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高中物理懸疑追蹤之
《導體棒與電感線圈回路》問題解密
湖北省武漢市2024屆高中畢業生二月調研考試物理試卷中壓軸題是一道單桿切割磁感線并對電感線圈供電的題目。該題綜合了動生電動勢，自感電動勢、簡諧運動等相關物理知識，是一道選拔超一流學生的好題。
一、原題分析：
試卷15題.如圖，兩平行軌道固定于水平面內，其中、是兩小段絕緣材料，其余部分是金屬材料，軌道間距為，軌道間分布著磁感應強度大小為、方向豎直向下的勻強磁場。軌道左側接入包含電動勢為的直流電源、電容為的電容器、單刀雙擲開關構成的電路，軌道右側接入自感系數為的電感線圈。質量為、電阻為的金屬棒垂直放置于軌道左側某處，質量也為、電阻不計的金屬棒垂直放置于絕緣材料上。現將接1，待電容器充電完畢后，再將接2。之后，運動達到穩定狀態，再與發生彈性碰撞。不考慮其它電阻，不計一切摩擦，忽略電磁輻射，、均始終與軌道接觸良好。
（1）接通2瞬間，求金屬棒的加速度大小；
（2）求金屬棒運動達到穩定狀態時的速度大小；
（3）某同學查閱教材后得知，電感線圈的自感電動勢正比于電流的變化率，由此他猜測金屬棒在運動過程中做簡諧運動。請證明。
解析：（1）根據題意可知，開始將接1，電容器充電完畢后，電容器兩端電壓為
開關S接2，電容器通過金屬棒a放電，此時電流為
由牛頓第二定律有
解得
（2）根據題意可知，當a棒產生的感應電動勢等于電容器兩端的電壓時，a棒做勻速運動，由法拉第電磁感應定律
電容器兩端的電壓
設在時間內，a棒的速度變化為，而
由動量定理有
對上式兩邊求和有
解得
（3）a棒與b棒發生彈性碰撞，交換速度，即
b棒運動后和電感線圈L構成回路，b棒產生的感應電動勢與電感線圈L產生的自感電動勢始終大小相等。設在時間內，b棒的速度為，電流的變化為。有
解得
對上式兩邊求和有
則棒所受安培力
由楞次定律可知，安培力方向與b棒位移x方向始終相反，故做簡諧運動。
原理分析：
干電池和電感線圈比較：
我們先來看干電池的例子，從干電池內部看，電動勢的方向是電池負極指向電池正極，當把干電池看做電路的一部分時，干電池兩端電壓的方向是從電池正極指向電池負極。干電池的電動勢和兩端電壓本質上是在描述同一個量，只不過電動勢是從非靜電力做功，“電源”這個局部角度來看的，而電壓是從電路中一個“普通器件”這個整體角度來看的。正是因為非靜電力作用形成的電動勢才使得干電池兩端存在電壓。
再來看電感的例子，在這里舉一個增大的變化電流通過電感來敘述。我們先用定理規律來判定物理量方向，從電感內部的角度看，由電磁感應和楞次定律可知，電感會產生自感電動勢，在閉合回路中有自感電流，自感電流會阻礙原電感電流的變化，故在自感電流方向與電感電流方向相反。而在電感內部，自感電流方向與自感電動勢方向是一致的（可以參考干電池內部電動勢的方向和電流方向是一致的），所以自感電動勢方向與電感電流方向相反。
把電感當做一個普通器件來看，根據u＝Ldi/dt可知，i>0，i又是增長的，所以u>0。所以電壓u的方向和電流一致。綜上可知自感電動勢方向和電感兩端電壓方向相反。若只考慮電感兩端的電壓問題，是可以把電感等效為一個“電源”的。相比于干電池化學作用產生的非靜電力，電感形成電動勢的非靜電力來源于變化磁場在導體中產生的渦旋電場。把電感當做“電源”來想，變化的磁場產生了“電源”中的電動勢，這里稱為自感電動勢，再把這樣一個“電源”放到電路中從“普通器件”視角看兩端必定有電壓差。
（二）幾個基本概念：
首先搞清楚幾個基本概念端電壓：即電勢差，規定高電勢到低電勢為正。電動勢：非靜電力將正電荷從電池負極移動到正極做功，規定電池內部負極到正極（低電勢到高電勢）的方向為正。標量的方向（正負）：電動勢、電流、端電壓都是標量，需要選定一個參考方向以確定它們的方向（正負）
（三）純阻值與自感線圈：
我們可以這樣分析：內阻為0時，假設自感線圈的自感電動勢不等外電源加在兩端的電壓時，線圈兩端出現電勢差，根據歐姆定律，在線圈內阻為零時，電流一定瞬間增大到一個很大的值，劇烈變化的電流會立刻引起自感電動勢阻止電流變化，直到電流不再變化，也就是到達內外電勢差為0，所以自感線圈的自感電動勢等于外電源加在線圈兩端的電壓。
沒有電勢差不意味著沒有電流，比如忽略阻值的導線就有電流通過。既然忽略電阻，就沒有歐姆定律的電勢降落。電流不會被衰減掉。有電勢差反而會導致電流無窮大。下面我來全面細致分析：
（四）為什么自感線圈在忽略內阻時的自感電動勢等于外電源加在兩端的電壓
由于電感上的電壓與電流之間存在關系：
三、鞏固訓練：
1．如圖所示的電路中，已知電源電動勢E＝20V，R1＝20Ω，R2＝10Ω，L是純電感線圈，電源內阻忽略不計，則當S閉合電路穩定時，a、b兩端的電壓為多少？在斷開S的瞬間，a、b間的電壓為多少？
解析：當S閉合電路穩定時，線圈L相當于理想導線，電阻R1和R2并聯，流過R1和R2的電流分別為I1和I2，則I1＝＝1A，I2＝＝2A，即流過L的電流為2A
L兩端電壓Uab＝0
斷開S的瞬間，流過L的電流仍然為2A，且從a向b，L和R1、R2構成閉合電路，電感線圈相當于電源向R1、R2供電，且保證電流仍為2A，a、b兩端電壓等于R1、R2兩電阻上的電壓降之和
Uab＝I2（R1＋R2）＝60V
2．如圖所示，傾角為、間距為d的光滑導軌的上端，連接一自感系數為L的線圈，空間存在垂直于導軌平面向下、磁感應強度大小為B的勻強磁場，現將一根質量為m的導體棒從導軌上某處由靜止釋放，由于電路中的總電阻極小，此后導體棒在導軌上做往復運動。已知重力加速度大小為g，求：
（1）導體棒剛釋放時的加速度大小；
（2）導體棒沿導軌下降的最大距離及運動過程中的最大速度。
解析：（1）剛釋放時對導體棒，有
解得
故導體棒剛釋放時的加速度大小為。
（2）導體棒兩端產生的動生電動勢始終等于線圈產生的自感電動勢，設導體棒的速度為v時產生的動生電動勢為e，導體棒沿導軌下降的距離為x時，導體棒的加速度為a，電路中的電流為i，則有
，
綜上可得
對上式兩邊求和得
對導體棒，有
可得
根據作出圖像如圖所示
可得
根據
v2=2ax
可知圖像與坐標軸圍成的面積的兩倍等于導體棒速度的平方，當導體棒處于，速度最大，有
解得
故導體棒沿導軌下降的最大距離及最大速度分別為和。
3.一個磁感應強度為B的勻強磁場，垂直于一軌距為l的導軌平面，軌道平面與水平面有α的傾角．一根無摩擦的導體棒，質量為m，橫跨在兩根金屬導軌上，如圖所示，若開關依次接通1、2，使阻值為R(其余電阻均不計)、電感為L的元件與棒構成電路，當從靜止放開導體棒后，求棒的穩定運動狀態.
解析：導體棒受一恒力作用，產生動生電動勢，這樣的“電源”與電阻、電感線圈構成電路，在不同的電路條件下會產生不同的效應，棒的穩定狀態也就不同.
開關接2，導體棒與電感線圈構成回路，棒開始以加速度gsinα運動，隨著速度增加，棒產生的動生電動勢增大，增大的電流通過電感線圈，使線圈兩端的電壓隨棒的動生電動勢而增大.
電壓與電流有關系:Blvi=L，即ΔI==Δx，因初始時I=0，x=0，可知開始運動后棒上電流與棒的位移成正比，即I=x，據牛頓第二定律棒的運動方程為:mgsinα-Bx·l=ma，即ma=mgsinα-x，若將x坐標原點取為棒的平衡位置，即為棒下滑A=處，此點速度最大，合力為零，A為棒運動最大位移．在任意位置：
有:ma=ΣF=mgsinα-(A+x)
=mgsinα-(+x)
=－x，
這說明棒所受合力為與棒對平衡位置的位移成正比而方向相反的線性力，故棒做簡諧運動運動周期:
振幅：
振動方程：
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