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專題05 平面向量基本定理（八大題型+跟蹤訓練）
目錄：
題型1：基底的概念及辨析
題型2：用基底表示向量
題型3：平面向量基本定理的應用
題型4：利用平面向量基本定理求參數
題型5：平面向量基本定理的推論
題型6：最值問題
題型7：平面向量的基本定理在三角形的“心”模型中的應用
題型8：平面向量的基本定理綜合解答題
題型1：基底的概念及辨析
1．設是平面內所有向量的一個基底，則下列不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】只要兩個向量不共線，便可作為平面內的一組基底，從而判斷哪組向量共線即可.
【解析】對于A，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，A錯誤；
對于B，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，B錯誤；
對于C，，
和共線，不能作為一組基底，C正確；
對于D，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，D錯誤.
故選：C.
2．下面三種說法中正確的是（ ）
①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基；
②一個平面內有無數對不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基；
③零向量不可作為基中的向量.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【分析】利用平面向量基底的概念進行判斷.
【解析】由于同一個平面內任意不共線的向量，都可以作為表示這個平面內所有向量的基，故①錯誤，②正確；
由于零向量與任何向量平行，所以零向量不可作為基中的向量，故③正確.
故選：B
3．已知是不共線的非零向量，則以下向量不可以作為一組基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判斷選項中的兩個向量是否平行，即可判斷選項.
【解析】若兩向量平行，則不可以作為基底，
由選項可知，ABD中的兩個向量都不共線，可以作為基底，
C中的向量，滿足，向量，不能作為基底.
故選：C
題型2：用基底表示向量
4．在平行四邊形中，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據向量的線性運算即可求解.
【解析】,
故選：B

5．已知在中，點在邊上，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量的線性運算即可.
【解析】在中，，又點在邊上，且，
則，
故選：A.

6．如圖，在中，滿足條件，若，則（ ）
A．8 B．4 C．2 D．
【答案】A
【分析】利用向量加法的三角形法則，結合已知條件，可得，求出，從而得出答案.
【解析】因為，,
所以，
即，
又，
所以，故.
故選：A.
7．如圖，在平行四邊形中，與交于點，是線段的中點，的延長線與交于點.若，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據兩個三角形相似對應邊成比例，得到，運用向量的加減運算和向量中點的表示，結合向量數量積的定義和性質，將向量用，表示，計算即可得到結果．
【解析】平行四邊形，，，，，
可得，
是線段的中點，
可得，
；
，
則
．
故選：C
題型3：平面向量基本定理的應用
8．在梯形中，設，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量基本定理進行求解.
【解析】.
故選：A
9．已知向量與不共線，且，，，若，，三點共線，則（　　）
A． B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】依題意可得，設，根據平面向量基本定理得到方程組，即可得解.
【解析】∵向量與不共線，∴向量與可以作為平面內的一組基底，
∵，，三點共線，∴，設，即，
則，∴.
故選C.
10．如圖所示，，，M為AB的中點，則為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用向量的加法列式作答.
【解析】，，M為AB的中點，
所以.
故選：B
11．已知，是兩個不共線的向量，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，設，由待定系數法代入計算，即可得到結果.
【解析】因為，是兩個不共線的向量，設，
則，
即，解得，
所以.
故選：C
12．如圖，在中，中線AD、BE、CF相交于點G，點G稱為的重心，那么是（ ）

A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3
【答案】B
【分析】設，得到，結合向量共線定理的推論得到，求出，求出答案.
【解析】因為為的中線，所以，
設，則，
故，所以，
因為，所以，
因為三點共線，可設，則，
故，
故，相加得，
解得，故.
故選：B
題型4：利用平面向量基本定理求參數
13．在中，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助平面向量的線性運算與基本定理即可得.
【解析】由，則，則，
，
故、，故.
故選：A.
14．已知△ABC中，M為BC邊上一個動點，若，則的最小值為 ．
【答案】16
【分析】根據已知結合圖形可得出，進而根據“1”的代換，結合基本不等式，即可得出答案.
【解析】
由已知可得，共線，
所以，，使得，
所以有，
整理可得，.
又，不共線，
所以有，則有.
顯然，
所以，，
當且僅當，即時等號成立.
所以，的最小值為16.
故答案為：16.
15．已知平行四邊形，若點是邊的中點，，直線與相交于點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】畫出圖形根據向量定比分點設出，構造方程組可解得，可得結果.
【解析】如下圖所示：
設，則.
設，
則，
.
因為，
所以，解得，
所以，即.
故選：C.
16．如圖．在中，，分別為的中點，P為AD與BF的交點，且．若，則 ，若，則 ．
【答案】
【分析】利用平面向量基本定理求解出及，進而利用平面向量的數量積運算法則進行計算即可得解.
【解析】連接DF，
因為分別為的中點，所以是△ABC的中位線，所以，
則
，
所以，所以；
因為，
所以，
故
.
故答案為：；.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵在于注意到點是的重心，從而利用中位數定理得到，進而利用平面向量的相關運算即可得解.
題型5：平面向量基本定理的推論
17．在中，是邊上一點，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量共線定理的推理假設，再利用向量數量積的運算法則即可得解.
【解析】因為是邊上一點，故可設，
則，
因為，
則，，
又，于是，解得，
因此.
故選：C．
18．在中，，，是外接圓的圓心，在線段上，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設的中點分別為，連接，根據外心的性質可得，，結合三點共線設，進而運算求解即可.
【解析】設的中點分別為，連接，則，
可得，
同理可得，
因為在線段上，設，
則
，
所以的取值范圍是.
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：1.對于外心的數量積問題，常借助于外心的性質結合中點分析求解；
2.對于三點共線常結合結論：若三點共線，則，且，分析求解.
19．如圖，在中，，是上一點，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】確定，得到，根據計算得到答案.
【解析】，故，則，
又是上一點，所以，解得.
故選：A.
題型6：最值問題
20．中，為上一點且滿足，若為上一點，且滿足，為正實數，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小值為 B．的最大值為1
C．的最大值為16 D．的最小值為4
【答案】D
【分析】AB選項，根據向量基本定理和共線定理得到，從而利用基本不等式求出的最大值為；CD選項，利用基本不等式“1”的妙用求出最值，得到答案.
【解析】AB選項，因為，所以，
故，
因為三點共線，設，即，
故，
令，故，
為正實數，由基本不等式得，解得，
當且僅當時，等號成立，所以的最大值為，AB錯誤；
CD選項，，
當且僅當，即時，等號成立，C錯誤，D正確.
故選：D
21．對稱性是數學美的一個重要特征，幾何中的軸對稱，中心對稱都能給人以美感，在菱形中，，以菱形的四條邊為直徑向外作四個半圓，P是這四個半圓弧上的一動點，若，則的最大值為（　　）
A．5 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，由條件可得當EF與圖形下面半圓相切時，取得最大值，再結合圖形，代入計算，即可得到結果．
【解析】
如圖，設，，設P是直線EF上一點，
令，則，
，又，所以
因為P是四個半圓弧上的一動點，所以當EF與圖形下面半圓相切時，取得最大值，
設線段AB的中點為M，線段AC的中點為O1，
連接MP，連接并延長使之與EF交于點，
過M作，垂足為N，
因為，設，則，
，
則，由，得，
故的最大值為．
故選：D．
22．在中，，E是線段上的動點（與端點不重合），設，則的最小值是（ ）
A．10 B．4 C．7 D．13
【答案】D
【分析】由已知條件結合平面向量基本定理可得，，則，化簡后利用基本不等式可得答案.
【解析】因為，所以，
因為，所以，
因為三點共線，所以，，
，
當且僅當，即時取等.
故選：D.
23．在中，點為邊上的中點，點滿足，點是直線，的交點，過點做一條直線交線段于點，交線段于點（其中點，均不與端點重合）設，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意作交于F，可推出，利用向量的線性運算推出，結合題意推出，根據三點共線可得，結合“1”的妙用，即得，展開后利用基本不等式，即可求得答案.
【解析】作交于F，連接 ，則∽，故，
由于點為邊上的中點，故，
，故，又∽，故，
故，
則
,
由于，，故，
因為三點共線，故，
所以，
當且僅當，結合，即時等號成立，
即的最小值為，
故選：B
題型7：平面向量的基本定理在三角形的“心”模型中的應用
24．對于給定的，其外心為，重心為，垂心為，則下列結論不正確的是（ ）
A．
B．
C．過點的直線交于，若，，則
D．與共線
【答案】B
【分析】根據外心在AB上的射影是AB的中點，利用向量的數量積的定義可以證明A正確；利用向量的數量積的運算法則可以即，在一般三角形中易知這是不一定正確的，由此可判定B錯誤；利用三角形中線的定義，線性運算和平面向量基本定理中的推論可以證明C正確；利用向量的數量積運算和向量垂直的條件可以判定與垂直，從而說明D正確.
【解析】如圖，設AB中點為M，則，，
，故A正確；
等價于等價于，即，
對于一般三角形而言，是外心，不一定與垂直，比如直角三角形中，
若為直角頂點，則為斜邊的中點，與不垂直，故B錯誤；
設的中點為，
則，
∵E，F，G三點共線，，即，故C正確；
，
與垂直，又，
∴與共線，故D正確.
故選：B.
【點睛】本題考查平面向量線性運算和數量及運算，向量垂直和共線的判定，平面向量分解的基本定理，屬綜合小題，難度較大.
25．已知三角形， ， ， ，點為三角形的內心，記， ， ，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據點為三角形的內心有，再將分別用為基底，利用數量積的公式與余弦定理求解再判斷大小即可.
【解析】∵三角形，，，，點為三角形的內心
∴
∴，即，故
，即，故，
即.
∴.
.
.
又根據余弦定理可得：，
∴，
∴，，.
∴
故選：A
26．在中，，，過的外心O的直線(不經過點)分別交線段于，且，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求得，外接圓的半徑，設，，，根據，結合和
三點共線，得到，進而求得，利用基本不等式和函數的性質，即可求得取值范圍.
【解析】因為中，，
由余弦定理可得，
即，且，
設，
則，，
所以，
同理可得，，
解得，所以，
又因為，，所以，
因為三點共線，可得，
因為，所以，所以，
同理可得，所以
所以，
設，可得，
令，可得，令，解得，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以當時，取得最小值，最小值為；
又由，，可得，
所以當時，取得最大值，最大值為，
所以的取值范圍是.
故選：B.
27．點O是平面α上一定點，A，B，C是平面α上的三個頂點，，分別是邊，的對角.有以下五個命題：
①動點P滿足，則的外心一定在滿足條件的P點集合中；
②動點P滿足，則的內心一定在滿足條件的P點集合中；
③動點P滿足，則的重心一定在滿足條件的P點集合中；
④動點P滿足，則，的垂心一定在滿足條件的P點集合中.其中正確命題的個數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根據的外心、內心、重心、垂心分別是三邊中垂線的交點、角平分線的交點、中線的交點、高的交點，這些幾何特征與向量建立聯系，進而判斷每個命題的正誤．
【解析】①當動點P滿足時，則點P是的重心，所以①不正確；
②顯然在的角平分線上，而與的平分線所在向量共線，
所以的內心一定在滿足條件的點P集合中，因此②正確；
③變形為，而，表示點A到邊的距離，
設為，所以，而表示邊的中線向量，
所以表示邊的中線向量，因此的重心一定在滿足條件的P點集合中，
所以③正確；
④當時，的垂心與點A重合，但顯然此時垂心點P不滿足公式，所以④不正確；
正確答案序號為②③．
故選：C
題型8：平面向量的基本定理綜合解答題
28．在平行四邊形ABCD中，，.

(1)如圖1，如果E、F分別是BC，DC的中點，試用分別表示；
(2)如圖2，如果O是AC與BD的交點，G是DO的中點，試用表示.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）均根據向量的線性運算直接表示即可；
【解析】（1）當E、F分別是BC，DC的中點時，
，
.
（2）∵O是AC與BD的交點，G是DO的中點，
所以,
.
29．如圖，在中，是上一點，是上一點，且，過點作直線分別交于點.
(1)用向量與表示；
(2)若，求和的值.
【答案】(1)
(2)，.
【分析】（1）利用向量的線性運算求解；
（2）設，利用向量的線性運算和平面向量基本定理求解.
【解析】（1）.
（2）因為，所以．設，
，
因為三點共線，
所以，解得，所以.
因為，
，
所以，即.
30．如圖所示，是邊長為2的正三角形，點，，四等分線段BC．

(1)求的值；
(2)若點Q是線段上一點，且，求實數m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用轉化的方法，結合向量數量積運算求得的值.
（2）根據向量共線列方程，從而求得的值.
【解析】（1）因為點，，四等分線段，
所以，，，
，
（2）∵點Q在線段上，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
因此所求實數m的值為.
31．如圖，在直角三角形ABC中，，．點D，E分別是線段AB，BC上的點，滿足，，．

(1)求的取值范圍；
(2)是否存在實數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）以為基底表示，結合求解即可；
（2）以為基底表示求解即可.
【解析】（1）.
因為，，故，
故，又，故.
（2）由題意，，若則，即，
故，
即，解得.
32．如圖，在等腰梯形中，，，M為線段中點，與交于點N，P為線段上的一個動點．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)設，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的線性運算法則計算；
（2）由題意得，由共起點的三向量終點共線的充要條件求出，即可得出答案；
（3）由題意，可設，代入中并整理可得，又，根據平面向量基本定理得出方程組，然后結合二次函數的性質可得結論．
【解析】（1）由向量的線性運算法則，可得，①
，②
因為M為線段中點，則，
聯立①②得：，
整理得：．
（2）由AM與BD交于點N，得，
由共起點的三向量終點共線的充要條件知，，解得：．
所以，即．
（3）由題意，可設，
代入中并整理可得
．
又，故，可得：，．
因為，所以，．
在單調遞增，
則當時，，當時，，
所以，的取值范圍為．
一、單選題
1．設，是平面內所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【分析】利用基底的定義對四個選項一一驗證.
【解析】，是平面內所有向量的一組基底.
對于A：和不共線，可以作為平面的一組基底.
對于B：和不共線，可以作為平面的一組基底.
對于C：和不共線，可以作為平面的一組基底.
對于D：因為，所以和共線，所以不能作為平面的一組基底.
故選：D
2．已知向量與不平行，記，，若，則（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根據向量平行的條件列出方程組求解即可.
【解析】依題意，，，
，即，
，解得．
故選：B．
3．已知等邊三角形ABC的邊長為2，D，E分別是BC，AC的中點，則（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】將，設為基底，表示出，，運用數量積定義解決問題.
【解析】解：
.
故答案選：A.

4．在平行四邊形中，點在對角線上，點在邊上，，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】運用向量的分解和加減運算即可得出結果.
【解析】解析：
．
故選：C．
5．若則等于（ ）
A． B．
C． D．＋
【答案】D
【分析】將改為起點為的向量后再轉化可求解.
【解析】∵，
∴，∴，
∴.
故選：D
6．已知，，的平分線交于點M，則向量可表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由向量加法的平行四邊形法則知，向量和與，同向的單位向量之和共線，
【解析】由向量加法的平行四邊形法則知，向量和與，同向的單位向量之和共線，與同向的單位向量即，與同向的單位向量即，所以可表示為．
故答案為：B
【點睛】本題主要考查了向量的平行四邊形法則，屬于基礎題。
7．如圖，平面內的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含邊界)．設=m+n，且點P落在第Ⅲ部分，則實數m，n滿足（ ）
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0
C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
【答案】B
【分析】應用向量的可分解性質，將分解到，所在直線上，結合圖形判斷參數的符號.
【解析】如圖所示，利用平行四邊形法則，將分解到，上，有，
∴=m=n，
顯然方向相同，則m>0；方向相反，則n<0．
故選：B
8．已知，，，，則下列結論錯誤的是（ ）
A．若是的重心，則 B．若是的內心，則
C．若是的垂心，則 D．若是的外心，則
【答案】B
【分析】根據三角形各心的性質求出對應的之間的比值，即可得出答案.
【解析】如圖，設，直線與直線交于點，因為，
所以，則，即，
過作分別平行于，則，而，，由平行線分線段成比例得，
同理，所以；
若是的重心，則為的中點，所以，故A正確；
若是的內心，則直線平分，而，，
所以分的比，故B不正確；
若是的垂心，如圖，則點與點重合，則，故C正確；
若是的外心，
因為，所以線段AB的中垂線的斜率為，且AB的中點為，
所以線段AB的中垂線的方程為，即，
又線段BC的中垂線為，
聯立，解得，所以，
，由于，，所以，則，故D正確，
故選：B.
二、多選題
9．已知是平面內的一組基底，則下列說法中正確的是（ ）
A．若實數m，n使，則
B．平面內任意一個向量都可以表示成，其中m，n為實數
C．對于m，，不一定在該平面內
D．對平面內的某一個向量，存在兩對以上實數m，n，使
【答案】AB
【分析】根據基底的定義逐項判斷即可.
【解析】解：根據基底的定義知AB正確；
對于C，對于m，，在該平面內，故C錯誤；
對于D，m，n是唯一的，故D錯誤.
故選:AB.
10．如圖，在平行四邊形中，為的中點，，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根據圖形利用向量的線性運算一一判斷即可.
【解析】對A，由題意得，故A錯誤；
對B，，故B正確；
對C，，故C正確；
對D，，故D正確.
故選：BCD.
11．直角三角形中，是斜邊上一點，且滿足，點在過點的直線上，若，則下列結論正確的是（ ）
A．為常數 B．的值可以為：
C．的最小值為3 D．的最小值為
【答案】ACD
【分析】作出圖形，由可得出，根據三點共線的結論得出，由此判斷A，B，結合基本不等式可判斷CD.
【解析】如下圖所示：
由，可得，
，
若，，，
則，，
，
、、三點共線，
，，
故A正確；
當，時， ，所以B錯誤；
，
當且僅當時，等號成立，C正確；
的面積，的面積，
所以，
因為，所以，當且僅當時等號成立，
即，當且僅當時等號成立，
所以當時，取最小值，最小值為，
所以的最小值為，D正確；
故選：ACD.
12．在平行四邊形中，點為邊中點，點為邊上靠近點的三等分點，連接，交于點，連接，點為上靠近點的三等分點，記，，則下列說法正確的是（ ）
A．點，，三點共線
B．若，則
C．
D．，為平行四邊形的面積
【答案】ACD
【分析】根據向量的線性運算，將需要的向量都用來表示，設，，利用平面向量基本定理構造等式，可確定點的位置，依次判定選項.
【解析】如圖所示:

平行四邊形中，因為點為上靠近點的三等分點，
所以,,
所以,
設,
所以，又有公共點，所以點三點共線，故A選項正確；
設,
，
故，
所以，故B選項錯誤；
,
因為，所以，
故，C選項正確；
因為，，故D選項正確.
故選：ACD.
【點睛】關鍵點睛：此題主要是點M，點N在線段BE上的位置未給，所以通過平面向量基本定理構造求解，設，，利用，將所有向量用表示，求出的值.
三、填空題
13．在平行四邊形 中， 點E滿足且， 則實數 ．
【答案】4
【分析】根據平面向量的線性運算結合平面向量基本定理分析可得結果.
【解析】由題意可得：
,
故答案為：4.
14．已知、是平面內兩個不共線的向量，，，，用向量和表示 .
【答案】
【解析】設，根據平面向量基本定理可得出關于、的方程組，解出這兩個未知數的值，可得出關于、的表達式.
【解析】設，則，
則有，解得，因此，.
故答案為：.
【點睛】本題考查利用基底表示向量，根據題意建立方程組是解題的關鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題.
15．如圖,OM∥AB,點P在由射線OM,線段OB及AB的延長線圍成的區域內(不含邊界)運動,且，則x的取值范圍是 ；當時，y的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，該四邊形應是以的反向延長線為相鄰兩邊，得到x的取值范圍，當時，要使點落在指定區域內，即點應落在上，得到y的取值范圍.
【解析】解：如圖，,點在射線，線段及的延長線圍成的區域內（不含邊界）運動，且，由向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，該四邊形應是以的反向延長線為相鄰兩邊，
故x的取值范圍是；
當時，要使點落在指定區域內，即點應落在上，,
故y的取值范圍是：.
【點睛】本題考查了平面向量基本定理及向量加法的平行四邊形法則，屬基礎題.
16．在平行四邊形中，，點分別為的中點，與交于點，則 ．
【答案】
【分析】根據題意畫出圖形，連接，交于點，根據相似得到和的關系，設，根據三點共線得到的值即可求出.
【解析】如圖，連接，交于點，

由題意易知，所以，
所以，設，
因為點為的中點，所以，
所以，
又三點共線，所以，
從而，
則，
所以
．
故答案為：.
四、解答題
17．如圖，在中，是邊上的中線，為的中點．

(1)用，表示；
(2)用，表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）根據圖形，利用向量的線性運算即可.
【解析】（1）因為是邊上的中線，
所以.
（2）因為為的中點，
所以.
18．在梯形中，，，中，分別是DA，BC的中點，且．設，，選擇基底，試寫出下列向量在此基底下的分解式：，，．
【答案】；；
【分析】根據給定的梯形，利用梯形的性質，結合向量共線及線性運算求解作答．
【解析】如圖，由，且，則，
又，且，
則.
因為，
則．
【點睛】
19．如圖，在中，，E是AD的中點，設，．

(1)試用，表示，；
(2)若，與的夾角為，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用向量加法減法的三角形法則及數乘運算即可求解；
（2）根據（1）的結論，利用向量的數量積運算法則即可求解.
【解析】（1）因為，所以，
所以.
因為E是AD的中點，
所以
.
（2）因為，與的夾角為，
所以，
由（1）知，，，
所以
.
20．如圖所示，是△ABC的一條中線，點滿足，過點的直線分別與射線，射線交于，兩點.
(1)若，求的值；
(2)設，，，，求的值；
【答案】(1)；
(2)3.
【分析】（1）利用向量的線性運算的幾何表示，將用表示，進而即得；
（2）由，將用表示，利用三點共線即得.
【解析】（1）因，
所以，
又因為的中點，
所以，
所以，又，
所以；
（2）因，，，，
所以，，又因，
所以，
又因，，三點共線，
所以，即.
21．已知內一點滿足，若的面積與的面積之比為，的面積與的面積之比為，求實數的值.
【答案】,
【分析】因為，又由平行四邊形法則有向量，所以，，只需求出，即可。根據平面幾何知識，將三角形面積之比轉化為邊之比，可求出，，從而求出。
【解析】如圖，過點作，則，所以.
作于點，于點.
因為，所以.
又因為，所以，
即，所以，同理.
【點睛】本題主要考查向量共線定理、平面向量基本定理以及平行四邊形法則的應用，涉及到平面幾何知識的運用，意在考查學生的轉化與化歸能力以及數學建模能力。
22．如圖，在中，，，與相交于點M，設，，
（1）試用，表示向量：
（2）在線段上取一點E，在上取一點F，使得過點M，設，，求證：．
【答案】（1） ；（2） 證明見解析．
【分析】（1）設，由、、三點共線以及、、三點共線可得出關于與的方程組，解出這兩個未知數，即可得出關于、的表達式；
（2）根據條件，結合可建立等式，利用三點共線，可得出結論.
【解析】（1）解：由A，M，D三點共線可知，存在實數使得
．
由B，M，C三點共線可知，存在實數使得
．
由平面向量基本定理知．
解得，所以．
（2）證明：若，，則．
又因為E，M，F三點共線，所以．
23．在△ABC中，點D，E，F分別在邊AB，BC，AC上，且，，，P是CD，EF的交點．設，．
(1)用，表示，；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平面向量基本定理及線性運算，表達出，；（2）利用向量共線定理得推論得到方程組，求出，進而求出的值.
【解析】（1）因為，所以，
則，
因為，所以，
因為，所以，
則．
（2）因為E，P，F三點共線，所以．
因為C，P，D三點共線，所以．
則 解得：．
所以，
故．
24．如圖所示，在中，在線段BC上，滿足，是線段的中點．
(1)延長交于點Q（圖1），求的值；
(2)過點的直線與邊，分別交于點E，F（圖2），設，．
（i）求證為定值；
（ii）設的面積為，的面積為，求的最小值．
【答案】(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）.
【分析】（1）根據題意，將作為基底表示，由三點共線可知，的系數之和為1，即可求出的值；
（2）（i）根據題意，將，作為基底表示，由三點共線可知，，的系數之和為1，即可求出為一定值；（ii）根據題意，，，，由可將化為關于的函數，利用函數性質求的最小值即可.
【解析】（1）依題意，因為，
所以，
因為是線段的中點，所以，
設，則有，
因為三點共線，所以，解得，
即，所以，所以；
（2）（i）根據題意,
同理可得：，
由（1）可知，，
所以，
因為三點共線，所以，
化簡得，
即為定值，且定值為3；
（ii）根據題意，，
，
所以，
由（i）可知，則，
所以，
易知，當時，有最小值，此時.專題05 平面向量基本定理
目錄：
題型1：基底的概念及辨析
題型2：用基底表示向量
題型3：平面向量基本定理的應用
題型4：利用平面向量基本定理求參數
題型5：平面向量基本定理的推論
題型6：最值問題
題型7：平面向量的基本定理在三角形的“心”模型中的應用
題型8：平面向量的基本定理綜合解答題
題型1：基底的概念及辨析
1．設是平面內所有向量的一個基底，則下列不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．下面三種說法中正確的是（ ）
①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基；
②一個平面內有無數對不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基；
③零向量不可作為基中的向量.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3．已知是不共線的非零向量，則以下向量不可以作為一組基底的是（ ）
A． B．
C． D．
題型2：用基底表示向量
4．在平行四邊形中，，，則（ ）
A． B．
C． D．
5．已知在中，點在邊上，且，則（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，在中，滿足條件，若，則（ ）
A．8 B．4 C．2 D．
7．如圖，在平行四邊形中，與交于點，是線段的中點，的延長線與交于點.若，則等于（ ）

A． B． C． D．
題型3：平面向量基本定理的應用
8．在梯形中，設，，若，則（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量與不共線，且，，，若，，三點共線，則（　　）
A． B．2 C．1 D．
10．如圖所示，，，M為AB的中點，則為（ ）

A． B．
C． D．
11．已知，是兩個不共線的向量，，，，則（ ）
A． B． C． D．
12．如圖，在中，中線AD、BE、CF相交于點G，點G稱為的重心，那么是（ ）

A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3
題型4：利用平面向量基本定理求參數
13．在中，若，則（ ）
A． B． C． D．
14．已知△ABC中，M為BC邊上一個動點，若，則的最小值為 ．
15．已知平行四邊形，若點是邊的中點，，直線與相交于點，則（ ）
A． B． C． D．
16．如圖．在中，，分別為的中點，P為AD與BF的交點，且．若，則 ，若，則 ．
題型5：平面向量基本定理的推論
17．在中，是邊上一點，且，則（ ）
A． B．
C． D．
18．在中，，，是外接圓的圓心，在線段上，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
19．如圖，在中，，是上一點，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
題型6：最值問題
20．中，為上一點且滿足，若為上一點，且滿足，為正實數，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小值為 B．的最大值為1
C．的最大值為16 D．的最小值為4
21．對稱性是數學美的一個重要特征，幾何中的軸對稱，中心對稱都能給人以美感，在菱形中，，以菱形的四條邊為直徑向外作四個半圓，P是這四個半圓弧上的一動點，若，則的最大值為（　　）
A．5 B．3 C． D．
22．在中，，E是線段上的動點（與端點不重合），設，則的最小值是（ ）
A．10 B．4 C．7 D．13
23．在中，點為邊上的中點，點滿足，點是直線，的交點，過點做一條直線交線段于點，交線段于點（其中點，均不與端點重合）設，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
題型7：平面向量的基本定理在三角形的“心”模型中的應用
24．對于給定的，其外心為，重心為，垂心為，則下列結論不正確的是（ ）
A．
B．
C．過點的直線交于，若，，則
D．與共線
25．已知三角形， ， ， ，點為三角形的內心，記， ， ，則（ ）
A． B． C． D．
26．在中，，，過的外心O的直線(不經過點)分別交線段于，且，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
27．點O是平面α上一定點，A，B，C是平面α上的三個頂點，，分別是邊，的對角.有以下五個命題：
①動點P滿足，則的外心一定在滿足條件的P點集合中；
②動點P滿足，則的內心一定在滿足條件的P點集合中；
③動點P滿足，則的重心一定在滿足條件的P點集合中；
④動點P滿足，則，的垂心一定在滿足條件的P點集合中.其中正確命題的個數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
題型8：平面向量的基本定理綜合解答題
28．在平行四邊形ABCD中，，.

(1)如圖1，如果E、F分別是BC，DC的中點，試用分別表示；
(2)如圖2，如果O是AC與BD的交點，G是DO的中點，試用表示.
29．如圖，在中，是上一點，是上一點，且，過點作直線分別交于點.
(1)用向量與表示；
(2)若，求和的值.
30．如圖所示，是邊長為2的正三角形，點，，四等分線段BC．

(1)求的值；
(2)若點Q是線段上一點，且，求實數m的值．
31．如圖，在直角三角形ABC中，，．點D，E分別是線段AB，BC上的點，滿足，，．

(1)求的取值范圍；
(2)是否存在實數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
32．如圖，在等腰梯形中，，，M為線段中點，與交于點N，P為線段上的一個動點．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)設，求的取值范圍．
一、單選題
1．設，是平面內所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．已知向量與不平行，記，，若，則（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知等邊三角形ABC的邊長為2，D，E分別是BC，AC的中點，則（ ）
A． B． C． D．0
4．在平行四邊形中，點在對角線上，點在邊上，，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
5．若則等于（ ）
A． B．
C． D．＋
6．已知，，的平分線交于點M，則向量可表示為（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，平面內的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含邊界)．設=m+n，且點P落在第Ⅲ部分，則實數m，n滿足（ ）
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0
C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
8．已知，，，，則下列結論錯誤的是（ ）
A．若是的重心，則 B．若是的內心，則
C．若是的垂心，則 D．若是的外心，則
二、多選題
9．已知是平面內的一組基底，則下列說法中正確的是（ ）
A．若實數m，n使，則
B．平面內任意一個向量都可以表示成，其中m，n為實數
C．對于m，，不一定在該平面內
D．對平面內的某一個向量，存在兩對以上實數m，n，使
10．如圖，在平行四邊形中，為的中點，，則（ ）

A． B．
C． D．
11．直角三角形中，是斜邊上一點，且滿足，點在過點的直線上，若，則下列結論正確的是（ ）
A．為常數 B．的值可以為：
C．的最小值為3 D．的最小值為
12．在平行四邊形中，點為邊中點，點為邊上靠近點的三等分點，連接，交于點，連接，點為上靠近點的三等分點，記，，則下列說法正確的是（ ）
A．點，，三點共線
B．若，則
C．
D．，為平行四邊形的面積
三、填空題
13．在平行四邊形 中， 點E滿足且， 則實數 ．
14．已知、是平面內兩個不共線的向量，，，，用向量和表示 .
15．如圖,OM∥AB,點P在由射線OM,線段OB及AB的延長線圍成的區域內(不含邊界)運動,且，則x的取值范圍是 ；當時，y的取值范圍是 .
16．在平行四邊形中，，點分別為的中點，與交于點，則 ．
四、解答題
17．如圖，在中，是邊上的中線，為的中點．

(1)用，表示；
(2)用，表示．
18．在梯形中，，，中，分別是DA，BC的中點，且．設，，選擇基底，試寫出下列向量在此基底下的分解式：，，．
19．如圖，在中，，E是AD的中點，設，．

(1)試用，表示，；
(2)若，與的夾角為，求．
20．如圖所示，是△ABC的一條中線，點滿足，過點的直線分別與射線，射線交于，兩點.
(1)若，求的值；
(2)設，，，，求的值；
21．已知內一點滿足，若的面積與的面積之比為，的面積與的面積之比為，求實數的值.
22．如圖，在中，，，與相交于點M，設，，
（1）試用，表示向量：
（2）在線段上取一點E，在上取一點F，使得過點M，設，，求證：．
23．在△ABC中，點D，E，F分別在邊AB，BC，AC上，且，，，P是CD，EF的交點．設，．
(1)用，表示，；
(2)求的值．
24．如圖所示，在中，在線段BC上，滿足，是線段的中點．
(1)延長交于點Q（圖1），求的值；
(2)過點的直線與邊，分別交于點E，F（圖2），設，．
（i）求證為定值；
（ii）設的面積為，的面積為，求的最小值．專題05 平面向量基本定理（知識梳理）
知識點　平面向量的基本定理
1．定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個_不共線__向量，那么對于這一平面內的_任一__向量a，_有且只有一對__實數λ1，λ2，使a＝ λ1e1＋λ2e2　.
2．基底：若e1，e2_不共線__，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內_所有__向量的一個基底．
想一想：
1．基底有哪兩個特性？
2．若λ1e1＋λ2e2＝0，則實數λ1，λ2一定都為0嗎？
3．當基底{e1，e2}給定時，向量a＝λ1e1＋λ2e2的分解形式是唯一的嗎？
提示：1.①不共線；②不唯一．不共線的兩個向量都可作為基底．
2．不一定，只有當e1與e2不共線時，才有λ1＝λ2＝0.
3．是，λ1，λ2是唯一確定的．
[歸納提升]　用基底表示向量的三個依據和兩個“模型”
(1)依據：①向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；
②向量減法的幾何意義；
③數乘向量的幾何意義．
(2)模型
坐知識點梳理
條件
多個向量首尾相接，并且最后一個向
量的終點與第一個向量的起，點重合
模型
結
這些向量的和為零向量，其中任意
一個向量可用其他向量表示
條件
△ABC中，D為BC的中點
模型二
結論
AD
=2(A府+ad)

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