被 4 整除；依此類推。
答案: 128(2, 4, 8), 315(3, 5, 9), 522(2, 3, 6, 9, 18), 704(2, 4, 8)
填空: 能被 9 整除的最小三位數是____；能被 11 整除的最大兩位數是____.
解析: 應用 9 和 11 的整除法則，找到滿足條件的最小三位數和最大兩位數。
答案: 能被 9 整除的最小三位數是 108; 能被 11 整除的最大兩位數是 99.
3. 公約數、公倍數、互質數
求 12 和 18 的最大公約數和最小公倍數:
解析: 可以使用短除法或輾轉相除法求最大公約數，然后用公式：最小公倍數 = 兩數乘積 / 最大公約數 來求最小公倍數。
答案: 最大公約數: 6; 最小公倍數: 36
判斷下列數是否互質: 15 和 22, 21 和 28, 35 和 48
解析: 判斷兩數是否只有公約數 1。
答案: 15 和 22(互質), 21 和 28(不互質), 35 和 48(互質)
二、計算方法
1. 和差問題、和倍問題、差倍問題、倍比問題
甲乙兩數的和是 25，甲數是乙數的 2 倍，求甲乙兩數:
解析: 設乙數為 x，則甲數為 2x。根據題意，列方程: x + 2x = 25，解得 x = 8.33，則甲數為 16.67。
答案: 甲數 16.67, 乙數 8.33
甲乙兩數的差是 10，甲數是乙數的 3 倍，求甲乙兩數:
解析: 設乙數為 x，則甲數為 3x。根據題意，列方程: 3x - x = 10，解得 x = 5，則甲數為 15。
答案: 甲數 15, 乙數 5
一塊布，用去 米后，剩下的比用去的 3 倍還多 米，這塊布原來長多少米 :
解析: 設這塊布原來長 x 米，根據題意，列方程: x - = 3 * () + ，解得 x = 1.
答案: 1 米
2. 方程求解
學校買了若干個籃球和足球，籃球比足球多 5 個，籃球的個數是足球的 2 倍，學校買了多少個籃球 :
解析: 設足球個數為 x，則籃球個數為 2x。根據題意，列方程: 2x - x = 5，解得 x = 5，則籃球個數為 10。
答案: 15 個
3. 分數小數百分數混合運算
計算: 1/4 + 0.25 - 20%
解析: 將所有數都化為小數，然后進行計算。= 0.25, 20% = 0.2, 0.25 + 0.25 - 0.2 = 0.5
答案: 0.5
化簡: ÷ (+)
解析: 先計算括號內的加法，然后進行除法運算。 + = , ÷ =
答案:
4. 小數和分數轉換問題
將 0.3(6) 化為分數:
解析: 這是一個混循環小數，先將其化為分數形式，再化簡。
答案:
答案: 0.58(3)
三、應用題類型
1. 年齡問題
父親今年 40 歲，兒子 10 歲，多少年后父親的年齡是兒子的 3 倍 :
解析: 設 x 年后父親的年齡是兒子的 3 倍，則列方程: 40+x = 3(10+x)，解得 x=10。
答案: 10 年后
2. 雞兔同籠
雞兔同籠，共有頭 35 個，腳 94 只，雞兔各有多少只 :
解析: 可以使用假設法。假設全部是雞，則腳數應為 35 × 2 = 70 只，比實際少了 94 - 70 = 24 只。每將一只雞換成一只兔，腳數增加 2 只，所以需要換 24 ÷ 2 = 12 只兔，則雞有 35 - 12 = 23 只。
答案: 雞 23 只，兔 12 只
3. 相遇問題
甲乙兩人同時從 AB 兩地相向而行，4 小時相遇，甲每小時行 5 千米，乙每小時行 4 千米，AB 兩地相距多少千米 :
解析: 甲乙兩人每小時共行 5 + 4 = 9 千米，4 小時共行 9 × 4 = 36 千米，所以 AB 兩地相距 36 千米。
答案: 36 千米
4. 追及問題
甲乙兩人從同一地點出發，同向而行，甲的速度是 5 米/秒，乙的速度是 3 米/秒，5 秒后兩人相距多少米 :
解析: 甲乙兩人的速度差為 5 - 3 = 2 米/秒，5 秒后兩人相距 2 × 5 = 10 米。
答案: 10 米
5. 列車問題
一列火車長 150 米，以每秒 20 米的速度通過一座 350 米長的橋，火車全部通過橋需要多少秒 :
解析: 火車全部通過橋，相當于行駛了 150 + 350 = 500 米，所以需要 500 ÷ 20 = 25 秒。
答案: 25 秒
6. 行船問題
一艘輪船，順水每小時行 15 千米，逆水每小時行 10 千米，求水速和船速各是多少 :
解析: 船速 = (順水速度 + 逆水速度) ÷ 2 = (15 + 10) ÷ 2 = 12.5 千米/小時；水速 = (順水速度 - 逆水速度) ÷ 2 = (15 - 10) ÷ 2 = 2.5 千米/小時。
答案: 水速 2.5 千米/小時，船速 12.5 千米/小時
7. 盈虧問題
100 個蘋果，平均分給若干人，每人分 5 個余 5 個，每人分 7 個則不足 7 個，問有多少人 :
解析: 設人數為 x，根據題意，列方程組: 5x + 5 = 100, 7x - 7 < 100。解得 19 > x > 12, 且 x 為整數，所以 x = 12.
答案: 12 人
8. 工程問題
甲乙兩人共同做一項工作，甲獨做 10 小時完成，乙獨做 15 小時完成，兩人合做幾小時完成 :
解析: 甲每小時做，乙每小時做，兩人合做每小時做 + =，所以兩人合做 6 小時完成。
答案: 6 小時
9. 正反比例問題
5 個工人 8 小時可以生產 240 個零件，照這樣計算，3 個工人 10 小時可以生產多少個零件 :
解析: 工人數量和生產時間成反比，工人數量和生產數量成正比。設 3 個工人 10 小時可以生產 x 個零件，列比例式: = , = 。解得 x = 180.
答案: 180 個
10. 按比例分配問題
將 60 元按 2:3 的比例分成兩份，每份是多少元 :
解析: 兩份的比例之和為 2+3 = 5，則第一份為 60 × = 24 元，第二份為 60 ×= 36 元。
答案: 24 元和 36 元
11. 百分比問題
一件商品打八折出售，售價為 80 元，這件商品的原價是多少元 :
解析: 八折即 80%，設原價為 x，列方程: 80%x = 80，解得 x = 100.
答案: 100 元
12. 商品利潤問題
一件商品的進價為 100 元，售價為 120 元，這件商品的利潤率是多少 :
解析: 利潤率 = (售價 - 進價) ÷ 進價 × 100% = (120 - 100) ÷ 100 × 100% = 20%
答案: 20%
13. 存款利率問題
將 10000 元存入銀行，年利率為 2.25%，兩年后可得利息多少元 :
解析: 利息 = 本金 × 年利率 × 時間 = 10000 × 2.25% × 2 = 450 元
答案: 450 元
14. 溶液濃度問題
將 10 克鹽溶解在 90 克水中，所得鹽水的濃度是多少 :
解析: 濃度 = 溶質質量 ÷ 溶液質量 × 100% = 10 ÷ (10 + 90) × 100% = 10%
答案: 10%
15. 牛吃草問題
一塊草地上的草每天均勻生長 ，一頭牛 10 天可以吃完這塊草地上的草，這頭牛吃草的同時草繼續生長，問這頭牛多少天可以吃完草地上的草 :
解析: 由于草每天的生長量與牛每天的食用量相同，因此草的總量保持不變，牛永遠無法吃完草地上的草。
答案: 永遠吃不完
16. 植樹問題
在一條公路的一側植樹，每隔 5 米種一棵，一共種了 41 棵，這段公路長多少米 :
解析: 由于兩端都要植樹，所以間隔數比樹的棵數少 1，即間隔數為 41 - 1 = 40 個。因此，這段公路長 5 × 40 = 200 米。
答案: 200 米
17. 方陣問題
40 人排成一個空心方陣，每邊人數相同，且都比每層人數多 2 人，這個方陣有多少層 :
解析: 設每邊人數為 x，則每層人數為 x - 2。根據空心方陣的計算公式，總人數 = (外邊人數)2 - (內邊人數) 2 = x2 - (x-2)2 = 40。解得 x = 10，則每層人數為 8，所以層數為 40 ÷ 8 = 5 層。由于最外層不算作層數，因此答案為 5 - 1 = 4 層。
答案: 4 層
18. 時鐘問題
3 點到 4 點之間，時針和分針成直角是幾時幾分 :
解析: 時針每分鐘走 0.5°，分針每分鐘走 6°，兩者速度差為 5.5°。從 3 點到成直角，分針需要追趕時針 15 分鐘的路程，即 15 × 6 = 90°。所需時間為 90 ÷ 5.5 = 16 又 分鐘。
答案: 3 點 16 又 分
19. 幻方問題
構造一個三階幻方，使每行、每列、每條對角線上的三個數之和都等于 15:
解析: 三階幻方的幻和為中間數字的 3 倍，因此中間數字為 15 ÷ 3 = 5。根據幻方的排列規律，可以將 1 放在右上角，然后依次斜著向下填寫數字，超出范圍時折回。
答案: 多種答案，例如:
8 1 6
3 5 7
4 9 2
20. 概率和頻率
一枚硬幣拋擲 100 次，出現正面 52 次，出現反面的頻率是多少 :
解析: 頻率 = 出現次數 ÷ 總次數 = (100 - 52) ÷ 100 = 0.48
答案: 0.48
四、其他
1. 排列組合
從 5 名學生中選出 3 名參加比賽，有多少種不同的選法 :
解析: 由于選出的 3 名學生沒有順序之分，所以是組合問題。使用組合公式 C(5,3) = 5! / (3! * 2!) = 10.
答案: 10 種
2. 等差數列
求等差數列 2, 5, 8, 11, ... 的第 20 項和前 20 項的和。
解析: 該數列的公差為 3，第一項為 2。使用等差數列的通項公式，第 20 項為 2 + (20-1) × 3 = 59。使用等差數列求和公式，前 20 項的和為 (2 + 59) × 20 ÷ 2 = 610.
答案: 第 20 項: 59; 前 20 項的和: 610
3. 圖形相關問題
計算一個底面半徑為 3 厘米，高為 5 厘米的圓錐的體積。
解析: 圓錐的體積公式為 V = × π × r2 × h，代入數據計算: V = × π × 32 × 5 = 15π 立方厘米。
答案: 15π 立方厘米
配套練習：
項目：校園綠化設計
任務一：計算與規劃
計算植樹數量:
操場周長為 2 × (80 + 60) = 280 米
種樹間隔為 5 米，需要種 (280 ÷ 5) + 1 = 57 棵樹 (兩端都要種樹)
計算草坪面積:
操場總面積為 80 × 60 = 4800 平方米
草坪面積為 4800 × 70% = 3360 平方米
預算是否足夠:
樹苗總價為 57 × 20 = 1140 元
草坪總價為 3360 × 15 = 50400 元
總價為 1140 + 50400 = 51540 元
預算不足，需要增加預算或調整方案。
計算花壇面積:
花壇面積 = π × 半徑 = π × 5 ≈ 78.54 平方米
計算石子路面積:
石子路的外圓半徑為 5 + 0.5 = 5.5 米
石子路面積 = 外圓面積 - 內圓面積
石子路面積 ≈ π × 5.5 - π × 5 ≈ 15.71 平方米
任務二：方案設計
繪制平面圖:
學生根據自己的想法繪制平面圖，標注出樹木、草坪和花壇的位置。
計算周長:
花壇周長 = π × 直徑 = π × 10 ≈ 31.42 米
石子路周長 = π × 外圓直徑 = π × 11 ≈ 34.56 米
項目：設計理想中的臥室
任務一：空間規劃
繪制平面圖:
學生根據房間尺寸和家具尺寸，在平面圖上合理擺放家具，并確保留出足夠的活動空間。
計算臥室面積:
臥室面積 = 長 × 寬 = 4 × 3 = 12 平方米
計算臥室周長:
臥室周長 = 2 × (長 + 寬) = 2 × (4 + 3) = 14 米
計算臥室體積:
臥室體積 = 長 × 寬 × 高 = 4 × 3 × 2.5 = 30 立方米
計算地毯面積:
地毯面積 = 臥室面積 × 80% = 12 × 0.8 = 9.6 平方米
任務二：裝飾設計
計算墻面面積:
學生需要選擇一面墻進行計算，例如選擇長為 4 米的墻面，則墻面面積 = 長 × 高 = 4 × 2.5 = 10 平方米
計算壁紙用量和花費:
壁紙用量 = 墻面面積 = 10 平方米
總花費 = 壁紙用量 × 價格 = 10 × 25 = 250 元
項目：設計社區健身路徑
任務一：路徑規劃與器材選擇
計算路徑長度:
路徑長度等于圓的周長，公式為 πd，其中 d 為直徑。
路徑長度 = π × 200 ≈ 628.32 米
計算器材占地面積:
學生需要假設并計算每種器材占地面的面積，例如:
漫步機：2 平方米
橢圓機：1.5 平方米
力量訓練器械：3 平方米
計算器材總占地面積:
漫步機占地面積 = 2 × 2 = 4 平方米
橢圓機占地面積 = 3 × 1.5 = 4.5 平方米
器材總占地面積 = 4 + 4.5 + 3 = 11.5 平方米
計算花壇面積和周長:
花壇面積 = π × 半徑 = π × 5 ≈ 78.54 平方米
花壇周長 = 2 × π × 半徑 = 2 × π × 5 ≈ 31.42 米
任務二：器材布置與成本預算
繪制平面圖:
學生在公園平面圖上標出健身路徑、三種器材和花壇的布置位置，確保合理分布和安全間距。
計算總成本:
器材總價 = 2 × 500 + 3 × 800 + 1 × 1200 = 4600 元
預算足夠購買這些器材。

展開更多......

收起↑