資源簡介

目錄
第一講 周期問題 2
第二講 組合圖形的面積 10
第三講 二元一次方程組 17
第四講 列方程解復雜應用題 25
第五講 《鴿巢問題》 32
第六講 數的整除 39
第七講 分解質因數 44
第八講 平面圖形（二） 51
第九講 長方體和正方體的表面積 58
第十講 長方體和正方體的體積 64
第十一講 物體浸水問題 71
第十二講 最大公因數 77
第十三講 最小公倍數 83
第十四講 帶余除法 91
第十六講 分數提升題 96
第十七講 分數比較大小 105
第十八講 平面圖形（三） 110
第十九講 分數巧算 115
第二十講 圖像問題 123
第二十一講 行程問題 127
第二十二講 時鐘問題 135
第二十三講 幻方與數陣 139
備注：第十五講、第二十四講為期中、期末復習
第一講 周期問題
例 1:2008年5月12日四川發生“汶川大地震”時剛好是星期一，胡錦濤通知主持 的2009年5月12日“汶川大地震一周年”紀念日是星期幾呢？
能力沖浪1
1、如果2018 年7月1日是星期二，那2019年的6 月1日是星期幾？
2、某年的2月份有5個星期日，這年的10月1日是星期幾？
3、時針現在表示的時間是14時整，分針旋轉1991周后，時針表示的時間是幾時？
例2:福娃貝貝和晶晶用計算器探討尾數的規律：假設
那么 N 的末兩位數字是多少？
能力沖浪2
1、福娃們用計算器探討尾數的規律：如果，那么A的末兩位數字是多少？
2、7×7×7×…×7所得積末位數是（ ）。
50個
3、連續寫100個12,得到一個自然數 121212…12,這個數除以7的余數是幾 200位
例3：聰聰、笑笑兩人給一根長3米的木棍涂色。首先，聰聰從木棍端點開始涂黑5厘米，間隔5厘米不涂色，接著再涂黑5厘米，這樣交替做到底。然后，笑笑從木棍同一端點開始留出6厘米不涂色，接著涂黑6厘米，再間隔6厘米不涂色，交替做到底。最后，木棍上沒有被涂黑部分的長度總和為多少厘米？
能力沖浪3
1、向玖和向東兩人給一根長48分米的木棍涂色，向玖從木棍端點開始按涂3厘米，不涂3厘米的順序交替去做，向東從木棍的同一端點按先不涂4厘米，再涂黑4厘米的順序交替去做。最后，兩人完工后，木棍上沒有被涂黑部分的長度總和為多少厘米？
2、大雪后的一天，東東和他爸爸共同步測一個圓形花壇的周長。他們從同一起點出發，向同一方向行走，東東平均每步長54厘米，爸爸平均每步長72厘米。由于兩人的腳印有重合，并且他們各自走完一圈后都回到了起點，這時雪地上共留下60個腳印。這個花壇的周長是多少米？
3、加里敦實驗學校五 (2) 班有43位同學，他們身上帶的錢從8角到5元不等且 每人錢數均不相等，每位同學用身上的全部錢各自買了畫片。畫片只有兩種，3角一張和5角一張的，每人都盡量多買5角一張的畫片，那么他們所買的3角畫片的總數是多少張？ (每人所帶的錢都是整角數)
例4：聰聰把自然數按規律排列成如圖所示的表格，你知道第一行的第1993 個數是多少嗎？
能力沖浪4
1、把自然數按下面規律排列，2007 排在哪一列？
2、已知一串分數，，，，，，，，， …… 試求第 2027 個分數是幾分之幾？
3、如圖，自然數從1開始按從小到大的順序排成螺旋形，在2處拐第一個彎，在3處拐第2個彎，在5處拐第三個彎……拐第20個彎的地方是哪個數？
例5：緊接著數字1，9，8，9后面寫串數字,寫下的每個數字都是它前面兩個數字乘積的個位數。例如:8×9=72,則在9的后面寫2,又接著9×2=18,則在2 的后面寫 8……得到一列數字:1，9，8，9，2，8，6，…
請問:這串數字從1開始往右寫,第 2012 個數字是什么
能力沖浪5
1、有一串數1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…,第1個與第2個數都是1,從第8個數開始,每個數都是它前面兩個數的和。那么,在這串數中,第 2010 個數被3除后,所得的余數是幾
2、a是不為0的自然數,a 的個位數字與a的個位數字一樣。例如:當a為4時,a =64,個位也為4。像這樣的自然數a還有很多,如果把它們按從小到大的順序排列,第35 個這樣的自然數是多少
3、1999名同學排成一排,從排頭向排尾 1 至3報數,再從排尾至排頭1至3報數。共有___人兩次都報1。
隨堂練習
1、2009 年2月1日是星期日，這一年的6月1日是星期幾？
2、一串數1，9，9，1，4，1，4，1，9，9 ，1，4，1，4，1，9，9，1，4，…共有1991個,其中共有幾個1，幾個9，幾個4？
3、，所得積的末尾數字是幾？
4、化成小數后，小數點右邊第 2010 位上的數字是多少 這2010個數字的和是多少
5、將奇數如下圖排列，各列分別用 A、B、C、D、E 作為代表，則2007所在的列以哪個字母作為代表？
6、一個2002 位的整數,各個數位上的數字均為3,它除以13的商的第 200位(從左往右數)數字是多少
7、 求12 + 22 + 32 + … + 1234567892 的個位數字。
8、1999個同學排成一行,從排頭向排尾 1~4 報數,再從排尾至排頭 1~5 報數。報1的同學共有多少人
第二講 組合圖形的面積
例1：已知三角形ABC的面積為8平方米，AE=ED, BC是BD的1.5倍,求陰影部分的面積。
能力沖浪1
1、如圖所示，AE=2DE,BD＝2DC,S△EBD＝5平方厘米。求三角形ABC的面積。
2、如圖，在三角形ABC中，D，E為兩個三等分點，F為AB中點，若三角形EDF的面積是12平方厘米，求三角形ABC的面積。
例2：如圖，在梯形ABCD中，三角形ABO的面積等于60平方厘米，AC是A0的3倍。求梯形ABCD的面積是多少平方厘米
能力沖浪2
1、已知S△AOB=6平方厘米，OC=3AO。求梯形的面積。
2、已知S△AOB＝6平方厘米。BD＝4OD，求空白部分的面積。
例3：一個正方形ABCD的對角線BD為3厘米，求該正方形的面積。
能力沖浪3
1、一個等腰直角三角形，最長的邊是12厘米，這個三角形的面積是多少平方厘米
2、已知正方形ABCD的邊長是8厘米，求正方形EFGH的面積。
3、正方形中套著一個長方形，正方形的邊長是12厘米，長方形的四個角的頂點把正方形的四條邊各分成兩段，其中長的一段是短的2倍。求中間長方形的面積。
例4：下圖中，乙三角形的面積比甲三角形的面積大多少平方厘米
能力沖浪4
1、下圖中正方形的邊長為8厘米，CE為20厘米，梯形BCDF的面積是多少平方厘米
2、圖中ABCD是長方形，AB=4厘米，BC=6厘米，三角形EFD的面積比三角形ABF的面積大6平方厘米，求ED的長。
例5：四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面積是7平方厘米。三角形CDH的面積是多少平方厘米
能力沖浪5
1、如下圖，BFDM和ADEN都是正方形，已知三角形CDE的面積是6平方厘米，求三角形ABC的面積。
2、如圖，大小兩個正方形拼在一起，大正方形的邊長為10厘米。求三角形ACF的面積是多少
例6：右圖，一張斜邊長為29的紅色直角三角形紙片，一張斜邊長為49的藍色直角三角形紙片，一張黃色的正方形紙片，拼成一個直角三角形。求紅、藍兩張三角形紙片的面積和。
能力沖浪6
如右圖，直角三角形ABC由紅、綠兩個直角三角形和一個黃色長方形拼成。AE＝25厘米，BF＝20厘米。問：黃色長方形的面積是多少平方厘米？
2、如下圖，在直角三角形ABC中有一個正方形BDEF，E正好落在直角三角形的斜邊AC上。已知AE＝10厘米，EC＝13厘米，那么其中陰影部分的面積是多少？
隨堂練習
1、三角形ABC和三角形EFD是兩個完全相同的直角三角形，把它們的一部分疊放在一起，如下圖所示，求陰影部分的面積。（單位：cm）
2、如下圖，已知一個四邊形的兩條邊的長度和三個角，那么這個四邊形的面積是多少
3、如圖所示，AE=ED,BC=3BD, S△ABC=30平方厘米。求陰影部分的面積。
4、如右圖，在梯形ABCD中，OC＝2OA，OB＝2OD，三角形AOD的面積是10平方厘米。求梯形ABCD的面積。
5、如圖，大正方形的邊長為3厘米，小正方形的邊長為2厘米，求陰影部分的
面積。
6、如下圖，已知大正方形的邊長是12厘米，求最小正方形的面積
7、圖中BC=10厘米，EC=8厘米，∠ECB=90°且陰影部分面積比三角形EFG的面積大10平方厘米，求平行四邊形的面積。
8、在下圖的直角三角形中有一個長方形，求長方形的面積。（長方形的頂點為三角形邊上中點)
第三講 二元一次方程組
例1：二元一次方程4x+3y＝25的自然數解有（　?。?。
A．2組 B．3組 C．4組 D．5組
能力沖浪1
1、寫出二元一次方程2x+y＝5的所有正整數解。
例2：解下面二元一次方程組。
5x+2y＝25
（2） 3x+4y＝15
5(m-1)=2(n+3)
（3） 2(m+1)=3(n-3)
能力沖浪2
1、解下面二元一次方程組。
3m+2n＝13
5m-n＝0
x=1 ax-y=0
2、 y=2 是方程組 x+by=3 的解，則a= ，b= 。
3、已知滿足二元一次方程5x+y=17的x值也是方程 2x+3(x-1)=12的解，求該二元一次方程的解。
例3：列方程組解應用題。
1、某班共有學生42人，男生比女生人數的2倍少6人，問男、女生各有多少人
甲、乙兩人分別以不變的速度打字，2分鐘共打了240個字，已知甲每分鐘
比乙多打10個字。問甲、乙兩人每分鐘各打多少個
3、小明用36 元買了兩種郵票共40枚，其中一種面值1元，一種面值0.8元，則小明買了面值1元和面值0.8元的郵票各多少張？
4、閱讀下面的詩句：“棲樹一群鴉，鴉樹不知數，三只棲一樹，五只沒去處，五只棲一樹，閑了一棵樹，請你仔細數，鴉樹各幾何？”大意是：“一群烏鴉在樹上棲息，若每棵樹上有3只，則5只沒地方去，若每棵樹上有5只，則多了一棵樹，請你仔細數，烏鴉和樹各有多少？”
5、某玩具廠要生產一批玩具，若每天生產35個，則差10個才能完成任務；每
天生產40個，則可超額生產20個。求預定期限是多少天 計劃生產多少個玩具
6、一種口服液有大小盒兩種包裝，3大盒4小盒共108瓶；2大盒3小盒共76瓶。大盒、小盒每盒各裝多少瓶
7、某車間有22名工人生產螺釘和螺母，每人每天平均生產螺釘1200個或螺母2000個，一個螺釘要配兩個螺母，為了使每天生產的產品正好配套，應該分配多少名工人生產螺釘，多少名工人生產螺母
8、一船順水航行45千米需要3小時，逆水航行65千米需要5小時，水流速度
與船速不變，求船在靜水中的速度和水流速度
9、有一個兩位數，個位上的數比十位上的數大5，如果把這兩個數的位置對換。那么所得的新數與原數的和是143，求這個兩位數。
10、某體育場的環行跑道長400米，甲、乙同時從同一起點分別以一定的速度練
習長跑，如果反向而行，那么他們每隔32秒相遇一次．如果同向而行，那么每隔160秒乙就追上甲一次．甲、乙的速度分別是多少？
11、已知:用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨10t;用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨11t。某物流公司現有31t貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物。根據以上信息，解答下列問題。
(1)1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨多少噸;
(2)請你幫該物流公司設計租車方案；
(3)若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次。出最省錢的租車方案，并求出最少租車費。
隨堂練習
寫出二元一次方程4x+y＝10的所有正整數解。
2、解下面的方程組。
x=3 ax+by=7
3、 已知 y=4 是方程組 6a+5y=2 的解，那么a2+2ab+b2 的值為 。
4、母親節來臨，小明去花店為媽媽準備節日禮物．已知康乃馨每支2元，百合
每支3元．小明將30元錢全部用于購買這兩種花（兩種花都買），小明的購買方案共有（　?。?。
A．3種 B．4種 C．5種 D．6種
5、“閱讀與人文滋養內心”，某校開展閱讀經典活動．小明3天里閱讀的總頁數比小穎5天里閱讀的總頁數少6頁，小穎平均每天閱讀的頁數比小明平均每天閱讀的頁數的2倍少10頁，若小明、小穎平均每天分別閱讀x頁、y頁，則下列方程組正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
6、列方程組解應用題。
（1)甲、乙兩數和為42，甲數的3倍等于乙數的4倍，求甲、乙兩數。
（2)某單位組織了200人到甲、乙兩地旅游，到甲地的人數比到乙地的人數的2倍少10人。到兩地參加旅游的人數各是多少
（3）每年的3月12日是植樹節，某小學組織了170名學生去參加義務植樹活動。
如果每個男生平均每天挖3個樹坑，每個女生平均每天種7棵樹，正好使每個樹
坑種上一棵樹。那么男生和女生各有多少人
（4)某車間工人舉行茶話會，如果每桌12人，還有一桌空著；如果每桌10人，則還差兩個桌子，此車間共有工人多少名
（5）為了保護環境，某校環保小組成員收集廢電池，第一天收集1號電池4節，5號電池5節，總重460克；第二天收集1號電池2節，5號電池3節，總重240克。試問1號電池和5號電池每節分別重多少克
（6）一套茶具由1把茶壺和6只茶杯組成，生產這套茶具的主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做4把茶壺或12只茶杯，現要用6千克紫砂泥制作這些茶具，應用多少千克紫砂泥做茶壺，多少千克紫砂泥做茶杯，恰好配成這種茶具多少套？
(7)某高校共有5個大餐廳和2個小餐廳，經過測試同時開放1個大餐廳、2
個小餐廳，可供1680名學生就餐;同時開放2個大餐廳、1個小餐廳，可供228名學生就餐。
①求1個大餐廳、1個小餐廳分別可供多少名學生就餐；
②若7個餐廳同時開放，能否供全校的5300名學生就餐 請說明理由。
列方程解復雜應用題
例1：學校買8個足球和60根跳繩，共用去274.2元，每個足球的價錢比32根跳繩的價錢還多0.7元，每個足球多少元
能力沖浪1
1、小明看著自己的數學成績統計表預測,如果下次數學考100分,那么數學總平均分是9分;如果下次考80分,那么數學總平均分就只有86分。小明數學統計表上已有幾次成績
2、玩具廠某箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數比白球數的3倍多2個,每次從箱子里取出7個白球、15個紅球，經過若干次后箱子里剩下3個白球、53個紅球，那么箱子里原有紅球、白球各多少個
例2：教窒里有若干學生，走了10個女生后，男生是女生人數的2倍，又走了9個男生后，女生是男生人數的5倍。問，最初有多少個女生
能力沖浪2
1、操場上男孩戴藍帽，女孩戴紅帽。一個男孩說:“我看見的藍帽與紅帽一樣多。”一個女孩說：“我看見的藍帽比紅帽多一倍。”操場上男孩和女孩各有多少人
2、前年,父親年齡是兒子年齡的4倍；后年，父親年齡是兒子年齡的3倍，父親今年多少歲
3、甲、乙兩人上午8時從A地出發，步行去B地，甲每分鐘行80米，甲的速度是乙的2倍。途中乙因借自行車耽誤了7分鐘，他騎自行車的速度是原來的3倍，這樣兩人在上午9時同時到達B地，乙借車前步行了多少分鐘
例3：一輛汽車從甲地開往乙地，平均每小時行20千米。到乙地后又以每小時30千米的速度返回甲地，往返一次共用7.5小時。求甲、乙兩地間的路程。
能力沖浪3
1、一艘帆船的速度是60 米/分,船在水流速度為 20 米/分的河中,從上游的一個港口到下游的某一地，再返回到原地,共用3小時30分。這艘船從上游港口到下游某地共走了多少米？
2、東、西兩鎮相距60千米。甲騎車行完全程要4小時，乙騎車行完全程要5小時。現在兩人同時從東鎮到西鎮去，經過多少小時后，乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍？
3、小明每天早晨6:50從家出發7:20到校。老師要求他明天提早6分鐘到校。如果小明明天早晨還是6:50從家出發，那么，他每分鐘必須比往常多走25米,才能按老師的要求準時到校。問:小明家距學校多遠
例4：一位同學在360米長的環形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑4米。求他后一半路程用了多少時間？
能力沖浪4
小明在420米長的環形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑8米，后一半時間每秒跑6米。求他后一半路程用了多少時間？
小華在240米長的跑道上跑了一個來回，已知他前一半時間每秒跑6米，后一半時間每秒跑4米。求他返回時用了多少秒？
3、甲、乙兩地相距205千米，小王開汽車從甲地出發，計劃5小時到達乙地。他前一半時間每小時行36千米，為了按時到達乙地，后一半時間必須每小時行多少千米？
其他
1、明明和白白去書店買書,明明看中一本字典,白白看中一套名著,可是他們帶的錢都不夠。如果白白借錢給明明買字典，自己還剩20元;如果明明借錢給白白買名著，自己還剩4元。已知名著的價錢是字典價錢的3倍,明明和白白一共帶了多少元錢
2、有兩條繩子，它們的長度相等,但粗細不同。如果從兩條繩子的一端點燃,細繩子40分鐘可以燃盡,而粗繩子120分鐘才燃盡。一次，把兩條繩子的一端同時點燃，經過一段時間后,又同時把它們熄滅，這時量得細繩子還有10厘米沒有燃盡,粗繩子還有30厘米沒燃盡。這兩條繩子原來的長度是多少厘米
隨堂練習
1、制藥廠有兩種包裝盒，大盒每盒包裝藥24瓶，小盒每盒包裝藥16瓶。有一
批藥，如果用小盒比用大盒多用9個盒子，這批藥共有多少瓶
2、商店有膠鞋、布鞋共46雙，膠鞋每雙7.5元，布鞋每雙5.9元，全部賣出后，膠鞋比布鞋多收入10元。問，膠鞋有多少雙
3、小聰明第一天從家到學校時,每分鐘行120米,結果早到了4分鐘;第二天以每分鐘80米的速度行走，結果晚到了4分鐘。第三天他想準時到校，每分鐘應該行多少米
4、汽車從甲地開往乙地送貨。去時每小時行30千米，返回時每小時行40千米，往返一次共用8小時45分。求甲、乙兩地間的路程。
5、一艘船從甲港到乙港逆水每小時行24千米,到乙港后又順水返回甲港。已知順水航行比逆水航行少用了5小時,水流速度為每小時3千米。甲、乙兩港相距多少千米
6、修一條公路,未修長度是已修長度的3倍，如果再修300米,那么未修的長度就是已修的2倍,這條公路長多少米
7、哥哥騎自行車，小明步行同時從家出發去公園，10分鐘后哥哥到公園，小明
距公園還有1200米。已知哥哥騎車的速度是小明步行速度的3倍。小明步行每
分鐘走多少米
8、東、西兩地相距5400米，甲、乙二人從東地、丙從西地同時出發，相向而行。甲每分鐘行55米，乙每分鐘行60米，丙每分鐘行70米。多少分鐘后乙正好走到甲、丙兩人之間的中點處？
9、把188本書借給四個班的同學,如果一班增加3本，二班減少2本,三班增加1倍,四班減少一半,那么四個班借到的書一樣多。原來四個班各借到多少本書
第五講 《鴿巢問題》
例1：金星小學六年級有30名學生是2月份出生的，所以六年級至少有2名學生的生日是在2月份的同一天，為什么
能力沖浪1
1、大風車幼兒園大班有25個小朋友，班里有60件玩具。若把這些玩具全部分給班里的小朋友，則會有小朋友得到3件或3件以上的玩具嗎
2、49名學生共同參加體操表演，其中最小的8歲，最大的11歲。參加體操表演的學生中是否一定有2名或2名以上是在同年同月出生的
例2：有紅、綠、藍三種顏色的小球各5個，至少取出幾個小球能保證有2個同色的
能力沖浪2
1、布袋里有4種不同顏色的小球若干個，最少取出多少個小球，就能保證其中一定有3個小球的顏色相同
2、小東玩擲骰子游戲（擲一枚骰子)，要保證擲出的點數至少有2次是相同的，小東至少應該擲多少次？
3、圍棋的棋子有黑、白兩種顏色，每種顏色各5粒，要想拿出3粒同種顏色的棋子，至少要拿幾粒？
4、一個口袋里放有同樣大小的紅色、黃色和白色三種顏色的玻璃球若干個?，F從中任意取出一些球，至少要取出多少個球，才能保證其中有5個球的顏色是相同的
5、一個不透明的口袋里有大小一樣的紅、白、黃三種顏色的小球各10個，至少
要摸出幾個球，才能保證有兩個球的顏色相同？至少要摸出幾個球，才能保證有兩個球的顏色不同？
6、現在有黑色、白色、紅色襪子各5只，它們的規格都一樣，混雜在一起，暗中想取出同樣顏色的襪子4只，問至少取多少只才能保證達到要求？
7、一只黑布袋中裝有同樣大小的紅、黃、藍、黑、白五種顏色的襪子各3雙。一次至少要從袋中取出多少只，才能保證其中有兩雙襪子是同一種顏色的
8、黑色、白色、黃色筷子各有8根，混雜地放在一起。黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的2雙筷子(每雙筷子兩根的顏色應一樣)，至少要取多少根才能保證達到要求
例3：平安路小學組織862名同學去參觀甲、乙、丙3處景點。規定每名同學至少參觀1處，最多可以參觀2處，至少有多少名同學參觀的景點相同？
能力沖浪3
1、學校圖書館有科普讀物、故事書、連環畫這3種圖書，每名學生從中任意借閱2本，那么至少要幾名學生借閱才能保證其中一定有2名學生所借閱的圖書種類一樣
2、六（1）班共有46名學生，他們都參加了課外活動小組。課外活動小組有手工、美術、合唱和書法小組，他們每人可參加1個、2個、3個或4個課外活動小組。求六（1）班至少有幾名學生參加的課外活動小組完全相同？
3、六(2)班有45名學生，他們都參加了課外興趣小組。課外興趣小組有足球、舞蹈、美術、合唱，每人可以參加1個、2個或3個課外興趣小組。班級中至少有多少名同學參加的課外興趣小組相同
例4：（求鴿子數量）桂苑小學六年級每名學生都閱了《數學小靈通》《小學生作文》《英語天地》《科學畫報》這4種報刊中的2種，他們當中至少有34名學生訂閱的報刊種類相同。你知道桂苑小學六年級至少有多少名學生嗎
能力沖浪4
1、幼兒園買來很多狗、鹿、虎、兔的兒童玩具，每個小朋友任意選擇兩件，至少要有多少個小朋友才能保證有兩人選的玩具相同
2、一副撲克牌（去掉大、小王），每人隨意抽取兩張牌。至少有多少人才能保證他們當中一定有兩人所抽取的兩張牌的花色是相同的
例5：（求鴿巢數量）李阿姨給幼兒園的孩子買衣服，有紅、黃、白3種顏色，結果總是至少有2個孩子的衣服顏色一樣，她至少給幾個孩子買衣服？
能力沖浪5
1、把25個玻璃球最多放進幾個盒子中，才能保證一定有一個盒子里至少有5個玻璃球
例6：有53個桃子，分給10只猴子，如果每只猴子至少分1個桃子，那么無論怎樣分，一定會有2只猴子分到的桃子數相同，為什么
能力沖浪6
1、學校體育室有足球、籃球和排球各40個，上體育課時，老師讓15名同學拿球到操場，每人最多拿2個。這么多人至少有幾人拿球的情況是完全相同的呢
隨堂練習
1、一個幼兒園有40名小朋友，現有各種玩具共122件，把這些玩具全部分給小朋友，是否會有小朋友得到4件或4件以上的玩具 為什么
2、一個布袋中有40塊相同的木塊，木塊上的號碼是1，2，3，4的各有10塊。一次至少取出多少塊木塊，才能保證其中至少有3塊木塊上的號碼相同
3、抽屜里有4只黃色的襪子和6只白色的襪子，從里面至少摸出幾只，才能保證一定有兩種不同顏色的襪子
疫情期間，某地派出60名醫務人員馳援湖北，醫務人員中男、女人數的比是
1：1，隨機選取，至少選多少人才能保證選出的人中男、女醫務人員都有
5、把43個蘋果最多放進多少個抽屜中，才能保證有一個抽屜中至少放進7個蘋果？
6、六年級有100名學生，他們分別訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、兩種或三種，至少有多少名學生訂閱的雜志種類相同？
7、任意4個整數中，必存在2個數，它們被3除的余數相同。你能說出其中的道理嗎
8、8只猴子分一堆桃，要保證至少有一只猴子分到4個桃，這堆桃至少有多少個？
思考題
一個禮品店允許客人預訂禮品，有一天，一位客人來預訂了一種禮物，要求包裝好，包在一起還是分成幾部分包都可以。那天客人特別多，禮品店的伙計沒有記清楚這位客人預訂的具體數目，只記得他訂的數目比20要小。這種禮品包裝起來非常麻煩，如果等客人來了再臨時包裝會耽誤客人的時間，影響自己的聲譽?；镉嬛缓米约喊b好若干件，把這若干件分成若干包來包裝好，等客人來的時候，把其中的若干包湊起來就可以了。那么這個伙計應該怎么包裝，才能使包數最少，又能滿足客人的要求？
第六講 數的整除
例1： 整數能被72整除，這個數有哪些可能？
能力沖浪1
1、一個六位數，能被99整除，A和B各是多少？
2、已知45|,求所有滿足條件的六位數？
3、一張紙上有一個無重復數字的五位數3□6□5，已知這個數字能被75整除，那么滿足上述條件的五位數可能是________。
例2： 四位數能被18整除，要使這個四位數盡可能小，那么這個四位數是多少？
能力沖浪2
1、在1992后面補上三個數字，組成一個七位數，使它分別能被2、3、5、7整除，這個七位數最小是多少？
2、在532后面補上三個數字，組成一個六位數，使它能分別被3、4、5整除，這樣的六位數中最小的是□□□□□□。
3、一個能被11整除的最小四位數，去掉它的千位上和個位上的數字以后，是一個同時能被2、3、5整除的最大的兩位數。這個四位數是□□□□。
例3：在5、6、7的公倍數中，是五位數且最小的是________。
能力沖浪3
1、173□是一位四位數，在□中先后填入3個數字，使四位數分別可被9、11、6整除，填入的三個數字之和是多少？
3、某個七位數，1990□□□能被5，6，7，8，9整除，那么它的最后三個數字依次是：□□□。
例4：已知A是一個自然數，它是15的倍數，并且它的各個數位上的數字只有0和8兩種，A最小是________。
能力沖浪4
1、已知N是一位自然數，S=0，則（1）NNNSNN；（2）NSSNSN；（3）NSNSNS；（4）NSSNSS四個自然數中，一定能同時被2和3整除的數是________。
2、在十進制中，各位數字均是0或1，并且能被225整除的最小自然數是________。
例5：一位后勤人員買了72本練習本，可是由于他吸煙不小心，火星落在賬本上，把這筆賬的總數燒去兩個數字。賬本是這樣的：72本筆記本共□67.9□元（□為被燒掉的數字），請把□處數字填補上，并求出練習本的單價。
能力沖浪5
1、希然買了9支鉛筆、2支圓珠筆、3個練習本和5塊橡皮，她看到圓珠筆每支3角9分，橡皮每塊6分，其余她沒注意，售貨員要她付3元8角，希希馬上說：“阿姨你算錯了。”請問售貨員的賬算錯了沒有？為什么？
2、55個蘋果分給甲、乙、丙三人，甲的蘋果個數是乙的2倍，丙最少，但也多于10個，三人各得蘋果多少個？
3、李老師為學校一共買了28枚價格相同的鋼筆，共付人民幣9□.2□元，已知□處數字相同，請問每枝鋼筆多少元？
隨堂練習
1、 能被72整除，求X+Y是多少？
2、1997□□□能被4、5、6整除，那么這個七位數最小是多少？
3、能被4、5、6整除的最大三位數是□□□。
4、已知一個自然數A，它能被15整除，且它的各個數位上的數字只有2、5兩種，則這種最小的六位數是□□□□□□。
5、在865后面補上三個數字，組成一個六位數，使它能分別被3、4、5整除，且使這個數值盡可能地小。
6、有2、3、4、5、7、9這六個數字，組成能被3和5除都余2的最大四位數和最小四位數之差是________。
7、小王買了3支鉛筆、5支圓珠筆、8本筆記本和12塊橡皮，總共用去2元5角錢。已知鉛筆4分一支，圓珠筆3角6分一支，問營業員的賬有沒有算錯？
第七講 分解質因數
例1：有7個不同的質數，它們的和是60，其中最小的質數是_______。
能力沖浪1
1、兩個質數的和是49，這兩個數分別是_______和_______。
2、把50拆成10個質數之和，要求其中最大的質數盡可能大，那么最大的質數是幾？
例2：一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209平方分米，如果它的長、寬、高都是質數，那么長方體的體積是多少？
能力沖浪2
1、現在計劃用圍墻圍起一塊面積為5544m的長方形地面，為節省材料，要求圍墻最短，那么這塊圍墻有多長？
2、有一個長方體，相鄰三個面的面積分別為35cm、77cm、55 cm，求它的體積是多少？
3、一個長方體的長、寬、高是三個連續自然數，它的體積是39270cm，那么這個長方體的表面積是_______cm。
例3：求3600一共有多少個因數，所有因數的和是多少？
能力沖浪3
1、把A分解質因數是A=abc,那么A的因數有（ ）個。
2、已知自然數a有2個因數，那么3a有多少個因數？
3、1500共有多少個因數，所有因數的和是多少？
4、求恰有8個因數的最小自然數是幾？
5、從1000到2007的自然數中的有奇數個因數的數有多少個？
例4：一個正整數與1470的積是一個完全平方數，那么這個數最小是多少？
能力沖浪4
一個正整數a與2460的積是一個完全平方數，當a最小時，這個平方數是多少？
例5：求1234……20072008 乘積的末尾有多少個連續的‘0’？
能力沖浪5
1、要使四個數的乘積：1351925486（ ）結果的最后五位數都是零，括號中的數最小應填_______。
例6：把8、21、25、35、44、65、78、99平均分成兩組，使每組四個數的乘積相等。
能力沖浪6
1、有八個數693，175，28，35，108，363，165，48，把它們分成兩組，使兩組數的乘積相等。
2、把39、45、49、56、60、70、78、84、91這九個數平均分成三組，使每組中三個數的乘積相等。
例7：四個好伙伴，恰好一個比一個大一歲，四個人年齡的乘積是11880，求四個人的年齡。
能力沖浪7
1、三個數的積為84，其中兩個數的和等于另一個數，這三個數分別是_______。
2、有五個連續奇數，它們的乘積是328185，則最大的一個奇數是_______。
例8：幼兒園里給小朋友分蘋果，420個蘋果正好均分，但今天剛好又新入園一位小朋友，這樣每個小朋友就要少分兩個蘋果，原來有幾個小朋友？
能力沖浪8
1、幼兒園的老師給班里的小朋友送來40只橘子，200塊餅干，120粒奶糖，平均分發完畢，還剩4只橘子，20塊餅干，12粒奶糖。這個班里共有幾個小朋友？
2、某班同學在班主任老師的帶領下去種樹，學生正好平均分成三組，老師與每個學生種樹一樣多，共種了1073棵樹，平均每人種了幾棵？
3、王老師帶著班上的同學 (不超過100人) 去植樹，學生按人數正好可以平均分成三組。已知師生共植了154棵樹，老師與學生每人植的樹一樣多，并且不超過 10棵。共有多少學生？每人植樹多少棵？
隨堂練習
在自然數中，恰好有3個因數的兩位數共有（ ）個。
在（ ）里填出不同的質數。
60 =（ ）+（ ）=（ ）+（ ） =（ ）+（ ）=（ ）+（ ）
3、如果兩個合數互質，它們的最小公倍數是126，那么它們的和是多少？
4、要使乘法算式4×100×35×（ ）積的最后五個數字都是0，括號里最小應填（ ）。
5、一個正整數a與1080的積是一個完全平方數，當a最小時，這個平方數是多少？
6、四個連續奇數的連乘積是326025，這四個數分別是多少？
7、有四個孩子，恰好一個比一個大一歲，它們的年齡相乘的積是3024，那么他們各自的年齡。
8、1260共有多少個因數，所有因數的和是多少？
9、把5、6、7、14、15這五個數分成兩組，使每組數的乘積相等，這兩組數分別為（ ）和（ ）。
10、一個長方體，它的正面和上面的面積之和是90，如果已知它的長、寬、高是三個連續的自然數，那么這個長方體的體積是多少？
11、張老師帶286元錢去買鋼筆，由于商店促銷，每支鋼筆降價2元，張老師的錢可以買多4支鋼筆，張老師的錢原來能買幾支鋼筆？
第八講 平面圖形（二）
例1：
（1）下圖中的正方形，從左到右，邊長依次為:4、5、3。求圖中影部分的面積。
（2）如圖，每個小正方形的邊長都是2，則陰影三角形的面積是多少？
（3）圖中的正方形的邊長為10厘米,則陰影部分的面積為多少平方厘米
（4）如圖，已知長方形ABCD的長BC=12厘米，寬DC=8厘米，并且BF=CG。三角形EFC的面積是32平方厘米。則線段HG的長度為多少厘米 (提示:畫輔助線）
（5）把邊長為6 cm的正方形ABCD沿對角線AC截成兩個三角形，在兩個三角形內按下圖剪下兩個內接正方形I、II,這兩個正方形的面積哪個大 大多少
在四邊形ABCD中有一點P，P點到四條邊的垂線段長都是5cm，已知四邊形的周長是40cm，求四邊形 ABCD的面積。
例2：旋轉 平移 拼接
（1）按照圖中的樣子，在一平行四邊形紙片上割去了甲、乙兩個直角三角形。已知甲三角形兩條直角邊分別為2和4，乙三角形兩條直角邊分別為3和6，求圖中陰影部分的面積。
（2）如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，p是三角形外的一點，其中AP=10厘米，∠BPC=90°，求四邊形ABPC的面積。
（3）如圖所示的四邊形ABCD 中，∠A=∠C=45°,∠ABC =105°, AB= CD=10厘米，連接對角線，∠ABD=30°。求四邊形ABCD的面積。
（4）如右圖,在直角三角形ABC 中有一個內接正方形BDEF,已知AF=10厘米,DC=14厘米,那么三角形 AFE 的面積是多少平方厘米
例3：
（1）如圖，在△ABC 中，BD= 2DC, AE = BE,△BDE 的面積是6平方厘米。求四邊形ACDE 的面積。
（2）如圖，正方形ABCD的邊長是12厘米，已知DE是EC的長度的2倍。
求:①△DEF的面積；②CF的長。
（3）如圖，等邊三角形AOB、AOD、DOC圍成的等腰梯形，面積等于36平方厘米，M是AB的中點，求陰影部分的面積。
（4）如圖,在四邊形ABCD中,AB=3BE,AD=3AF,平行四邊形BODC的面積是90平方厘米,四邊形AEOF 的面積是多少平方厘米
（5）如圖所示，三角形ABC的面積是2平方厘米,BE=2AB,BC=CD。求三角形BDE的面積。
（6）如右圖,在梯形 ABCD 中,E是AB的中點,F是AD 的中點。已知△BCE的面積為6平方厘米,△ABF的面積為4平方厘米,則梯形 ABCD的面積是多少平方厘米
例4：
（1）如圖，大正方形邊長是6厘米，小正方形邊長是4厘米，兩塊陰影的面積差是多少
（2）平行四邊形ABCD 中,三角形AFD與三角形 EFC的面積誰大 為什么
(3)如圖,四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面積是7平方厘米,問三角形CDH的面積是多少平方厘米
（4）如圖，四邊形 ABCD 是邊長為8厘米的正萬形,梯形 AEBD 的對角線相交于點O,三角形BOD的面積比三角形AOE的面積大16平方厘米,梯形AEBD的面積是多少平方厘米？
（5）如下圖，點C在線段AE 上,△ABC和△CDE都是等邊三角形,且F是BC的中點,G是DE的中點。若△ABC的面積為27,△AFG(陰影部分)的面積是多少？
隨堂練習
1、如圖,有三個正方形,它們的邊長分別是32厘米、40厘米、50厘米,則陰影部分的面積是多少平方厘米？
2、如圖, AE=5厘米，CF=2厘米，AB=6厘米,CD=4厘米，∠B=∠D=90°，求四邊形AFCE的面積。
3、如圖,E是BC上靠近C的三等分點,且ED是AD的2倍，三角形ABC的面積為36平方厘米。三角BDE的面積是多少平方厘米
4、如圖所示，兩塊陰影部分面積相差多少平方厘米
5、如圖，在三角形ABC中，CD=2BD,AC=4AE,三角形ADE的面積是20平方厘米，那么，△ABD 與△EDC的面積之和是多少
6、如圖,BE=3AB,BC=CD,三角形ABC的面積是15平方厘米,求三角形BDE的面積。
7、在直角梯形ABCD中,AB=8cm,BF=6cm,EF//AB,求三角形CED的面積。
第九講 長方體和正方體的表面積
例1：一個長方體，沿著長的方向切掉一個小正方體，剩下的長方體的表面積比原來減小24平方厘米。求所切下的正方體的表面積是多少平方厘米？
能力沖浪1
1、把一個長20cm，寬12cm，高10cm的長方體木塊鋸成兩個相同的小長方體，每個小長方體表面積最大是多少？最小是多少？
2、24個棱長1cm的小正方體，拼成一個大長方體。這個長方體表面積最大是多少？
3、兩塊相同的長方體木塊粘成了一個正方體，表面積減少了80cm2。求原來每個長方體的表面積。
4、有 2001 個棱長為 1 厘米的小正方體，要拼成一個大長方體，這個大長方體的表面積最大是多少？最小是多少？
例2：如圖所示是由16塊棱長為3厘米的小正方體壘成的它的表面積是多少平方厘米？
能力沖浪2
1、如圖所示是一個用棱長為1厘米的小正方體木塊堆放而成的物體。
（1）這個物體的表面積是多少
（2）要把這個物體補成一個大正方體，這個大正方體的表面積至少是多少
2、一個機器零件的形狀如圖所示，算一算它的表面積是多少平方厘米？
例3：如圖所示，在一個長6厘米、寬5厘米、高4厘米的長方體木塊中挖去一個棱長是2厘米的小正方體的孔。這個長方體現在的表面積是多少
能力沖浪3
1、如圖所示，從一個棱長為10厘米的正方體木塊中挖去一個長10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長方體，剩下部分的表面積是多少
2、如下圖所示，在一個棱長為6厘米的正方體的6個面的正中間位置各挖去一個棱長為2厘米的小正方體。挖去后，剩余物體的表面積是多少
3、一個長方體長10cm,寬8cm，高6cm，在長方體的上面挖去一個棱長2cm 的正方體。剩下部分的表面積是多少？
例4：把一個棱長為4厘米的正方體木塊的表面涂上紅色，然后切成棱長為1厘米的小正方體。在切成的小正方體中，三面涂色的小正方體、兩面涂色的小正方體、一面涂色的小正方體以及六個面均不涂色的小正方體各有多少個？
能力沖浪4
1、一個棱長5cm的正方體，表面涂上紅漆后，再切成棱長1cm的小正方體。
一面有紅漆、兩面有紅漆、三面有紅漆的小正方體分別有多少塊？
2、如圖所示：把一個長7厘米、寬4厘米、高5厘米的長方體木塊表面全部涂成紅色，然后切成棱長為1厘米的小正方體木塊問：
切開后，有多少個小正方體木塊分別有三個面、兩個面、一個面被涂成紅色
（2）切開后，有多少個小正方體木塊沒有染上色（切面都是白色）
3、將一個表面涂有藍色的長方體分割成若干個1立方厘米的小正方體，其中沒有涂色的小正方體只有3塊。兩面涂色的小正方體有（ ）個，原來長方體的體積是（ ）立方厘米。
4、一個正方體，在它的每個面上都涂上顏色。再把它切成棱長是1厘米的小正方體。已知一面涂色的小正方體有54個，大正方體的棱長是幾厘米？
隨堂練習
1、兩塊相同的長方體，長、寬、高分別是12cm、6cm、4cm。把它們粘成一
個大的長方體。大長方體表面積最大是多少？
2、一個長方體木塊，長80dm，寬，高都是60dm。在一端鋸下一個最大的正方體。原來木塊的表面積減少多少平方分米？
3、如圖所示，一個正方體和一個長方體拼成了一個新的長方體，拼成的長方體的表面積比原來長方體的表面積增加了50平方厘米。這個正方體的表面積是多少平方厘米
4、一個棱長6cm的正方體木塊。在它的一角切去一個棱長2cm的小正方體。
剩下部分的表面積是多少？
5、一個長方體，它的高和寬相等，若把長去掉2.5厘米，就成為表面積是150平方厘米的正方體，問長方體的長是寬的多少倍？
6、把19個棱長3厘米的小正方體重疊起來，拼成下圖的幾何體。分別求它的表面積。
7、把一個表面都涂上顏色的正方體木塊切成64個大小相同的小正方體。
（1）三面涂色的小正方體有　 　個。
（2）兩面涂色的小正方體有　 　個。
（3）一面涂色的小正方體有　 　個。
8、把一個長6厘米、寬3厘米、高5厘米的長方體木塊表面全部涂成紅色，然后切成棱長為1厘米的小正方體木塊，如圖所示。
（1）切開后，有多少個小正方體木塊分別有三個面、兩個面、一個面被涂成紅色
（2）切開后，有多少個小正方體木塊沒有染上色
9、把一個六個面都涂上紅色的正方體木塊，鋸成多少塊相同的小正方體時，兩面涂紅色的小正方體為48塊？
第十講 長方體和正方體的體積
例1：一個正方體的高增加4分米后，得到一個底面不變的長方體，它的表面積比原正方體的表面積增加了80平方分米。原來正方體的體積是多少立方分米
能力沖浪1
1、從長為13厘米、寬為9厘米的長方形硬紙板的四角取掉邊長為2厘米的正方形，然后沿虛線折疊成長方體容器，這個容器的體積是多少立方厘米？
2、一個長方體，如果長減少2厘米，則體積減少48立方厘米；如果寬加5厘米，則體積增加65立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方厘米。求原長方體的表面積。
例2：有一個長方體容器，長30厘米、寬20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把這個容器蓋緊，再垂直豎起來，那么容器里面的水深多少厘米
能力沖浪2
1、一個密封的長方體玻璃箱ABCD-EFGH里面裝水，從里面量長AB為30厘米，寬BC為10厘米，高CG為15厘米，水深5厘米。如果把箱子ADHE面作為底面放在桌面上，那么水深多少厘米
2、有大、中、小三個正方形水池，它們的邊長分別是6米、3米、2米，把兩 堆碎石分別沉沒在中、小水池里，兩個水池的水面分別升高了6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池的水里，大水池的水面升高多少厘米？
例3：如圖所示，一個體積是160立方厘米的長方體，有兩個面的面積分別是20平方厘米和32平方厘米，求圖中陰影部分(正面）的面積。
能力沖浪3
1、有一個長方體如圖所示，它的正面和上面的面積之和是209cm 。如果它的長、寬、高都是質數，那么這個長方體的體積是多少
2、一個長方體，它的正面和上面的面積之和是90，如果已知它的長、寬、高是三個連續的自然數，那么這個長方體的體積是多少？
3、下圖是一個長為16厘米的長方體的示意圖，已知它的正面和上面的面積之和為240平方厘米。若寬和高的厘米數均為質數，則它的體積是多少
例4：在一個棱長為5厘米的正方體上切掉一個三棱柱，如圖所示，那么體積減少多少立方厘米
能力沖浪4
1、有一家工廠生產了一種新零件，如圖所示，你能算出它的體積嗎
2、要砌一個1米高的磚垛，每層磚都按如圖所示的方式來砌，每塊磚的厚度都是0.1米，每兩塊磚之間灰膏的厚度為0.05米。砌好這個磚垛共需要多少塊磚
3、如圖所示，有一塊長方形土地，甲部分比乙部分高50厘米，現在要把這塊地推平整。那么，要從甲部分取下多少厘米厚的土填在乙部分上
4、一個長方體的寬和高相等，并且都等于長的一半，將這個長方體切成如圖所示：分成12個小長方體，這些小長方體的表面積之和為600平方分米，求這個長方體的體積。
5、在一塊平坦的水泥地上，用磚和水泥砌成一個如圖所示的長方體水泥地，墻厚為10厘米，底面利用原有的水泥地，求這個水池的容積？(圖中單位：米)
例5：有甲、乙兩個水箱，從里面量，甲水箱長12dm、寬10dm、高8dm；乙水箱長10dm、寬8dm、高6dm。甲水箱中水的高度是6dm，乙水箱中水的高度是4dm?，F要使兩個容器中水的高度相同，這時水深為多少厘米？
能力沖浪5
1、有甲、乙兩個水箱，從里面量，甲水箱長12dm、寬8dm、高5dm；乙水箱長8dm、寬8dm、高6dm。甲水箱裝滿水，乙水箱空著?，F將甲水箱里的一部分水抽到乙水箱中，使兩個水箱的水面高度一樣?，F在兩個水箱的水面高度是多少分米
2、有兩個水池，甲水池長8分米、寬6分米、水深3分米，乙水池空著，它長6分米、寬和高都是4分米?，F在要從甲水池中抽一部分水到乙水池，使兩個池中水面同樣高。問：乙水池中水面高多少
隨堂練習
1、求這個零件的表面積和體積。(上下兩個正方體的棱長分別是2cm、5cm)
2、一個長5厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體，被切去一塊后（如圖），剩下部分的表面積和體積各是多少
3、把一個長25厘米，寬10厘米，高4厘米的長方體木塊，鋸成若干個大小相等的正方體，然后拼成一個大正方體，問這個大正方體的表面積是多少平方厘米？
4、一個長方體的紙箱，從里面量長為15厘米、寬為12厘米，體積為1.44立方分米。爺爺想用它裝一個長為13厘米、寬為10厘米、高為9厘米的錄音機，是否裝得下
5、5臺挖土機每天工作8小時，4天可挖長40米，寬20米，深3米的一條溝；6臺挖土機每天工作5小時，要挖長100米，寬15米，深5米的一條溝，問需要多少天？
6、一個長方體的容器（如圖），里面的水深5cm，把這個容器蓋緊后豎放，使長10cm、寬8cm的面朝下，這時里面的水深是多少厘米？
7、長方體的上面和右面的面積之和為91平方厘米，長、寬、高的厘米數均為質數。則這個長方體的體積可能是多少立方厘米？
8、有甲乙兩個水箱，從里面量，甲箱長為12分米，寬為8分米，高為5分米；乙水箱長為8分米，寬為8分米，高為6分米。甲水箱裝滿水，乙水箱空著?，F將甲水箱里的一部分水倒入乙水箱里，使兩個水箱的高度一樣。兩個水箱的水面高多少分米
9、如圖所示，將9塊相同的小長方體積木拼成了一個大長方體，已知每塊小長方體的體積是48立方厘米，求大長方體的表面積。
第十一講 物體浸水問題
類型一 完全浸沒
1、把一個棱長是4厘米的正方體鐵塊，放進長是16厘米，寬是8厘米的玻璃缸中，水面上升了多少厘米？（鐵塊完全浸入水中）
2、一個長方體的玻璃容器，從里面量長和寬均為2.5分米，向容器中倒入8200ml，再把一個桃子放入水中（浸沒，水未溢出），這時量得容器內的水深為1.4分米。這個桃子的體積是多少？
3、有一個長24分米、寬9分米、高8分米的水槽，水面高度為5分米，放入一個鐵塊后，水溢出了20L。問：鐵塊的體積是多少
4、將棱長是1.6dm的正方體石塊浸沒到一個長方體水槽中，水面上升了0.8dm，然后放入一個鐵塊并浸沒，水面又上升了2.5dm（水沒有溢出），求鐵塊的體積。
5、在一個長為50厘米，寬為40厘米的裝有部分水的長方體玻璃缸中，放入一塊棱長是10厘米的正方體鐵塊，鐵塊全部浸沒，水未溢出，這時水深是20厘米。若把這個鐵塊從缸中拿出來，缸中的水面高是多少厘米？
6、有一個容量5升的水桶。水桶里已經裝了3.38升的水。弟弟把邊長3厘米的正方體鐵塊一個一個放入水桶中，當放入第 個鐵塊時，水會開始溢出水桶。
類型二 未完全浸沒
1、在一個長8m、寬5m、高3m的水池中注滿水，然后把兩根長4m、寬2m、高3m的石柱立著放入池中，溢出水池的體積是多少？
2、有一個長方體水箱，從里面量長40厘米，寬30厘米，深35厘米，水箱中的水高10厘米。放進一個棱長20厘米的正方體鐵塊，鐵塊頂面仍高于水面。這時水面高多少厘米
3、在長、寬、高分別為10厘米、10厘米、6厘米的長方體容器中盛有深4厘米的水。若向容器中放入一個棱長為5厘米的正方體鐵塊，則水深變為多少厘米
4、一個長方體玻璃容器，從里面量長30cm、寬20cm、高18cm，現在往容器中倒入6L水。問
（1）水面距離容器底多少厘米

（2）如果有一塊長和寬都是5cm、高24cm的長方體鐵棒橫著完全浸沒在水中，水面會上升多少厘米
（3）鐵棒橫著完全浸沒在水中后，水與容器接觸的面積最多是多少平方厘米
（4）如果鐵棒是豎著放進容器，水面會上升多少厘米 （得數保留一位小數）
5、一個無蓋長方體水箱的底面積是3600cm2，在水箱中直立著一根高1m，底面積為225cm2的方鋼，這時水箱里的水深0.6m，如果把方鋼取出，水箱里的水深是多少厘米？
6、在一個棱長20cm的正方體容器里注滿水，把一根長36cm2橫截面是12平方厘米的方鋼垂直地插入水中，現把方鋼垂直提離水面使露出部分是30cm，這時水面下降了多少cm
7、一個長方體容器，底面是一個邊長為60cm的正方形，容器里直立著一個高1m，底面正方形邊長為15cm的長方體鐵塊，這時容器里的水深50cm(如圖一)，現在把鐵塊輕輕向上提24cm(如圖二），露出水面的鐵塊上被水浸濕的部分長多少厘米
8、一個長方體容器，長50cm、寬40cm。容器里直立一根高1m，底面邊長為20cm的長方體鐵塊，這時容器里的水深40cm?，F在把鐵塊輕輕向上提起20cm.那么露出水面的鐵塊上被浸濕的部分長多少厘米？
隨堂練習
1、有一個底面積是300平方厘米，高是10厘米的長方體，里面盛有5厘米深的水?，F在把一塊石頭浸沒到水里，水面上升了2厘米。這塊石頭的體積是多少立方厘米？
2、一個長方體玻璃容器,從里面量長、寬均為3dm,向容器中倒入13L水。把一個蘋果放入水中,這時量得容器內的水深是15cm。這個蘋果的體積是多少？
3、一個長方體長和寬都是2分米的玻璃容器里有12升水，若將一個石頭浸沒在水中時，水深3.5分米，這個石頭的體積是多少立方分米
4、把一個棱長是8厘米的正方體鐵塊放入一個長32厘米、寬16厘米、水深4厘米的長方體水池中，水面上升多少厘米 （精確到0.01）
5、將一個棱長5cm的正方體鐵塊放進一個盛有水的長方體容器內，水溢出15mL。已知長方體容器長11cm、寬6cm、高10cm，原來水高多少厘米
6、一個長方體容器的底面是一個邊長10厘米的正方形，容器里直立著一個高15厘米、底面邊長4厘米的長方體鐵塊，這時容器里的水深5厘米，如果把鐵塊取出，容器里水深多少厘米？
7、一個裝有水的長方體水箱，它的底面積是70平方厘米。水深是15厘米，現將一個底面積是20平方厘米，長35厘米的長方體鐵棒垂直放入水中后，還有一部分鐵棒露在外面，這時水面的高度是多少厘米
8、在一個長10cm，寬8cm，高15cm的長方體水槽中裝有水，水深4cm，把一個長4cm、寬4cm、高12cm的長方體鋼材垂直放入水槽，水面上升幾厘米？
第十二講 最大公因數
例1：108和144的最大公因數是_________。
能力沖浪1
1、求56、36、284的最大公因數。
2、求1008、1260、882和1134的最大公因數。
例2：把一張長60厘米、寬48厘米的長方形紙，裁成若干個相等的小正方形而沒有剩余，小正方形的面積最大是多少？
能力沖浪2
1、五年級三個班分別有24人、36人、42人參加體育鍛煉，要把他們分成人數相等的小組，但各班同學不能打亂。最多每組多少人？每班各分多少組？
2、有一塊木料，長3.2米、寬1.44米、高0.96米?，F在將這塊木料鋸成體積相同而且是最大的正方體，總共可鋸成多少塊
3、有長方形土地一塊，長532米、寬308米，現在四角和四周植樹，兩棵樹之間的距離相等且要求最大。求一共能植樹多少棵 兩棵樹之間的距離是多少
例3：甲、乙兩個數的乘積是3072，它們的最大公因數是16，求這兩個數。
能力沖浪3
1、甲、乙兩個數的乘積是3174，最大公因數是23，求這兩個數。
2、兩個兩位數的的乘積是2635，這兩個數的和是多少？
3、馬鵬和李虎計算甲、乙兩個自然數的乘積，馬鵬把甲數的個位數字看錯了，得乘積473；李虎把甲數的十位數字看錯了，得乘積407，那么甲、乙兩數的乘積應是多少
例4：已知甲、乙兩個數的和是125，它們的最大公因數是25，求這兩個數。
能力沖浪4
1、兩個數的最大公因數是21，這兩個數的和是105，求兩個數各是多少？
2、兩個自然數的和是50，它們的最大公因數是5，則這兩個數的差是多少？
3、三個兩兩不同的正整數，和為126，則它們兩兩最大公因數之和的最大值為多少？
例5：一個數，去除 410 余 5，除 242 時少 1，除 550 時余 10。這個數是多少？
能力沖浪5
1、用某數去除425余5，去除500差4，去除300余6，這個數最大是多少？
某個大于1的自然數分別除442、297、210，得到相同的余數，則該自然數是多少？
例6：有許多種方法能將2004寫成10個大于0的自然數 (可以相同，也可以不相同)的和，對于每一種方法，這10個數都有相應的最大公因數。那么這些最大公因數中的最大值是多少？
能力沖浪6
1、十個不同自然數的和等于1001，這10個數的最大公因數可能取的最大值是多少？
隨堂練習
1、24和36的公因數有 ，最大的公因數是 。
2、把160支鉛筆、128本練習本、96冊故事書，分成若干份同樣的獎品，最多可以分多少份，每份中有鉛筆 支，練習本 本，故事書 冊。
3、把一個長4.5分米、寬3.6分米、高2.4分米的長方體木塊切成大小相等的小 正方體木塊，不許有剩余。小正方體木塊的體積最大是多少？
4、求140、350、1960的最大公因數。
5、1500有多少個因數？所有的因數的和是多少？
6、兩個自然數的和是432 ，它們的最大公約數是36 ，求這兩個數。
7、小新、小文和小辰三個人繞操場跑道練習騎自行車，他們騎一圈的時間分別是40秒、45秒和1分鐘?，F在三個小伙伴同時從起點出發，最少要多少時間才能同時在起點處相遇
8、一條道路由甲村經過乙村到丙村。己知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距680米。現在準備在路邊栽樹，要求相鄰兩棵樹之間距離相等，并在甲、乙兩村和乙、丙兩村的中點都要種上樹，求相鄰兩棵樹之間的距離最多是多少？
第十三講 最小公倍數
例1：某市公共汽車站有三條公交路線，第一條每8分鐘發一輛車，第二條每12分鐘發一輛車，第三條每15分鐘發一輛車。早上5:30三條路線同時發出第一輛車，該總站發出最后一輛車是19：30。請問：該總站最后一次三輛車同時出發是什么時候
能力沖浪1
1、有一個電子鐘，每走9分鐘亮一次燈，每到整時響一次鈴，中午12時整，電子鐘既響鈴又亮燈，問：下一次既響鈴又亮燈是幾時鐘
2、俱樂部有5個活動小組，文學小組每隔1天活動一次，計算機小組每隔2天活動一次，外語小組每隔3天活動一次，書畫小組每隔4天活動一次，文娛小組每隔5天活動一次，4月1日晚上五個小組同時在俱樂部活動，以后則按上述規定進行，從不間斷。4月，5月、6月這三個月中有幾個晚上一個小組都沒有活動？
例2：用長9厘米、寬6厘米、高4厘米的長方體木塊疊成一個正方體，至少要用這樣的木塊多少塊？
能力沖浪2
1、一條公路上共有37根電線桿，原來每兩根之間相距50米，現在要改成每兩 根之間相距60米，除起點的一根不需要移動外，還有幾根也不需要移動？
2、大雪后的一天，小明和爸爸共同測一個圓形花圃的周長，他倆的起點和走 的方向完全相同，小明每步長54厘米，爸爸每步長72厘米，由于兩人腳印有重合， 所以走完一周后留下60個腳印，則花圃周長是多少厘米？
例3：甲數是36，甲、乙兩數的最大公因數是4，最小公倍數是288，乙數是多少？
能力沖浪3
兩個數的最大公因數是9，最小公倍數是90，這兩個數分別是多少？
2、兩個自然數的和是54，它們的最小公倍數與最大公因數的差為114，求這兩個自然數。
3、甲、乙兩數的最大公因數與最小公倍數的和為240，且甲數為它們最大公因數的5倍，乙數為它們最大公因數的3倍，求甲、乙兩數。
4、設有三個數26、52、X，它們的最大公因數是13，最小公倍數是156，則X是幾？
例4：甲、乙兩個數的乘積是3174，最大公因數是23，求這兩個數。
能力沖浪4
1、甲、乙兩個數的乘積是3072，它們的最大公因數是16，求這兩個數。
2、兩個正整數的乘積是384，最大公因數是8，其中小數不能整除大數，這兩個數分別是________。
3、兩個數的乘積是540，最小公倍數是90，則這兩個數分別是多少？
例5：已知甲、乙兩個數的和是125，它們的最大公因數是25，求這兩個數。
能力沖浪5
1、兩個數的最大公因數是21，這兩個數的和是105，求兩個數各是多少？
兩個自然數之和是50，它們的最大公因數是5，那么這兩個自然數的差最小是多少？
3、兩個自然數的最大公因數是7 ，最小公倍數是210，這兩個自然數的和是77。求這兩個數。
例6：500名學生排成一行，先從左到右1～5報數，再從右到左1～6報數，則既報1又報6的學生有幾名？
能力沖浪6
1、將2004名同學排成一行，先從左到右依次按1,2,3,1,2,3,1,2,3……的順序報數，再從右到左依次按1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4……的順序報數，那么兩次都報1的同學一共有幾名？
2、78個小朋友圍成一圈，從某個小朋友開始進行1~18循環報數。如果一圈一圈地報下去，有多少個小朋友報過數字1？有沒有小朋友同時報過5和10？
例7：有一批圖書，總數在1000本以內。若每24本書包成一捆，則最后一捆差2本；若每28本書包成一捆，最后一捆還是差2本；若每32本書包成一捆，則最后一捆是30本。那么這批圖書共有多少本？
能力沖浪7
1、一個盒子里有不多于200塊糖。如果分別以2塊、3塊、4塊或6塊的方式取出糖，盒子內總是剩下1塊，但每次以11塊的方式取出糖，則剛好取完。問：盒子里共有多少塊糖？
隨堂練習
甲數是18，甲、乙兩數的最大公因數和最小公倍數分別是6、126，那么乙數是多少
2、已知兩數的最大公因數是21，最小公倍數是126，這兩數的和是多少
3、兩個整數的和是95，最小公倍數是450，求這兩個數。
4、兩個自然數的乘積是240，最小公倍數是60，則這兩個數分別是多少
5、A、B兩個數的最小公倍數是210，它們的積是1260，它們的和是72。求這兩個數的差。
6、兩個自然數的最大公因數是18，最小公倍數是180，這兩個數的差是54，求這兩個數。
7、兩個自然數的差是4，它們的最大公因數與最小公倍數的積為252，求這兩個自然數。
8、放暑假的前一天，靜靜、小剛和阿羅三位好朋友商量好暑假里去“快樂圖書城”看書。靜靜每2天去一次，小剛每3天去一次，阿羅每4天去一次，7月2日那天，他們三人第一次在圖書館相遇，那么，下一次相遇在幾月幾日
9、小華從家到郵局的路上每隔50米有一根電線桿，加上兩端的兩根一共有55根電線桿?，F在進行線路改造，改成每隔60米安裝一根電線桿，那么包括兩端共有多少根不必移動？
10、幼兒園一個班借閱圖書，若借35本，平均分發給每個小朋友還差1本；若借56本，平均分給每個小朋友后還剩兩本；若借69本，平均分發給每個小朋友后則差3本。這個班的小朋友最多有多少人？
第十四講 帶余除法
例1：有一堆蘋果，不論分成5個一堆，還是8個一堆，最后都多出2個。這堆蘋果至少有多少個？
能力沖浪1
1、同學們做操，排成3行少1人.排成4行多3人,排成5行多4人。至少有多少人做操
2、有一堆小棒，9根一捆多7根，10根一捆多8根，15根一捆多13根。這堆小棒至少有多少根
3、學生們在馬路一側的樹上掛標志牌，若每隔4棵樹掛一塊，則最后一塊標志牌后有3棵樹；若每隔6棵樹掛一塊，則最后一塊標志牌后有4棵樹；若每隔12棵樹掛一塊，則最后一塊標志牌后還有11棵樹。問路的一側共有多少棵樹？
例2：一堆糖果，4個一數多1個，9個一數多4個，11個一數多9個，這堆糖果至少有多少個？
能力沖浪2
1、一盒圍棋子，四只四只數多3只，六只六只數多5只，十五只十五只數多14只，這盒圍棋子的數量在150～200只之間，這盒圍棋子有多少只？
2、六（3）班幾十名學生分組進行課外活動，若5人一組則少1人，若6人一組則少1人，若8人一組則少5人，問此班有多少名學生？
3、一位婦女提一籃雞蛋，三個三個地數余1個，五個五個地數余2個，七個七個地數余6個，這籃雞蛋至少有多少個？
例3：一個自然數，除以4余2，除以10余8，除以25余23。這個數最小是多少？
能力沖浪3
1、某數除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，這個數最小是多少
2、一個數，除以5余1，除以7余2，除以9余4。這個數最小是多少？
3、一個數除以3余1，除以5余3，除以7余4，這個數最小是多少
例4：在1—100中，哪個自然數除以3，除以5都余1，且能被7整除
能力沖浪4
1、某實驗小學鼓號隊的學生在操場上列隊，只知道人數在90~110之間，排成3列無余，排成5列不足2人，排成7列不足4人。共有學生多少人參加列隊？
2、已知2008被一些自然數除，得到的余數都是10，這些自然數共有多少個？
3、甲、乙兩人做同一個數的帶余除法，甲將其除以8，乙將其除以9，甲所得
的商與乙所得的余數之和為13，求甲所得的余數。
例5：如果某數除492、2241、3195都余15，那么這個數是多少？
能力沖浪5
1、713、1103、830、947被某一自然數除，所得余數相同（不為零），求除數。
2、三個數23、51、72各除以大于1的同一個自然數，得到同一個余數，那么這個除數是多少？
3、有三個自然數a、b、c，已知b除以a，商3余3；c除以a，商9余11。那么c除以b，得到的余數是多少？
隨堂練習
1、同學們做操,無論排成6人一行,8人一行,10人一行,最后一行都只站3人。至少有多少人做操
2、一個數除以5余4，除以9余7。這個數最小是多少
3、一個整數,除以8缺3，除以12余5，除以18余5。這個數最小是多少
4、一個數,除以3余2，除以5余4，除以7余3，這個數最小是多少
5、某班同學排隊，如果每隊3人，就多出1人；每排5人，就多出3人；每排7人，就多出2人。這個班至少有多少同學？
6、被2、3、5除都余1，且不等于1的最小整數是多少
7、已知一個兩位數除1477，余數是49。那么滿足這樣條件的所有兩位數有幾個？
第十六講 分數提升題
例1：一個分數，分子與分母的和是24，如果分子減去2，這個分數就等于1。那么原分數是多少？
能力沖浪1
1、一個分數，分子分母之和是30，如果是分子上加8，這個分數就是1。這個分數是多少？
2、一個分數約成最簡分數是，原來分子分母和是185，原分數是多少？
3、一個分數，分子與分母的和是128，如果分子乘3，這個分數就等于1。原分數是多少？
例2：的分子和分母同時減去一個數，新的分數約分后是，同時減去的數是多少？
能力沖浪2
1、的分子和分母同時減去一個數，約分后得，減去的數是多少？
2、的分子分母同時減去一個數化簡后得，求所減的這個數是多少？
3、的分子和分母同時減去一個數，新的分數約分后是，同時減去的數是多少？
例3：一個最簡分數的分子加上3，這個分數就等于；如果它的分子減去3，這個分數等于，原來的最簡分數是多少？
能力沖浪3
1、一個最簡分數，如果它的分子加上一個數，那么這個分數就等于；如果它的分子減去同一個數，那么這個分數就等于，原來的最簡分數是多少？
2、一個最簡分數，在它的分子上加上一個數，這個分數就等于；如果在它的分子上減去同一個數，這個分數就等于。這個分數為多少？
3、一個分數分子加上1，其值是1；分子減去1，其值是。求這個分數。
例4：一個真分數的分子、分母是連續的兩個自然數，如果分母加上4，這個分數約分后是。原來這個分數是多少？
能力沖浪4
1、一個真分數的分子、分母是連續的兩個自然數，如果分母加上4，這個分數約分后是。原來這個分數是多少？
2、一個真分數的分子、分母是相鄰的奇數，如果分母加上3后，這個分數約分為。求原分數是多少？
3、一個分數分子與分母的和是最大的兩位質數，如果分子增加1，那么這個分數就等于1。這個分數是多少？
例5:一個分數的分子加上2，這個分數是1；如果給這個分數的分母加上1，那么這個分數就是。原來的分數是多少
能力沖浪5
1、一個分數的分子加上2，這個分數是1；如果給這個分數的分母加上1，那么這個分數就是。原來的分數是多少
2、的分子減去某數，而分母加上同一個數后約分為。求某數。
3、一個最簡分數，如果分子加上1，分子比分母少3；如果分母加上1，則這個分數的分數值是。原分數是多少？
例6：在的括號里填入適當的自然數，使等式成立。
能力沖浪6
將下列各分數寫成兩個不同的單位分數：
1、 2、
例7: 將 分拆成三個不同的單位分數之和(任求兩解)。
能力沖浪7
將下列各分數分拆成三個不同單位分數之和。
1、 2、
3、 4、
例8：在下面的括號里面填上適當的數字。（各不相同）
能力沖浪8
在下列等式中的括號填上適當的各不相同的自然數，使等式成立。
例9：已知a、b都是自然數，且 ，求a和b的和。
能力沖浪9
將下列各分數寫成兩個單位分數之差。
1、(1) (2)
(3) (4)
隨堂練習
1、一個分數化成小數后是0.45，如果這個分數的分子縮小到原來的，分母擴大到原來的3倍，再化成小數是（ ）。
2、一個分數，把它的分子擴大到原來的2倍，分母縮小到原來的后得到2，原來的分數是（ ），它的分數單位是（ ）。
3、一個分數的分子和分母的和是25，如果分子減去1，那么這個分數就等于2。原數是多少？
4、有一個分數，分子加上1后可約分為，分子減去1后可約分為。求這個分數。
5、 將一個最簡分數的分子加上一個數，約分后就等于；如果將它的分子減去同一個數，約分后就得。這個最簡分數是多少？
的分子、分母同時加上多少后為？
把一個最簡分數的分子加上1，這個分數就等于1；如果把這個分數的分母加上1，這個分數等于。原分數是多少？
8、一個真分數的分子和分母相差102，若這個分數的分子和分母都加上23，所得的新分數約分后得。這個真分數是多少？
9、的分子和分母同時減去一個數，新的分數約分后是。同時減去的數是多少？
10、將下列各分數分拆成不同單位分數之和。（保留過程）
（1）
（2）
（3） （4）
第十七講 分數比較大小
例1：比較、、、這四個分數的大小。
能力沖浪1
1、將下列的分數由小到大的排列起來。
、、、
2、將下列分數由小到大排成一列不等式。
、、、、
3、將下列分數由大到小排成一列不等式。
、、、
4、，。試比較A和B的大小。
例2：比較、、三個分數的大小。
能力沖浪2
將按從小到大的順序排列出來。
2、比較和的大小。
3、比較和的大小。
4、比較的大小。
5、將下列分數由小到大排成一列不等式。
、、、
6、比較與0.001的大小.
例3：比較的大小。
能力沖浪3
1、比較的大小。
2、比較的大小。
例4：比較的大小。
能力沖浪4
如果A=，那么A與B中較大的數是多少？
試比較的大小。
3、小林寫了八個分數，已知其中的五個分數是、、、、，如果這八個分數從小到大排列的第四個分數是，那么按從大到小排列的第三個分數是 。
例5：，試比較A與0.003誰大誰小。
能力沖浪5
如果，試比較A與的大小。
隨堂練習
比較和的大小。
把、、和按從小到大的順序排列。
在、、、、五個分數中，按從大到小的順序排列。
4、把下面的分數按從小到大的順序排列。
、、、、。
5、有八個數，是其中的六位數，如果從小到大排列時，第四個數是0.5111…，那么從大到小排列時，第四個數是哪個？
6、比較的大小。
7、用A表示下面的積：，問：A與0.01相比,誰大誰小
第十八講 平面圖形（三）
例1：
（1）將一張矩形紙片按如圖所示的方式折疊，使得紙片的一個頂點落在一條短邊的中點上。若陰影部分的兩個三角形是彼此全等的三角形，并且未折疊前的矩形紙片的短邊長度是12厘米，請問原來的矩形紙片的面積是多少平方厘米
（2）如圖，兩個等腰直角三角形ABC和DEF的直角邊分別是16厘米和12厘米,求陰影部分的面積。
（3）如圖，正方形ABCD的邊長為10，四邊形EFGH的面積為5，求陰影部分的面積。
例2：
（1）將長為9厘米，寬為6厘米的長方形，劃分成四個三角形，其面積分別為S1、S2,S3、S4且S1=S2=S3+S4。求S4。
（2）如圖，正方形ABCD邊長是7厘米，它的內部有一個三角形BEF,AE長4厘米，DF長2厘米，三角形BEF的面積是多少平方厘米
例3：在正三角形中任意取一點P,連接PA、PB、PC,過P點作三條邊的垂線,E、F.G分別為垂足,已知三角形ABC的面積是24cm2,求陰影部分的面積。
例4：
（1）如圖，正方形ABCD的面積為1,E是BC邊上的中點,求圖中陰影部分的面積。
（2）如圖，四邊形ABCD是一個正方形，邊長是6厘米，E、F分別是CD、BC的中點，求陰影部分的面積。
（3）如圖,正方形ABCD 的邊長是12厘米，CE是4厘米,求陰影部分面積。
例5：
（1）如圖所示，長方形甲被分成四個長方形，長開形乙被分成了四個三角形，已知其中三個部分的面積，則甲、乙面積相比較，正確的結論是（ ）。
甲>乙 B.甲<乙 C.甲=乙 D.不確定
（2）如圖,在直角梯形ABCD中,三角形AED的面積是16平方分米，三角形BCE的面積是18平方分米，BC邊的長度是AD邊的1.5倍,兩個陰影三角形的面積和是多少？
（3）如右圖,長方形ABCD中,△ABP的面積為20平方厘米,△CDQ的面積為35平方厘米。求圖中陰影部分的面積。
（4）如圖,在長方形內有四條線段，把長方形分成若干塊。已知有三塊圖形的面積分別是13、35、49,那么圖中陰影部分的面積是多少
例6：
（1）一個正方形，一邊截去10厘米，另一邊截去8厘米,剩下的面積比原來少280平方厘米。原來的正方形面積是多少平方厘米
（2）正方形的一組對邊各增加14厘米,另一組對邊各減少10厘米,結果得到一個與原正方形面積相等的長方形。原正方形的面積是多少平方厘米
（3）一個長方形，長增加1厘米，寬增加3厘米，面積增加33平方厘米，這時恰好成為一個正方形。那么原長方形的面積是多少平方厘米？
隨堂練習
1、把一塊正方形操場擴建，長增加45米，寬增加20米，新操場的面積比原來增加了6100平方米。求現在長方形操場的面積是多少平方米？
2、如圖，四邊形ABCD 是直角梯形，其中AD =12厘米，AB=8厘米，BC=15厘米，且△ADE，四邊形DEBF及△CDF的面積相等，求三角形EBF的面積。
3、在一個面積為18平方厘米的等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分成三段(如右下圖)，求圖中涂色部分的面積。
4、如圖所示,△ABC 中,OA=OD, BD= 2CD,△ABC的面積是80平方分米,圖中△AEO 和△ODB的面積和是多少平方分米
5、由已知長方形ABCD的面積是120 cm2,E、F是長、寬的中點,求陰影部分的面積。
6、求圖中陰影部分的面積。
7、如右圖,直角梯形 ABCD 中,AE垂直CD于E,AE交BD于O,AB=15厘米,BC=12厘米，陰影部分的面積是15平方厘米。梯形ABCD 的面積是多少平方厘米
第十九講 分數巧算
例1：
能力沖浪1
1、
2、
例2：
能力沖浪2
1、1-
2、
3、
例3：計算
能力沖浪3
1、
例4：
能力沖浪4
1、
2、
3、
例5：
能力沖浪5
1、
2、
例6：
能力沖浪6
1、
2、
3、
例7：
能力沖浪7
1、
2、
例8：
能力沖浪8
1、
2、（1+++）×（+++）－（1++++）×（++）
隨堂練習
1 -
第二十講 圖像問題
1、甲、乙兩小車在同一個地點同時同向做勻速直線運動，它們的s-t圖象如圖所示，由圖象可知（ ）。
A.甲車的速度大于乙車的速度
B.甲車的速度等于乙車的速度
C.甲車的速度小于乙車的速度
D.條件不足，不能確定
2、甲、乙兩車同時同地向相同的方向運動，它們的s-t圖象如圖（a）（b）所示，則下列說法正確的是（ ）。
A.甲車的平均速度等于乙車的平均速度
B.甲車的平均速度小于乙車的平均速度
C.乙車的平均速度等于4m/s
D.經過3秒，甲車在乙車前面的0.3m處
3、甲、乙兩物體同時同地向東出發，其運動的s-t圖象如圖所示。
（1）物體甲在OA段的運動速度（ ）（選填“大于”“小于”或“等于”）BC段的運動速度；物體甲在AB段處于（ ）狀態。
（2）在整個運動過程中，物體甲的平均速度比物體乙的平均速度（ ）。
4、物體甲、乙、丙、丁做勻速直線運動的路程隨時間變化的關系圖象如圖所示，關于物體運動情況，下列說法正確的是（ ）。
A.甲物體的速度比乙物體的速度大
B.在t=25min時，甲、乙、丙三物體運動的速度是相等的
C.在t=25min時，甲、乙、丙三物體走過的路程一樣大
D.在t=20min時，乙、丁兩物體相遇
5、一輛慢車與一輛快車分別從甲、乙兩地同時出發，勻速相向而行，兩車在途中相遇后都停留一段時間，然后分別按原速一同駛往甲地后停車。設慢車行駛的時間為x小時，兩車之間的距離為y千米，圖中折線表示y與x之間的函數圖象，請根據圖象解決下列問題：
（1）甲乙兩地之間的距離為( )千米；
（2）求快車和慢車的速度；
（3）求在點D時兩車之間的距離，在點E時的時間。
6、一輛汽車出發前油箱中有36升汽油，行駛若干小時后，在途中加油若干，油箱中的剩余油量（升）與行駛時間t（時）之間的關系如下圖，請根據圖象填空:
（1）汽車行駛了________小時后加油。
（2）中途加油_______升。
（3）加油后油箱中的油最多可以行駛________小時。
（4）如果加油站距離目的地還有220千米，汽車每小時行駛40千米，汽車到達目的地油箱中的池是否夠用？說明理由。
7、如圖表示一艘輪船和一艘快艇沿相同路線從甲港出發到乙港行駛過程中路程隨時間變化的圖象．根據圖象解答下列問題：
（1）甲乙兩港之間的距離是________千米；
（2）輪船和快艇在途中（不包括起點和終點）行駛的速度分別是多少？
（3）問快艇出發多長時間趕上輪船？
8、下面折線圖是教育專線公交車從A 站過B 站到C 站以及返同時的路程與時間的關系。去時在B 站停車，而返回時B站不停，去時的行駛速度為每分鐘600米。那么此公交車往返時的平均速度是多少？
如下圖，電車從A 站經過B 站到達C 站，然后返回。去時在B 站停車，而返回時不停。去時的車速為每小時48千米。
（1）A 站與B 站相距( ) 千米，B 站與C 站相距( )千米。
（2）返回時每小時行多少千米？
（3）電車往返的平均速度是多少千米/時？
10、一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發，設慢車行駛的時間為x(h)，兩車之間的距離為y，圖中的折線表示y與x之間的關系。
（1）甲、乙兩地之間的距離為 千米；
（2）請解釋圖中點B 的實際意義；
（3）求慢車和快車的速度。
第二十一講 行程問題
例1：客車和貨車同時從A、B兩地相向開出，客車每小時行80千米，貨車每小 時行60千米，兩車在距中點30千米處相遇。求A、B兩地相距多少千米？
能力沖浪1
1、甲、乙兩輛車同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A地85千米處相遇。相遇以后兩人繼續前進，到達目的地后立刻返回，第二次相遇在離B地45千米處。A、B 兩地相距多少千米？
2、小明跑步的速度是步行速度的3倍，他每天從家到學校都是步行。有一天，由于晚出發10分鐘，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，這樣與平時到達學校的時間一樣。小明每天步行上學要多少分鐘？
3、甲、乙兩人繞周長為1000米的環形廣場競走，已知甲每分鐘走125米，乙的速度是甲的2倍?，F在甲在乙的后面250米，乙追上甲需要多少分鐘？
例2：有小姜、小儀、小琳三個小朋友,小姜每分鐘走80米,小儀每分鐘走70米,小琳每分鐘走60米?，F在小姜從A地,小儀和小琳從B地同時出發相向而行,小姜和小儀相遇后,過了5分鐘又小琳相遇。那么,A、B兩地相距多少米
能力沖浪2
1、甲、乙、丙三人步行的速度分別是每分鐘100米、90米、75米。甲在公路上A處，乙、丙在公路上B處，三人同時出發，甲與乙、丙相向而行。甲和乙相遇3分鐘后，甲和丙又相遇了。求A、B之間的距離。
2、甲、乙、丙三人行走的速度分別是每分鐘60米、80米、100米。甲、乙二人從B地同時同向出發，丙從A地同時同向去追甲和乙。丙追上甲后又經過10分鐘才追上乙。求A、B兩地的路程。
例3：狗和兔進行100米賽跑，當狗跑到終點時，兔離終點還有10米；如果兔的起跑線不變，狗將起跑線向后移10米，那么先到達終點時，后者離終點多少米？
能力沖浪3
1、王云和陳芝進行200米賽跑，王云讓陳芝先跑30米自己才起跑。當陳芝離終點90米時，王云離終點100米。那么，先到的到終點時，另一人距終點多少米？
2、張平和李華進行200米賽跑，同時起跑，當張平離終點80米時，李華離終點140米；張平跑到終點時，李華離終點多少米？
3、甲、乙、丙三人都以均勻的速度練習400米跑步，同時起跑，當甲到達終點時，乙離終點80米，丙離終點160米；當乙到達終點時，丙離終點多少米？
例4：一只獵狗發現在離它18米遠的前方有一只狐貍在跑，馬上緊追上去，獵狗跑2步的路程狐貍要跑3步，而獵狗跑5步的時間，狐貍可跑7步，獵狗跑多少米能追上狐貍？
能力沖浪4
獵狗追趕前方15米處的野兔，獵狗跑3步的時間野兔跑5步，獵狗跑4步的距離野兔要跑7步，獵狗至少跑出多少米才能追上野兔？
2、獵狗追趕前方30米處的野兔。獵狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子動作快，獵狗跑3步的時間兔子能跑4步。獵狗至少跑出多遠才能追上野兔？
3、主人追他的狗,狗跑3步時間主人跑2步，但主人的1步距離是狗的2步距離,狗跑出10步后,主人開始追,主人追上狗時,狗共跑出了多少步
例5：甲、乙兩隊學生同時從學校出發去距離42千米的郊外夏令營，只有一輛車接送，且只能乘坐一個隊的學生。 甲隊學生坐車從學校出發的同時，乙隊學生開始步行，車到途中某處讓甲隊學生下車步行去營地，車立即返回接乙隊學生并直接開到營地，結果兩隊學生同時到達。已知學生步行速度為每小時4千米，汽車載學生時的速度為每小時 40 千米，空車速度為每小時 50 千米，求他們在路上共用了多少小時？
能力沖浪5
1、A、B兩地相距130千米，已知人的步行速度是每小時5千米，摩托車的行駛速度是每小時50千米，摩托車后座只可帶1人。問：有三人(包括騎摩托車的人) 丙配備一輛摩托車從A地到B地最少要多少小時？
甲、乙兩人同時從 A 地出發沿公路向距離為60千米的B地前進，路上兩人或者騎車或者步行。由于僅有一輛自行車，所以途中任一時刻至多有一人騎車。騎車的人可以隨時將車放在路上繼續步行前進，也可以不騎車。結果甲比乙晚2小時， 若步行速度為每小時 5千米，騎車速度為每小時15千米，則甲至少步行多少千米？
3、有150名同學要到相距90千米的某地參加活動，但只有一輛可乘50名的汽 接送學生。汽車的速度是每小時70千米，若同學們步行的速度是每小時10千米， 請設計一種乘車和步行的方案，使150人全部到達目的地所需時間最少。 (上、下 車時間忽略不計)
例6：兩個小朋友在地上玩電動玩其汽車相遇游戲，甲車每分鐘走50厘米，乙車每分鐘走60厘米，如果兩車同時從兩地相向開出，當然會在同一地點相遇。這一次，甲車先出發，結果兩車提前1分鐘相遇。那么，甲車比乙車提前幾分鐘出發
能力沖浪6
B兩鎮之間每天有公交車往返行駛，早上六點半兩站準時發車，并且在同一地點相遇。某天A鎮的公交車因故提前出發,于是比平時早6分鐘與B站的車相遇。A鎮車每分鐘行500米,B鎮車每分鐘行450米,那么這一天A鎮車早出發幾分鐘
隨堂練習
1、甲、乙兩車同時從A、B兩地相向而行，在距A地60千米處相遇，它們各自到達對方車站后立即返回，途中又在距A地40千米處相遇。A、B 兩地相距多少千米？
2、 甲、乙兩地間的路程是600千米，上午 8 時客車以每小時60千米的速度從甲地開往乙地，貨車以每小時50千米的速度從乙地開往甲地。要使兩車在全程的中點相遇，貨車必須在上午幾時出發？
3、從甲地到乙地，先騎自行車行駛19分鐘，再騎摩托車行駛8分鐘到達。如果騎摩托車行駛10分鐘，再騎自行車行駛13分鐘也恰好到達。如果全程都騎自行車，要行多少分鐘？
4、甲、乙、丙三人步行的速度分別是每分鐘 100米、90米、75米。甲在公路上的A處，乙、丙在公路上的B處，三人同時出發， 甲與乙、丙相向而行。 甲和乙相遇 3 分鐘后， 甲和丙又相遇了。求 A 、B 之間的距離。
5、小林和小磊沿著同一條100米的跑道賽跑，小林由起跑線上起跑，小磊在小林后8米處同時起跑，當小林離終點還有12米時，小磊追上他．那么當小磊跑到終點時，小林離終點還有幾米？
6、一只野兔逃出100步后獵狗才開始追它，野兔跑8步的路程獵狗只需跑3步，獵狗跑4步的時間兔子能跑9步，獵狗至少要跑多少步才能追上野兔？
7、甲、乙兩班學生同時從學校出發去距離35千米的公園玩，學校只有一輛汽車接送，恰好能乘坐一個班的學生。已知學生步行速度為每小時 4 千米，汽車載學生時的速度為每小時40千米，空車速度為每小時50千米。兩個班的學生在最短時間內同時到達公園需用多少小時？
第二十二講 時鐘問題
例1：已知鐘表上60小格，一圈是360度，則分針1小時轉多少度 時針1小時轉多少度 分針速度是時針速度的多少倍
能力沖浪1
1、3:00時，分針落后時針 度，15分鐘內，分針走 度，時針走 度，因此3:15時，時針與分針的夾角是 度。
2、當時鐘表示1時45分時，時針和分針所成的鈍角是多少度
例2：現在是12時，從現在開始，分針與時針什么時刻第一次重合在一起
能力沖浪2
1、現在是2時，從現在開始，分針與時針什么時刻第一次重合在一起 第二次呢
2、現在是7時40分，從現在開始過多長時間時針與分針第一次重合
例3：現在是3時，從3時到15時，12個小時內時針與分針共重合幾次
能力沖浪3
1、某人下午六時多外出買東西，出門時看手表，發現表的時針和分針的夾角為550，七時前回家時又看手表，發現時針和分針的夾角仍是550。那么此人外出多少分鐘
2、在7時到8時之間的什么時刻，鐘面上時針與分針成30度角
例4：6時鐘以后，什么時刻分針與時針第一次成直角
能力沖浪4
1、8時多少分的時候，分針與時針第一次形成75度角
2、在9時到10時之間的什么時刻，鐘面上時針與分針成30度角
隨堂練習
1、在16時16分這個時刻，鐘表盤面上時針和分針的夾角是多少度
2、有一座時鐘現在顯示10時整。那么，經過多少分鐘，分針與時針第一次重合；再經過多少分鐘，分針與時針第二次重合
3、2時鐘以后，什么時刻分針與時針第一次成直角 什么時刻第二次成直角
4、現在是12時40分，時針與分針所成的鈍角是多少度
5、在8時到9時之間的什么時刻，鐘面上時針與分針成30度角
第二十三講 幻方與數陣
例1：如圖所示，將1~9這九個自然數填入3×3的方格表中，使得每行、每列以及兩條對角線上的三個數字之和都相等。
能力沖浪1
1、將3~11這九個自然數填入下面的方格中，使橫、豎、斜行三個數的和相等。
2、用5~13這九個自然數填寫一個三階幻方。
3、將從2開始的9個連續偶數填入下圖中，使橫、豎、斜行三個數的和相等。
例2：下圖是一個三階幻方，請說明"幻和"等于3倍的 E 且 D + F =2×E。
能力沖浪2
1、下圖是一個三階幻方，請說明A + B =2×C。
2、請完成下面的三階幻方。
3、下圖是一個三階幻方，請在下表的空白處填上適當的數。
例3：將1~16這16個數分別填在四階方陣的各個小格中，使其構成一個四階幻方。
能力沖浪3
1、將2~17這16個自然數分別填入下面的各個小格中，使每行每列及每條對角線上四個數的和都相等。
2、將1~16這16個自然數分別填入圖中的圓圈內，使五個正方形的四個頂點上的圓圈內的數之和都等于34。
例4：將1~9這九個自然數填入圖中的方格內，使每行、每列及對角線上的三個數中，兩端之和減去中間數所得差都相等（差陣圖）。
能力沖浪4
1、把3~11這九個自然數填入圖中的方格中，使它構成一個九宮差陣（即每行、每列、每條對角線上的數，兩端之和減去中間數所得的差都相等）。
2、如圖所示，將4，5，6，10，11，12，16，17,18這九個數填入九宮格中，使每行、每列及每條對角線上三個數的和都相等。
例5：用1~25這二十五個自然數構成一個五階幻方。
能力沖浪5
1、使用"羅伯法"將20~28排成一個三階幻方。
2、用1~49這四十九個數構成一個七階幻方。
例6：將1~12這十二個自然數填入圖中的12個區域內，使得每個圓圈內的4個數之和都相等。
能力沖浪6
1、將1~9這九個自然數分別填入下圖中的九個圓圈內，使圖中每條直線上圓圈內所填數之和都相等，那么這個相等的和為（ ）（圖中有7條直線）。
2、下圖中有5個圓，它們相交相互分成9個區域，現在有兩個區域里已經分別填上10和6，請在另外七個區域中分別填進2,3,4,5,7,8,9七個數，使每個圓內的數字之和等于15。
隨堂練習
1、用8~16這九個自然數填寫一個三階幻方。
2、將5，10，15，20，25，30，35，40,45這九個數填入九宮格中，使其構成一個三階幻方。
3、在下表的空白處填上適當的數，使其構成一個三階幻方。
4、下表中九個方格填入的數構成一個三階幻方。那么，空格“？”處的數是什么？
5、請完成下面的三階幻方。
6、在下圖的六個圓圈內填入1或2，使每個大圓周上的四個數字之和互不相等。
7、在圖中的空格內各填入一個數字，使得每行、每列、每條對角線上方格中的四個數都是1,2,3,4。
8、將3~18這16個自然數填入圖中的方格內，使每行、每列、兩條對角線上的四個數的和都相等。
9、將1,3,5,7,9,…,29,31這十六個奇數填入圖中的方格里，使每行、每列及每條對角線上四個數的和相等。
10、在下表中填上九個不同的數字，使之成為一個三階幻方，且幻和為24。

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