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2024春人教版八（下）數學同步精品課件
18.2 特殊的平行四邊形
18.2.4 菱形的判定
第十八章 平行四邊形
1.經歷菱形判定定理的探究過程，掌握菱形的判定定理．（重點）
2.會用這些菱形的判定方法進行有關的證明和計算. （難點）
1.菱形的定義：
2.菱形的性質：
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角.
線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.
用一長一短兩根細木條，在它們的中點處固定一個小釘，做成一個可轉動的十字架，四周圍上一根橡皮筋，做成一個四邊形.轉動木條，這個四邊形什么時候變成菱形呢？
猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
求證：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
已知：如圖，在□ ABCD中，對角線AC、BD相交于O點，且BD⊥AC.
求證：□ ABCD是菱形.
證明：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形
∴ AO=CO
∵ BD⊥AC
∴ AB=BC (線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等)
∴ □ABCD是菱形
我們知道，菱形的四條邊相等. 反過來，四條邊相等的四邊形是菱形嗎？
求證：四條邊相等的四邊形是菱形.
已知：如圖，四邊形ABCD，AB=BC=CD=AD.
求證：四邊形ABCD是菱形.
證明：∵ AB=CD，BC=AD
∴ 四邊形ABCD是平行四邊形又
∵ AB=BC
∴ 四邊形ABCD是菱形
菱形的判定定理1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
菱形的判定定理2：四條邊相等的四邊形是菱形.
例1.如圖，□ ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點O，AB=5，AO=4，BO=3.
求證：四邊形ABCD是菱形.
證明：∵ AB=5，AO=4，BO=3
∴ AB2=AO2+BO2
∴ △OAB是直角三角形
∴ AC⊥BD
∴ □ ABCD是菱形
一個平行四邊形的一條邊長是9，兩條對角線的長分別是12和6，這是一個特殊的平行四邊形嗎？為什么？求出它的面積.
解：四邊形ABCD是菱形.理由如下：
∵ 四邊形ABCD是平形四邊形，AB=9，AC=12，BD=6
∴ AO=AC=6，BO=BD=3
∵ 62+(3)2=92
即 AO2+BO2=AB2
∴ AC⊥BD
∴ 四邊形ABCD是菱形
∴ S菱形ABCD=×12×6=36
例2.如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合的四邊形ABCD是一個菱形嗎？為什么？
解：四邊形ABCD是菱形.理由如下：
∵ AB∥CD，AD∥BC
∴ 四邊形ABCD是平行四邊形
過點A分別作BC，CD邊上的高AE，AF，則AE=AF.
∵ S□ABCD=BC×AE=CD×AF
∴ BC=CD
∴ 四邊形ABCD是菱形
例3. 如圖,矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點E、F.求證：四邊形AFCE是菱形．
證明: ∵四邊形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，∴AO = OC .
∵∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四邊形AFCE是平行四邊形.
∵EF⊥AC
∴ 四邊形AFCE是菱形.
證明：∵ AD是角平分線， ∴∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四邊形ABCD是菱形.
如圖,在△ABC中, AD是角平分線,點E、F分別在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.
求證：四邊形CDEF是菱形.
例4.如圖，在中，，的平分線交于點，交于點．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，，的面積為36，求的長．
（1）解：在中，，
∴，
又∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴為菱形；
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，，的面積為36，求的長．
（2）解：過點作，如右圖：
在菱形中，，，
，
∴，
∴，即
∴，即
解得，
，即，
解得．
如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點O作EF⊥BD，交AD于點E，交BC于點F，連接EB，DF．
(1)求證：四邊形EBFD為菱形；
(2)若，，求∠ABE的度數．
(1)求證：四邊形EBFD為菱形；
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ADBC，BO=DO，
∴∠OBF=∠ODE，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=∠DOE=90°，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF=DE，
∵BFDE，∴四邊形EBFD為平行四邊形，
∵EF⊥BD，∴四邊形EBFD為菱形；
(2)若，，求∠ABE的度數．
（2）解：∵四邊形EBFD為菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ADBC，
∴，
∴，∴．
1.平行四邊形ABCD中，AC，BD是兩條對角線，如果添加一個條件，即可推出平行四邊形ABCD是菱形，以下哪個條件不符合要求( )
A. AC⊥BD B. AC=BD C. AB=BC D. BC=CD
2.順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得的四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是( )
A.菱形 B.對角線互相垂直的四邊形
C.矩形 D.對角線相等的四邊形
B
D
3.如圖，AD是△ABC的中線，四邊形ADCE是平行四邊形，增加下列條件，能判定□ ADCE是菱形的是( )
A.∠BAC=90° B.∠DAE=90° C. AB=AC D. AB=AE
A
4.如圖，已知線段AB，分別以A，B為圓心，大于AB同樣長為半徑畫弧，兩弧交于點C， D，連接AC， AD，BC，BD，CD，則下列說法錯誤的是( )
A. AB平分∠CAD B. CD平分∠ACB
C. AB⊥CD D. AB=CD
D
5.如圖，將等邊三角形ABC沿射線BC向右平移到△DCE的位置，連接AD，BD，則下列結論:①AD=BC；②BD，AC互相平分；③四邊形ACED是菱形.其中正確的是___________.
①②③
6.一邊長為5的平行四邊形的兩條對角線的長分別為24和26，則平行四邊形的面積是_______.
7.過矩形ABCD的對角線AC的中點O作EF⊥AC，交BC邊于點E，交AD邊于點F，分別連接AE、CF.若AB=，∠DCF=30°，則EF的長為______.
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8.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DF//AB，DE//AC.
求證:四邊形AEDF是菱形.
證明:∵DF//AB，DE//AC
∴四邊形AEDF是平行四邊形
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∵DF//AB
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴AF=DF
∴四邊形AEDF是菱形
9.如圖，在矩形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點.
求證:四邊形EFGH是菱形.
證法一:∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， AD=BC， AB=CD
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG
∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG (SAS)
∴HE=EF=FG=GH
∴四邊形EFGH是菱形
9.如圖，在矩形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點.
求證:四邊形EFGH是菱形.
證法二:連接AC，BD.
∴H，G分別是AD，CD的中點
∴GH=AC
同理，HE=BD，EF=AC，FG=BD
∵四邊形ABCD是矩形
∴AC=BD
∴HE=EF=FG=GH
∴四邊形EFGH是菱形
10.如圖，△ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點D，交AC于點O，CE//AB交MN于E，連接AE、CD.
(1)求證: AD=CE;
(2)填空:四邊形ADCE的形狀是_______，并說明理由.
(1)證明:∵CE//AB
∴∠DAO=∠ECO
∵MN是AC的垂直平分線∴∠AOD=∠COE=90° ,AO=CO
∴△AOD≌△COE (ASA)
∴AD=CE
10.如圖，△ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點D，交AC于點O，CE//AB交MN于E，連接AE、CD.
(1)求證: AD=CE;
(2)填空:四邊形ADCE的形狀是_______，并說明理由.
(2)理由:由(1)得AD=CE且AD//CE
∴四邊形ADCE是平行四邊形
又∵AC⊥DE
∴四邊形ADCE是菱形
菱形
11.如圖，四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°， 點H為對角線AC的中點，點E在AB的延長線上，CE⊥AB，點F在AD的延長線上，CF⊥AD.
(1)求證:四邊形CEHF是菱形;
(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°
∴∠EAC=∠FAC=30°
∵CE⊥AB，CF⊥AD
∴CE=CF=AC
∵點H為對角線AC的中點
∴EH=FH=AC
∴CE=CF=EH=FH ∴四邊形CEHF是菱形
11.如圖，四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°， 點H為對角線AC的中點，點E在AB的延長線上，CE⊥AB，點F在AD的延長線上，CF⊥AD.
(2)若四邊形CEHF的面積為18,求菱形ABCD的面積.
(2)解:由題意得S△AEH=S△CEH=S菱形CEHF=9
∴S△ACE=18
在Rt△CBE中，∠CBE=∠BAD=60°
∴∠ECB=30°
∴BC=AB=2BE
∴S△ABC=S△ACE=12
∴S菱形ABCD=2S△ABC=24
菱形的判定定理1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
菱形的判定定理2：四條邊相等的四邊形是菱形.
謝謝
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