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2024春人教版八（下）數學同步精品課件
18.1 平行四邊形
18.1.5 三角形的中位線
第十八章 平行四邊形
1.理解三角形中位線的概念，掌握三角形的中位線定理.（重點）
2.能利用三角形的中位線定理解決有關證明和計算問題.(重點）
問題：A、B兩地被池塘隔開，如何測量A、B兩地的距離呢？你能用學過的知識來解決嗎？
E
F
O
還有別的方法嗎？
你能將任意一個三角形分成四個全等的三角形嗎？
猜想：增加的線段與它所對的邊有什么關系？
如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，連接DE.像DE這樣，連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.
觀察下圖，你能發現△ABC的中位線DE與邊BC的位置關系嗎？度量一下，DE與BC之間有什么數量關系？
猜想：DE∥BC，且DE=BC.
如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點.求證：DE∥BC，且DE= BC.
證明：延長DE到F，使EF=DE，連接FC，DC，AF.
∵ AE=EC，DE=EF
∴ 四邊形ADCF是平行四邊形
∴ CF∥DA，CF=DA
∴ CF∥BD，CF=BD
∴ 四邊形DBCF是平行四邊形
∴ DF∥BC，DF=BC
又∵ DE= DF
∴ DE∥BC，且DE= BC
如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點.求證：DE∥BC，且DE= BC.
證明：延長DE到F，使EF=DE，連接FC.
∵ AE=CE，∠AED=∠CEF
∴ △ADE≌△CFE (SAS)
∴ AD=CF，∠ADE=∠F
∴ AD∥CF
∴ BD∥CF，BD=CF
∴ 四邊形BCFD是平行四邊形
∴ DF∥BC，DF=BC
又∵ DE= DF
∴ DE∥BC，且DE= BC
三角形的中位線定理：
三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.
∵ DE是△ABC的中位線
∴ DE∥BC，且DE= BC.
E
F
問題：A、B兩地被池塘隔開，如何測量A、B兩地的距離呢？你能用學過的知識來解決嗎？
解:分別取OA，OB的中點E，F，連接EF，測量出EF的距離，然后根據三角形的中位線定理可知AB=2EF.
例1.如圖，在△ABC中，點M，N分別是AB，AC的中點，連接MN，點E是CN的中點，連接ME并延長，交BC的延長線于點D.若BC＝4，求CD的長．
解：∵M，N分別是AB和AC的中點，
∴MN是△ABC的中位線．
∴MN＝BC＝2，MN∥BC.
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE.
∵點E是CN的中點，
∴NE＝CE.
∴△MNE≌△DCE(AAS)．
∴CD＝MN＝2.
如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，M、N、P分別是AD、BC、BD的中點，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度數．
解：∵M、N、P分別是AD、BC、BD的中點，
∴PN，PM分別是△CDB與△DAB的中位線，
∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，
∴∠MPN=∠MPD+(180° ∠NPB)=130°，
∴∠PMN=(180° 130°)÷ 2 =25°．
證明：取AC的中點F，連接BF.
∵BD＝AB，
∴BF為△ADC的中位線，∴DC＝2BF.
∵E為AB的中點，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,
∴CE＝BF，
∴CD＝2CE.
F
例2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，E為AB的中點，在AB的延長線上取一點D，使BD＝AB，求證：CD＝2CE.
例3.如圖，D、E是△ABC邊AB，AC的中點，O是△ABC內一動點，F、G是OB，OC的中點．判斷四邊形DEGF的形狀，并證明．
解：四邊形DEGF是平行四邊形．理由如下：
∵D、E是△ABC邊AB，AC的中點，
∴DE＝BC，DE∥BC.
∵F、G是OB，OC的中點，
∴FG＝BC，FG∥BC.
∴DE＝FG，DE∥FG.
∴四邊形DEGF是平行四邊形．
例4.如圖，E、F、G、H分別為四邊形ABCD各邊的中點.
求證:四邊形EFGH是平行四邊形.
證明:連接BD.
∵E、H分別是AB，AD的中點
∴EH//BD，EH=BD
同理FG//BD，FG=BD
∴EH//FG，EH=FG
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
如圖，E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點．求證：四邊形EFGH為平行四邊形.
證明：如圖，連接BD.
∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點，
∴EH是△ABD的中位線，
FG是△BCD的中位線，
∴EH∥BD且EH=BD，
FG∥BD且FG=BD，
∴EH∥FG且EH=FG，
∴四邊形EFGH為平行四邊形.
例5.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點E，F分別是BC，AC的中點，延長BA到點D，使得AB＝2AD，連接DE，DF，AE，EF，AF與DE相交于點O.
(1)求證：AF與DE互相平分；
證明：∵點E，F分別是BC，AC的中點，
∴EF∥AB，AB＝2EF.
∵AB＝2AD，
點D是BA延長線上的一點，
∴AD＝EF，AD∥EF.
∴四邊形ADFE是平行四邊形．
∴AF與DE互相平分．
(2)如果AB＝6，BC＝10，求DO的長．
解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝＝8.
∵EF∥AD，
∴∠EFO＝180°－∠BAC＝90°.
∵EF＝AB＝3，OA＝OF＝AC＝2，
∴在Rt△OEF中，OE＝＝.
∴DO＝OE＝.
1.如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點，若
BC=6，則DE的長為( )
A.2 B.3 C.4 D.6
2.如圖，在□ABCD中， 對角線AC、BD交于點O，E是BC的中點，若OE=2cm,則CD的長為( )
A.3cm B.4cm
C.5cm D.6cm
B
B
3.如圖，已知四邊形ABCD，R，P分別是DC，BC上的點，E，F分別是AP，RP的中點，當點P在BC上從點B向點C移動而點R不動時，那么下列結論成立的是( )
A.線段EF的長逐漸增長
B.線段EF的長逐漸減少
C.線段EF的長不變
D.線段EF的長不能確定
C
4.如圖，已知△ABC的周長為1，它的三條中位線組成第二個三角形，第二個三角形的三條中位線又組成第三個三角形，依次類推，第2000個三角形的周長是( )
A. B.
C. D.
D
5.如圖，D、E、F分別是△ABC各邊的中點，且AB=11cm、
BC=8cm、 AC =6cm.則: DE=____cm，DF=____cm,
EF=____cm,△DEF的周長是_____cm.
6.如圖，△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，
AB=10cm， AC=6cm， 則四邊形ADEF的周長為_____cm.
3
4
5.5
12.5
16
7.如圖，□ABCD的周長為36，對角線AC，BD相交于點O,點E是CD的中點，BD=12，則△DOE的周長為_______.
15
8.如圖，□ABCD的周長為36，對角線AC，BD相交于點O，點E是CD的中點，BD=12，求△DOE的周長．
解：∵ □ ABCD的周長為36，
∴BC+CD=18．
∵點E是CD的中點，
∴OE是△BCD的中位線，DE=CD，
∴OE=BC，
∴△DOE的周長為OD+OE+DE=(BD+BC+CD)=15，
即△DOE的周長為15．
證明：∵D、E分別為AB、AC的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE∥ BC，DE=BC.
∵CF=BC，
∴DE=FC；
9.如圖，等邊△ABC的邊長是2，D、E分別為AB、AC的中點，延長BC至點F，使CF=BC，連接CD和EF．
（1）求證：DE=CF；
9.如圖，等邊△ABC的邊長是2，D、E分別為AB、AC的中點，延長BC至點F，使CF=BC，連接CD和EF．
（2）求EF的長．
解：∵DE∥FC，DE=FC，
∴四邊形DEFC是平行四邊形，
∴DC=EF，
∵D為AB的中點，等邊△ABC的邊長是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴EF=DC= ．
10.如圖，在△ABC中，M是BC的中點，AN⊥BN于N點，AN平分∠BAC， 且AB=12， AC=16， 求MN的長.
解:延長BN交AC于D.
∵AN⊥BN
∴∠BNA=∠DNA=90°
∵∠BAN=∠DAN，AN=AN
∴△ABN≌△ADN (ASA)
∴AB=AD=12，BN=DN
又∵M是BC的中點
∴MN是△BCD的中位線，且CD=AC-AD=16-12=4
∴MN=CD=2
三角形的中位線定理：
三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.
∵ DE是△ABC的中位線
∴ DE∥BC，且DE= BC.
謝謝
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