資源簡介

第六章　計(jì)數(shù)原理
要點(diǎn)1　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理
分類加法計(jì)數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法
分步乘法計(jì)數(shù)原理 完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法
要點(diǎn)2　排列與組合
項(xiàng)目 排列 組合
概念 一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列 一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合
相同點(diǎn) 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素
項(xiàng)目 排列數(shù) 組合數(shù)
符號(hào)
公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝，其中n！＝＝ ＝＝ ＝
性質(zhì) 性質(zhì)1：＝； 性質(zhì)2：＝ 性質(zhì)1：＝； 性質(zhì)2：＝
要點(diǎn)3　二項(xiàng)式定理
二項(xiàng)式定理 (a＋b)n＝bn，n∈N*，這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理．右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，它共有(n＋1)項(xiàng)
通項(xiàng)公式 展開式中的第k＋1項(xiàng)Tk＋1＝an－kbk
二項(xiàng)式系數(shù) 各項(xiàng)的系數(shù)(k＝0，1，2，…，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)
二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) (1)對(duì)稱性：＝. (2)增減性：當(dāng)k<時(shí)隨k的增加而增大；當(dāng)k>時(shí)隨k的增加而減小． (3)最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等，且同時(shí)取得最大值． (4)(a＋b)n的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n
第七章　隨機(jī)變量及其分布
要點(diǎn)1　條件概率與全概率公式
條件概率 的計(jì)算公式 P(B|A)＝
乘法 公式 由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)．此式稱為概率的乘法公式
全概率 公式 一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B Ω，有P(B)＝
要點(diǎn)2　離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)字特征
定義 一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．分布列的另外兩種表示方法如下． Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn
性質(zhì) (1)pi0，i＝1，2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1
均值
方差 D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ 方差公式的變形：D(X)＝E(X2)－(E(X))2
線性關(guān)系下的均值與方差 若X與Y都是離散型隨機(jī)變量，且Y＝aX＋b(a≠0)，則E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)
要點(diǎn)3　常見分布
1．兩點(diǎn)分布
定義 若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示， X01P1－pp
則稱隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布或0—1分布
均值 E(X)＝p
方差 D(X)＝p(1－p)
2．二項(xiàng)分布
定義 一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0記法 X～B(n，p)
均值 E(X)＝np
方差 D(X)＝np(1－p)
3．超幾何分布
定義 一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，MN，nN，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布
分布列 如果X服從參數(shù)為N，n，M的超幾何分布，且n－N＋M0，則X能取所有不大于r的自然數(shù)，此時(shí)X的分布列如下表所示． X01…k…rP……
均值 E(X)＝
4．正態(tài)分布
正態(tài) 曲線 我們稱f (x)＝，x∈R(其中μ∈R，σ>0為參數(shù))為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線
圖示
特點(diǎn) 由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線有以下特點(diǎn)： (1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱； (2)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值； (3)當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸； (4)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線與x軸之間的區(qū)域的面積為1
正態(tài) 分布 若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布
記法 X～N(μ，σ2)
均值 E(X)＝μ
方差 D(X)＝σ2
值四個(gè)概率 如果X～N(μ，σ2)，那么 P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝0.5， P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
3σ原則 盡管正態(tài)變量的取值范圍是(－∞，＋∞)，但在一次試驗(yàn)中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.002 7，通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生． 在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則
第八章　成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析
要點(diǎn)1　成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性及一元線性回歸模型
經(jīng)驗(yàn)回 歸方程 經(jīng)驗(yàn)回歸方程的回歸系數(shù)
經(jīng)驗(yàn) 回歸 方程 的性質(zhì) (1)經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過點(diǎn))； (2)y與x正相關(guān)的充要條件是>0，y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是<0； (3)當(dāng)x增大一個(gè)單位時(shí)，增大個(gè)單位，這就是回歸系數(shù)的實(shí)際意義
樣本 相關(guān) 系數(shù) 公式 統(tǒng)計(jì)學(xué)里一般用樣本相關(guān)系數(shù)r來衡量y與x的線性相關(guān)性強(qiáng)弱
要點(diǎn)2　獨(dú)立性檢驗(yàn)
2×2 列聯(lián)表 XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d
χ2統(tǒng)計(jì)量 χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d
獨(dú)立性檢 驗(yàn)的步驟 (1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋． (2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，利用公式計(jì)算χ2的值． (3)根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界α，然后查表確定臨界值xα． (4)當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；當(dāng)χ2模塊綜合測評(píng)
(時(shí)間：120分鐘　滿分：150分)
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知隨機(jī)變量X～B(10，0.6)，則D(2X＋1)＝(　　)
A．4.8　　　B．5.8　　　C．9.6　　　D．10.6
C　[∵隨機(jī)變量X～B(10，0.6)，∴D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，
∴D(2X＋1)＝22D(X)＝4×2.4＝9.6．故選C．]
2．(x2＋2)(x－1)10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(　　)
A．8 B．4
C．3 D．2
D　[(x－1)10的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝，0≤r≤10，r∈N，令10－r＝0，解得r＝10，故(x2＋2)(x－1)10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為×(－1)10＝2，故選D．]
3．為考察某種藥物預(yù)防某疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：
是否服藥 是否患病 合計(jì)
患病 未患病
服藥 10 45 55
未服藥 20 30 50
合計(jì) 30 75 105
則下列說法正確的是(　　)
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
α 0.05 0.01
xα 3.841 6.635
A．有95%的把握認(rèn)為藥物有效
B．有95%的把握認(rèn)為藥物無效
C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為藥物無效
D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為藥物有效
A　[根據(jù)題中列聯(lián)表，計(jì)算得χ2＝≈6.109，由6.109>3.841＝x0.05且6.109<6.635＝x0.01可知，有95%的把握認(rèn)為藥物有效．故選A．]
4．已知盒子中裝有形狀，大小完全相同的五張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，現(xiàn)每次從中任意取一張，取出后不再放回，若抽取三次，則在前兩張卡片所標(biāo)數(shù)字之和為偶數(shù)的條件下，第三張為奇數(shù)的概率為(　　)
A．
C　[設(shè)“前兩張卡片所標(biāo)數(shù)字之和為偶數(shù)”為事件A，“第三張為奇數(shù)”為事件B，
故所求的概率P(B|A)＝＝＝．故選C．]
5．某新能源汽車銷售公司統(tǒng)計(jì)了某款汽車行駛里程x(單位：萬千米)對(duì)應(yīng)維修保養(yǎng)費(fèi)用y(單位：萬元)的四組數(shù)據(jù)，這四組數(shù)據(jù)如表：
行駛里程x/萬千米 1 2 4 5
維修保養(yǎng)費(fèi)用y/萬元 0.50 0.90 2.30 2.70
若用最小二乘法求得經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為＝0.58x＋，則估計(jì)該款汽車行駛里程為6萬千米時(shí)的維修保養(yǎng)費(fèi)是(　　)
A．3.34萬元 B．3.62萬元
C．3.82萬元 D．4.02萬元
A　[×(1＋2＋4＋5)＝3，×(0.50＋0.90＋2.30＋2.70)＝1.60，
∴樣本中心為(3，1.60)，將其代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝0.58x＋中，有1.60＝0.58×3＋，解得＝－0.14，∴經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.58x－0.14，
當(dāng)x＝6時(shí)，＝0.58×6－0.14＝3.34，∴當(dāng)投入6萬元時(shí)，銷售額的估計(jì)值為3.34萬元．故選A．]
6．已知某校高三理科學(xué)生參加“成都一診”考試的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(95，σ2)，則下列結(jié)論中不正確的是(　　)
附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
A．σ越大，學(xué)生數(shù)學(xué)成績?cè)?90，100)內(nèi)的概率就越大
B．當(dāng)σ＝20時(shí)，P(75≤X≤135)≈0.818 6
C．無論σ為何值，學(xué)生數(shù)學(xué)成績大于95的概率為0.5
D．無論σ為何值，學(xué)生數(shù)學(xué)成績小于75與大于115的概率相等
A　[當(dāng)σ＝5時(shí)，P(90≤X≤100)≈0.682 7，又P(95－σ≤X≤95＋σ)≈0.682 7 為定值，所以σ越大，學(xué)生數(shù)學(xué)成績?cè)?90，100)內(nèi)的概率就越小，所以A中結(jié)論錯(cuò)誤；
當(dāng)σ＝20時(shí)，P(75≤X≤135)＝P(75≤X≤115)＋
≈＝0.818 6，∴B中結(jié)論正確；
由正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝95對(duì)稱可知學(xué)生數(shù)學(xué)成績大于95的概率為0.5，與σ無關(guān)，所以C中結(jié)論正確；
由正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝95對(duì)稱可知學(xué)生數(shù)學(xué)成績小于75與大于115的概率相等，與σ無關(guān)，所以D中結(jié)論正確．
故選A．]
7．第24屆冬奧會(huì)奧運(yùn)村有智能餐廳A、人工餐廳B，運(yùn)動(dòng)員甲第一天隨機(jī)地選擇一餐廳用餐，如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.7；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.8．運(yùn)動(dòng)員甲第二天去A餐廳用餐的概率為(　　)
A．0.75 B．0.7
C．0.56 D．0.38
A　[設(shè)Ai表示第i天甲去A餐廳用餐(i＝1，2)，
設(shè)B1表示第一天去B餐廳用餐，則Ω＝A1∪B1，且A1，B1互斥，
由題意得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.7，P(A2|B1)＝0.8，
∴運(yùn)動(dòng)員甲第二天去A餐廳用餐的概率為：
P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.7＋0.5×0.8＝0.75．故選A．]
8．從5名女教師和3名男教師中選出一位主考和兩位監(jiān)考參加某考場的監(jiān)考工作．要求主考固定在考場前方監(jiān)考，一女教師在考場內(nèi)流動(dòng)監(jiān)考，另一位教師固定在考場后方監(jiān)考，則不同的安排方案種數(shù)為(　　)
A．105　　B．210　　C．240　　D．630
B　[分三類：
①選三個(gè)女教師，全排列即可，不同的安排方案有＝60(種)；
②選兩個(gè)女教師，一個(gè)男教師，男教師先挑位置，不同的安排方案有＝120(種)；
③選一個(gè)女教師，兩個(gè)男教師，女教師固定，不同的安排方案有＝30(種)．
故不同的安排方案種數(shù)為60＋120＋30＝210．]
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知變量x，y之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝－0.7x＋10.3，且變量x，y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法正確的是(　　)
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A．變量x，y之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系
B．m＝4
C．可以預(yù)測，當(dāng)x＝11時(shí)，y約為2.6
D．由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線必過點(diǎn)(9，4)
ACD　[由y＝－0.7x＋10.3得b＝－0.7，故x，y呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，故A正確；
∵＝＝9，
＝＝，
∴＝－0.7×9＋10.3，得m＝5，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)x＝11時(shí)，y的預(yù)測值為2.6，故C正確；
∵＝9，
故＝－0.7×9＋10.3＝4，
故回歸直線過(9，4)，故D正確．
綜上，選ACD．]
10．(2023·江蘇模擬)已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，則下列說法正確的有(　　)
A．a(chǎn)8＝45
B．a(chǎn)1＋a2＋a3＋…＋a10＝210
C．x8項(xiàng)的系數(shù)為45
D．2a1＋22a2＋23a3＋…＋210a10＝－210
CD　[因?yàn)?1＋x)10＝(－1－x)10＝[－2＋(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，
因?yàn)閍8＝·(－2)2＝180，故A錯(cuò)誤；
令x＝1，可得a0＝210，令x＝0，可得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1－210，故B錯(cuò)誤；
(1＋x)10展開式中含x8項(xiàng)的系數(shù)為＝45，故C正確；
令x＝－1，可得a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋210a10＝0，
所以2a1＋22a2＋23a3＋…＋210a10＝0－a0＝，故D正確．
故選CD．]
11．(2023·遼寧凌源高二開學(xué)考)為弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某校計(jì)劃在社會(huì)實(shí)踐中開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每天開設(shè)一門，連續(xù)開設(shè)6天，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．從六門課程中選兩門的不同選法共有20種
B．課程“數(shù)”不排在最后一天的不同排法共有600種
C．課程“禮”“書”排在相鄰兩天的不同排法共有240種
D．課程“樂”“射”“御”排在都不相鄰的三天的不同排法共有72種
BC　[對(duì)于A，從六門課程中選兩門的不同選法有＝15(種)，A不正確；
對(duì)于B，前5天中任取1天排“數(shù)”，再排其他五門體驗(yàn)課程共有＝600(種)，B正確；
對(duì)于C，“禮”“書”排在相鄰兩天，可將“禮”“書”視為一個(gè)元素，則不同排法共有＝240(種)，C正確；
對(duì)于D，先排“禮”“書”“數(shù)”，再用插空法排“樂”“射”“御”，則不同排法共有＝144(種)，D不正確．]
12．給出下列命題，其中正確的命題是(　　)
A．設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)為r，則|r|越接近0，x，y之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)
B．隨機(jī)變量X～N(3，22)，若X＝2Y＋3，則D(Y)＝1
C．隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若P(X＝0)＝，則D(X)＝
D．某人在10次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，若X～B(10，0.8)，則當(dāng)X＝8時(shí)概率最大
BD　[對(duì)于A，|r|越接近0，x，y之間的線性相關(guān)程度越弱，故A不正確；
對(duì)于B，隨機(jī)變量X～N(3，22)，則E(X)＝3，D(X)＝4，若X＝2Y＋3，則D(X)＝22D(Y)＝4，
所以D(Y)＝1，故B正確；
對(duì)于C，隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，
其中P(X＝0)＝，所以P(X＝1)＝，
E(X)＝0×＋1×＝，
D(X)＝＝，故C不正確；
對(duì)于D，因?yàn)樵?0次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，X～B(10，0.8)，所以當(dāng)X＝k時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率P(X＝k)＝×0.8k×0.210-k，當(dāng)k≥1時(shí)，＝＝，令＝≥1，
得44－4k≥k，即1≤k≤，因?yàn)閗∈N*，
所以1≤k≤8且k∈N*，即當(dāng)k＝8時(shí)，概率P(X＝k)最大，故D正確．故選BD．]
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上．
13．若一組觀測值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之間滿足yi＝xi＋＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei＝0，則R2為________．
1　[由ei＝0，知yi＝i，則yi－i＝0，
故R2＝1－＝1－0＝1.]
14．(2023·遼寧錦州高二期中)學(xué)校要從5名男教師和2名女教師中隨機(jī)選出3人去支教，設(shè)抽取的女教師的人數(shù)為X，則P(X≤1)＝________．
　[由題意可得P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＝．]
15．將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有________種．
36　[分兩步完成：第一步，將4名大學(xué)生按2，1，1分成三組，其分法有種；第二步，將分好的三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，其分法有種．所以滿足條件的分配方案有＝36(種)．]
16．(2023·重慶八中月考)測量某一目標(biāo)的距離時(shí)，所產(chǎn)生的隨機(jī)誤差X服從正態(tài)分布N(20，102)，若獨(dú)立測量三次，則至少有一次測量誤差在[0，30]內(nèi)的概率是________．
附：若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，0.181 43≈0.006．
0.994　[由題意可知，μ－2σ＝20－2×10＝0≤X≤30＝20＋10＝μ＋σ，則在一次測量中誤差在[0，30]內(nèi)的概率P＝P(μ－2σ≤X≤μ＋σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈×(0.954 5＋0.682 7)＝0.818 6，
測量三次，每次測量誤差均不在[0，30]內(nèi)的概率為＝0.181 43≈0.006，
∴獨(dú)立測量三次，至少有一次測量誤差在[0，30]內(nèi)的概率約是1－0.006＝0.994．]
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．(本小題滿分10分)在考察黃煙經(jīng)過藥物處理和發(fā)生青花病的關(guān)系時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)：在試驗(yàn)的470株黃煙中，經(jīng)過藥物處理的黃煙有25株發(fā)生青花病，60株沒有發(fā)生青花病；未經(jīng)過藥物處理的有185株發(fā)生青花病，200株沒有發(fā)生青花病．試推斷藥物處理跟發(fā)生青花病是否有關(guān)系．
附：χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用小概率值和相應(yīng)的臨界值：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
[解]　由已知條件得2×2列聯(lián)表如下：
青花病 藥物 合計(jì)
藥物處理 未經(jīng)藥物處理
青花病 25 185 210
無青花病 60 200 260
合計(jì) 85 385 470
零假設(shè)為H0：經(jīng)過藥物處理跟發(fā)生青花病無關(guān)系．
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得
χ2＝≈9.788>7.879＝x0.005，
根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為藥物處理跟發(fā)生青花病是有關(guān)系的．
18．(本小題滿分12分)袋中裝有4個(gè)白棋子，3個(gè)黑棋子，從袋中隨機(jī)地取出棋子，若取到一個(gè)白棋子得2分，取到一個(gè)黑棋子得1分，現(xiàn)從袋中任取4個(gè)棋子．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6的概率．
[解]　(1)由題意知，設(shè)取到的白棋子的個(gè)數(shù)為Y，則Y的可能取值為1，2，3，4，對(duì)應(yīng)的得分X為5，6，7，8．由Y服從參數(shù)為N＝7，M＝4，n＝4的超幾何分布及X與Y的對(duì)應(yīng)關(guān)系知，
P(X＝5)＝＝；P(X＝6)＝＝；
P(X＝7)＝＝；P(X＝8)＝＝．
故X的分布列為
X 5 6 7 8
P
(2)根據(jù)(1)中的分布列，可知得分大于6的概率為P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＝．
19．(本小題滿分12分)從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得
(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄對(duì)月收入x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝x＋；
(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；
(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲(chǔ)蓄．
[解]　(1)由題意知n＝10，
＝720－10×82＝80，
∴a＝＝2－0.3×8＝－0.4．
∴所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝0.3x－0.4．
(2)∵＝0.3>0，
∴x與y之間是正相關(guān)．
(3)當(dāng)x＝7時(shí)，＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)，
故當(dāng)該家庭的月收入為7千元時(shí)，可預(yù)測該家庭的月儲(chǔ)蓄為1.7千元．
20．(本小題滿分12分)已知(n∈N*)的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)的比是10∶1．
(1)求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；
(2)求展開式中含的項(xiàng)；
(3)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．
[解]　由題意知，第5項(xiàng)系數(shù)為·(－2)4，第3項(xiàng)的系數(shù)為·(－2)2，則＝10，
化簡得n2－5n－24＝0，
解得n＝8或n＝－3(舍去)．
(1)當(dāng)x＝1得各項(xiàng)系數(shù)的和為(1－2)8＝1．
(2)通項(xiàng)公式Tr＋1＝8-r＝(－2)r，
令，則r＝1．
故展開式中含的項(xiàng)為T2＝．
(3)設(shè)展開式中的第r項(xiàng)，第r＋1項(xiàng)，第r＋2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為·2r+1，
若第r＋1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，
則
解得5≤r≤6．
又T6的系數(shù)為負(fù)，
所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T7＝1 792x-11．
由n＝8知第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，
此時(shí)T5＝1 120x-6．
21．(本小題滿分12分)某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)．每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球．在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng)．
(1)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；
(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
[解]　(1)記事件A1為“從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球”，
事件A2為“從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球”，
事件B1為“顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)”，
事件B2為“顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)”，
事件C為“顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)”．
由題意可知，A1與A2相互獨(dú)立，A1與A2互斥，B1與B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1＋A2，C＝B1＋B2．
因?yàn)镻(A1)＝＝，
P(A2)＝＝，
所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝＝，
P(B2)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝P(A1)·P()＋P()P(A2)＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)＝＝．
故所求概率P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＝．
(2)顧客抽獎(jiǎng)3次可視為3重伯努利試驗(yàn)．由(1)知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為，所以X～B．
于是P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝．
故X的分布列為
X 0 1 2 3
P
數(shù)學(xué)期望為E(X)＝3×＝．
22．(本小題滿分12分)某市為提升中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉辦了一次“數(shù)學(xué)文化知識(shí)大賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)．已知共有8 000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)抽取100人的預(yù)賽成績(百分制)作為樣本，得到頻率分布直方圖，如圖所示．
(1)規(guī)定預(yù)賽成績不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求恰有1人預(yù)賽成績?yōu)閮?yōu)良的概率．
(2)由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽的學(xué)生的預(yù)賽成績Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)，且σ2＝362．利用該正態(tài)分布，估計(jì)全市參加預(yù)賽的全體學(xué)生中預(yù)賽成績高于91分的人數(shù)．
(3)預(yù)賽成績高于91分的學(xué)生將參加復(fù)賽，復(fù)賽規(guī)則如下：①每人的復(fù)賽初始分均為100分；②參賽學(xué)生可在開始答題前自行決定答題數(shù)量n，每一題都需要“花”掉(即減去)一定分?jǐn)?shù)來獲取答題資格，規(guī)定答第k題時(shí)“花”掉的分?jǐn)?shù)為0.1k；③每答對(duì)一題加1.5分，答錯(cuò)既不加分也不減分；④答完n題后參賽學(xué)生的最終分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽成績．已知學(xué)生甲答對(duì)每道題的概率均為0.7，且每題答對(duì)與否都相互獨(dú)立．若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績，則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少？
參考數(shù)據(jù)：≈19；若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3．
[解]　(1)由題意得樣本中成績不低于60分的學(xué)生共有(0.012 5＋0.007 5)×20×100＝40(人)，其中成績優(yōu)良的人數(shù)為0.007 5×20×100＝15．
記C：從樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，恰有1人預(yù)賽成績?yōu)閮?yōu)良．則P(C)＝＝．
(2)由題意知樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值＝10×0.1＋30×0.2＋50×0.3＋70×0.25＋90×0.15＝53，
則μ＝53．
又σ2＝362，∴σ≈19，
∴P(Z>91)＝P(Z>μ＋2σ)＝[1－P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)]≈0.022 75，
∴估計(jì)全市參加預(yù)賽的全體學(xué)生中預(yù)賽成績高于91分的人數(shù)為8 000×0.022 75＝182．
(3)以隨機(jī)變量ξ表示甲答對(duì)的題數(shù)，則ξ～B(n，0.7)，且E(ξ)＝0.7n，記甲答完n題后所加的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，則X＝1.5ξ，∴E(X)＝1.5E(ξ)＝1.05n．
為了獲取答n題的資格，甲需要“花”掉的分?jǐn)?shù)為
0.1×(1＋2＋3＋…＋n)＝0.05(n2＋n)．
設(shè)甲答完n題的分?jǐn)?shù)為M(n)，則M(n)＝100－0.05(n2＋n)＋1.05n＝－0.05(n－10)2＋105，
由于n∈N*，∴當(dāng)n＝10時(shí)，M(n)取最大值105．
∴若學(xué)生甲期望獲得最佳復(fù)賽成績，則他的答題量n應(yīng)該是10．第六章　計(jì)數(shù)原理
要點(diǎn)1　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理
分類加法計(jì)數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法
分步乘法計(jì)數(shù)原理 完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法
要點(diǎn)2　排列與組合
項(xiàng)目 排列 組合
概念 一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列 一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合
相同點(diǎn) 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素
項(xiàng)目 排列數(shù) 組合數(shù)
符號(hào)
公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝，其中n！＝＝ ＝＝ ＝
性質(zhì) 性質(zhì)1：＝； 性質(zhì)2：＝ 性質(zhì)1：＝； 性質(zhì)2：＝
要點(diǎn)3　二項(xiàng)式定理
二項(xiàng)式定理 (a＋b)n＝bn，n∈N*，這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理．右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，它共有(n＋1)項(xiàng)
通項(xiàng)公式 展開式中的第k＋1項(xiàng)Tk＋1＝an－kbk
二項(xiàng)式系數(shù) 各項(xiàng)的系數(shù)(k＝0，1，2，…，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)
二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) (1)對(duì)稱性：＝. (2)增減性：當(dāng)k<時(shí)隨k的增加而增大；當(dāng)k>時(shí)隨k的增加而減小． (3)最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等，且同時(shí)取得最大值． (4)(a＋b)n的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n
第七章　隨機(jī)變量及其分布
要點(diǎn)1　條件概率與全概率公式
條件概率 的計(jì)算公式 P(B|A)＝
乘法 公式 由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)．此式稱為概率的乘法公式
全概率 公式 一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B Ω，有P(B)＝
要點(diǎn)2　離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)字特征
定義 一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．分布列的另外兩種表示方法如下． Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn
性質(zhì) (1)pi0，i＝1，2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1
均值
方差 D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ 方差公式的變形：D(X)＝E(X2)－(E(X))2
線性關(guān)系下的均值與方差 若X與Y都是離散型隨機(jī)變量，且Y＝aX＋b(a≠0)，則E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)
要點(diǎn)3　常見分布
1．兩點(diǎn)分布
定義 若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示， X01P1－pp
則稱隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布或0—1分布
均值 E(X)＝p
方差 D(X)＝p(1－p)
2．二項(xiàng)分布
定義 一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0記法 X～B(n，p)
均值 E(X)＝np
方差 D(X)＝np(1－p)
3．超幾何分布
定義 一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，MN，nN，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布
分布列 如果X服從參數(shù)為N，n，M的超幾何分布，且n－N＋M0，則X能取所有不大于r的自然數(shù)，此時(shí)X的分布列如下表所示． X01…k…rP……
均值 E(X)＝
4．正態(tài)分布
正態(tài) 曲線 我們稱f (x)＝，x∈R(其中μ∈R，σ>0為參數(shù))為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線
圖示
特點(diǎn) 由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線有以下特點(diǎn)： (1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱； (2)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值； (3)當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸； (4)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線與x軸之間的區(qū)域的面積為1
正態(tài) 分布 若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布
記法 X～N(μ，σ2)
均值 E(X)＝μ
方差 D(X)＝σ2
值四個(gè)概率 如果X～N(μ，σ2)，那么 P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝0.5， P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
3σ原則 盡管正態(tài)變量的取值范圍是(－∞，＋∞)，但在一次試驗(yàn)中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.002 7，通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生． 在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則
第八章　成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析
要點(diǎn)1　成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性及一元線性回歸模型
經(jīng)驗(yàn)回 歸方程 經(jīng)驗(yàn)回歸方程的回歸系數(shù)
經(jīng)驗(yàn) 回歸 方程 的性質(zhì) (1)經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過點(diǎn))； (2)y與x正相關(guān)的充要條件是>0，y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是<0； (3)當(dāng)x增大一個(gè)單位時(shí)，增大個(gè)單位，這就是回歸系數(shù)的實(shí)際意義
樣本 相關(guān) 系數(shù) 公式 統(tǒng)計(jì)學(xué)里一般用樣本相關(guān)系數(shù)r來衡量y與x的線性相關(guān)性強(qiáng)弱
要點(diǎn)2　獨(dú)立性檢驗(yàn)
2×2 列聯(lián)表 XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d
χ2統(tǒng)計(jì)量 χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d
獨(dú)立性檢 驗(yàn)的步驟 (1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋． (2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，利用公式計(jì)算χ2的值． (3)根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界α，然后查表確定臨界值xα． (4)當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；當(dāng)χ2

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