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解析幾何的形成與發(fā)展
年 級(jí)：高二
學(xué) 科：高中數(shù)學(xué)（人教版）
解析幾何的形成與發(fā)展
“解析幾何”又名“坐標(biāo)幾何”，是幾何學(xué)的一個(gè)分支。解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，基本方法是坐標(biāo)法。就是通過(guò)坐標(biāo)把幾何問(wèn)題表示成代數(shù)形式，然后通過(guò)代數(shù)方程來(lái)表示和研究曲線。它包括“平面解析幾何”和“空間解析幾何”兩部分。前一部分除研究直線的有關(guān)性質(zhì)外，主要研究圓錐曲線(圓、拋物線、雙曲線)的有關(guān)性質(zhì)。后一部分除研究平面、直線的有關(guān)性質(zhì)外，主要研究二次曲面(球面、拋物面、雙曲面等)的有關(guān)性質(zhì)。
對(duì)數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立被馬克思主義創(chuàng)始人之一的恩格斯并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就。
解析幾何可以定量描述運(yùn)動(dòng)變化，為研究運(yùn)動(dòng)變化提供了方法和工具，特別是為微積分的建立提供了重要的支撐。
一、解析幾何產(chǎn)生的實(shí)際背景和數(shù)學(xué)條件
1.解析幾何的實(shí)際背景更多的是來(lái)自對(duì)變量數(shù)學(xué)的需求。解析幾何產(chǎn)生數(shù)學(xué)自身的條件:幾何學(xué)已出現(xiàn)解決問(wèn)題的乏力狀態(tài);代數(shù)已成熟到能足以有效地解決幾何問(wèn)題的程度.
2.從16世紀(jì)開始，生產(chǎn)實(shí)踐積累了大量的新經(jīng)驗(yàn)，并提出了大量的新問(wèn)題。可是，對(duì)于機(jī)械、建筑、水利、航海、造船、顯微鏡和火器制造等領(lǐng)域的許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，己有的常量數(shù)學(xué)已無(wú)能為力，人們迫切地尋求解決變量的新數(shù)學(xué)方法。
運(yùn)動(dòng)與變化已變成自然科學(xué)的中心問(wèn)題。變量數(shù)學(xué)應(yīng)運(yùn)而生。而解析幾何的發(fā)明則是變量數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑。
公元前350年
米奈克穆斯
阿波羅尼斯
公元前250年
1630年
費(fèi)馬
1637年
笛卡兒
1704年
牛頓
1748年
歐拉
1788年
拉格朗日
18世紀(jì)前期
克
萊洛、拉蓋爾
尤利烏斯·普呂克
1828年
二、解析幾何的發(fā)展史
公元前350年
米奈克穆斯，是第一個(gè)系統(tǒng)地研究錐面幾何學(xué)的人。
米奈克穆斯
中文名：米奈克穆斯
英文名：Menaechmus
職業(yè)：數(shù)學(xué)家
國(guó)籍：希臘
國(guó)家或者地區(qū):希臘
出生日期：公元前約380年
發(fā)明創(chuàng)造:第一個(gè)系統(tǒng)地研究錐面幾何學(xué)的人
米奈克穆斯首先證明了橢圓、拋物線、雙曲線都是由一個(gè)圓錐面和一個(gè)平面相交產(chǎn)生的曲線。
公元前350年
米奈克穆斯
阿波羅尼斯
阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名。他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，他將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地。
中文名稱：阿波羅尼斯
外文名稱：Apollonius of Perga
職業(yè)：數(shù)學(xué)家
國(guó)籍：古希臘
出生地：小亞細(xì)亞佩爾加(今屬土耳其)
出生日期：約公元前262年
逝世日期：約公元前190年
公元前250年
阿波羅尼斯將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡
《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，它可以說(shuō)是代表了希臘幾何的最高水平。提出很多新的性質(zhì)。他以圓錐體底面直徑作為橫坐標(biāo)，過(guò)頂點(diǎn)的垂線作為縱坐標(biāo)，這給后世坐標(biāo)幾何的建立以很大的啟發(fā)。
公元前350年
米奈克穆斯
阿波羅尼斯
公元前250年
1630年
費(fèi)馬
中文名：費(fèi)馬
英文名：Pierre de Fermat
國(guó)籍：法國(guó)
職業(yè)：律師，業(yè)余數(shù)學(xué)家
出生日期：1601年8月17日
逝世日期：1665年1月12日
代表作品：《Ad Locos Planos et SolidosIsagoge》
費(fèi)馬用代數(shù)方法對(duì)阿波羅尼斯關(guān)于軌跡的一些失傳的證明作了補(bǔ)充，對(duì)古希臘幾何學(xué)，尤其是阿波羅尼斯圓錐曲線論進(jìn)行了總結(jié)和整理，對(duì)曲線作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰寫了僅有八頁(yè)的論文《平面與立體軌跡引論》
費(fèi)馬：《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果
1643年費(fèi)馬也談到了他的解析幾何思想。他談到了柱面、橢圓拋物面、雙葉雙曲面和橢球面，指出：含有三個(gè)未知量的方程表示一個(gè)曲面，并對(duì)此做了進(jìn)一步地研究。
公元前350年
米奈克穆斯
阿波羅尼斯
公元前250年
1630年
費(fèi)馬
1637年
中文名:笛卡兒
英文名:Rene Descartes
國(guó)籍：法國(guó)
職業(yè)：哲學(xué)家，物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家
出生地：法國(guó)安德爾-盧瓦爾省
出生日期：1596年3月31日
逝世日期：1650年2月11日
笛卡兒
將幾何坐標(biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父。
恩格斯高度評(píng)價(jià)了笛卡爾的革新思想。他說(shuō):“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué);有了變數(shù)，辯證法進(jìn)人了數(shù)學(xué):有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了。
著作：《幾何學(xué)》．笛卡兒《幾何學(xué)》所闡述的思想，被稱作“精密科學(xué)進(jìn)步中最偉大的一步” 笛卡兒的理論以兩個(gè)觀念為基礎(chǔ)：坐標(biāo)觀念和利用坐標(biāo)方法把帶有兩個(gè)未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線．他的基本思想是要建立起一種普通的數(shù)學(xué)，使算術(shù)，代數(shù)和幾何統(tǒng)一來(lái)起．笛卡兒的功績(jī)是把數(shù)學(xué)中兩個(gè)研究對(duì)象“形” 與“數(shù)” 統(tǒng)一起來(lái)，并在數(shù)學(xué)中引入“變量”，完成了數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)劃時(shí)代的變革。
凄美的愛情
克里斯汀 笛卡兒
公元前350年
米奈克穆斯
阿波羅尼斯
公元前250年
1630年
費(fèi)馬
1637年
笛卡兒
1704年
解析幾何的發(fā)展和完善
牛頓在1704 年，對(duì)于二次和三次曲線理論進(jìn)行了比較系統(tǒng)的研究。特別是，得到了“直徑” 的一般理論。例如，二次曲線的平行弦中點(diǎn)的軌跡是直線，這個(gè)結(jié)論，對(duì)于橢圓、雙曲線、拋物線都是正確的。對(duì)于這個(gè)早已熟知的命題，要用綜合幾何的方法來(lái)論證是非常困難的，但用解析幾何的方法很容易就證明了。這也顯示了解析幾何的作用。
牛頓
中文名：艾薩克·牛頓
英文名：Isaac Newton
國(guó) 籍：英國(guó)
職 業(yè)：物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家
出生地：英國(guó) 林肯郡 伍爾索普村
出生日期：1643年1月4日
逝世日期：1727年3月31日
畢業(yè)院校：格蘭瑟姆中學(xué)、劍橋大學(xué)
主要作品：《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》《光學(xué)》
主要成就：提出萬(wàn)有引力定律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律，被譽(yù)為“近代物理學(xué)之父”
公元前350年
米奈克穆斯
阿波羅尼斯
公元前250年
1630年
費(fèi)馬
1637年
笛卡兒
1704年
牛頓
1748年
歐拉
中文名：萊昂哈德·歐拉
英文名：LeonhardEuler
職 業(yè)：物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家
國(guó)籍：瑞士
出生日期：1707年4月15日
逝世日期：1783年9月18日
畢業(yè)院校：巴塞爾大學(xué)
其他成就：提出函數(shù)的概念,
創(chuàng)立分析力學(xué), 解決了柯尼斯堡七橋問(wèn)題
歐拉也是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的先驅(qū)
歐拉寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)等課本，《無(wú)窮小分析引論》、《微分學(xué)原理》、《積分學(xué)原理》等都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。1748年，歐拉在他的《分析引論》著作中論述并發(fā)展了解析幾何。他不僅對(duì)二次曲線進(jìn)行了詳細(xì)討論，而且還研究了高階曲線，他討論了坐標(biāo)的平移和旋轉(zhuǎn)，并且得出在坐標(biāo)變換下，方程的次數(shù)不會(huì)改變，同時(shí),歐拉還在他的書中詳細(xì)討論了帶兩個(gè)變量的二次方程總可以化成9種標(biāo)準(zhǔn)形式中的一種，也就是對(duì)平面曲線作了分類。
在數(shù)論里他引入了歐拉函數(shù)。
在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中廣泛使用的RSA公鑰密碼算法也正是以歐拉函數(shù)為基礎(chǔ)的。
在分析領(lǐng)域，是歐拉綜合了萊布尼茲的微分與牛頓的流數(shù)。
公元前350年
米奈克穆斯
阿波羅尼斯
公元前250年
1630年
費(fèi)馬
1637年
笛卡兒
1704年
牛頓
1748年
歐拉
1788年
拉格朗日《解析力學(xué)》
拉格朗日
中文名：約瑟夫·拉格朗日
英文名：Joseph Lagrange
國(guó)籍：法國(guó)
出生日期：1736年1月25日
逝世日期：1813年4月11日
獲得榮譽(yù)：腓特烈大帝稱他為“歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家”
主要貢獻(xiàn)：拉格朗日中值定理，創(chuàng)立了拉格朗日力學(xué)
拉格朗日在1788年表的著作《解析力學(xué)》中把力、速度、加速度“算術(shù)化” 了。他把力、速度、加速度表示為有向線段。有向線段沿坐標(biāo)的分解系數(shù)或有向線段在軸上的射影是一組數(shù)。
這樣有向線段就可以和數(shù)組對(duì)應(yīng)起來(lái)，也就是所謂的“算術(shù)化” 由于數(shù)學(xué)和物理在電學(xué)的影響下，廣泛地討論和使用有向線段的理論，因此后來(lái)就被稱為向量。向量理論現(xiàn)己成為解析幾何的主要組成部分。
公元前350年
米奈克穆斯
阿波羅尼斯
公元前250年
1630年
費(fèi)馬
1637年
笛卡兒
1704年
牛頓
1748年
歐拉
1788年
拉格朗日
18世紀(jì)前期
克
萊洛、拉蓋爾
克萊洛和拉蓋爾把解析幾何在空間展開．他們把空間的點(diǎn)與三數(shù)組對(duì)應(yīng)起來(lái)．
在18 世紀(jì)前半期，法國(guó)的克萊洛（1713–1765）和拉蓋爾（1834–1886）把解析幾何在空間展開。他們把空間的點(diǎn)與三數(shù)組對(duì)應(yīng)起來(lái)。含三個(gè)變量的方程表示曲面；每個(gè)含三個(gè)變量的一次方程表示一個(gè)平面；直線可作為兩個(gè)平面的交線，含有三個(gè)變量的一般二次方程可經(jīng)過(guò)坐標(biāo)軸的平移和旋轉(zhuǎn)化簡(jiǎn)成17種標(biāo)準(zhǔn)方程，它們表示根本不同的17 種類型的曲面：有兩種橢圓面（實(shí)的和虛的），兩種雙曲面（單葉的和雙葉的），兩種拋物面（橢圓的和雙曲的），兩種二階錐面（實(shí)的和虛的）以及9種柱面。所有這些曲面，在力學(xué)、物理學(xué)和科學(xué)技術(shù)中都有它們的存在。
公元前350年
米奈克穆斯
阿波羅尼斯
公元前250年
1630年
費(fèi)馬
1637年
笛卡兒
1704年
牛頓
1748年
歐拉
1788年
拉格朗日
18世紀(jì)前期
克
萊洛、拉蓋爾
尤利烏斯·普呂克
中文名：尤利烏斯·普呂克
外文名：Julius Plücker（德語(yǔ)）
國(guó)籍：德國(guó)
研究領(lǐng)域：數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家
出生日期：1801年6月16日
逝世日期：1868年5月22日
母校：波恩大學(xué)柏林大學(xué)、巴黎大學(xué)、馬爾堡大學(xué)等
著名成就：普呂克公式
1828年
19世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家普呂克發(fā)表了《解析幾何的發(fā)展》和《 解析幾何系統(tǒng)》
1828年，普呂克出版了第一本書《解析幾何的發(fā)展》的第一卷，1831年又出了第二卷。在每一卷中他討論了以直線、圓和圓錐曲線為研究?jī)?nèi)容的平面解析幾何，他用一種漂亮的方式論證了許多定理和結(jié)論在這兩卷中所用到的點(diǎn)坐標(biāo)是非齊次仿射坐標(biāo)。
解析幾何溝通了數(shù)學(xué)的數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對(duì)象之間的聯(lián)系，從此，代數(shù)與幾何這兩門學(xué)科互相吸收營(yíng)養(yǎng)而得到迅速發(fā)展，并結(jié)合產(chǎn)生出許多新的學(xué)科，近代數(shù)學(xué)便很快發(fā)展起來(lái)了。
三、解析幾何創(chuàng)立的意義
法國(guó)著名的拉格朗日（J.L.Lagrange,1736——1813）曾說(shuō)過(guò)：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)度就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄.但當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就互相吸取新鮮的活力，從此就以快速的步伐走向完善.”這段話表達(dá)了解析幾何的產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響是深刻的.
再見

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