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2024春人教版八（下）數學同步精品課件
17.1 勾股定理
17.1.1 勾股定理
第十七章 勾股定理
1.經歷勾股定理的探究過程，了解關于勾股定理的一些文化歷史背景，會用面積法來證明勾股定理，體會數形結合的思想.（重點）
2.會用勾股定理進行簡單的計算 .（難點）
如圖，強大的臺風使得一棵大樹在離地面6米處折斷倒下，大樹頂部落在離大樹底部8米處. 大樹折斷之前有多高
這是1955年希臘為紀念一個數學學派曾經發行的郵票.
郵票的秘密：觀察這枚郵票圖案小方格的個數，你有什么發現
32+42=52
相傳2500多年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家作客時，發現朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數量關系.我們也來觀察一下地面的圖案，看看能從中發現什么數量關系？
A
B
C
問題1:試問正方形A、B、C面積之間有什么樣的數量關系？
相傳2500多年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家作客時，發現朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數量關系.我們也來觀察一下地面的圖案，看看能從中發現什么數量關系？
問題2:圖中正方形A、B、C所圍成的直角三角形三邊之間有什么特殊數量關系？
a
b
c
猜想：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.
如圖，直角三角形三邊的平方分別是多少，它們滿足前面所猜想的數量關系嗎？你是如何計算的？
9
9
18
4
4
8
【結論】
如圖，對于下圖中的直角三角形，是否還滿足這樣的關系 你又是如何計算的呢
4
9
13
9
25
34
【結論】
命題1.如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b，斜邊長為c,那么a2+b2=c2.兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
由上面的幾個例子，我們猜想：
通過拼擺，得到一大正方形與一個小正方形. 你能用兩種方法表示大正方形的面積嗎？
大正方形面積表示為：①__________②_____________.
對比兩種表示方法你得到勾股定理了嗎？
化簡得
通過拼擺，得到一大正方形與一個小正方形. 你能用兩種方法表示大正方形的面積嗎？
大正方形面積表示為：①__________②_____________.
對比兩種表示方法你得到勾股定理了嗎？
化簡得
命題1.如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b，斜邊長為c,那么a2+b2=c2.兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
這樣我們就證實了命題1的正確性，命題1與直角三角形的邊有關，我國把它稱為勾股定理.(我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.)在西方又稱畢達哥拉斯定理.
勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b，斜邊長為c,那么a2+b2=c2.兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
我國古代數學家數學家趙爽在為《周髀算經》作注解時，創制了一幅“勾股圓方圖”，也稱為“趙爽弦圖”，這是我國對勾股定理最早的證明.
2002年世界數學家大會(ICM-2002)在北京召開，這屆大會會標的中央圖案正是經過藝術處理的“弦圖”，它既標志著中國古代的數學成就，又像一只轉動的風車，歡迎來自世界各地的數學家們!
如圖，強大的臺風使得一棵大樹在離地面6米處折斷倒下，大樹頂部落在離大樹底部8米處. 大樹折斷之前有多高
解：根據勾股定理得
所以，大樹折斷之前的高度為：6+10=16(米).
例1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
解：(1)根據勾股定理得
(2)根據勾股定理得
設直角三角的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c.
(1)已知a=6，c=10，求b；
(2)已知a=5，b=12，求c；
(3)已知c=25，b=15，求a.
解：(1)根據勾股定理得
(2)根據勾股定理得
(3)根據勾股定理得
例2.在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a:b=1:2 ，c=5,求a;
（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
解：
(1)設a=x,b=2x,根據勾股定理建立方程得
x2+(2x)2=52，
解得
(2)
因此設a=x,c=2x,根據勾股定理建立方程得
(2x)2-x2=152，
解得
【點睛】已知直角三角形兩邊關系和第三邊的長求未知兩邊時，要運用方程思想設未知數，根據勾股定理列方程求解.
例3.在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長.
解：本題斜邊不確定，需分類討論：
當AB為斜邊時，如圖 ，
當BC為斜邊時，如圖 ，
【點睛】當直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時，其中一較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進行分類討論，否則容易丟解.
例4.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的長.
解：由勾股定理可得
AB2=AC2+BC2=25，
即 AB=5.
根據三角形面積公式，
∴AC×BC=AB×CD.
∴CD=.
【點睛】由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，它常與勾股定理聯合使用．
1.如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，觀察圖形,可以驗證的式子為( )
A.(a+b)(a-b)=a2-b2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.c2=a2+b2
D.(a-b)2=a2-2ab+b2
2.在直角三角形中，若兩直角邊長分別為3和4，則斜邊長是( )
A.5 B.7 C. D.或5
3.在直角三角形中，若兩邊長分別為3和4，則第三邊長為( )
A.1 B.5 C. D.或5
C
A
D
4.如圖，點E在正方形ABCD內,滿足∠AEB=90°，AE=6,
BE=8，則陰影部分的面積是( )
A.48 B.60 C.76 D.80
5.如圖，網格的邊長為1，在△ABC中，邊長為無理數的邊數是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
C
D
6.如圖(1)，三個正方形中的兩個的面積S1=20，S2=60，則另一個的面積S3為_____.
7.如圖(2)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,兩個正方形的面積如圖所示，則△ABC的周長是_____.
80
24
8.如圖(3)，點E在正方形ABCD的邊AB上.若EB=1, EC=2,則正方形ABCD的面積為_____.
9.點P(a,3)在第二象限，且到原點的距離是5，則a=____.
3
-4
10.如圖①，直角三角形紙片的一條直角邊長為2，剪四塊這樣的直角三角形紙片，把它們按圖②放入一個邊長為3的正方形中(紙片在結合部分不重疊無縫隙)，則圖②中陰影部分面積為______.
4
11.設直角三角的兩條直角邊長分別為a和b,斜邊長為c.
(1)已知a=5，c=10， 求b;
(2)已知a=8，b=15， 求c;
(3)已知c=2.5，b=1.5，求a.
解：(1)根據勾股定理得
(2)根據勾股定理得
(3)根據勾股定理得
12.如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的邊長分別是12，16，9，12，求最大正方形E的面積.
解：依題意，得
S1=SA+SB=122+162=144+256=400
S2=SC+SD=92+122=81+144=225
所以，SE=S1+S2=400+225=625
13.以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，如圖①所示，三個正方形的面積分別為S1，S2，S3， 則有S1+S2___S3(填“>”“=”“<”).
(1)分別以直角三角形的三邊為直徑向外作半圓，如圖②所示，上述結論是否仍成立 說明理由.
解: (1) 成立.理由如下:
S1=×π(a)2=a2, S2=×π(b)2=b2
S3=×π(c)2=c2
∴a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3
即(1)中的結論仍然成立.
=
13.以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，如圖①所示，三個正方形的面積分別為S1，S2，S3， 則有S1+S2___S3(填“>”“=”“<”).
(2)分別以直角三角形的三邊為斜邊向外作等腰直角三角形，(1)中的結論仍成立嗎(直接寫出結論，無需證明)
解: (2) 成立.
=
(3)(變式拓展)如圖③,圖中數字代表正方形的面積,∠ACB=120°，求正方形P的面積.
解:(3)由題意得AC=2,BC=3.
作AD⊥BC，交BC的延長線于D.
∵∠ACB=120°
∴∠ACD=60°，∠DAC=30°
∴CD=AC=1
在Rt△ACD中，根據勾股定理得AD=
在Rt△ADB中，BD=BC+CD=3+1=4
根據勾股定理得AB2=AD2+BD2=3+16=19
∴正方形P的面積為AB2=19
勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b，斜邊長為c,那么a2+b2=c2.兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
謝謝
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