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人教八下數(shù)學(xué)
同步優(yōu)質(zhì)課件
人教版八年級下冊
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學(xué)習(xí)目標(biāo)
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2024春人教版八（下）數(shù)學(xué)同步精品課件
18.2 特殊的平行四邊形
18.2.5 正方形
第十八章 平行四邊形
1.理解正方形的概念;
2.探索正方形的性質(zhì)與判定，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別; (重點(diǎn))
3.會應(yīng)用正方形的性質(zhì)與判定解決相關(guān)證明及計算問題.(難點(diǎn))
學(xué)習(xí)目標(biāo)
觀察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在.
觀察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在.
正方形的四個角都是_____，四條邊都_____.因此，正方形既是______，又是______，它既有______的性質(zhì)，又有______的性質(zhì).
正方形(square)是我們熟悉的幾何圖形.
直角
相等
矩形
菱形
矩形
菱形
正方形有哪些性質(zhì)？
對邊平行、四邊相等;
四個角都是直角;
對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角.
實(shí)驗(yàn)一：利用手中矩形紙片用最快的方法剪出一個正方形.
實(shí)驗(yàn)二：如何將一個活動的菱形框變成一個正方形？
1.如果四邊形ABCD已經(jīng)是一個矩形,那么再加上什么條件就可以變?yōu)檎叫危?br/>2.如果四邊形ABCD已經(jīng)是一個菱形,那么再加上什么條件就可以變?yōu)檎叫危?br/>3.如果四邊形ABCD是一般的平行四邊形,那么再加上什么條件就可以變?yōu)檎叫危?br/>有一個角是直角
有一組鄰邊相等
有一組鄰邊相等
有一個角是直角
矩形
菱形
正
方
形
平行四邊形
正方形、菱形、矩形、平行四邊形四者之間有什么關(guān)系？與同學(xué)們討論一下，能列表或用框圖表示出來嗎？
有一組鄰邊相等
有一個角是直角
正方形、菱形、矩形、平行四邊形四者之間有什么關(guān)系？與同學(xué)們討論一下，能列表或用框圖表示出來嗎？
有一個角是直角
有一組鄰邊相等
有一個角是直角
有一組鄰邊相等
例1.求證: 正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.
已知: 如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.
求證: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
證明: ∵ 四邊形ABCD是正方形,
∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2.如圖，在正方形ABCD中， ΔBEC是等邊三角形.
求證：∠EAD＝∠EDA＝15° .
證明：∵ ΔBEC是等邊三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，
∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.
四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大小．
解：當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD外部時，如圖①，
AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時，如圖②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°.
【點(diǎn)睛】因?yàn)榈冗叀鰽DE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等．本題分兩種情況：等邊△ADE在正方形的外部或在正方形的內(nèi)部．
例3.如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.試說明：AP=EF.
A
B
C
D
P
E
F
解:連接PC，AC.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
∴AP=PC.
又∵PE⊥BC ，PF⊥DC,
∴四邊形PECF是矩形,
∴PC=EF.
∴AP=EF.
【點(diǎn)睛】在正方形的條件下證明兩條線段相等：通常連接對角線構(gòu)造垂直平分的模型，利用垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，等腰三角形等來說明.
如圖在正方形ABCD中,E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊延長線上一點(diǎn),且CE=CF. BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
延長BE交DE于點(diǎn)M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°,
∴∠CBE+∠F=90° ,
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
M
例4.在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．
四邊形EFMN是正方形嗎 為什么
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個角是直角即可.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四邊形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四邊形EFMN是正方形 .
如圖，EG,FH過正方形ABCD的對角線的交點(diǎn)O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.
證明：∵四邊形ABCD為正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可證：OE=OF=OG,
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四邊形EFGH為菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴四邊形EFGH為正方形.
例5.如圖，正方形ABCD，動點(diǎn)E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE．
（1）求證：BF=DE；
（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AC中點(diǎn)時(其他條件都保持不變)，問四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說明理由．
（1）證明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中，
AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF ,
∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；
（2）解：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時四邊形AFBE是正方形，
理由：∵點(diǎn)E運(yùn)動到AC的中點(diǎn)，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE=AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴得平行四邊形AFBE，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四邊形AFBE是正方形．
1.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是( )
A.對角線互相平分 B.四個角都是直角
C.四條邊都相等 D.對角線互相垂直
2.已知四邊形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=90°， 如果再添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形,那么這個條件可以是( )
A.∠D=90° B. AB=CD C. AD=BC D. BC=CD
B
D
3.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是( )
A.當(dāng)AB=BC時，它是菱形
B.當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形
C.當(dāng)∠ABC=90°時， 它是矩形
D.當(dāng)AC=BD時，它是正方形
D
4.如圖，正方形ABCD的邊長為2，將長為2的線段QR的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時滑動.如果Q點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，沿圖中所示方向按A→B→C→D
→A滑動到A止，同時點(diǎn)R從B點(diǎn)出發(fā)，沿圖中所示方向按B→C→D→A→B滑動到B止，在這個過程中，線段QR的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為( )
A.2 B.4-π C. π D. π-1
B
5.正方形的一條邊長是3，那么它的對角線長是_______.
6.如圖，正方形ABCD的兩條對角線AC，BD交于點(diǎn)O，
點(diǎn)E在BD上，且BE=CD， 則∠BEC的度數(shù)為_________.
7.如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，
點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE
的和最小，則這個最小值為________.
3
67.5°
2
8.如圖，在△ABC中，點(diǎn)E，D，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上,且DE//CA，DF // BA.
(1)四邊形AEDF是______________；
(2)如果∠BAC=90°，那么四邊形AEDF是_________；
(3)如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是_________；
(4)如果∠BAC=90°，AD平分∠BAC，那么四邊
形AEDF是__________.
平行四邊形
矩形
菱形
正方形
9.如圖，在AB上取一點(diǎn)C,以AC、BC為正方形的一邊在同一側(cè)作正方形AEDC和BCFG連接AF、BD，延長BD交AF于H.求證: BH⊥AF.
證明:∵四邊形AEDC和BCFG是正方形∴AC=DC，CF=CB， ∠ACF=∠BCF=90°
∴△ACF≌△DCB (SAS)
∴∠AFC=∠DBC
又∵∠AFC+∠CAF=90°
∴∠DBC+ ∠CAF=90°
∴∠AHB=90° 即 BH⊥AF
10.如圖，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=CQ，P在BC上，AP=CD+CP，求證: AQ平分∠DAP.
證明:延長AQ交BC延長線與E.
∵四邊形ABCD是正方形
∴AD=CD，AD// BC
∵∠D=∠QCE，∠DAQ=∠E
又∵DQ=CQ
∴△ADQ≌△ECQ (AAS)
∴AD=CE
10.如圖，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=CQ，P在BC上，AP=CD+CP，求證: AQ平分∠DAP.
∴CD=CE
∴AP=CD+CP=CE+CP=EP
∴∠PAQ=∠E
∴∠PAQ=∠DAQ，即AQ平分∠DAP
11.如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是線段AD上的任意一點(diǎn)(E與A，D不重合)，G，F(xiàn)，H分別是BE，BC，CE的中點(diǎn).
(1)證明四邊形EGFH是平行四邊形;
(2)在(1)的條件下，若EF⊥BC， 且EF=BC，證明平行四邊形EGFH是正方形.
證明: (1)∵ G，F(xiàn)，H分別是BE，BC，CE的中點(diǎn)∴GF//CE，F(xiàn)H//BE
∴GF//EH，F(xiàn)H//GE
∴四邊形EGFH是平行四邊形
(2)在(1)的條件下，若EF⊥BC， 且EF=BC，證明平行四邊形EGFH是正方形.
證明: (2) 連接EF.
∵BF=CF，EF⊥BC
∴BE=CE
∴GE=EH
∴四邊形EGFH是菱形
∵EF=BC,EF⊥BC
∴BF=EF=CF
∴∠BEF=∠CEF=45°
∴∠BEC=90°
∴四邊形EGFH是菱形且∠BEC=90°
∴四邊形EGFH是正方形
正方形有哪些性質(zhì)？
對邊平行、四邊相等;
四個角都是直角;
對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角.
有一個角是直角
有一組鄰邊相等
有一組鄰邊相等
有一個角是直角
謝謝
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