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第十一章 功和機械能
11.2 功率
1．功率的定義、物理意義和單位：功與做功所用時間之比叫做功率。它是表示物體做功快慢的物理量。單位是瓦特，符號是W。
2．功率的定義式：；
3．功與功率：功與功率是兩個不同的物理量，“功”表示做功的“多少”，而“功率”則表示做功的“快慢”，“多少”與“快慢”的意義不一樣，只有在做功時間相同時，做功多的就做功快；否則，做功多，不一定做功就快，即“功率”不一定就大；也就是說，功與功率跟時間這個因素有關。
4．功率的計算
普遍公式 ，其中P表示功率，單位是瓦特；W表示做功的多少，單位是焦耳；t表示時間，單位是秒
推導公式
注意事項 （1）P、W、t必須對應于同一段時間和同一物體； （2）具有普遍性，不限制物體的運動狀態； （3）題目中若出現距離，則考慮公式； （4）若出現速度，沒有距離，則考慮公式P=Fv
5．比較功率的大小
功率是表示物體做功快慢的物理量，一般采用下列三種辦法比較大小：
（1）在相同時間內，比較做功的多少，做功越多的物體，功率越大。
（2）在完成相同功的條件下，比較所用時間的長短，所用時間越短的物體，功率越大。
（3）做功多少和所用時間都不同的情況下，通過公式計算，然后進行比較。
【題型1】 比較做功的快慢
方法點撥 比較不同物體做功的快慢，要采用控制變量法，比較相同時間內做功的多少，或比較做同樣的功所用時間的長短。如果時間不同，做的功也不同，則需要比較單位時間內所做的功來比較做功的快慢。
（2023春 槐蔭區校級月考）生活中，人們通常用兩種方法來比較做功的快慢：
方法①：相同的時間比較做功的多少；
方法②：相同的做功比較時間的多少。
如圖所示，表示的是用挖土機挖土比人力挖土快得多，所用的是判斷方法　 　；物理學用功率描述做功的快慢，公式為P，這種方法與日常方法 　是相同的（以上兩空選填“①”或“②”）。
【答案】①；①。
【分析】判斷物體做功快慢有兩種方法：①做相同的功，比較時間的長短，用時越長，做功越慢；②在相同的時間內，比較做功的多少，做功越多，做功越快。
【解答】解：比較挖掘機與人力挖土做功的快慢，我們可以采用相同的時間內比較挖土多少，即做功的多少；比較可知，挖掘機做功多，做功快；
功率表示做功快慢的物理量，公式為P，表示單位時間內物體所做的功；這種方法與日常方法①相同的時間比較做功的多少是相同的。
故答案為：①；①。
【點評】（1）正確掌握功率的定義、公式、計算。（2）判斷物體的做功快慢采取控制變量法。
【變式1-1】（2023 青羊區校級模擬）學習了功率的知識后，小明和幾位同學準備做“比一比誰的功率大”的活動。以下是他們設計的三套方案，其中可行的是（　　）
①控制爬樓的時間相同，測量出各自的體重、爬上樓的高度，即可比較功率大小
②控制爬樓的高度相同，測量出各自的體重、爬樓用的時間，即可比較功率大小
③測量出各自的體重、爬樓用的時間和爬樓的高度，算出功率進行比較
A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③
【答案】D
【分析】要比較功率的大小，有三種方法：
①做功時間一定，比較做功的多少，做功多的，功率大；
②做功的多少一定，做功時間短的，功率大；
③分別測出功率，進行比較。
比較功率不一定必須測出功率。
【解答】解：爬樓是克服自身的重力做功，功率P，若做功時間t一定，測出各自的質量m和爬樓的高度h，mgh越大，功率越大；
控制爬樓高度一定，測出各自的質量m和爬樓時間t，若的比值越大，功率就越大；
測出各自的質量、爬樓時間和爬樓的高度，根據P，求出功率，比較功率的大小。所以三種方法都是可以的。故選：D。
【點評】解答此題的關鍵是我們首先要知道爬樓是克服自身的重力做功，然后根據比較功率的方法來解答。
【變式1-2】（2023 虹口區校級期末）大人和小孩分別將同樣多的磚從一樓搬到二樓，大人用時15s，小孩用時25s，在這個過程中，下列說法正確的是（　　）
A．小孩對磚做功更多 B．小孩對磚做功更快
C．大人對磚做功更多 D．大人對磚做功更快
【答案】D
【分析】（1）兩人分別將同樣多的磚從一樓運到三樓，根據公式W＝Gh比較大人和小孩對磚做功的多少；
（2）根據功率的公式P比較大人和小孩對磚做功的功率大小。
【解答】解：大人和小孩分別將同樣多的磚從一樓搬到二樓，磚的總重力相同，磚上升的高度相同，由公式 W＝Gh可知，大人和小孩對磚所做的功相同；
運磚時，上升的高度相同，小孩用的時間比大人多，大人和小孩對磚所做的功相同，根據公式P可知，大人對磚做功的功率一定比小孩對磚做功的功率大，大人對磚做功更快，故ABC不符合題意，D符合題意。
【點評】本題考查了功和功率的大小比較，屬于基礎題，難度不大。
【變式1-3】（2023春 膠州市月考）甲、乙兩人做功的多少之比為2：3，做功所用時間之比為3：5，則甲、乙做功的快慢之比為（　　）
A．9：10 B．6：15 C．10：9 D．15：6
【答案】C
【分析】已知甲、乙兩人做功之比和時間之比，可利用公式P計算兩人做功的功率之比，即做功的快慢之比。
【解答】解：甲、乙兩人做功之比W甲：W乙＝2：3，所用時間之比t甲：t乙＝3：5，
則兩人做功的功率之比，即快慢之比為：10：9，故選：C。
【點評】本題考查了學生對功率計算公式的理解和應用，需要注意的是，在代入數值的時候應注意要一一對應，這是一個比較容易出錯的地方。
【題型2】 對功率的理解
方法點撥 熟記功率的基本概念，注意區分功率與功，功率是表示做功快慢的物理量，功率的大小是由做功的多少與做功所用時間共同決定的，做功快慢和做功多少是不同的。
（2023春 青縣期末）關于功率，下列說法中不正確的是（　　）
A．每秒做功越多，功率越大
B．汽車上坡時要減速，是為了增大牽引力
C．做功快的機械，功率一定大
D．功率小的機器做功一定少
【答案】D
【分析】功率是描述物體做功快慢的物理量，它等于單位時間內完成的功，由所做功的多少和所用的時間決定。
根據公式PFv可知，汽車的功率是一定的，其牽引力和速度成反比。
【解答】解：A、功率是描述物體做功快慢的物理量，它等于單位時間內完成的功，由所做功的多少和所用的時間決定，故A說法正確；
B、根據公式PFv可知，汽車的功率是一定的，其牽引力和速度成反比，汽車上坡時要減速，是為了增大牽引力，故B說法正確；
C、做功快的機械，功率一定大，說法正確；
D、功率反映做功的快慢，物體做功多少除了要考慮功率還要考慮做功的時間，功率小但是時間長做功不一定少，D說法不正確。
【點評】本題考查了功率的概念，功率和功的關系。
【變式2-1】（2023秋 碑林區校級期末）小亮在夏天的某個周末參加實踐活動，利用小推車幫助農民爺爺搬運西瓜，下列說法正確的是（　　）
A．推小推車的力越大，對小推車做的功越多
B．推小推車的距離越遠，對小推車做的功越多
C．推力做的功越多，表示做功越快
D．推力做功的功率越大，做功不一定越多
【答案】D
【分析】①力學里所說的功包括兩個必要因素：一是作用在物體上的力；二是物體在力的方向上通過的距離；計算公式為W＝Fs；②功率是描述物體做功快慢的物理量，它等于單位時間內所做的功，功率大則做功快；計算公式為P。
【解答】解：AB、由功的計算公式W＝Fs可知，推小推車時做功的多少與推力大小和距離遠近都有關系，只知道一個因素無法判斷做功的多少，故AB錯誤；
C、只知道做功的多少，不知道做功時間，無法判斷做功快慢，故C錯誤；
D、功率越大表明做功越快，不知道做功時間，無法判斷做功多少，故D正確。
【點評】理解功和功率的基本概念，同時要認識功和功率的公式，并注意區分功率與功的不同。
【變式2-2】（2023 濟南）2023年5月23日12時30分許，我國13名科考隊員成功登頂珠穆朗瑪峰，巍巍珠峰再次見證歷史！如圖所示。在他們從山腳下到峰頂的過程中，體重（含裝備）越大的隊員一定（　　）
A．做功越多 B．功率越大 C．做功越快 D．功率越小
【答案】A
【分析】功表示物體在力與力的方向上通過距離的乘積；物體在單位時間內所做的功叫功率，物理學中，用功率來表示物體做功的快慢。
【解答】解：從山腳到峰頂的過程中，各科考隊員上升的高度是相同的，根據公式W＝Fs＝Gh可知，體重越大（含裝備）越大的隊員，做功越多；
因為從山腳到山頂各科考隊員所用的時間未知，根據公式P可知，功率的大小無法比較。故選：A。
【點評】本題考查了學生對功率概念，以及功的了解與掌握，屬于基礎題目。
【變式2-3】（2023秋 無錫期末）體育課上，老師通過改變音樂的節奏來控制同學們完成20個仰臥起坐的快慢。調節后改變了同學們做仰臥起坐時（　　）
A．功率的大小 B．做功的多少
C．所需力的大小 D．重心上升的高度
【答案】A
【分析】根據功率的定義分析（功率是表示做功快慢的物理量）。
【解答】解：做仰臥起坐時，每次所做的功相同，則完成20個仰臥起坐做的總功相同，老師通過改變音樂的節奏改變了同學們仰臥起坐的快慢，則學生做功的時間改變，所以做功的功率發生了改變，所以其實質是改變功率的大小。故選：A。
【點評】此題考查學生對功率的理解，屬于基礎知識考查，難度不大。
【題型3】 功率的計算
方法點撥 1．計算功率時，公式具有普遍性，適用于任何情況下功率的計算；而推導公式P=Fv一般用于做勻速直線運動的物體。 2．汽車爬坡時為什么要用低速擋。由推導公式P=Fv可知，在功率一定時，速度越小，汽車獲得的牽引力越大，爬坡越容易。
（2023春 江岸區校級月考）某建筑工地上一臺升降機的箱體連同貨物的質量為1.2t，在10s內從地面上升到5樓，如果每層樓高3m，升降機的電動機的功率為（　　）
A．18W B．14.4W C．18kW D．14.4kW
【答案】D
【分析】根據公式G＝mg計算出重力，根據公式W＝Gh來計算電動機所做的功，再根據公式P求出功率。
【解答】解：由題可知，升降機的箱體連同貨物的重力為G＝mg＝1.2×103kg×10N/kg＝1.2×104N，升降機將箱體連同貨物從1樓升到5樓的高度為12m，則升降機的電動機做功為W＝Gh＝1.2×104N×12m＝1.44×105J；升降機的電動機的功率為P1.44×104W＝14.4kW，故D正確，ABC錯誤。
【點評】此題主要考查的是學生對重力、功、功率計算公式的理解和掌握，基礎性題目。
【變式3-1】（2023秋 永修縣期末）一起重機將重為1.2×104N的鋼材2秒內豎直勻速提升3m后，又用了4秒沿水平方向勻速移動5m，在整個運動過程中起重機對鋼材做的功為 　，功率 　W。
【答案】3.6×104J；6000。
【分析】根據功的定義可知，起重機提著重物沿水平方向勻速移動5m的過程，起重機向上的拉力沒有對重物做功；根據功和功率的公式計算即可。
【解答】解：由題意可知，起重機提著重物沿水平方向勻速移動5m的過程，起重機向上的拉力沒有對重物做功；起重機對鋼材做的功：
W＝Fs＝1.2×104N×3m＝3.6×104J；
做功的功率：P6000W。
【點評】本題有兩處容易出錯：一是物體在水平方向上運動的過程中，向上的拉力沒有對物體做功；二是整個過程中做功的功率應為平均功率，即時間應為物體豎直上升和水平移動的時間之和。
【變式3-2】（2023 常州）初中生小明回家上樓，用30s從一樓走到三樓，他上樓過程的功率大約為（　　）
A．1W B．10W C．100W D．1000W
【答案】C
【分析】先估測人的質量和走上三樓的高度；根據質量求出重力，再根據W＝Gh求出他上樓時做的功，由P求出功率。
【解答】解：一個學生的質量約為50kg，每一層樓的高度為3m，從一樓走到三樓，上升的高度為6m；從一樓走到三樓做的功：W＝Gh＝mgh＝50kg×10N/kg×6m＝3000J，從一樓走到三樓的時間為30s，則他上樓時的功率：P100W，故C正確。
【點評】本題考查功率公式的應用，難度不大。
【變式3-3】（2023春 江岸區校級月考）電動叉車托著質量為100kg的貨物，在25s時間內沿水平方向行駛100m，如圖甲所示；接著在10s內把貨物勻速豎直提升1m，如圖乙所示。下列說法正確的是（　　）
A．叉車水平行駛時克服貨物重力做功為1.0×106J
B．叉車水平行駛時克服貨物重力做功的功率為4.0×104W
C．叉車提升貨物的過程中，克服貨物重力做功為1.0×103J
D．叉車提升貨物的過程中，克服貨物重力做功的功率為1.0×103W
【答案】C
【分析】AB：功是力和力的方向上移動的距離的乘積，據此分析水平行駛過程中，叉車對貨物是否做功；CD、根據W＝Gh計算叉車提升貨物的過程中，克服貨物重力做功，根據P計算克服貨物重力做功的功率。
【解答】解：AB：功是力和力的方向上移動的距離的乘積，所以水平行駛過程中，叉車對貨物沒有做功，功率為0，故AB錯誤；
CD、叉車提升貨物的過程中，克服貨物重力做功：W＝Gh＝mgh＝100kg×10N/kg×1m＝1000J；克服貨物重力做功的功率：P100W，故C正確，D錯誤。
【點評】本題考查做功公式和功率公式的靈活運用，屬于基礎題。
【題型4】 功率的有關圖像問題
方法點撥 通過圖象來考查功率，要求同學們具有一定的識圖能力，能夠從圖像中找出求解功率需要的有用信息。
（2023秋 黃埔區期末）如圖甲所示，物體在恒為10N的水平拉力作用下經過A、B、C三個粗糙程度不同的區域，且三個區域的距離均為3m，物體的速度隨時間變化的圖像如圖乙所示。下列說法正確的是（　　）
A．拉力在B區不做功
B．拉力在C區所做的功為20J
C．拉力在A區做功的功率為30W
D．拉力在A、C區做功的功率相同
【答案】D
【分析】在平衡力的作用下物體保持靜止或勻速直線運動狀態，在非平衡力的作用下物體運動狀態發生改變；運用以上規律，結合題目和圖像，可知物塊在0～2s內在區域A做加速運動，在2s～3s內在區域B上做勻速運動，在區域C做減速運動，根據W＝Fs得到區域C做的功，根據W＝Fs得到區域A做的功，根據P得到拉力在A區做功的功率。
【解答】解：A、在2s～3s內在區域B上做勻速運動，拉力和摩擦力是平衡力，拉力等于摩擦力，物體在拉力的方向上通過一定的距離，拉力做功，故A錯誤；
B、在區域C做減速運動，拉力在C區所做的功為：WC＝FsC＝10N×3m＝30J，故B錯誤；
C、拉力在A區做的功：WA＝Fs＝10N×3m＝30J，拉力在A區做功的功率：PA15W，故C錯誤；
D、拉力在C區所做功的功率：PC15W，拉力在A、C區做功的功率相同，故D正確。
【點評】本題考查功和功率的計算，結合運動圖像和速度﹣時間圖像得到有價值的信息，是解答此題的關鍵。
【變式4-1】（2023春 江岸區校級月考）一定質量的物體在水平拉力的作用下沿同一水平面運動，物體運動的路程（s）﹣時間（t）圖象如圖所示，根據圖象，下列判斷正確的是（　　）
A．物體16s時的速度大于4s時的速度
B．0﹣12s拉力對物體所做的功大于12s﹣24s拉力對物體所做的功
C．0﹣12s拉力對物體做功的功率小于12s﹣24s拉力對物體做功的功率
D．0﹣12s物體所受的拉力大于12s﹣24s物體所受的拉力
【答案】B
【分析】（1）比較物體運動快慢的方法：運動相同的路程比時間，時間越短，速度越快；相同時間比路程，路程越長，速度越快；
（2）從圖象上分別讀出0～6s和6～12s過程中通過的距離，根據W＝Fs比較拉力做功的多少；
（3）根據P＝Fv判斷功率的變化；
（4）由s﹣t圖象可得，物體處于平衡狀態；物體處于靜止或勻速直線運動狀態時，受的是平衡力的作用，大小相等。
【解答】解：A．物體0﹣12s內的速度是0.5m/s，物體12﹣24s內的速度是0.167m/s，物體16s時的速度小于4s時的速度，故A錯誤；
B．0﹣12s物體運動了6m，12s﹣24s物體運動了2m，由圖可知物體在每段時間內都是勻速直線運動，則拉力等于摩擦力，摩擦力沒變則拉力不變，根據公式W＝Fs可知，0﹣12s拉力對物體所做的功大于12s﹣24s拉力對物體所做的功，故B正確；
C．在相同的時間里，0﹣12s拉力對物體所做的功較大，則功率也較大，故C錯誤；
D．由圖可知物體前12s內和后12s內都是勻速直線運動，則拉力等于摩擦力，因為壓力和接觸面的粗糙程度沒變，摩擦力不變，則拉力不變，故D錯誤。
【點評】根據圖象判斷物體是否做勻速直線運動以及速度大小的關系，知道平衡力的辨別和功、功率的計算公式是解決本題的關鍵。
【變式4-2】（2023春 鄠邑區月考）如圖（a）所示，放在足夠長的水平桌面上的木塊，用彈簧測力計沿水平方向以不同速度分別拉木塊使其做直線運動，木塊兩次運動的s﹣t圖像如圖（b）所示。由圖像可知，木塊兩次所受摩擦力f1　 　f2，拉力做功的功率P1　 　P2，相等時間所做的功W1　 　W2。（以上均選填“＞”“＜”“＝”）
【答案】＝；＞；＞。
【分析】（1）由s﹣t圖像可知木塊兩次在相同時間內通過的路程關系，根據速度公式可知兩次速度的大小關系；
（2）滑動摩擦力的大小跟壓力大小和接觸面粗糙程度有關，據此比較木塊兩次受到摩擦力的大小關系；
拉動木塊在水平面上做勻速直線運動時，水平方向上木塊受到拉力和滑動摩擦力是一對平衡力，二力大小相等，據此比較木塊兩次受到拉力的大小關系；
（3）根據PFv分析兩次拉力做功的功率大小；
（4）根據W＝Fs＝Fvt分析相等時間所做的功的大小關系。
【解答】解：由圖（b）的s﹣t圖像可知，在相同時間內，木塊第一次通過的路程大于第二次通過的路程，根據v可知v1＞v2；
同一木塊兩次在水平桌面上運動，壓力大小不變，接觸面的粗糙程度不變，所以滑動摩擦力的大小不變，即f1＝f2；
由s﹣t圖像可知，木塊兩次通過的路程與時間都成正比，即木塊兩次都做勻速直線運動，在水平方向上木塊受到拉力和滑動摩擦力是一對平衡力，則拉力等于滑動摩擦力，滑動摩擦力不變，則兩次拉力相等，即F1＝F2；
因F1＝F2、v1＞v2，所以根據PFv可得P1＞P2。
由W＝Fs＝Fvt可知，相等時間所做的功W1＞W2。
【點評】解答本題的關鍵：根據木塊做勻速直線運動判斷木塊受到平衡力作用，根據二力平衡條件判斷拉力和滑動摩擦力的大小關系，根據P＝Fv判斷功率的大小關系。
【變式4-3】（2023春 魚臺縣期末）如圖甲所示，水平地面上的物體，受到方向不變的推力F的作用，其F﹣t和v﹣t的圖像分別如圖乙、丙所示。由圖像可知：在0～3s內，推力對物體做功　 　J；在9～12s內，推力對物體做功的功率為　 W。
【答案】0；18。
【分析】（1）從速度圖象中分析0﹣3s時物體的速度大小可得出物體此時所處的狀態，然后根據做功的兩個必要條件分析解答；
（2）首先從速度圖象中9﹣12s得出物體勻速直線運動。然后對應的從F﹣t圖象中得出推力；再利用P＝Fv求出功率。
【解答】解：（1）由丙圖知：0﹣3s內物體的速度大小為零，物體處于靜止狀態，有力無距離，所以，推力對物體做功0J。
（2）由丙圖知，9﹣12s時，物體勻速運動，v＝3m/s，由乙圖知，9﹣12s時，F＝6N，
則拉力F做功的功率：P＝Fv＝6N×3m/s＝18W。
【點評】本題考查學生對圖象的認識及力的合成的應用，要求能熟練讀圖，根據平衡狀態中二力平衡找出力的大小是本題的關鍵所在。

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