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2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 ★★高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)按難度與題型歸納
第I卷 160分部分
一、填空題
答卷提醒：重視填空題的解法與得分，盡可能減少失誤，這是取得好成績(jī)的基石!
A、1～4題，基礎(chǔ)送分題，做到不失一題！
A1.集合性質(zhì)與運(yùn)算
1、性質(zhì)：
①任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為；
②空集是任何集合的子集，記為；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果，同時(shí)，那么A = B．
如果．
【注意】：
①Z= {整數(shù)}（√） Z ={全體整數(shù)} （×）
②已知集合S 中A的補(bǔ)集是一個(gè)有限集，則集合A也是有限集．（×）
③ 空集的補(bǔ)集是全集．
④若集合A=集合B，則CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）．
2、若Ａ={}，則Ａ的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空真子集有個(gè).
3、
4、 De Morgan公式:；.
【提醒】：數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具.
在具體計(jì)算時(shí)不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。
A2.命題的否定與否命題
*1.命題的否定與它的否命題的區(qū)別：
命題的否定是,否命題是.
命題“或”的否定是“且”,“且”的否定是“或”.
*2.?？寄Ｊ剑?br/>全稱命題p：；全稱命題p的否定p：.
特稱命題p：；特稱命題p的否定p：.
A3.復(fù)數(shù)運(yùn)算
*1.運(yùn)算律：⑴； ⑵； ⑶.
【提示】注意復(fù)數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)、三角等運(yùn)算率的適用范圍.
*2.模的性質(zhì)：
⑴； ⑵； ⑶.
*3.重要結(jié)論：
⑴；
⑵； ⑶； ⑷，；
⑸性質(zhì)：T=4；.
【拓展】：或.
A4.冪函數(shù)的的性質(zhì)及圖像變化規(guī)律：
(1)所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖像都過點(diǎn)；
(2)時(shí)，冪函數(shù)的圖像通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖像下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖像上凸；
(3)時(shí)，冪函數(shù)的圖像在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖像在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖像在軸上方無限地逼近軸正半軸．
【說明】：對(duì)于冪函數(shù)我們只要求掌握的這5類，它們的圖像都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)(0,0)和(0,1)，并且時(shí)圖像都經(jīng)過(1,1)，把握好冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像就可以了.
A5.統(tǒng)計(jì)
1.抽樣方法：
(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽簽法、隨機(jī)樣數(shù)表法)常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的主要特征是從總體中逐個(gè)抽取.
(2)分層抽樣，主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中有明顯差異.共同點(diǎn)：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等（）.
2.總體分布的估計(jì)就是用總體中樣本的頻率作為總體的概率.
總體估計(jì)掌握：一“表”(頻率分布表)；兩“圖”(頻率分布直方圖和莖葉圖).
⑴頻率分布直方圖
用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖稱為頻率分布直方圖。頻率分布直方圖就是以圖形面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大小.
①頻率=.
②小長(zhǎng)方形面積=組距×=頻率.
③所有小長(zhǎng)方形面積的和=各組頻率和=1.
【提醒】：直方圖的縱軸(小矩形的高)一般是頻率除以組距的商(而不是頻率)，橫軸一般是數(shù)據(jù)的大小，小矩形的面積表示頻率.
⑵莖葉圖
當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù)，即第二個(gè)有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊像植物莖上長(zhǎng)出來的葉子，這種表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖。
3.用樣本的算術(shù)平均數(shù)作為對(duì)總體期望值的估計(jì)；
樣本平均數(shù)：
4.用樣本方差的大小估計(jì)總體數(shù)據(jù)波動(dòng)性的好差(方差大波動(dòng)差).
(1)一組數(shù)據(jù)
①樣本方差 ；
②樣本標(biāo)準(zhǔn)差
=
(2)兩組數(shù)據(jù)與,其中,.則,它們的方差為,標(biāo)準(zhǔn)差為
③若的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)為，方差為.
樣本數(shù)據(jù)做如此變換：，則，.
B、(5～9，中檔題，易丟分，防漏/多解)
B1.線性規(guī)劃
1、二元一次不等式表示的平面區(qū)域：
（1）當(dāng)時(shí)，若表示直線的右邊，若則表示直線的左邊.
（2）當(dāng)時(shí)，若表示直線的上方，若則表示直線的下方.
2、設(shè)曲線（），則或所表示的平面區(qū)域：
兩直線和所成的對(duì)頂角區(qū)域（上下或左右兩部分）.
3、點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系：
若曲線為封閉曲線（圓、橢圓、曲線等），則，稱點(diǎn)在曲線外部；
若為開放曲線（拋物線、雙曲線等），則，稱點(diǎn)亦在曲線“外部”.
4、已知直線，目標(biāo)函數(shù).
①當(dāng)時(shí)，將直線向上平移，則的值越來越大；直線向下平移，則的值越來越??；
②當(dāng)時(shí)，將直線向上平移，則的值越來越??；直線向下平移，則的值越來越大；
5、明確線性規(guī)劃中的幾個(gè)目標(biāo)函數(shù)（方程）的幾何意義：
（1），若，直線在y軸上的截距越大，z越大，若，直線在y軸上的截距越大，z越小.
（2）表示過兩點(diǎn)的直線的斜率，特別表示過原點(diǎn)和的直線的斜率.
（3）表示圓心固定，半徑變化的動(dòng)圓，也可以認(rèn)為是二元方程的覆蓋問題.
（4）表示到點(diǎn)的距離.
（5）；
（6）；
（7）；
【點(diǎn)撥】：通過構(gòu)造距離函數(shù)、斜率函數(shù)、截距函數(shù)、單位圓x2+y2=1上的點(diǎn)及余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化達(dá)到解題目的。
B 2.三角變換：
三角函數(shù)式的恒等變形或用三角式來代換代數(shù)式稱為三角變換．
三角恒等變形是以同角三角公式，誘導(dǎo)公式，和、差、倍、半角公式，和差化積和積化和差公式，萬能公式為基礎(chǔ)．
三角代換是以三角函數(shù)的值域?yàn)楦鶕?jù)，進(jìn)行恰如其分的代換，使代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角式，然后再使用上述諸公式進(jìn)行恒等變形，使問題得以解決．
三角變換是指角(“配”與“湊”)、函數(shù)名(切割化弦)、次數(shù)(降與升) 、系數(shù)(常值“1”) 和 運(yùn)算結(jié)構(gòu)(和與積)的變換，其核心是“角的變換”.
角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.
變換化簡(jiǎn)技巧：角的拆變，公式變用，切割化弦，倍角降次，“1”的變幻，設(shè)元轉(zhuǎn)化，引入輔角，平方消元等.
具體地：
（1）角的“配”與“湊”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，還應(yīng)注意一些配湊變形技巧，如下：
，；
，；
；
；
，；
；
等.
（2）“降冪”與“升冪”（次的變化）
利用二倍角公式和二倍角公式的等價(jià)變形，，可以進(jìn)行“升”與“降”的變換，即“二次”與“一次”的互化.
（3）切割化弦（名的變化）
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)，以便于解題.經(jīng)常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.
（4）常值變換
常值可作特殊角的三角函數(shù)值來代換.此外，對(duì)常值 “1”可作如下代換：等.
（5）引入輔助角
一般的，，期中.
特別的，;
，
等.
（6）特殊結(jié)構(gòu)的構(gòu)造
構(gòu)造對(duì)偶式，可以回避復(fù)雜三角代換，化繁為簡(jiǎn).
舉例：，
可以通過兩式和，作進(jìn)一步化簡(jiǎn).
（7）整體代換
舉例：
，，可求出整體值，作為代換之用.
B 3.三角形中的三角變換
三角形中的三角變換，除了應(yīng)用公式和變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)．
(1)角的變換
因?yàn)樵谥?，（三?nèi)角和定理），所以
任意兩角和：與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.
銳角三角形：①三內(nèi)角都是銳角；②三內(nèi)角的余弦值為正值；
③任兩角和都是鈍角；④任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.
即，；；．
；；.
(2)三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理．
面積公式：.
其中為三角形內(nèi)切圓半徑，為周長(zhǎng)之半．
(3)對(duì)任意，；
在非直角中，．
(4)在中，熟記并會(huì)證明：
*1.成等差數(shù)列的充分必要條件是．
*2.是正三角形的充分必要條件是成等差數(shù)列且成等比數(shù)列．
*3.三邊成等差數(shù)列；.
*4.三邊成等比數(shù)列,.
(5)銳角中, ，；
.
【思考】：鈍角中的類比結(jié)論
(6)兩內(nèi)角與其正弦值：
在中，，…
(7)若，則.
B 4.三角恒等與不等式
組一
組二
……
組三 常見三角不等式
(1)若，則；
(2) 若，則；
(3) ；
(4)在上是減函數(shù)；
B5.概率的計(jì)算公式：
⑴古典概型：；
①等可能事件的概率計(jì)算公式：；
②互斥事件的概率計(jì)算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)；
③對(duì)立事件的概率計(jì)算公式是：P()=1－P(A)；
④獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式是：P(A B)＝P(A) P(B)；
⑤獨(dú)立事件重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式是：
(是二項(xiàng)展開式[(1－P)+P]n的第(k+1)項(xiàng)).
⑵幾何概型：若記事件A={任取一個(gè)樣本點(diǎn)，它落在區(qū)域}，則A的概率定義為
注意：探求一個(gè)事件發(fā)生的概率，常應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分解(分類或分步)轉(zhuǎn)化思想處理：把所求的事件轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識(shí))；轉(zhuǎn)化為若干個(gè)互斥事件中有一個(gè)發(fā)生的概率；利用對(duì)立事件的概率，轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率；看作某一事件在n次實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件. 事件互斥是事件獨(dú)立的必要非充分條件，反之，事件對(duì)立是事件互斥的充分非必要條件.
【說明】：條件概率：稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率。
注意：①；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
B6. 排列、組合
（1）解決有限制條件的(有序排列，無序組合)問題方法是：
①直接法：
②間接法：即排除不符合要求的情形
③一般先從特殊元素和特殊位置入手.
（2）解排列組合問題的方法有：
①特殊元素、特殊位置優(yōu)先法
元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；
位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。
②間接法（對(duì)有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）)。
③相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。
④不相鄰(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）。
⑤多排問題單排法。
⑥多元問題分類法。
⑦有序問題組合法。
⑧選取問題先選后排法。
⑨至多至少問題間接法。
⑩相同元素分組可采用隔板法。
涂色問題先分步考慮至某一步時(shí)再分類.
（3）分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成組問題別忘除以.
B7.最值定理
①，若積，則當(dāng)時(shí)和有最小值；
②，若和，則當(dāng)是積有最大值.
【推廣】：已知，則有.
（1）若積是定值，則當(dāng)最大時(shí)，最大；當(dāng)最小時(shí)，最小.
（2）若和是定值，則當(dāng)最大時(shí)，最小；當(dāng)最小時(shí)，最大.
③已知，若，則有：
④，若則有：
B8.求函數(shù)值域的常用方法：
①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的特征來求解；
【點(diǎn)撥】：二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間上的最值；二是求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意開口方向和對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系.
②逆求法：通過反解，用來表示，再由的取值范圍，通過解不等式，得出的取值范圍，型如的函數(shù)值域；
④換元法：化繁為間，構(gòu)造中間函數(shù)，把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單易求值域的函數(shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，通過代換構(gòu)造容易求值域的簡(jiǎn)單函數(shù)，再求其值域；
⑤三角有界法：直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，如轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，再運(yùn)用其有界性來求值域；
⑥不等式法：利用基本不等式求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，型如，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧；
⑦單調(diào)性法：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域，常結(jié)合導(dǎo)數(shù)法綜合求解；
⑧數(shù)形結(jié)合法：函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，可根據(jù)函數(shù)的幾何意義，如斜率、距離、絕對(duì)值等，利用數(shù)與形相互配合的方法來求值域；
⑨分離常數(shù)法：對(duì)于分子、分母同次的分式形式的函數(shù)求值域問題，把函數(shù)分離成一個(gè)常數(shù)和一個(gè)分式和的形式，進(jìn)而可利用函數(shù)單調(diào)性確定其值域．
⑩判別式法：對(duì)于形如（,不同時(shí)為）的函數(shù)常采用此法．
【說明】：對(duì)分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：
1.型，可直接用不等式性質(zhì)；
2.型，先化簡(jiǎn)，再用均值不等式；
3.型，通常用判別式法；
4.型，可用判別式法或均值不等式法；
導(dǎo)數(shù)法：一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)求值域.……
B9.函數(shù)值域的題型
(一) 常規(guī)函數(shù)求值域：畫圖像，定區(qū)間，截段.
常規(guī)函數(shù)有：一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，對(duì)號(hào)函數(shù).
(二) 非常規(guī)函數(shù)求值域：想法設(shè)法變形成常規(guī)函數(shù)求值域.
解題步驟：(1)換元變形；
(2)求變形完的常規(guī)函數(shù)的自變量取值范圍；
(3)畫圖像，定區(qū)間，截段。
(三) 分式函數(shù)求值域 ：四種題型
(1) ：則且.
(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范圍解不等式求y的范圍.
(3)：
，則且.
(4)求的值域，當(dāng)時(shí)，用判別式法求值域。
，值域.
(四) 不可變形的雜函數(shù)求值域： 利用函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)趨勢(shì)圖像，定區(qū)間，截段.
判斷單調(diào)性的方法：選擇填空題首選復(fù)合函數(shù)法，其次求導(dǎo)數(shù)；大題首選求導(dǎo)數(shù)，其次用定義。詳情見單調(diào)性部分知識(shí)講解.
(五) 原函數(shù)反函數(shù)對(duì)應(yīng)求值域：原函數(shù)的定義域等于反函數(shù)值域，原函數(shù)值域等于反函數(shù)定義域.
(六) 已知值域求系數(shù)：利用求值域的前五種方法寫求值域的過程，將求出的以字母形式表示的值域與已知值域?qū)φ涨笞帜溉≈祷蚍秶?
B10.應(yīng)用基本不等式求最值的“八種變形技巧”：
⑴湊系數(shù)（乘、除變量系數(shù)）.例1.當(dāng) 時(shí)，求函的數(shù)最大值.
⑵湊項(xiàng)（加、減常數(shù)項(xiàng)）：例2.已知 ，求函數(shù)的最大值.
⑶調(diào)整分子：例3.求函數(shù)的值域；
⑷變用公式：基本不等式有幾個(gè)常用變形： , ，，.前兩個(gè)變形很直接，后兩個(gè)變形則不易想到，應(yīng)重視；例4.求函數(shù)的最大值；
⑸連用公式：例5.已知，求的最小值；
⑹對(duì)數(shù)變換：例6.已知，且，求的最大值；
⑺三角變換：例7.已知，且，求的最大值；
⑻常數(shù)代換（逆用條件）：例8.已知，且，求的最小值.
B11.“單調(diào)性”補(bǔ)了“基本不等式”的漏洞：
⑴平方和為定值
若（為定值，），可設(shè)，其中.
①在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；
②在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；
③.令，其中.由，得，從而在上是減函數(shù).
⑵和為定值
若（為定值，），則
①在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；
②.當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).
③在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；
⑶積為定值
若（為定值，），則
①.當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；
②.當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；
③在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).
⑷倒數(shù)和為定值
若（為定值，），則成等差數(shù)列且均不為零，可設(shè)公差為，其中，則得.
①.當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上減函數(shù)；
②.當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；
③.令，其中且，從而在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).
B12.理解幾組概念
*1. 廣義判別式
設(shè)是關(guān)于實(shí)數(shù)的一個(gè)解析式， 都是與有關(guān)或無關(guān)的實(shí)數(shù)且，則是方程有實(shí)根的必要條件，稱“”為廣義判別式.
*2. 解決數(shù)學(xué)問題的兩類方法：
一是從具體條件入手,運(yùn)用有關(guān)性質(zhì),數(shù)據(jù),進(jìn)行計(jì)算推導(dǎo),從而使數(shù)學(xué)問題得以解決；二是從整體上考查命題結(jié)構(gòu),找出某些本質(zhì)屬性,進(jìn)行恰當(dāng)?shù)暮怂?從而使問題容易解決,這一方法稱為定性核算法.
*3. 二元函數(shù)
設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立的變量與在其給定的變域中中，任取一組數(shù)值時(shí)，第三個(gè)變量就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那末變量稱為變量與的二元函數(shù).記作：. 其中與稱為自變量，函數(shù)也叫做因變量，自變量與的變域稱為函數(shù)的定義域.
把自變量、及因變量當(dāng)作空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)，先在平面內(nèi)作出函數(shù)的定義域；再過域中得任一點(diǎn)作垂直于平面的有向線段，使其值為與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；
當(dāng)點(diǎn)在中變動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡就是函數(shù)的幾何圖形.它通常是一張曲面，其定義域就是此曲面在平面上的投影.
*4. 格點(diǎn)
在直角坐標(biāo)系中，各個(gè)坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn)（又稱整數(shù)點(diǎn)）.在數(shù)論中，有所謂格點(diǎn)估計(jì)問題.在直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，這樣的多邊形叫做格點(diǎn)多邊形.特別是凸的格點(diǎn)多邊形，它是運(yùn)籌學(xué)中的一個(gè)基本概念.
*5. 間斷點(diǎn)
我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn).
*6. 拐點(diǎn)
連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點(diǎn)稱為此曲線上的拐點(diǎn).
如果在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來判定的拐點(diǎn).
(1)求；
(2)令，解出此方程在區(qū)間內(nèi)實(shí)根；
(3)對(duì)于(2)中解出的每一個(gè)實(shí)根，檢查在左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，若符號(hào)相反，則此點(diǎn)是拐點(diǎn)，若相同，則不是拐點(diǎn).
*7.駐點(diǎn)
曲線在它的極值點(diǎn)處的切線都平行于軸，即.這說明，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它的駐點(diǎn)(又稱穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn))；但是，反之，可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)，卻不一定是它的極值點(diǎn).
*8. 凹凸性
定義在上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意的都有，則稱是上的凸函數(shù).定義在上的函數(shù)如果滿足：對(duì)任意的都有，則稱上的凹函數(shù).
【注】：一次函數(shù)的圖像（直線）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等號(hào)成立）.
若曲線弧上每一點(diǎn)的切線都位于曲線的下方，則稱這段弧是凹的；若曲線弧上每一點(diǎn)的切線都位于曲線的上方，則稱這段弧是凸的.連續(xù)曲線凹與凸部分的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).
B13. 了解幾個(gè)定理
*1. 拉格朗日中值定理:
如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那末在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使成立.這個(gè)定理的特殊情形，即：的情形.描述如下：
若在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使成立.
*2. 零點(diǎn)定理：
設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且．那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)（＜＜）使．
*3. 介值定理：
設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同函數(shù)值，，那么對(duì)于之間任意的一個(gè)數(shù)，在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得（＜＜）．
*4. 夾逼定理：
設(shè)當(dāng)時(shí)，有，且，則必有
【注】：：表示以為的極限，則就無限趨近于零．（為最小整數(shù)）
C、10～12，思維拓展題，稍有難度，要在方法切入上著力
C1.線段的定比分點(diǎn)公式
設(shè)，，是線段的分點(diǎn)，是實(shí)數(shù)，且（或=），則
（）
推廣1：當(dāng)時(shí)，得線段的中點(diǎn)公式：
推廣2：則（對(duì)應(yīng)終點(diǎn)向量）．
三角形重心坐標(biāo)公式：△ABC的頂點(diǎn)，重心坐標(biāo)：
注意：在△ABC中，若0為重心，則，這是充要條件．
【公式理解】：
*1.λ是關(guān)鍵()
(內(nèi)分) λ>0 (外分) λ<0 (λ<-1) (外分) λ<0 (-1<λ<0)
若P與P1重合，λ=0 P與P2重合，λ不存在 P離P2 P1無窮遠(yuǎn)，λ=
*2.中點(diǎn)公式是定比分點(diǎn)公式的特例；
*3.始點(diǎn)終點(diǎn)很重要，如若P分的定比λ=，則P分的定比λ=2；
*4.知三求一；
*5.利用有界性可求一些分式函數(shù)取值范圍；
*6.＝則是三點(diǎn)共線的充要條件.
C 2. 抽象函數(shù)
抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件（如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)問題.
求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：
(1)借助模型函數(shù)探究抽象函數(shù)：
①正比例函數(shù)型：.
②指數(shù)函數(shù)型：.
③對(duì)數(shù)函數(shù)型：.
④冪函數(shù)型：,.
⑤三角函數(shù)型：,,,.
,.
（2）利用函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等）進(jìn)行演繹探究：
（3）利用一些方法（如賦值法（令＝0或1，求出或、令或等）、遞推法、反證法等）進(jìn)行邏輯探究。
C 3.函數(shù)圖像的對(duì)稱性
(1)一個(gè)函數(shù)圖像自身的對(duì)稱性
性質(zhì)1：對(duì)于函數(shù)，若存在常數(shù)使得函數(shù)定義域內(nèi)的任意，都有的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.
【注】：亦然.
【特例】，當(dāng)時(shí)，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.
【注】：亦然.
性質(zhì)2：對(duì)于函數(shù)，若存在常數(shù)使得函數(shù)定義域內(nèi)的任意，都有的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
【特例】：當(dāng)時(shí)，的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
【注】：亦然.
事實(shí)上，上述結(jié)論是廣義奇(偶)函數(shù)的性質(zhì).
性質(zhì)3：設(shè)函數(shù)，如果對(duì)于定義域內(nèi)任意的，都有，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.(這實(shí)際上是偶函數(shù)的一般情形)廣義偶函數(shù).
性質(zhì)4：設(shè)函數(shù)，如果對(duì)于定義域內(nèi)任意的，都有，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(實(shí)際上是奇函數(shù)的一般情形)廣義奇函數(shù).
【小結(jié)】函數(shù)對(duì)稱性的充要條件
函數(shù)關(guān)系式() 對(duì)稱性
函數(shù)圖像是奇函數(shù)
函數(shù)圖像是偶函數(shù)
或 函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱
或 函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
【注】：這里代數(shù)關(guān)系式中兩個(gè)“”（對(duì)應(yīng)法則）內(nèi)的“”（變量）前的正負(fù)號(hào)相異，如果把兩個(gè)“”放在“”的兩邊，則“”前的正負(fù)號(hào)也相異.因?yàn)閷?duì)稱性關(guān)乎翻轉(zhuǎn).
(2)兩個(gè)函數(shù)圖像之間的對(duì)稱性
1.函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.
2.函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.
3.函數(shù)與的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
4.函數(shù)與它的反函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.
5.函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.
特別地，函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.
C4.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定)
(1)若，或，則的周期；
(2)若，或，或 ，或，
或，或，或，
或，或，則的周期；
(3)若，則的周期；
(4)若，或，或，或
，或，或且，則的周期；
(5)若，則的周期；
(6)若，則的周期.
【說明】函數(shù)滿足對(duì)定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù)（其中為常數(shù)）,都有等式成立.上述結(jié)論可以通過反復(fù)運(yùn)用已知條件來證明.
C5.對(duì)稱性與周期性的關(guān)系
定理1：若定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于直線和對(duì)稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.
推論1：若函數(shù)滿足及，則是以為周期的周期函數(shù).
定理2：若定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)和直線對(duì)稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.
推論2：若函數(shù)滿足及，則是以為周期的周期函數(shù).
定理3：若定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)和對(duì)稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.
推論3：若函數(shù)滿足及，則是以為周期的周期函數(shù).
C6.函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心舉例
函 數(shù) 滿 足 的 條 件 對(duì)稱軸(中心)
滿足的函數(shù)的圖像[或]
滿足的函數(shù)的圖像[或]
滿足的函數(shù)的圖像
滿足的函數(shù)的圖像
滿足的函數(shù)的圖像(偶函數(shù))
滿足的函數(shù)的圖像(奇函數(shù))
滿足與的兩個(gè)函數(shù)的圖像
滿足與的兩個(gè)函數(shù)的圖像
滿足與的兩個(gè)函數(shù)的圖像
C7.函數(shù)周期性、對(duì)稱性與奇偶性的關(guān)系
1、定義在上的函數(shù),若同時(shí)關(guān)于直線和對(duì)稱,即對(duì)于任意的實(shí)數(shù),函數(shù)同時(shí)滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù).
2、定義在上的函數(shù),若同時(shí)關(guān)于直線和點(diǎn)對(duì)稱,即對(duì)于任意的實(shí)數(shù),函數(shù)同時(shí)滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是奇函數(shù).
3、定義在上的函數(shù),若同時(shí)關(guān)于點(diǎn)和直線對(duì)稱,即對(duì)于任意的實(shí)數(shù),函數(shù)同時(shí)滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù).
4、定義在上的函數(shù),若同時(shí)關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)對(duì)稱,即對(duì)于任意的實(shí)數(shù),函數(shù)同時(shí)滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是奇函數(shù).
5、若偶函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，即對(duì)于任意的實(shí)數(shù),函數(shù)滿足，則是以為周期的周期函數(shù).
6、若偶函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即對(duì)于任意的實(shí)數(shù),函數(shù)滿足，則是以為周期的周期函數(shù).
7、若奇函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，即對(duì)于任意的實(shí)數(shù),函數(shù)滿足，則是以為周期的周期函數(shù).
8、若奇函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即對(duì)于任意的實(shí)數(shù),函數(shù)滿足，則是以為周期的周期函數(shù).
【拓展】：
1、若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.
2、若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
3、定義在上的函數(shù)滿足，且方程恰有個(gè)實(shí)根，則這個(gè)實(shí)根的和為.
4、定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
C8.關(guān)于奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系.
① 如果奇函數(shù)在區(qū)間上是遞增的,那么函數(shù)在區(qū)間上也是遞增的;
② 如果偶函數(shù)在區(qū)間上是遞增的,那么函數(shù)在區(qū)間上是遞減的;
【思考】：結(jié)論推導(dǎo)
C 9.幾何體中數(shù)量運(yùn)算導(dǎo)出結(jié)論
數(shù)量運(yùn)算結(jié)論涉及到幾何體的棱、側(cè)面、對(duì)角面、截面等數(shù)量關(guān)系及幾何性質(zhì).
1.在長(zhǎng)方體中：
①體對(duì)角線長(zhǎng)為，外接球直徑；
②棱長(zhǎng)總和為；
③全(表)面積為，體積；
④體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為則有
cos2+cos2+cos2=1，sin2+sin2+sin2=2.
⑤體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則有
cos2+cos2+cos2=2，sin2+sin2+sin2=1.
2.在正三棱錐中：①側(cè)棱長(zhǎng)相等(側(cè)棱與底面所成角相等)頂點(diǎn)在底上射影為底面外心；②側(cè)棱兩兩垂直(兩對(duì)對(duì)棱垂直)頂點(diǎn)在底上射影為底面垂心；③斜高長(zhǎng)相等(側(cè)面與底面所成角相等)且頂點(diǎn)在底上在底面內(nèi)頂點(diǎn)在底上射影為底面內(nèi)心.
3.在正四面體中：設(shè)棱長(zhǎng)為，則正四面體中的一些數(shù)量關(guān)系：
①全面積；②體積；③對(duì)棱間的距離；
④相鄰面所成二面角；⑤外接球半徑；⑥內(nèi)切球半徑；
⑦正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各面距離之和為定值.
4.在立方體中：
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則
①體對(duì)角線長(zhǎng)為，②全面積為，③體積，④內(nèi)切球半徑為,外接球半徑為,與十二條棱均相切的球半徑為,則
,,,且
【點(diǎn)撥】：立方體承載著諸多幾何體的位置關(guān)系特征，只要作適當(dāng)變形，如切割、組合、扭轉(zhuǎn)等處理，便可產(chǎn)生新幾何體.貌似新面孔，但其本原沒變.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球體等問題時(shí)，如果一般識(shí)圖角度受阻，不妨嘗試根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的“正方體”，將問題化歸到基本幾何體中，會(huì)有意想不到的效果.
5.在球體中：
球是一種常見的簡(jiǎn)單幾何體．球的位置由球心確定，球的大小僅取決于半徑的大小．球包括球面及球面圍成的空間區(qū)域內(nèi)的所有的點(diǎn)．球面是到球心的距離等于定長(zhǎng)(半徑) 的點(diǎn)的集合．
球的截面是圓面，其中過球心的截面叫做大圓面．球面上兩點(diǎn)間的距離，是過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)，計(jì)算球面距離的關(guān)鍵是“根據(jù)已知經(jīng)緯度等條件，先尋求球面上兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng)”，因?yàn)榇讼议L(zhǎng)既是球面上兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng)，又是大圓上兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng)．
球心和截面圓的距離與球的半徑及截面圓半徑之間的關(guān)系是.
掌握球面上兩點(diǎn)、間的距離求法：
⑴計(jì)算線段的長(zhǎng)；⑵計(jì)算球心角的弧度數(shù)；⑶用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧的長(zhǎng).
【注】：“經(jīng)度是‘小小半徑所成角’，緯度是‘大小半徑的夾角’”.
【補(bǔ)充】：
一、四面體．
1．對(duì)照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質(zhì)：
①四面體的六條棱的垂直平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的外接球的球心；
②四面體的四個(gè)面組成六個(gè)二面角的角平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的內(nèi)接球的球心；
③四面體的四個(gè)面的重心與相對(duì)頂點(diǎn)的連接交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為3︰1；
④12個(gè)面角之和為720°，每個(gè)三面角中任兩個(gè)之和大于另一個(gè)面角，且三個(gè)面角之和為180°．
2．直角四面體：有一個(gè)三面角的三個(gè)面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當(dāng)于平面幾何的直角三角形．（在直角四面體中，記V、l、S、R、r、h分別表示其體積、六條棱長(zhǎng)之和、表面積、外接球半徑、內(nèi)切球半徑及側(cè)面上的高），則有空間勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD．
3．等腰四面體：對(duì)棱都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形．根據(jù)定義不難證明以長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)的三條面對(duì)角線的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個(gè)等腰四面體拼補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體．
（在等腰四面體ABCD中，記BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，體積為V，外接球半徑為R，內(nèi)接球半徑為r，高為h），則有
①等腰四面體的體積可表示為；
②等腰四面體的外接球半徑可表示為；
③等腰四面體的四條頂點(diǎn)和對(duì)面重心的連線段的長(zhǎng)相等，且可表示為；
④h = 4r．
二、空間正余弦定理．
空間正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D
空間余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D
6.直角四面體的性質(zhì)：
在直角四面體中,兩兩垂直,令,則
⑴底面三角形為銳角三角形；
⑵直角頂點(diǎn)在底面的射影為三角形的垂心；
⑶；
⑷；
⑸；
⑹外接球半徑R=.
7. 球的組合體
(1)球與長(zhǎng)方體的組合體:
長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)．
(2)球與正方體的組合體:
正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng), 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng), 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)．
(3)球與正四面體的組合體:
棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,
外接球的半徑為．
C10.圓錐曲線幾何性質(zhì)
如果涉及到其兩“焦點(diǎn)”，優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到其“焦點(diǎn)”、“準(zhǔn)線”或 “離心率”，優(yōu)先選用圓錐曲線第二定義；此外，如果涉及到焦點(diǎn)三角形的問題，也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用.
橢圓方程的第一定義：
雙曲線的第一定義：
圓錐曲線第二定義（統(tǒng)一定義）：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．簡(jiǎn)言之就是 “（數(shù)的統(tǒng)一）”，橢圓，雙曲線，拋物線相對(duì)關(guān)系（形的統(tǒng)一）如右圖.
當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；
當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；
當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線；
當(dāng)時(shí)，軌跡為圓（，當(dāng)時(shí)）．
圓錐曲線的對(duì)稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特殊點(diǎn)線、圓錐曲線的變化趨勢(shì).其中，橢圓中、雙曲線中.
圓錐曲線的焦半徑公式如下圖：
特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點(diǎn)弦的最值及其“頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等相互之間與坐標(biāo)系無關(guān)的幾何性質(zhì)”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點(diǎn)弦最值的特點(diǎn).
C11.函數(shù)圖像變換（主要有平移變換、翻折變換、對(duì)稱變換和伸縮變換等）.
1.平移變換
向量平移法則：
按平移得，即按平移得，當(dāng)時(shí)，向右平移，時(shí)，向左平移.當(dāng)時(shí)，向上平移，時(shí)向下平移.對(duì)于“從到”是“左加右減，上加下減”，對(duì)于平移向量“”是“左負(fù)右正，上正下負(fù)”.
【小結(jié)】：“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論
①點(diǎn)按向量平移后得到點(diǎn).
②函數(shù)的圖像按向量平移后得到圖像，則的函數(shù)解析式為.
③圖像按向量平移后得到圖像，若的解析式，則的函數(shù)解析式為.
④曲線：按向量平移后得到圖像，則的方程為.
⑤向量按向量平移后得到的向量仍然為.
2.翻折變換
(1)由得到，就是把的圖像在軸下方的部分作關(guān)于軸對(duì)稱的圖像，即把軸下方的部分翻到軸上方，而原來軸上方的部分不變.
(2)由得到，就是把的圖像在軸右邊的部分作關(guān)于軸對(duì)稱的圖像，即把軸右邊的部分翻到軸的左邊，而原來軸左邊的部分去掉，右邊的部分不變.
3.伸縮變換
(1)設(shè)點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，在變換的作用下，點(diǎn)對(duì)應(yīng)于點(diǎn)，函數(shù)在變換下得到
(2)將的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得?br/>即
4.對(duì)稱變換
(1)函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱即可得到；
(2)函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱即可得到；
(3)函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可得到；
(4)函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱得到.
(5)函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱即可得到；
.
【注意】：函數(shù)圖像平移和伸縮變換應(yīng)注意的問題
(1) 觀察變換前后位置變化：.函數(shù)圖像的平移、伸縮變換中，圖像的特殊點(diǎn)、特殊線也作相應(yīng)的變換.
(2) 觀察變換前后量變化：直線、雙曲線、拋物線通過伸縮變換后仍分別為直線、雙曲線、拋物線，但可以改變直線的傾斜角，雙曲線的離心率、拋物線的開口大小及它們的位置；
深刻理解圓錐曲線在形和數(shù)上的統(tǒng)一.
(2)圖像變換應(yīng)重視將所研究函數(shù)與常見函數(shù)（正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、“函數(shù)”及函數(shù)等）相互轉(zhuǎn)化.
(3)理解等軸雙曲線與反比例函數(shù)圖像的本質(zhì)聯(lián)系.
(4)應(yīng)特別重視“二次三項(xiàng)式”、“二次方程”、“二次函數(shù)”、“二次曲線”之間的特別聯(lián)系,理解函數(shù)、方程、曲線及不等方程的聯(lián)系.
C 12. 借助圖象比較大小
C 13.常用的近似計(jì)算公式（當(dāng)充分小時(shí)）
(1)；.
(2)；.
(3)；.
(4)（為弧度）；（為弧度）；（為弧度）.
C 14.大小比較常用方法：
①作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；
②作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；
③分析法；
④平方法；
⑤分子（或分母）有理化；
⑥利用函數(shù)的單調(diào)性；
⑦尋找中間量與“0”比，與“1”比或放縮法；
⑧圖像法.其中比較法（作差、作商）是最基本的方法.
C 15.不定項(xiàng)填空題易誤知識(shí)點(diǎn)拾遺：
(1)情況存在的“個(gè)數(shù)”問題
①空間中到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)距離都相等的平面＿＿個(gè).（7個(gè)）；
②過直線外一點(diǎn)有＿＿個(gè)平面與該直線平行（無數(shù)個(gè)）；
③一直線與一平面斜交，則平面內(nèi)有＿＿條直線與該直線平行.（0）；
④3條兩兩相交的直線可以確定＿＿個(gè)平面（1個(gè)或3個(gè)）；
⑤經(jīng)過空間外一點(diǎn)，與兩條異面直線都平行的平面有＿＿條（0或1）；
⑥3個(gè)平面可以把空間分＿＿個(gè)部分.（4或6或7或8）；
⑦兩兩相交的4條直線最多可以確定＿＿個(gè)平面（6個(gè)）；
⑧兩異面直線成60°，經(jīng)過空間外一點(diǎn)與它們都成30°（45°，60°，80°）的直線有＿＿條.（1；2；3；4）；
(2)平面與空間的“區(qū)分”問題
1.錯(cuò)誤的命題
①垂直于同一條直線的兩直線平行；
②平行于同一直線的兩平面平行；
③平行于同一平面的兩直線平行；
④過直線外一點(diǎn)只有一條直線與已知直線垂直；
⑤兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線；
⑥一直線與一平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則該直線與這個(gè)平面垂直……
2.正確的命題
①平行于同一條直線的兩條直線平行；
②垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；
③兩平面平行，若第三個(gè)平面與它們相交且有兩條交線，則兩直線平行；
④兩相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線垂直于第三個(gè)平面……
(3)易誤提點(diǎn)：
①是為鈍角的必要非充分條件.
②截距不一定大于零，可為負(fù)數(shù)，可為零；
③常常會(huì)是等式不成立的原因，模為0，方向和任意向量平行，卻不垂直；
④在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，函數(shù)也可能取得極值；導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，一定要既考慮，又要考慮檢驗(yàn)“左正右負(fù)”或“左負(fù)右正”；
⑤直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.
C16．關(guān)于空間問題與平面問題的類比，通常可抓住幾何要素的如下對(duì)應(yīng)關(guān)系作對(duì)比：
多面體 多邊形； 面 邊
體 積 面 積 ； 二面角 平面角
面 積 線段長(zhǎng)； … ….
D、13～14，把關(guān)題，考點(diǎn)靈活/題型新穎/方法隱蔽
D1.熟知幾個(gè)重要函數(shù)
1.
(1) 時(shí)，為“雙鉤函數(shù)”：
① 定義域：；值域?yàn)椋?br/>② 奇偶性：奇函數(shù)（有對(duì)稱中心）；
③ 單調(diào)性：在區(qū)間上單調(diào)遞增；
在區(qū)間上單調(diào)遞減.
④ 極值：時(shí)取到極大值，時(shí)取到極小值.
⑤ 記住的圖像的草圖.
⑥ 不等式性質(zhì)：時(shí)，；
時(shí)， .
(2) 時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù).
【思考】：圖像大致如何分布.
(3)常用地，當(dāng)時(shí)，的特殊性質(zhì)略.
【探究】：①函數(shù)的圖像變化趨勢(shì)怎樣？
②的有關(guān)性質(zhì).
2.
化簡(jiǎn)為，
①定義域：；值域?yàn)榈囊磺袑?shí)數(shù)；
②奇偶性：不作討論；
③單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
④對(duì)稱中心是點(diǎn)；
⑤兩漸近線：直線和直線；
【注意】：兩條漸近線分別由分母為零和分子、分母中的系數(shù)確定.
⑥平移變換：可由反比例函數(shù)圖像經(jīng)過平移得到；
⑦反函數(shù)為；
【說明】：分式函數(shù)與反比例函數(shù)，離心率均為，同源于雙曲線.
3.三次函數(shù)圖像與性質(zhì)初步
*1.定義：形如的函數(shù)叫做三次函數(shù). 定義域?yàn)?值域?yàn)?
*2.解析式：①一般式：；
②零點(diǎn)式：
*3.單調(diào)性：
【探究】：要嘗試研究一個(gè)陌生函數(shù)的一些性質(zhì)，以往在研究二次函數(shù)問題時(shí)，我們需要考慮的因素：①開口方向；②對(duì)稱軸；③端點(diǎn)值；④與坐標(biāo)軸交點(diǎn)；⑤判別式；⑥兩根符號(hào).在研究三角函數(shù)問題時(shí)，又采用過“五點(diǎn)”作圖法.
那三次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，要從那里入手呢？
再結(jié)合探究工具“導(dǎo)數(shù)”，我們不妨從函數(shù)圖像幾何特征角度，如零點(diǎn)、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、凹凸性、極值點(diǎn)區(qū)間等，確定研究的方向，把握三次函數(shù)的一些粗淺性質(zhì).
所以，，導(dǎo)函數(shù)對(duì)稱軸.
【注意】：拐點(diǎn)橫坐標(biāo)所在處，也有可能是駐點(diǎn)所在處.
（“極值判別式”，當(dāng)判別式小于等于零時(shí)，無極值點(diǎn)）
（一）若
令，由根與系數(shù)關(guān)系知：，
兩極值點(diǎn)：
（1）當(dāng)，，，約定，則拐點(diǎn)在軸左邊，極值點(diǎn)分布在軸左邊.根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，嘗試做出如下圖像：
（2）當(dāng)，，時(shí)，拐點(diǎn)在軸左邊，極值點(diǎn)分布在軸兩邊，且左極值點(diǎn)絕對(duì)值大于右極值點(diǎn)絕對(duì)值；
（3）當(dāng)，，時(shí)，拐點(diǎn)在軸右邊，極值點(diǎn)分布在軸右邊，且左極值點(diǎn)絕對(duì)值大于右極值點(diǎn)絕對(duì)值.圖略
（4）當(dāng)，，時(shí)，拐點(diǎn)在軸右邊，極值點(diǎn)分布在軸兩邊，且左極值點(diǎn)絕對(duì)值小于右極值點(diǎn)絕對(duì)值.圖略
（二）若
由知：無極值點(diǎn)，拐點(diǎn)橫坐標(biāo)仍為，所以圖像如右圖所示.
（三）若 即時(shí)，在 R上恒成立， 即在為增函數(shù).
(-∞，) （，+∞)
的符號(hào) + 0 +
的單調(diào)性 ↗ ↗
*4.極值：
函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的充要條件是什么？等價(jià)表述，和單調(diào)性的聯(lián)系
(1)若，則在R上無極值；
(2) 若，則在R上有兩個(gè)極值；且在處取得極大值，在處取得極小值.
*5.零點(diǎn)個(gè)數(shù)(根的性質(zhì))
函數(shù)的圖像與軸有幾個(gè)交點(diǎn)？和函數(shù)的哪些性質(zhì)相聯(lián)系？
（聯(lián)系函數(shù)的極值，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化）
一個(gè)交點(diǎn)：極大值小于0，或者是極小值大于0.也可以表述為“極大值與極小值同號(hào)”；
兩個(gè)交點(diǎn)：極大值等于零，或者極小值等于零；
三個(gè)交點(diǎn)：極大值大于零，極小值小于零.
D2.幾個(gè)重要圖像
1.（） 2.（）
3.（） 4.（）
5. 6.
D3.函數(shù)的零點(diǎn)處理：
（1）的零點(diǎn)（不是點(diǎn)而是數(shù)）的根
與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
的交點(diǎn)問題.
（2）注意討論周期函數(shù)（特別是三角函數(shù)）在某區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.
（3）零點(diǎn)存在定理：?jiǎn)握{(diào)且端點(diǎn)值異號(hào)使.
【說明】：
1.方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根，與不等價(jià)，前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.
特別地，方程有且只有一個(gè)實(shí)根在內(nèi)，等價(jià)于，或且，或且.
2.在上連續(xù)，且，則在上至少有一個(gè)零點(diǎn)（奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)），可能有無數(shù)個(gè)零點(diǎn).，在上可能無零點(diǎn)也可能有無數(shù)個(gè)零點(diǎn).
3.兩個(gè)相同的根只能算一個(gè)零點(diǎn)，零點(diǎn)的表示方法不能用有序?qū)崝?shù)對(duì).
D4.比例的幾個(gè)性質(zhì)
①比例基本性質(zhì)：；
②反比定理：； ③更比定理：；
④合比定理；； ⑤分比定理：；
⑥合分比定理：；⑦分合比定理：；
⑧等比定理：若，，則.
D5.（1）三角形中的 “三線定理”（斯德瓦定理）
在△ABC中，D是BC上任意一點(diǎn)，則．
①若AD是BC上的中線，；
②若AD是∠A的平分線，，其中為半周長(zhǎng)；
③若AD是BC上的高，，其中為半周長(zhǎng)．
（2）三角形“五心”的向量性質(zhì)(P為平面ABC內(nèi)任意一點(diǎn))：
①為的重心
②為的垂心
；
③為的內(nèi)心
④為的外心
；
⑤為中的旁心；
D6.含絕對(duì)值不等式
(1)復(fù)數(shù)集內(nèi)的三角形不等式：
其中左邊在復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的向量共線且反向（同向）時(shí)取等號(hào)，右邊在復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的向量共線且同向（反向）時(shí)取等號(hào).
(2)向量不等式：
【注意】：同向或有；
反向或有；
不共線.(這些和實(shí)數(shù)集中類似)
(3)代數(shù)不等式：
同號(hào)或有；
異號(hào)或有.
D7.重要不等式
1、和積不等式：(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到“”)．
【變形】：①（當(dāng)a = b時(shí)，）
【注意】： ，
② (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào))．
2、均值不等式：
兩個(gè)正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系，即“平方平均算術(shù)平均幾何平均調(diào)和平均”
【拓展】：
①冪平均不等式：
② “算術(shù)平均幾何平均（a1、a2…an為正數(shù)）”：
（a1=a2=…=an時(shí)取等）
3、含立方的幾個(gè)重要不等式（a、b、c為正數(shù)）：
①
②
（，）；
4、柯西不等式：
①（代數(shù)形式）設(shè)均為實(shí)數(shù)，則
，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.
②（向量形式）設(shè)，為平面上的兩個(gè)向量，則，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量方向相同或相反（即兩個(gè)向量共線）時(shí)成立.
③（三角形式）設(shè)為任意實(shí)數(shù)，則：
【思考】：三角形不等式中等號(hào)成立的條件是什么？
④（推廣形式）設(shè)則
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．（約定時(shí)，）
5、絕對(duì)值不等式：
雙向不等式：
（左邊當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，右邊當(dāng)時(shí)取得等號(hào).）
6、放縮不等式：
①，則.
【說明】：（，糖水的濃度問題）.
【拓展】：.
②，，則；
③，；
④，.
⑤,.
D8.三角函數(shù)最值題型及解題捷徑
①；
②；
③；
④（均值不等式法）；
⑤含有或；
⑥.
D9.數(shù)論中的一些淺顯結(jié)論
數(shù)論可以分為：初等數(shù)論，代數(shù)數(shù)論，幾何數(shù)論，解析數(shù)論等.數(shù)論問題，常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆.
主要結(jié)論有：
①帶余除法：若是兩個(gè)整數(shù)，，則存在兩個(gè)整數(shù)使得（），是唯一的.特別地，如果，那么.這時(shí)被整除，記作，也稱是的約數(shù)，是的倍數(shù).
②若，，且互質(zhì)，則.
③唯一分解定理：每一個(gè)大于1的自然數(shù)都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即其中為質(zhì)數(shù)，為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.（1）式稱為的質(zhì)因數(shù)分解或標(biāo)準(zhǔn)分解.
④約數(shù)個(gè)數(shù)定理：設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)分解式為（1），則它的正約數(shù)個(gè)數(shù)為：
⑤整數(shù)集的離散性：與之間不再有其他整數(shù).因此，不等式與是等價(jià)的.
二、解答題
做題提醒：獲得高分不僅需要采取多奪分策略，還須謹(jǐn)記堅(jiān)持少丟分策略
第十五題（三角基礎(chǔ)題）——基礎(chǔ)題你答對(duì)了嗎？
15.1、正弦定理
1.知識(shí)工具：
在△ABC中，（是外接圓直徑 ）.
【變式】：①；
②；
③。
④
在這個(gè)式子當(dāng)中，已知兩邊和一角或已知兩角和一邊，可以求出其它所有的邊和角.
【注明】：正弦定理的作用是進(jìn)行三角形中的邊角互化，在變形中，注意三角形中其他條件的應(yīng)用：
(1)三角形內(nèi)角和定理：
(2)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊
(3)面積公式：
(4)三角函數(shù)的恒等變形
，，，
2.三種題型
①利用正弦定理公式原型解三角形
②利用正弦定理公式的變形(邊角互化)解三角形：關(guān)于邊或角的齊次式可以直接邊角互化.
③三角形解的個(gè)數(shù)的判定：
方法一：畫圖觀察
已知，其中，
⑴為銳角時(shí)：
①時(shí)，無解；
②時(shí)，一解（直角）；
③時(shí)，兩解（一銳角，一鈍角）；
④時(shí)，一解（一銳角）.
⑵為直角或鈍角時(shí)：
①時(shí)，無解；
②時(shí)，一解（銳角）.
方法二：通過正弦定理解三角形，利用三角形內(nèi)角和與三邊的不等關(guān)系檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否符合實(shí)際意義，從而確定解的個(gè)數(shù).
15.2、余弦定理
1.知識(shí)工具：
等三個(gè)；等三個(gè)。
【注明】：余弦定理的作用是進(jìn)行三角形中的邊角互化，當(dāng)題中含有二次項(xiàng)時(shí)，常使用余弦定理.在變形中，注意三角形中其他條件的應(yīng)用.
2.三種題型
①利用余弦定理公式的原型解三角形.
②利用余弦定理公式的變形(邊角互換)解三角形：
凡在同一式子中既有角又有邊的題，要將所有角轉(zhuǎn)化成邊或所有邊轉(zhuǎn)化成角，在轉(zhuǎn)化過程中需要構(gòu)造公式形式.
③判斷三角形的形狀.
根據(jù)余弦定理，當(dāng)，，中有一個(gè)關(guān)系式成立時(shí)，該三角形為鈍角三角形，而當(dāng)，，中有一種關(guān)系式成立時(shí)，并不能得出該三角形為銳角三角形的結(jié)論.
判斷三角形形狀的方法：
(1)將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.
(2)將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為內(nèi)角三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，這時(shí)要注意使用這個(gè)結(jié)論.
在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取出公因式，以免漏解.
15.3、正余弦定理實(shí)際應(yīng)用
求距離 兩點(diǎn)間不可通又不可視 兩點(diǎn)間可視但不可達(dá) 兩點(diǎn)都不可達(dá)
求高度 底部可達(dá) 底部不可達(dá)
①計(jì)算高度；
②計(jì)算距離；
③計(jì)算角度；
④測(cè)量方案的設(shè)計(jì)
實(shí)際應(yīng)用題型的本質(zhì)就是解三角形，無論是什么樣的現(xiàn)象，都要首先畫出三角形的模型，再通過正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解.
15.3、常見結(jié)論
1.①三角學(xué)中的射影公式：在中，.
②三角學(xué)中的射影定理：在中，；.
【思考】“射影定理”、“勾股定理”關(guān)系.
2.正切定理：.
3.三角形面積公式
（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；
；
； （R為外接圓半徑）；
【變形】：S＝＝＝．
（r為內(nèi)切圓半徑）；
【說明】：到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)有4個(gè)，一個(gè)是內(nèi)心，其余3個(gè)是旁心．
如圖：圖1中的I為S△ABC的內(nèi)心， S△=Pr，圖2中的I為S△ABC的一個(gè)旁心，S△=1/2（b+c-a）ra
圖1
附：三角形的五個(gè)“心”：
重心：三角形三條中線交點(diǎn)．
外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn)．
內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)．
垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn)．
旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點(diǎn)．
（5）已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s為△ABC的半周長(zhǎng),即]，則： AE==1/2（b+c-a）；
BN==1/2（a+c-b）；
FC==1/2（a+b-c）；
綜合上述：由已知得，一個(gè)角的鄰邊的切線長(zhǎng)，等于半周長(zhǎng)減去對(duì)邊（如圖4）．
特例：已知在Rt△ABC，c為斜邊，則內(nèi)切圓半徑r=（如圖3）．
；
；.
第十六題（立幾基礎(chǔ)題）——推證不漏一個(gè)條件
16.1、位置關(guān)系證明（主要方法）：
（1）線面平行
思考途徑 I.轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；
II.轉(zhuǎn)化為線線平行；
III.轉(zhuǎn)化為面面平行
支持定理 ①； ②； ③
配圖助記
（2）線線平行：
思考途徑 I.轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；
II.轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；
III.轉(zhuǎn)化為線面平行；
IV.轉(zhuǎn)化為線面垂直；
V.轉(zhuǎn)化為面面平行.
支持定理
①；②；③；④
配圖助記
（3）面面平行：
思考途徑 I.轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；
II.轉(zhuǎn)化為線面平行；
III.轉(zhuǎn)化為線面垂直.
支持定理 ①；②；③
配圖助記
（4）線線垂直：
思考途徑 I.轉(zhuǎn)化為相交垂直；
II.轉(zhuǎn)化為線面垂直；
III.轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；
IV.轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.
支持定理
① ；②所成角為900；③(三垂線及逆定理)；
配圖助記
（5）線面垂直：
思考途徑 I轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；
II轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；
III轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；
IV轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；
V轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.
支持定理
①；②；③；④
配圖助記
（6）面面垂直：
思考途徑 I.轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；
II.轉(zhuǎn)化為線面垂直.
支持定理 ①二面角900；②；③
配圖助記
16.2、求解空間角、距離和體積
(一)求角： （步驟------Ⅰ.找或作平面角；Ⅱ.求角）
⑴異面直線所成角的求法：
①平移法：平移直線，構(gòu)造三角形；
②補(bǔ)形法：補(bǔ)成正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系.
(理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為兩直線方向向量的夾角.)
⑵直線與平面所成的角：
①直接法（利用線面角定義）；
②先求斜線上的點(diǎn)到平面距離h，與斜線段長(zhǎng)度作比，得sin.
（理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量的夾角.）
⑶二面角的求法：
①定義法：在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），作出平面角，再求解；
②三垂線法：由一個(gè)半面內(nèi)一點(diǎn)作（或找）到另一個(gè)半平面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；
③射影法：利用面積射影公式：,其中為平面角的大小；
【注】：對(duì)于沒有給出棱的二面角，應(yīng)先作出棱，然后再選用上述方法；
（理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)班平面法向量的夾角.）
（二）求距離：（步驟------Ⅰ.找或作垂線段；Ⅱ.求距離）
⑴兩異面直線間的距離：一般先作出公垂線段，再進(jìn)行計(jì)算；
⑵點(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線段，再求解；
⑶點(diǎn)到平面的距離：
①垂面法：借助面面垂直的性質(zhì)作垂線段（確定已知面的垂面是關(guān)鍵），再求解；
②等體積法；
（理科還可用向量法：.）
⑷球面距離（步驟）：
①求線段的長(zhǎng)；
②求球心角的弧度數(shù)；
③求劣弧的長(zhǎng).
（三）求體積
常規(guī)方法：直接法（公式法）、分割法、補(bǔ)形法、等積法(位置轉(zhuǎn)換)、比例法(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)等.
16.3、重要定理
（1）面積射影定理：
(平面多邊形及其射影的面積分別是和,它們所在平面所成銳二面角的為).
（2）三余弦定理：
設(shè)是內(nèi)的任一條直線，是的一條斜線在內(nèi)的射影，且，垂足為，設(shè)與所成的角為， 與所成的角為，與所成的角為．則.
（3）三射線定理：
若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是,,與二面角的棱所成的角是θ，則有 ；
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立).
（4）最小角定理 (立平斜公式)：
設(shè)AC是內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則.
【探究】：最小角定理的應(yīng)用（∠PBN為最小角）
簡(jiǎn)記為：
①成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長(zhǎng)，一定有4條．
②成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有2條．
③成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條．
④成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有．
（5）三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.　
逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直.
【提煉】：（1）
（2）相當(dāng)于斜線與平面所成角
（3）相當(dāng)于二面角
（4）（定理）
（5）（逆定理）
（6）垂線段最短（前提是在平面外由同一點(diǎn)引的所有線段）
（7）最小角定理（涉及到不等問題時(shí)要想到這里）
16.4重要性質(zhì)
（1）在三棱椎中,設(shè)頂點(diǎn)在底面的射影為，即.
①正三棱椎中,則有,,,在底面的射影是的中心.
②若,,則為的垂心.
③若,則為的外心.
④若PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC垂足分別為D、E、F且PD=PE=PF. 則點(diǎn)是△ABC的內(nèi)心;
（2）①若∠POA=∠POB，則PO在面AOB上的射影是∠AOB的角平分線；
②若∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別E、F且PE=PF.則點(diǎn)P在面AOB上的射影在∠AOB平分線.
第17題（解幾綜合題）——從平幾中尋突破到解幾中找關(guān)系
17.1、圓錐曲線中的精要結(jié)論：
1.焦半徑：(1)橢圓：； （左“+”右“-”）；
橢圓：
(2)雙曲線：
“長(zhǎng)加短減”原則：
構(gòu)成滿足
（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線不帶符號(hào)）
雙曲線：
；
(2)拋物線：
2.弦長(zhǎng)公式：
；
【注】：(1)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：i．橢圓：；
ii．拋物線：＝；
(2)通徑（最短弦）：i．橢圓、雙曲線：；
ii．拋物線：.
3.過兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為： （同時(shí)大于0時(shí)表示橢圓，時(shí)表示雙曲線）；
4.橢圓中的結(jié)論：
(1)內(nèi)接矩形最大面積：；
(2)P，Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，且，則 ；
(3)橢圓焦點(diǎn)三角形：
i．，（）；
ii．點(diǎn) 是內(nèi)心，交于點(diǎn)，則；
(4)當(dāng)點(diǎn)與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時(shí)最大；
(5)共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數(shù)，的離心率也是，我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程．
5.雙曲線中的結(jié)論：
(1)雙曲線（）的漸近線：；
(2)共漸進(jìn)線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為為參數(shù)，≠0）；
(3)雙曲線焦點(diǎn)三角形：
i．，（）；
ii．是雙曲線－=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，則△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為；
(4)等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為(漸近線互相垂直)，離心率．
(5)共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為．
(6) 共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線．與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：．
(7) 若P在雙曲線，則常用結(jié)論1：P到焦點(diǎn)的距離為m = n，則P到兩準(zhǔn)線的距離比為m︰n．
簡(jiǎn)證： = ．
常用結(jié)論2：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b．
(8) 直線與雙曲線的位置關(guān)系：
區(qū)域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；
區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條；
區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條；
區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；
區(qū)域⑤：即過原點(diǎn)，無切線，無與漸近線平行的直線．
小結(jié)：過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條．
若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號(hào)．
6.拋物線中的結(jié)論：
(1)拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)：
i．；；
ii． ；
iii．以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；
iv．以（或）為直徑的圓與軸相切；
v．.
(2)拋物線內(nèi)結(jié)直角三角形的性質(zhì)：
i． ；
ii．恒過定點(diǎn)；
iii．中點(diǎn)軌跡方程：；
iv．，則軌跡方程為：；
v． .
(3)拋物線，對(duì)稱軸上一定點(diǎn)，則：
i．當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)到點(diǎn)距離最小，最小值為；
ii．當(dāng)時(shí)，拋物線上有關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)到點(diǎn)距離最小，最小值為.
17.2、兩個(gè)常見的曲線系方程
(1)過曲線,的交點(diǎn)的曲線系方程是(為參數(shù)).
(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.
當(dāng)時(shí),表示橢圓；當(dāng)時(shí),表示雙曲線.
17.3、圓
1、圓系方程
(1)過點(diǎn),的圓系方程是
,其中是直線的方程,λ是待定的系數(shù)．
(2)過直線:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．
(3)過圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．
特別地，當(dāng)時(shí)，就是表示：
①當(dāng)兩圓相交時(shí)，為公共弦所在的直線方程；
②向兩圓所引切線長(zhǎng)相等的點(diǎn)的軌跡（直線）方程，有的稱這條直線為根軸；
2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種
若，則點(diǎn)在圓外；
點(diǎn)在圓上；
點(diǎn)在圓內(nèi).
3、直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系有三種():
；
；
.
4、兩圓位置關(guān)系的判定方法:設(shè)兩圓圓心分別為半徑分別為，
；
；
；
；
.
5、圓的切線方程及切線長(zhǎng)公式
(1)已知圓．
①若已知切點(diǎn)在圓上，則切線只有一條，其方程是
.
當(dāng)圓外時(shí), 表示過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程．求切點(diǎn)弦方程，還可以通過連心線為直徑的圓與原圓的公共弦確定.
②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．
③斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線．
(2)已知圓的切線方程．
①若P(,)是圓上的點(diǎn)，則過點(diǎn)P(,)的切線方程為.特別地，若，切線方程為；
若P(,)是圓外一點(diǎn)，由P(,)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B則直線AB的方程為.特別地，若，
②圓，斜率為的圓的切線方程為.
(3) 過圓外一點(diǎn)的切線長(zhǎng)為.
17.4、解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量?jī)?nèi)容：
（1）給出直線的方向向量或；
（2）給出與相交，等于已知過的中點(diǎn)；
在中，給出，則是中邊的中線；
（3）給出，等于已知是的中點(diǎn)；
（4）給出，等于已知與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線；
（5）給出以下情形之一：①；②存在實(shí)數(shù)；
③若存在實(shí)數(shù)，等于已知三點(diǎn)共線.
（6）給出，等于已知是的定比分點(diǎn)，為定比，即
（7）給出，等于已知，即是直角，給出，等于已知是鈍角，給出，等于已知是銳角；
（8）給出，等于已知是的平分線；
（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形；
（10）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形；
（11）設(shè)，.
；
（12）為內(nèi)一點(diǎn)，則；
（13）在中，給出，則通過的內(nèi)心；
17.5、解題規(guī)律盤點(diǎn)
1、點(diǎn)
(1)交點(diǎn)
①直線與圓錐曲線交于不同的兩點(diǎn)：直線與二次曲線聯(lián)立，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，，與二次曲線聯(lián)立，；
②直線與圓錐曲線相切：直線與二次曲線聯(lián)立，
③直線與二次曲線有一個(gè)公共點(diǎn)：
二次項(xiàng)系數(shù)為0，表示平行于漸近線的兩條直線；二次項(xiàng)系數(shù)為0，△=0 二次項(xiàng)系數(shù)為0，表示平行于對(duì)稱軸的一條直線；二次曲線不為0，△=0
(2)定點(diǎn)處理思路；
(3)①設(shè)參數(shù)方程；橢圓的參數(shù)方程是：；
圓的參數(shù)方程：
②拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為：或或，其中，以簡(jiǎn)化計(jì)算.
2、直線
(1)設(shè)直線方程分斜率存在、不存在兩種情況討論。如果什么信息也沒有：討論斜率不存在情形，當(dāng)斜率存在時(shí)，往往設(shè)為斜截式：；
巧設(shè)直線方程回避討論及運(yùn)算等問題
當(dāng)直線過定點(diǎn)時(shí)，若設(shè)成有時(shí)會(huì)出現(xiàn)下列情況：
(i)容易忽視斜率不存在的情形；(ii)運(yùn)算較繁，有時(shí)還會(huì)陷入僵局.
(2)過軸上一點(diǎn)的直線一般設(shè)為可以避免對(duì)斜率是否存在的討論
(3)直線的方向向量
(4)兩解問題：
3、角
(1)余弦定理;
(2)到角公式:
(3)向量的夾角公式
4、直線與圓錐曲線
(1)直線與圓錐曲線問題解法：
1.直接法（通法）：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解.
【運(yùn)算規(guī)律】：直線與圓錐曲線位置關(guān)系運(yùn)算程式
(1)已知曲線()與直線方程聯(lián)立得：
()
【注意】：當(dāng)曲線為雙曲線時(shí)，要對(duì)與0進(jìn)行比較.
由根與系數(shù)關(guān)系知：
【后話】:聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解時(shí)，注意以下問題：①聯(lián)立的關(guān)于“”還是關(guān)于“”的一元二次方程？②二次項(xiàng)系數(shù)系數(shù)為0的情況討論了嗎？③直線斜率不存在時(shí)考慮了嗎？④判別式驗(yàn)證了嗎？
2.設(shè)而不求（代點(diǎn)相減法）——處理弦中點(diǎn)與直線斜率問題
步驟如下：
已知曲線，①設(shè)點(diǎn)、中點(diǎn)為，②作差得；；對(duì)拋物線有.
【細(xì)節(jié)盤點(diǎn)】
*1.用直線和圓錐曲線方程消元得二次方程后，注意用判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式；注意對(duì)參數(shù)分類討論和數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求思想的運(yùn)用；注意焦點(diǎn)弦可用焦半徑公式，其它用弦長(zhǎng)公式.
*2.在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，常與“弦”相關(guān)，“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點(diǎn)弦”問題關(guān)鍵是“韋達(dá)定理”或“小小直角三角形”或“點(diǎn)差法”、“長(zhǎng)度(弦長(zhǎng))”問題關(guān)鍵是長(zhǎng)度(弦長(zhǎng))公式或“小小直角三角形”.
*3. 在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，涉及到“交點(diǎn)”時(shí)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有解問題；先驗(yàn)證因所設(shè)直線斜率存在，造成交點(diǎn)漏解情況，接著聯(lián)立方程組，然后考慮消元建立關(guān)于的方程還是的方程，接著討論方程二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況，再對(duì)二次方程判別式進(jìn)行分析，即時(shí)，直線與曲線相切，……
*4.求解直線與圓錐曲線的“弦長(zhǎng)”、“交點(diǎn)”問題時(shí)，必要條件（注意判別式失控情況）是他們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解，當(dāng)出現(xiàn)一元二次方程時(shí)，務(wù)必先有“”. 求解直線與圓錐曲線的其它問題時(shí)，如涉及到二次方程問題，必須優(yōu)先考慮“二次項(xiàng)系數(shù)”與“判別式”問題.
*5.解決直線與圓的關(guān)系問題時(shí)，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長(zhǎng)定理、割線定理、弦切角定理等等).
*6.韋達(dá)定理在解幾中的應(yīng)用：①求弦長(zhǎng)； ②判定曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)； ③求弦中點(diǎn)坐標(biāo)；④求曲線的方程.
(2)直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式 :
或
【注】：弦端點(diǎn)A，由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率，.
(3)拋物線的切線方程
①拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是.
②過拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.
③拋物線與直線相切的條件是.
5、幾何定值、極值問題
幾何極值問題實(shí)際上就是以幾何條件出現(xiàn)的極值問題，通常運(yùn)用幾何中的有關(guān)不等式和定理解決，有時(shí)運(yùn)用“對(duì)角”變換及局部調(diào)整法，有時(shí)運(yùn)用三角方法，如有關(guān)三角函數(shù)性質(zhì)、正弦定理、三角形面積公式等轉(zhuǎn)化為三角極值問題解決.有關(guān)面積與周長(zhǎng)的極值問題除了運(yùn)用有關(guān)面積的幾何知識(shí)外，常常需要用如下結(jié)論：
①周長(zhǎng)一定的三角形中，以正三角形的面積最大；
②周長(zhǎng)一定的矩形中，以正方形面積最大；
③面積一定的三角形中，以正三角形的周長(zhǎng)最??；
④周長(zhǎng)一定的平面曲線中，圓所圍成的面積最大；
⑤在面積一定的閉曲線中，圓的周長(zhǎng)最??；
⑥在邊長(zhǎng)分別相等的多邊形中，以圓內(nèi)接多邊形的面積最大；
⑦在等周長(zhǎng)的邊形中，以圓內(nèi)接多邊形的面積最大；
⑧在面積一定的邊形中，正邊形的周長(zhǎng)最小.
幾何定值問題主要是研究和解決變動(dòng)的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素的北歐諧幾何性質(zhì)或位置保持不變等問題.
常見的幾何定值中的定量問題為定角、定長(zhǎng)（線段長(zhǎng)、周長(zhǎng)、距離之和等）、定比（線段比、面積比）、定積（面積、線段積）等.
常見的幾何定值中的定位問題為過定點(diǎn)、過定直線等.
幾何定值問題可以分為兩類：一類是絕對(duì)的定值問題，即需要證明的定值為一確定的常數(shù).這種定值為所給圖形的位置、大小、形狀無關(guān)；另一類是相對(duì)定值問題，即要證明的定值與題設(shè)圖形中的某些定量有關(guān)，這種定值是隨題設(shè)圖形的位置、大小和形狀的變化而改變的，因此，只有相對(duì)的意義，也就是證明題推斷的幾何量可以用題設(shè)已知量的某種確定的關(guān)系來表示.
解決定值問題常用的處理思路和方法：
（1）利用綜合法證明時(shí)，需要改變題目的形式，把一般定值題轉(zhuǎn)化為特殊情況，因此，常作輔助圖形；其次要明確圖形中哪些元素是固定元素，哪些量是定量，分析問題時(shí)要圍繞著固定元素和定量進(jìn)行，把定值固定在已知量上；
（2）利用參數(shù)法證明時(shí)，要根據(jù)題設(shè)的條件，選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，然后將所要證明的定值用參數(shù)表示出來，最后消去參數(shù)，便求得用常量表示的定值；
（3）利用計(jì)算法證明時(shí)，通常借助于正、余弦定理或坐標(biāo)法將有關(guān)量用某些特定的量表示出來，再通過計(jì)算證明所求的式子的值為定值；
（4）綜合運(yùn)用幾何、代數(shù)、三角知識(shí)證題.
6、求軌跡方程的常用方法：
⑴直接法：直接通過建立、之間的關(guān)系，構(gòu)成，是求軌跡的最基本的方法.
⑵待定系數(shù)法：可先根據(jù)條件設(shè)所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的方程即可.
⑶代入法(相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法).
⑷定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出方程.
⑸交軌法(參數(shù)法)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將、均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程.
7、定義解題
①橢圓：第一定義：平面上一動(dòng)點(diǎn)P到平面上兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離和為定值，且|PF1|+|PF2|>|F1F2|,則P點(diǎn)軌跡為橢圓。
②雙曲線：||PF1|-|PF2||=定值<｜F1F2|
③三種圓錐曲線的統(tǒng)一定義：（e∈(0,1)：橢圓；e=1：拋物線；e>1：雙曲線
第18題（數(shù)列綜合題）——穩(wěn)步作答，步步為營(yíng)
18.1、判定數(shù)列是基本數(shù)列的方法
（1）判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法主要有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法、圖像法.
（2）解題常用判定數(shù)列是等差數(shù)列有以下三種方法：
①
②2()
③(為常數(shù))．
【思考】：那等比數(shù)列呢？
（1）判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法
（2）解題常用判定數(shù)列是等比數(shù)列有以下四種方法：
①
②(，)
③(為非零常數(shù))．
④正數(shù)列{}成等比的充要條件是數(shù)列{}（）成等比數(shù)列．
18.2、數(shù)列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式. ②等比數(shù)列求和公式.
③，，
……
【特別聲明】：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)分類討論.
（2）分組求和法
（3）倒序相加法
（4）錯(cuò)位相減法
（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：
①； ②；
③；；
④； ⑤；
⑥；
⑦； ⑧；
⑧； ⑨.
……
用例：；
（6）通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法
若一階線性遞歸數(shù)列，則總可以將其改寫變形成如下形式：()，于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項(xiàng)公式；
18.3、數(shù)列通項(xiàng)求解思路：
㈠由非遞推關(guān)系求通項(xiàng)
⑴定義法：根據(jù)等差等比數(shù)列的等價(jià)條件，套用公式.
⑵公式法：①已知(即)求用作差法：
.
②已知求用作商法：.
㈡由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)
⑴由遞推式，求用迭加法.
⑵由遞推式，求用迭乘法，還可以用迭代法.
①（迭乘法）
②
（迭代法）
⑶遞推式為，可以作如下具體分解，均可用構(gòu)造法求解(先引入可化簡(jiǎn)輔助數(shù)列，再求目標(biāo)通項(xiàng)).
類型1 (常數(shù))變形為
可用解題途徑：①轉(zhuǎn)化等差、等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代；③消去常數(shù)n轉(zhuǎn)化為的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由確定．
①轉(zhuǎn)化等差、等比：．
②選代法：
．
③用特征方程求解：
④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：
類型2 (常數(shù))變形為
類型3 (常數(shù))變形為
類型4 (常數(shù))變形為
⑷遞推式為與的關(guān)系式 (或)，可利用進(jìn)行求解.
⑸遞推式為()或()，可變形為，或.
⑹對(duì)于數(shù)列，是常數(shù)且）其特征方程為，變形為(*).
若(*)有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值.這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得.
若(*)有二重根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值.這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得.
⑺遞推式為()，可變形為.
⑻遞推式為（其中均為常數(shù)），可把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，其中滿足，特征方程為(*).
若(*)有二異根，則可令(是待定常數(shù)）
若(*)有二重根，則可令(是待定常數(shù)）
（p、q為二階常數(shù)）用特證根方法求解．
具體步驟：
①寫出特征方程（對(duì)應(yīng)，x對(duì)應(yīng)），并設(shè)二根
②若可設(shè)，若可設(shè)；
③由初始值確定．
㈢雙數(shù)列型
可根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解.
【說明】：一些特殊數(shù)列，如①周期數(shù)列，不一定能求通項(xiàng)，但由遞推關(guān)系，可得出周期等有效量，同樣也可確定數(shù)列中的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②階差數(shù)列，如二階等差等比數(shù)列等；③還有些數(shù)列，只是起到過渡作用，如數(shù)列，通過數(shù)列建立聯(lián)系，這時(shí)就不一定可求通項(xiàng)，其實(shí)也不一定要求出來.
18.4、數(shù)列中蘊(yùn)含的幾種數(shù)學(xué)思想：
1、函數(shù)的思想
2、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想：
（1）將“非等差、等比數(shù)列”轉(zhuǎn)化為“等差數(shù)列、等比數(shù)列”，如：錯(cuò)位相減
（2）之間的轉(zhuǎn)化
3、分類討論的思想：
（1）由.
（2）等比數(shù)列的求和公式：，或
（3）項(xiàng)數(shù)分奇、偶討論.
4、從特殊到一般的思想（“歸納、猜想”）
從一般到特殊的思想：時(shí)成立，則n=1,2也應(yīng)該均成立.如：2004江蘇高考第20數(shù)列題.
5、解方程組思想：五個(gè)變量“知三求二”
6、回歸基本量的思想：首項(xiàng)、公差決定等差數(shù)列；首項(xiàng)、公比決定等比數(shù)列
7、遞推的思想：如：已知，求 析：，兩式相減得：,所以為等比數(shù)列
再如：求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)的疊加法、疊乘法；求數(shù)列前n和時(shí)，總體指導(dǎo)思想：欲求和，先研究通項(xiàng)（錯(cuò)位相減法、倒序相加法、分組求和法、裂項(xiàng)相消法）.總之，對(duì)于數(shù)列章節(jié)的學(xué)習(xí)，不光是掌握幾個(gè)公式，而更要很好地從數(shù)學(xué)的思想方法.
18.5、攻克數(shù)列不等式證明問題的若干策略
策略一：放縮法
數(shù)列問題的兩大特點(diǎn)是求和與遞推，因此要證關(guān)于項(xiàng)和或通項(xiàng)的不等式，可先尋找關(guān)于通項(xiàng)或相鄰兩項(xiàng)的不等式，這便是放縮的思想，即先放縮再求和或迭代。
1.利用最簡(jiǎn)單的不等式關(guān)系進(jìn)行放縮
2.利用由條件得到的不等關(guān)系進(jìn)行放縮
3.利用由基本不等式得到的不等關(guān)系進(jìn)行放縮
4.利用由倒數(shù)（函數(shù)單調(diào)性）得到的不等關(guān)系進(jìn)行放縮
5.利用由二項(xiàng)式定理得到的不等關(guān)系進(jìn)行放縮
策略二：利用數(shù)列的單調(diào)性
1.由定義確定數(shù)列的單調(diào)性
2.構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)確定數(shù)列的單調(diào)性
策略三：數(shù)學(xué)歸納法
第19題（實(shí)際應(yīng)用題）——人難我不畏難，人易我不大意
19.1、解應(yīng)用題的一般思路可表示如下：
19.2、解應(yīng)用題的一般程序
（1）讀: 閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一關(guān)是基礎(chǔ)
（2）建: 將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 熟悉基本數(shù)學(xué)模型，正確進(jìn)行建“?！笔顷P(guān)鍵的一關(guān)
（3）解: 求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論 一要充分注意數(shù)學(xué)模型中元素的實(shí)際意義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過程
（4）答: 將數(shù)學(xué)結(jié)論還原給實(shí)際問題的結(jié)果
19.3、中學(xué)數(shù)學(xué)中常見應(yīng)用問題與數(shù)學(xué)模型
（1）優(yōu)化問題: 實(shí)際問題中的“優(yōu)選”“控制”等問題，常需建立“不等式模型”和“線性規(guī)劃”問題解決
（2）預(yù)測(cè)問題: 經(jīng)濟(jì)計(jì)劃、市場(chǎng)預(yù)測(cè)這類問題通常設(shè)計(jì)成“數(shù)列模型”來解決
（3）最（極）值問題: 工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、建設(shè)及實(shí)際生活中的極限問題常設(shè)計(jì)成“函數(shù)模型”，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值
（4）等量關(guān)系問題: 建立“方程模型”解決?
（5）測(cè)量問題: 可設(shè)計(jì)成“圖形模型”利用幾何知識(shí)解決
第二十題（函數(shù)綜合題）——不怕繁雜的代數(shù)推理題
20.1、不等式證明常用方法：
(1)比較法：
①作差比較：
步驟：a.作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)（或式）作差.
b.變形：對(duì)差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)（或式）的完全平方和.
c .判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào).
【注意】：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小.
②求商比較法：要證，且，只要證.
(2)綜合分析法：由因?qū)Ч?，?zhí)果索因；要證……，只需證……，只需證……
(3)利用基本不等式(柯西不等式)
(4)反證法：對(duì)于“至多”“至少”問題、存在性問題、否定形式的命題等，總之“正難則反”
(5)放縮法：
1.定義：指若直接證明不等式較困難，而借助一個(gè)或多個(gè)中間變量通過適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，而達(dá)到證明不等式成立的一種方法.即證明，可構(gòu)造出函數(shù)式，使，且，其中數(shù)學(xué)式，常通過將放大，或?qū)⒖s小而構(gòu)成.
2.放縮法證明不等式的依據(jù)：①不等式的傳遞性；
②等量加不等量為不等量；
③同分子異分母（或同分母異分子）的兩個(gè)分式大小的比較等；
3.放縮法的實(shí)質(zhì)是非等價(jià)轉(zhuǎn)化，放縮沒有確定的準(zhǔn)則和程序，放縮目的性很強(qiáng)，需按題意適當(dāng)放縮.即通過放縮將復(fù)雜的一邊化簡(jiǎn)，湊出另一邊的形式.
4.放縮法的一些操作技巧：
①添加或舍去一些項(xiàng)，如：；；
②將分子或分母放大（或縮?。?br/>③利用基本不等式，如：；
；
④利用常用結(jié)論：
i、；
ii、（程度大）；
（程度?。?br/>iii、；
，則.
【特例】：，等.
可推知：
5.放縮法的常見題型：
①一邊為無限項(xiàng)的和或積，另一邊為定值；
②在證明涉及求和的不等式時(shí)，通過逐項(xiàng)放縮的手段，一方面放縮，另一方面使放縮之后便于求和，以達(dá)到求和目的；
③恰當(dāng)引入輔助函數(shù)，通過函數(shù)單調(diào)性達(dá)到放縮目的；
④對(duì)涉及正整數(shù)的不等式，可以先考慮用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行整體放縮；
⑤運(yùn)用公式性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性；
⑥運(yùn)用絕對(duì)值不等式；
⑦運(yùn)用二項(xiàng)式定理，利用三角有界性放縮，利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行放縮；
⑧舍棄或添加一些項(xiàng)進(jìn)行放縮.將部分項(xiàng)放縮，或每項(xiàng)放縮；
⑨裂項(xiàng)利用一些熟悉的關(guān)系式放縮；
6.放縮尺度：
放縮法證明不等式，需要根據(jù)不等式兩端的特點(diǎn)及已知特點(diǎn)，謹(jǐn)慎的采取措施，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，任何不適宜都會(huì)導(dǎo)致推證的失敗，也就是運(yùn)用放縮法證明不等式要把握放縮的尺度；
放縮法是一種證題技巧，要想用好證題，必須有明確的目標(biāo).目標(biāo)可以從要證明的結(jié)論中考查，即要認(rèn)真的分析結(jié)論特點(diǎn)，由結(jié)論的特點(diǎn)探究解題規(guī)律；
放縮尺度：放縮到可裂項(xiàng)，放縮到可用公式，……
(6)利用函數(shù)的單調(diào)性（本質(zhì)仍然是放縮法，與換元法、最值法緊密聯(lián)系）
(7)換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元. 如：
已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)()；
已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)；
(8)最值法，如：，則恒成立.，則恒成立.
(9)構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；具體運(yùn)用：是構(gòu)造斜率、點(diǎn)到直線距離、兩點(diǎn)間距離、直線與圓的位置關(guān)系、輔助圓等.
(10)數(shù)學(xué)歸納法
20.2、三個(gè)“二次”
1 二次函數(shù)的基本性質(zhì)
(1)二次函數(shù)的表示法：
y=ax2+bx+c; y=a(x－x1)(x－x2); y=a(x－x0)2+n
(2)當(dāng)a>0,f(x)在區(qū)間［p,q］上的最大值M，最小值m,令x0=(p+q)
若－若p≤－若x0≤－若－≥q,則f(p)=M,f(q)=m
2 二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實(shí)根分布及條件
(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0;
(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r
(3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根
(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(檢驗(yàn))或f(q)=0(檢驗(yàn))檢驗(yàn)另一根若在(p,q)內(nèi)成立
(5)方程f(x)=0兩根的一根大于p,另一根小于q(p3 二次不等式轉(zhuǎn)化策略
(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是：(－∞,α)∪［β,+∞a<0且f(α)=f(β)=0;
(2)當(dāng)a>0時(shí)，f(α)當(dāng)a<0時(shí)，f(α)|β+|;
(3)當(dāng)a>0時(shí)，二次不等式f(x)>0在［p,q］恒成立或
(4)f(x)>0恒成立
20.3、閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值
二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：
(1)當(dāng)a>0時(shí)，若，則；
若，則，.
(2)當(dāng)a<0時(shí)，若，則，
若，則，.
20.4、一元二次方程的實(shí)根分布
若，則方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.設(shè)，則
（1）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件:或；
（2）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件:
或，或，或；
（3）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件: ，或.
20.5、定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)
(1)在給定區(qū)間的子區(qū)間（形如，，不同）上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是.
(2)在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是.
(3)恒成立的充要條件是，或.
20.6、恒成立問題的基本類型及處理思路
1、利用一次函數(shù)的性質(zhì)
類型1：對(duì)于一次函數(shù)有：
(ⅰ)，或(ⅱ)；亦可合并定成；
2、利用一元二次函數(shù)的判別式
類型2：設(shè)
（1）上恒成立；
（2）上恒成立.
類型3：設(shè)
（1）當(dāng)時(shí)，上恒成立，
上恒成立
（2）當(dāng)時(shí)，上恒成立
上恒成立
3、利用函數(shù)的最值（或值域）
類型4：.
類型5：對(duì)于任意的恒成立，或在上的圖像始終在的上方.（通常移項(xiàng)，使即可；
若的最值無法求出，則考慮數(shù)形結(jié)合，只需在上的圖像始終在的上方即可.）
20.7、定區(qū)間上含參數(shù)的不等式恒成立(或有解)的條件依據(jù)
(1)在給定區(qū)間的子區(qū)間（形如，，不同）上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))恒成立.
充要條件：.
(2)在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))恒成立.
充要條件：.
(3)在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))的有解.
充要條件：.
(4)在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))有解.
充要條件：.
對(duì)于參數(shù)及函數(shù).
若恒成立，則；
若恒成立，則；
若有解，則；
若有解，則；
若有解，則.
（若函數(shù)無最大值或最小值的情況，可以仿此推出相應(yīng)結(jié)論）.
【知識(shí)疏漏】：
1.對(duì)數(shù)的換底公式 : (,且,,且, ).
對(duì)數(shù)恒等式：(,且, ).
【推論】：(,且, ).
2．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則
(1); (2) ;
(3); (4) 。
3.設(shè)函數(shù),記.若的定義域?yàn)?則且;若的值域?yàn)?則，且。
4. 對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣：設(shè)，，，且，則
（1）.　　　（2）.
5.平均增長(zhǎng)率的問題（負(fù)增長(zhǎng)時(shí)）
如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為，則對(duì)于時(shí)間的總產(chǎn)值，有.
6.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；
廣義通項(xiàng)：.
其前n項(xiàng)和公式為：.
7.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：；
廣義通項(xiàng)：.
其前n項(xiàng)的和公式為　或.
8.等比差數(shù)列:的通項(xiàng)公式為；
其前n項(xiàng)和公式為：.
9.分期付款(按揭貸款) ：每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).
10.平面向量基本定理
如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得=λ1+λ2．
不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
三點(diǎn)A、B、C共線的充要條件： (M為任意點(diǎn))
11.夾角公式
(1).　(，,)
(2).(,,).
直線時(shí)，直線l1與l2的夾角是.
12. 到的角公式
(1).(，,)
(2).(,,).
直線時(shí)，直線l1到l2的角是.
13. 三角函數(shù)的周期公式
函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期
C
B
A
A
0F
P
k
e>1 e=1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
b
a
C
h
B
D
O
C
A

a
a

b
a
a
b


a

b
O
a



a
b
P
A
O
a

l
b
a
O
a
l
a

a
b

a
a
A
B
A
P
C
圓外一點(diǎn)引兩條長(zhǎng)度相等的割線，割線長(zhǎng)度不等于直徑
截得平行線的弦長(zhǎng)
相等（斜率不存在）
圓外一點(diǎn)引切線（斜率不存在）
a=0
實(shí)際問題
數(shù)學(xué)化
數(shù)學(xué)問題
實(shí)際問題結(jié)論
數(shù)學(xué)問題結(jié)論
轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題
回到為實(shí)際問題
問題解決
問題解答
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