資源簡介

(共20張PPT)
5 一元二次方程的根與系數的關系
1.通過閱讀課本學生可以掌握一元二次方程根與系數的關系，提高學生解決問題的能力
2.通過自主探究經歷探索一元二次方程根與系數的關系的過程，培養學生的邏輯推理和數學運算能力.
3.通過對根與系數之間關系的探究，體會事物之間的聯系，發展學生歸納和推理論證的能力 .
舊知回顧
1.一元二次方程的求根公式是什么？
2.如何用判別式b -4ac來判斷一元二次方程根的情況？
(①b -4ac>0,方程有兩個不相等的實數根；②b -4ac=0，方程有兩個相等的實數根；③b -4ac<0，方程沒有實數根)
( )
一天，小王去小明家玩，當時小明正為墨跡不小心污染了一道解一元二次方程的習題而愁眉不展，小王翻看了后面的答案后立馬幫他補全了題目.這讓解方程一向熟練的小明很驚訝，忙急著問小王有什么“秘法”.
小王的“秘法”
16世紀法國最杰出的數學家韋達最早發現代數方程的根與系數之間存在的特殊關系，因此,人們把這個關系稱為韋達定理。數學原本只是韋達的業余愛好，但就是這個業余愛好，使他取得了偉大的成就。韋達是第一個有意識地和系統地使用字母表示數的人，并且對數學符號進行了很多改進。是他確定了符號代數的原理與方法，使當時的代數學系統化,并且把代數學作為解析的方法使用。因此，他獲得了“代數學之父”之稱。
1.請同學們閱讀課本49-50頁內容并思考.
2.請同學們完成下面的表格：
-3 -4
自主探究 （10min）
3.完成表格后，請同學們思考以下問題：
①針對表格中第一個方程，猜想：若方程x +px+q=0 的根為x ,x ,則x +x 與x x 的值與p,q之間的關系是什么
②針對表格中第二、三個方程，猜想：方程ax +bx+c=0(a≠0)的兩根x ,x 之和、之積與a,b,c之間的關系是什么
③你能證明一下上述兩個猜想嗎
（證明略）
x +x =-p, x x =q
（ ）
利用根與系數的關系，求一元二次方程2x +3x-1=0的兩個根的平方和與倒數和.
小組展示
我提問
我回答
我補充
我質疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越優秀
知識點 2：一元二次方程的根與系數關系的應用（難點）
（1）驗根.不解方程，利用根與系數的關系可以檢驗兩個數是不是一元二次方程的兩個根；
（2）已知方程的一個根，求方程的另一個根及未知系數；
知識點 1：一元二次方程的根與系數的關系(重點)
如果一元二次方程 的兩個實數根是
那么 注意它的使用條件為(
(3)不解方程，可以利用根與系數的關系求關于 x ，x 的代數式的值.此時，常 常涉及代數式的一些重要變形，如：
① ②
③ ④
⑦
⑧
(4)已知方程的兩根，寫出一個一元二次方程；
以x ,x 為根的一元二次方程是x -(x +x )x+x x =0.
(5)已知一元二次方程的兩根滿足某種關系，確定方程中字母系數的值或取值范圍；
(6)利用一元二次方程根與系數的關系可以進一步討論根的符號.
設一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的兩根為x ,x ,則
①當Δ>0且x x >0時,兩根同號.
當Δ>0且 x x >0,x +x >0時,兩根同為正數;
當Δ>0且x x >0,x +x <0|時，兩根同為負數.
②當Δ>0且x x <0時,兩根異號.
當Δ>0且x x <0,x +x >0時,兩根異號且正根的絕對值較大;
當Δ>0且x x <0,x +x <0|時，兩根異號且負根的絕對值較大.
【點石成金】
利用根與系數的關系求出一元二次方程中的待定系數后， 一定要驗證方程的
Δ.考試中，往往利用這一點設置陷阱.
【題型一】利用一元二次方程根與系數的關系求值
例 1: 若x ,x 是一元二次方程x -7x+5=0的兩根,則x x 的值是( )
A.7 B.-7 C.5 D.-5
變式： 設方程2x -4x+1=0的兩個根為x ,x ,則則x +x 的值是( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
C
C
【題型二】通過化簡、變形利用一元二次方程根與系數的關系求值
例 2： 已知關于 x的一元二次方程x -mx-2=0有兩個實數根 x ,x ,
若3x +3x -x x =5,則 m的值為( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
變式1：已知x ,x 是一元二次方程x -6x+3=0的兩個實數根，則
( )
A. B.2 C.-4 D.4
變式2： 設 x ，x 是一元二次方程x +x-3=0的兩個根,那么x1 -4x2 +19的值等于( )
A.-4 B.8 C.6 D.0
B
D
A
【題型三】利用一元二次方程根與系數的關系求參數
例 3： 若關于x的一元二次方程x -(m -m-6)x-6=0的兩個根互為相反數，則m的值為( )
A.3或-2 B.-2 C.3 D.2或-3
A
變式： 若關于x的一元二次方程x +(2+k)x+k =0的兩根互為倒數，則k=( )
A.3 B.1 C.-1 D.±1
B
點撥:設x ,x 是x +(2+k)x+k =0的兩根，
∵方程x +(2+k)x+k =0的兩根互為倒數，∴k =1,解得k=±1.
∵方程有兩個實數根,∴Δ=b -4ac=(2+k) -4k =-3k +4k+4>0,
當 k=1時,Δ=-3+4+4=5>0,∴k=1符合題意;
當 k=-1時,Δ=-3-4+4=-3<0,
∴k=-1不符合題意.∴k=1,故選 B.
1.教材習題：完成課本50頁隨堂練習.
2.作業本作業：完成對應練習
3.實踐性作業：上網查詢一元二次方程的根與系數的相關論述并進行小組交流.

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