資源簡介

第六章　平面向量及其應用
1．向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或稱模)．
(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規定：0與任一向量平行．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．
2．向量的線性運算
運算 法則(或幾何意義) 運算律
加法 (1)交換律： a＋b＝b＋a； (2)結合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 a－b＝a＋(－b)
數乘 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3．共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使得b＝λa.
【重要結論】　(1)若＝λ＋μ(λ，μ為常數)，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1．
(2)對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
5．平面向量的坐標運算
(1)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
(3)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共線 x1y2－x2y1＝0．
6．平面向量的數量積
(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是[0，π].
(2)數量積的定義、性質及其坐標表示
設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
幾何表示 坐標表示
數量積 a·b＝|a||b|·cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夾角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|與|a||b|的關系
【易錯警示】　(1)兩個向量a，b的夾角為銳角 a·b＞0且a，b不共線；(2)兩個向量a，b的夾角為鈍角 a·b＜0且a，b不共線．
(3)投影向量：設a，b是兩個非零向量，它們的夾角為θ，則a在b上的投影向量為|a|cos θ ＝.
(4)平面向量數量積的運算律
①交換律：a·b＝b·a；
②數乘結合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
【拓展】　極化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
7．正弦、余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
內容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝c2＋a2－2ca cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C
變形 a＝2R sin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C， R為△ABC的外接圓半徑 cos A＝； cos B＝； cos C＝
8．三角形面積公式
S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
第七章　復數
1．復數的概念
(1)概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數；若b≠0，則a＋bi為虛數；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數．
(2)復數相等：a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)復數的模：向量的模叫做復數z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．復數的幾何意義
復數z＝a＋bi一一對應復平面內的點Z(a，b)平面向量＝(a，b)．
3．復數的運算
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：＝＝＝i(c＋di≠0)．
第八章　立體幾何初步
1．空間幾何體的結構特征
(1)多面體的結構特征
①棱柱的側棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形；
②棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個公共點的三角形；
③棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形．
(2) 特殊的四棱柱
(3)旋轉體的形成
幾何體 旋轉圖形 旋轉軸
圓柱 矩形 任一邊所在的直線
圓錐 直角三角形 任一直角邊所在的直線
圓臺 直角梯形 垂直于底邊的腰所在的直線
球 半圓 直徑所在的直線
2．直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法．
(2)規則：
①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．
②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變為原來的一半．
【重要結論】　按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系：S直觀圖＝S原圖形．
3．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
幾何體 圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
4．柱體、錐體、臺體和球的表面積和體積
幾何體 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝Sh
臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
【拓展】　求空間幾何體的體積的常用方法：公式法、割補法、等體積法．
5．4個基本事實
基本事實1　過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
基本事實2　如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．
基本事實3　如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
基本事實4　平行于同一條直線的兩條直線平行．
推論1　經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．
推論2　經過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3　經過兩條平行直線，有且只有一個平面．
6．空間點、線、面的位置關系
(1)空間兩條直線的三種位置關系
(2)定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
(3)線面、面面平行(垂直)的判定與性質定理
關系 判定定理 性質定理
直線 與平 面平行 如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行 一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行
平面 與平 面平行 如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行
直線 與平 面垂直 如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直 垂直于同一個平面的兩條直線平行
平面 與平 面垂直 如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直 兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直
【必記結論】　三種關系之間的轉化
(4)三種角的定義及范圍
類別 定義 范圍
異面直 線所成 的角 設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角) (0°，90°]
直線和 平面所 成的角 一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內，則它們所成的角是0°的角 [0°，90°]
二面角 從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角 [0°，180°]
第九章　統計
1．普查與抽樣調查
(1)全面調查(普查)：對每一個調查對象都進行調查的方法，稱為全面調查，又稱普查．
①總體：調查對象的全體．
②個體：組成總體的每一個調查對象．
(2)抽樣調查：根據一定目的，從總體中抽取一部分個體進行調查，并以此為依據對總體的情況作出估計和推斷的調查方法．
①樣本：從總體中抽取的那部分個體．
②樣本量：樣本中包含的個體數．
2．簡單隨機抽樣
(1)定義：一般地，設一個總體含有N(N為正整數)個個體，從中逐個抽取n(1≤n(2)方法：抽簽法和隨機數法．
3．分層隨機抽樣
(1)一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層．在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．
(2)如果總體分為2層，兩層包含的個體數分別為M，N，兩層抽取的樣本量分別為m，n，兩層的樣本平均數分別為，兩層的總體平均數分別為，總體平均數為，樣本平均數為，則＝，＝.
4．作頻率分布直方圖的步驟
5．總體百分位數的估計
(1)百分位數的定義
一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數據大于或等于這個值．
(2)計算一組n個數據的第p百分位數的步驟
第1步，按從小到大排列原始數據；
第2步，計算i＝n×p%；
第3步，若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據；若i是整數，則第p百分位數為第i項與第(i＋1)項數據的平均數．
(3)四分位數
①25%，50%，75%這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數．
②第25百分位數又稱第一四分位數或下四分位數；第75百分位數又稱第三四分位數或上四分位數．
6．總體集中趨勢的估計
名稱 概念
平均數 如果有n個數x1，x2，…，xn，那么(x1＋x2＋…＋xn)就是這組數據的平均數，用表示，即＝(x1＋x2＋…＋xn)
中位數 將一組數據按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個數據(當數據個數是奇數時)或最中間兩個數據的平均數(當數據個數是偶數時)叫做這組數據的中位數
眾數 一組數據中出現次數最多的數據(即頻數最大值所對應的樣本數據)叫做這組數據的眾數
7．總體離散程度的估計
假設一組數據是x1，x2，…，xn，用表示這組數據的平均數，那么這n個數的
(1)方差
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
(2)標準差
s＝.
8．分層隨機抽樣的均值與方差
分層隨機抽樣中，如果樣本量是按比例分配，記總的樣本平均數為，樣本方差為s2．
以分兩層抽樣的情況為例．假設第一層有m個數分別為x1，x2，…，xm，平均數為，方差為；第二層有n個數，分別為y1，y2，…，yn，平均數為，方差為.則s2＝＋()2]}．
【重要結論】　(1)若數據x1，x2，…，xn的平均數為，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數是m＋a.
(2)數據x1，x2，…，xn的方差為s2．
①數據x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；
②數據ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2．
第十章　概率
1．樣本空間與樣本點
(1) 樣本點：隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，常用ω表示；
(2) 樣本空間：全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，常用Ω表示樣本空間；稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．
2．隨機事件、必然事件與不可能事件
(1)隨機事件：樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，稱為事件A發生．
(2)隨機事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部樣本點)、不可能事件 (不含任何樣本點)、基本事件(只包含一個樣本點)．
3．兩個事件的關系和運算
事件的關系或運算 含義 符號表示
包含關系 A發生導致B發生 A B
相等關系 B A且A B A＝B
并事件(和事件) A與B至少一個發生 A∪B或A＋B
交事件(積事件) A與B同時發生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A與B不能同時發生 A∩B＝
互為對立 A與B有且僅有一個發生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
4．頻率與概率
(1)頻率的穩定性
一般地，隨著試驗次數n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發生的頻率fn(A)會逐漸穩定于事件A發生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質為頻率的穩定性．
(2)頻率穩定性的作用：可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．
5．古典概型
(1)古典概型試驗具有以下特征：
①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
②等可能性：每個樣本點發生的可能性相等．
(2)古典概型的概率公式
一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝＝.
6．概率的基本性質
性質1　對任意的事件A，都有P(A)≥0．
性質2　必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P( )＝0．
性質3　如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性質4　如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性質5　如果A B，那么P(A)≤P(B)．
性質6　設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
7．相互獨立事件
(1)概念：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱獨立．
(2)性質：如果事件A與B相互獨立，那么A與與B，與也都相互獨立．
模塊綜合測評
(時間：120分鐘　滿分：150分)
一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．復數(i為虛數單位)的共軛復數是(　　)
A．1＋i　　 B．1－i
C．－1＋i 　 D．－1－i
B　[化簡可得z＝＝＝1＋i，∴的共軛復數＝1－i，故選B.]
2．(2022·湖南長沙實驗中學期末)“治國之道，富民為始．”共同富裕是社會主義的本質要求，是中國式現代化的重要特征，是人民群眾的共同期盼．共同富裕是全體人民通過辛勤勞動和相互幫助最終達到豐衣足食的生活水平，是消除兩極分化和貧窮基礎上的普遍富裕．請你運用數學學習中所學的統計知識加以分析，下列關于個人收入的統計量中，最能體現共同富裕要求的是(　　)
A．平均數小，方差大 　 B．平均數小，方差小
C．平均數大，方差大 　 D．平均數大，方差小
D　[方差反映的是一組數據的波動情況，方差越大說明數據偏離平均水平的程度越大，平均數是整體的平均水平，是一組數據的集中程度的刻畫，所以最能體現共同富裕要求的是平均數大，方差小．故選D.]
3．已知m，n表示兩條不同的直線，α，β表示兩個不同的平面，則下列結論正確的是(　　)
A．若m∥α，m⊥n，則n⊥α
B．若m∥α，β⊥α，則m∥β
C．若m∥α，n⊥α，則m⊥n
D．若m∥α，m⊥β，則α∥β
C　[若m∥α，不妨設m在α內的投影為m′，則m∥m′，對于選項A：若m∥α，m⊥n，則n⊥m′，結合線面垂直判定定理可知，n不一定垂直α，故A錯誤；
對于選項B：若m∥α，β⊥α，此時m與β可能相交、平行或m在β上，故B錯誤；對于選項C：若m∥α，n⊥α，則n⊥m′，從而m⊥n，故C正確；
對于選項D：若m∥α，m⊥β，則m′⊥β，結合面面垂直判定定理可知，α⊥β，故D錯誤．故選C.]
4．記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，則(　　)
A．a＝＋1
B．A＝15°
C．C＝45°
D．△ABC為鈍角三角形
D　[由正弦定理，＝ 有sin C＝，因為C∈(0，π)，故C＝45°或C＝135°，故三角形有兩解，故ABC均錯誤，當C＝45°時，A＝180°－45°－30°＝105°，或當C＝135°時△ABC均為鈍角三角形，故D正確．故選D.]
5．據《孫子算經》中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男、子、伯、候、公，共五級．若給有巨大貢獻的2人進行封爵，則兩人不被封同一等級的概率為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
C　[由題知，基本事件的總數有25種情形，兩人被封同一等級的方法種數有男、子、伯、候、公，共5種情形，故所求事件的概率為1－＝＝.故選C.]
6．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，G為EF的中點，則＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
B　[＝
＝)＋·
＝(－)＋
＝.
故選B.]
7．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
C　[如圖所示，補成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，
則所求角為∠BC1D，∵BC1＝，BD＝＝，C1D＝AB1＝，易得C1 D2 ＝，因此cos ∠BC1D＝＝＝，故選C.]
8．(2022·吉林期末)體積相等的球、正四面體和正方體，則它們的表面積的大小關系為(　　)
A．S球B．S球C．S正四面體D．S正方體B　[設球、正四面體和正方體的體積都為V，若球的半徑為R，則V＝πR3，可得其表面積為S1＝4πR2＝.若正四面體的棱長為m，則V＝·m2·m＝m3，可得m＝，所以其表面積為S2＝4×m2＝m2＝.
若正方體的棱長為a，可得V＝a3，所以正方體的表面積為S3＝6a2＝6＝，可得S1二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分)
9．為比較甲，乙兩名學生的數學學科素養的各項能力指標值(滿分為5分)．繪制了如圖所示的六維能力雷達圖．例如，圖中甲的數學抽象指標值為4，乙的數學抽象指標值為5，則下列說法正確的是(　　)
A．甲的邏輯推理指標高于乙的邏輯推理指標值　
B．甲的數學建模指標值高于乙的直觀想象指標值
C．甲的數學運算指標值高于甲的直觀想象指標值
D．甲的六維能力整體水平低于乙的六維能力整體水平
AD　[對于A選項，甲的邏輯推理能力指標值為4，乙的邏輯推理能力指標值為3，所以甲的邏輯推理能力指標值高于乙的邏輯推理能力指標值，故選項A正確；
對于B選項，甲的數學建模能力指標值為3，乙的直觀想象能力指標值為5，所以甲的數學建模能力指標值低于乙的直觀想象能力指標值，故選項B錯誤；
對于C選項，甲的數學運算能力指標值為4，甲的直觀想象能力指標值為5，所以甲的數學運算能力指標值低于甲的直觀想象能力指標值，所以選項C錯誤.
對于D選項，甲的六維能力指標值的平均值為＝，乙的六維能力指標值的平均值為＝4>，所以甲的六維能力指標值整體水平低于乙的六維能力指標值整體水平，所以選項D正確．故選AD.]
10．已知復數z滿足z＝2i，則(　　)
A．＝
B．z的虛部為－i
C．z的共軛復數為＝－1＋i
D．z是方程x2－2x＋2＝0的一個根
AD　[因為(i－1)z＝2i，所以z＝＝＝1－i，
對于A，＝＝，故選項A正確；
對于B，z的虛部為－1，故選項B錯誤；
對于C，z的共軛復數為＝1＋i，故選項C錯誤；
對于D，因為方程x2－2x＋2＝0的根為＝1±i，所以z是方程x2－2x＋2＝0的一個根，故選項D正確．故選AD.]
11．口袋里裝有2紅，2白共4個形狀相同的小球，從中不放回的依次取出兩個球，事件A＝“取出的兩球同色”，B＝“第一次取出的是紅球”，C＝“第二次取出的是紅球”，D＝“取出的兩球不同色”，下列判斷中正確的(　　)
A．A與B相互獨立 　 B．A與D互為對立
C．B與C互斥 　 D．B與D相互獨立
ABD　[盒子里有2個紅球和2個白球，從中不放回地依次取出2個球，共4×3＝12個基本事件，事件A共有4個基本事件，事件B共6個基本事件，事件C共6個基本事件，事件D共8個基本事件，由題可得P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(D)＝＝，P(AB)＝＝，P(BD)＝＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，P(BD)＝P(B)P(D)，所以A與B相互獨立，B與D相互獨立，故AD正確；對于B，由題意知，取出兩個球要么顏色相同，要么顏色不同，即A與D互為對立事件，故B正確；
對于C，“第1次取出的是紅球”，“第2次取出的是紅球”，C與D可能同時發生，故C錯誤．故選ABD.]
12．已知正三棱臺的上底面邊長為6，下底面邊長為12，側棱長為6，則(　　)
A．棱臺的高為2
B．棱臺的表面積為126
C．棱臺的側棱與底面所成角的余弦值為
D．棱臺的側面與底面所成二面角的正弦值為
BD　[在正三棱臺ABC-A1B1C1中，A1B1＝6，AB＝12，AA1＝6，在平面ABB1A1中，由點A1向AB作垂線，垂足為D，取線段BC的中點E，連接AE，在平面AEA1中，由點A1向AE作垂線，垂足為F，連接DF，在等腰梯形ABB1A1中，AB＝12，B1A1＝6，AA1＝6，則AD＝＝3，A1D＝＝3，所以棱臺的表面積為3×(6＋12)×3×62＋×122＝126，故選項B正確；又三棱臺為正三棱臺，所以A1F為正三棱臺ABC-A1B1C1的高，所以A1F⊥AB，由A1F∩A1D＝A1，所以AB⊥平面A1DF，AB⊥DF，在Rt△ADF中，AF＝＝＝2， 在Rt△A1AF中，A1 F＝＝＝2，所以棱臺的高為2，故選項A錯誤；
棱臺的側棱與底面所成角為∠A1AE，cos ∠A1AE＝＝＝，故選項C錯誤；
棱臺的側面與底面所成二面角為∠A1DF，sin ∠A1DF＝＝＝，故選項D正確．故選BD.]
三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．在一次校園歌手大賽中，6位評委對某選手的評分分別為92，93，88，99，89，95．則這組數據的75%分位數是________．
95　[依題意，先將上述6個分數從小到大排列為：88，89，92，93，95，99，6×75%＝4.5，向上取整為第5個數，即95．]
14．已知甲、乙、丙、丁四人各自獨立解決某一問題的概率分別是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解決該問題的概率不小于丁獨立解決這一問題的概率，則a的最大值是________．
0.79　[∵甲、乙、丙至少有一人解決該問題的概率不小于丁獨立解決這一問題的概率，∴1－(1－0.5)(1－0.4)(1－0.3)≥a，解得a≤0.79．∴a的最大值是0.79．]
15．如圖，水平桌面上放置一個裝有水的圓柱形玻璃水杯，AB為杯底直徑，現以點B為支點將水杯傾斜，使AB所在直線與桌面所成的角為，則此時圓柱母線與水面所在平面所成的角大小為________．
　[如圖所示，由題意可知：∠ABC＝，
母線與水平面所成角為：∠EDB＝∠DBF＝＝.]
16．一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A處測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進60 m到達點B，在點B處測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是________m．
30　[如圖所示，
設水柱CD的高度為h，
在Rt△ACD中，∵∠DAC＝45°，∴AC＝h，
∵∠BAE＝30°，∴∠CAB＝60°，
又∵B，A，C在同一水平面上，
∴△BCD是以C為直角頂點的直角三角形，
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴BC＝h，
在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos 60°，
∴＝h2＋602－2×60×h×，
即h2＋30h－1800＝0，解得h＝30．
∴水柱的高度是30 m．]
四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)(2022·浙江臺州期末)設i為虛數單位，a∈R，復數z1＝2＋i，z2＝1－2i.且________．請從下面三個條件中任選一個，補充在題目的橫線上，并作答．
①z1＋z2∈R；②z1z2＝6－2i；③在復平面內復數z1對應的點在第一象限的角平分線上．
(1)求實數a的值；
(2)若＋b(b∈R)是純虛數，求實數b的值．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
[解]　(1)若選①：由z1＋z2＝3＋(a2－3)i∈R，得a2－3＝0，解得a＝±.
若選②：由z1z2＝2a2＋(a2－5)i＝6－2i ，解得a＝±.
若選③：由2＝a2－1得a＝±.
(2)＋b＝＋b＝－＋b＋i，由－＋b＝0，解得b＝.
18．(本小題滿分12分)(2022·山東濟南期末)已知某校高一、高二、高三三個年級的學生志愿者人數分別為180，120，120．現采用樣本按比例分配的分層隨機抽樣方法，從中抽取7名同學去敬老院參加獻愛心活動．
(1)應從高一、高二、高三三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？
(2)抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F，G表示，現從該7名同學中隨機抽取2名同學承擔敬老院衛生打掃工作．
①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；
②記事件M＝“抽取的兩名同學中至少有一名來自高一年級”，求P(M).
[解]　(1)由題意知，高一、高二、高三三個年級的學生志愿者人數之比為3∶2∶2，又采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣方法，從中抽取7名同學．
故應從高一、高二、高三三個年級的學生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．
(2)①由題意知，所有可能的抽取結果為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)．
②不妨設7名同學中來自高一的3人分別為A，B，C，則M＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)}，共含有15個樣本點．
所以P(M)＝＝.
19．(本小題滿分12分) 甲、乙、丙三臺機器是否需要照顧相互之間沒有影響，已知在某一小時內，甲、乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概率為0.125．
(1)分別求甲、乙、丙每臺機器在這一小時內需要照顧的概率；
(2)計算這一小時內至少有一臺機器需要照顧的概率．
[解]　記甲、乙、丙三臺機器在某一小時內需要照顧分別為事件A，B，C，則A，B，C兩兩相互獨立．
(1)由題意得
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，
P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，
P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125，
∴P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5，
∴甲、乙、丙每臺機器在這一小時內需要照顧的概率分別為0.2，0.25，0.5．
(2)∵A，B，C兩兩相互獨立，
∴兩兩相互獨立，
∴甲、乙、丙每臺機器在一個小時內都不需要照顧的概率為
P(＝)＝0.8×0.75×0.5＝0.3，
∴這一小時內至少有一臺需要照顧的概率為P＝1－P()＝1－0.3＝0.7．
20．(本小題滿分12分)(2022·湖北十堰期末)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知m＝(1＋cos A，sin B)，n＝且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)若D是BC的中點，AD＝1，求△ABC面積的最大值．
[解]　(1)由m＝(1＋cos A，sin B)，n＝且m∥n，
得(1＋cos A)b＝a sin B，
由正弦定理得(1＋cos A)sin B＝sin A sin B，
∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴1＋cos A＝sin A，
∴2sin ＝1，
又∵A∈(0，π)，A－∈，∴A－＝，即A＝.
(2)由＝，得到＝＋＋2·)，
則4＝b2＋c2＋2bccos ∠BAC，
化簡得b2＋c2＝4－bc≥2bc，∴bc≤，
當且僅當b＝c時，等號成立，
∴S△ABC＝bcsin A≤＝，
即△ABC面積的最大值為.
21．(本小題滿分12分)(2022·湖北孝感重點中學聯考期中)文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創造者，某市為提高市民對文明城市創建的認識，舉辦了“創建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中a的值，并求樣本成績的第80百分位數和平均數；
(2)已知落在[50，60)的平均成績是56，方差是7，落在[60，70)的平均成績為65，方差是4，求兩組成績的總平均數和總方差s2．
[解]　(1)∵每組小矩形的面積之和為1，
∴(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)×10＝1，解得a＝0.030．
成績落在[40，80)內的頻率為(0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65．
落在[40，90)內的頻率為(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.9．
設第80百分位數為m，
由0.65＋(m－80)×0.025＝0.80，得m＝86，
故第80百分位數為86．
設平均數為，由圖中數據可知：
＝10×(45×0.005＋55×0.010＋65×0.020＋75×0.030＋85×0.025＋95×0.010)＝74．
(2)由圖可知，成績在[50，60)的市民人數為100×0.1＝10，
成績在[60，70)的市民人數為100×0.2＝20．
故＝＝62，
s2＝[10×(56－62)2＋10×7＋20×(65－62)2＋20×4]＝23．
所以兩組市民成績的總平均數是62，總方差是23．
22．(本小題滿分12分)(2022·山東臨沂期末)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝AC＝3．
(1)設平面A1BC1與平面ABC的交線為l，判斷l與AC的位置關系，并證明；
(2)求證：A1C⊥BC1；
(3)若A1C與平面BCC1B1所成的角為30°，求三棱錐A1-ABC內切球的表面積S.
[解]　(1)判斷l∥AC.證明如下：連接BC1，
∵三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，
∴平面A1B1C1∥平面ABC，
∵A1C1 平面A1B1C1，∴A1C1∥平面ABC，
又平面A1BC1∩平面ABC＝l，A1C1 平面A1BC1，
∴A1C1∥l.
又∵A1C1∥AC，∴l∥AC.
(2)證明：連接AC1，
∵三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，
∴A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB.
又∠BAC＝90°，A1A∩AC＝A，
∴AB⊥平面ACC1A1．
又A1C 平面ACC1A1，∴AB⊥A1C，
又∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AC，
∴四邊形ACC1A1為正方形，∴AC1⊥A1C，
∵AC1∩AB＝A，AC1 平面ABC1，AB 平面ABC1，∴A1C⊥平面ABC1．
又∵BC1 平面ABC1，∴A1C⊥BC1．
(3)過A1作A1D⊥B1C1，垂足為D，連接CD，如圖所示，
∵三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，
∴BB1⊥平面A1B1C1，又A1D 平面A1B1C1，
∴BB1⊥A1D，
∵B1C1⊥A1D，BB1∩B1C1＝B1，
∴A1D⊥平面BCC1B1，
∴∠A1CD為直線A1C與平面BCC1B1所成的角，即∠A1CD＝30°，
∵AA1＝AC＝3，∴A1C＝3，
∴sin ∠A1CD＝sin 30°＝＝＝，
∴A1D＝，∴在Rt△A1C1D中，sin ∠A1C1D＝＝＝，
∴∠A1C1D＝45°，又∠B1A1C1＝90°，∴A1B1＝A1C1＝3．
設三棱錐A1-ABC內切球的半徑為r，球心為O，連接OA，OB，OC，OA1(圖略)，則由＝V三棱錐O-ABC＋＋＋得×3×3×3＝r，即r＝＝＝，
∴三棱錐A1-ABC內切球的表面積S＝4πr2＝＝π．第六章　平面向量及其應用
1．向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或稱模)．
(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規定：0與任一向量平行．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．
2．向量的線性運算
運算 法則(或幾何意義) 運算律
加法 (1)交換律： a＋b＝b＋a； (2)結合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 a－b＝a＋(－b)
數乘 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3．共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使得b＝λa.
【重要結論】　(1)若＝λ＋μ(λ，μ為常數)，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1．
(2)對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
5．平面向量的坐標運算
(1)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
(3)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共線 x1y2－x2y1＝0．
6．平面向量的數量積
(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是[0，π].
(2)數量積的定義、性質及其坐標表示
設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
幾何表示 坐標表示
數量積 a·b＝|a||b|·cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夾角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|與|a||b|的關系
【易錯警示】　(1)兩個向量a，b的夾角為銳角 a·b＞0且a，b不共線；(2)兩個向量a，b的夾角為鈍角 a·b＜0且a，b不共線．
(3)投影向量：設a，b是兩個非零向量，它們的夾角為θ，則a在b上的投影向量為|a|cos θ＝.
(4)平面向量數量積的運算律
①交換律：a·b＝b·a；
②數乘結合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
【拓展】　極化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
7．正弦、余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
內容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
變形 a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C， R為△ABC的外接圓半徑 cos A＝； cos B＝； cos C＝
8．三角形面積公式
S＝absin C＝ac sin B＝bc sin A.
第七章　復數
1．復數的概念
(1)概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數；若b≠0，則a＋bi為虛數；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數．
(2)復數相等：a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)復數的模：向量的模叫做復數z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．復數的幾何意義
復數z＝a＋bi一一對應復平面內的點Z(a，b)平面向量＝(a，b)．
3．復數的運算
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：＝＝＝i(c＋di≠0)．
第八章　立體幾何初步
1．空間幾何體的結構特征
(1)多面體的結構特征
①棱柱的側棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形；
②棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個公共點的三角形；
③棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形．
(2) 特殊的四棱柱
(3)旋轉體的形成
幾何體 旋轉圖形 旋轉軸
圓柱 矩形 任一邊所在的直線
圓錐 直角三角形 任一直角邊所在的直線
圓臺 直角梯形 垂直于底邊的腰所在的直線
球 半圓 直徑所在的直線
2．直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法．
(2)規則：
①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．
②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變為原來的一半．
【重要結論】　按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系：S直觀圖＝S原圖形．
3．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
幾何體 圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
4．柱體、錐體、臺體和球的表面積和體積
幾何體 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝Sh
臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
【拓展】　求空間幾何體的體積的常用方法：公式法、割補法、等體積法．
5．4個基本事實
基本事實1　過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
基本事實2　如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．
基本事實3　如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
基本事實4　平行于同一條直線的兩條直線平行．
推論1　經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．
推論2　經過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3　經過兩條平行直線，有且只有一個平面．
6．空間點、線、面的位置關系
(1)空間兩條直線的三種位置關系
(2)定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
(3)線面、面面平行(垂直)的判定與性質定理
關系 判定定理 性質定理
直線 與平 面平行 如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行 一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行
平面 與平 面平行 如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行
直線 與平 面垂直 如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直 垂直于同一個平面的兩條直線平行
平面 與平 面垂直 如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直 兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直
【必記結論】　三種關系之間的轉化
(4)三種角的定義及范圍
類別 定義 范圍
異面直 線所成 的角 設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角) (0°，90°]
直線和 平面所 成的角 一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內，則它們所成的角是0°的角 [0°，90°]
二面角 從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角 [0°，180°]
第九章　統計
1．普查與抽樣調查
(1)全面調查(普查)：對每一個調查對象都進行調查的方法，稱為全面調查，又稱普查．
①總體：調查對象的全體．
②個體：組成總體的每一個調查對象．
(2)抽樣調查：根據一定目的，從總體中抽取一部分個體進行調查，并以此為依據對總體的情況作出估計和推斷的調查方法．
①樣本：從總體中抽取的那部分個體．
②樣本量：樣本中包含的個體數．
2．簡單隨機抽樣
(1)定義：一般地，設一個總體含有N(N為正整數)個個體，從中逐個抽取n(1≤n(2)方法：抽簽法和隨機數法．
3．分層隨機抽樣
(1)一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層．在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．
(2)如果總體分為2層，兩層包含的個體數分別為M，N，兩層抽取的樣本量分別為m，n，兩層的樣本平均數分別為，兩層的總體平均數分別為，總體平均數為，樣本平均數為，則＝，＝.
4．作頻率分布直方圖的步驟
5．總體百分位數的估計
(1)百分位數的定義
一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數據大于或等于這個值．
(2)計算一組n個數據的第p百分位數的步驟
第1步，按從小到大排列原始數據；
第2步，計算i＝n×p%；
第3步，若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據；若i是整數，則第p百分位數為第i項與第(i＋1)項數據的平均數．
(3)四分位數
①25%，50%，75%這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數．
②第25百分位數又稱第一四分位數或下四分位數；第75百分位數又稱第三四分位數或上四分位數．
6．總體集中趨勢的估計
名稱 概念
平均數 如果有n個數x1，x2，…，xn，那么(x1＋x2＋…＋xn)就是這組數據的平均數，用表示，即＝(x1＋x2＋…＋xn)
中位數 將一組數據按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個數據(當數據個數是奇數時)或最中間兩個數據的平均數(當數據個數是偶數時)叫做這組數據的中位數
眾數 一組數據中出現次數最多的數據(即頻數最大值所對應的樣本數據)叫做這組數據的眾數
7．總體離散程度的估計
假設一組數據是x1，x2，…，xn，用表示這組數據的平均數，那么這n個數的
(1)方差
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
(2)標準差
s＝.
8．分層隨機抽樣的均值與方差
分層隨機抽樣中，如果樣本量是按比例分配，記總的樣本平均數為，樣本方差為s2．
以分兩層抽樣的情況為例．假設第一層有m個數分別為x1，x2，…，xm，平均數為，方差為；第二層有n個數，分別為y1，y2，…，yn，平均數為，方差為.則s2＝＋()2]}．
【重要結論】　(1)若數據x1，x2，…，xn的平均數為，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數是m＋a.
(2)數據x1，x2，…，xn的方差為s2．
①數據x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；
②數據ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2．
第十章　概率
1．樣本空間與樣本點
(1) 樣本點：隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，常用ω表示；
(2) 樣本空間：全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，常用Ω表示樣本空間；稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．
2．隨機事件、必然事件與不可能事件
(1)隨機事件：樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，稱為事件A發生．
(2)隨機事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部樣本點)、不可能事件 (不含任何樣本點)、基本事件(只包含一個樣本點)．
3．兩個事件的關系和運算
事件的關系或運算 含義 符號表示
包含關系 A發生導致B發生 A B
相等關系 B A且A B A＝B
并事件(和事件) A與B至少一個發生 A∪B或A＋B
交事件(積事件) A與B同時發生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A與B不能同時發生 A∩B＝
互為對立 A與B有且僅有一個發生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
4．頻率與概率
(1)頻率的穩定性
一般地，隨著試驗次數n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發生的頻率fn(A)會逐漸穩定于事件A發生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質為頻率的穩定性．
(2)頻率穩定性的作用：可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．
5．古典概型
(1)古典概型試驗具有以下特征：
①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
②等可能性：每個樣本點發生的可能性相等．
(2)古典概型的概率公式
一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝＝.
6．概率的基本性質
性質1　對任意的事件A，都有P(A)≥0．
性質2　必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P( )＝0．
性質3　如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性質4　如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性質5　如果A B，那么P(A)≤P(B)．
性質6　設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
7．相互獨立事件
(1)概念：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱獨立．
(2)性質：如果事件A與B相互獨立，那么A與與B，與也都相互獨立．

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