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2024學(xué)年北師大版五下數(shù)學(xué)學(xué)霸速記巧練1：長(zhǎng)方體（一）（知識(shí)清單）
知識(shí)點(diǎn)一：長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)
1、在長(zhǎng)方體或正方體中，圍成長(zhǎng)方體或正方體的平面圖形叫做長(zhǎng)方體或正方體的面；面和面相交的邊叫做長(zhǎng)方體或正方體的棱；三條棱又交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。
2、長(zhǎng)方體和正方體的特點(diǎn)
3、正方體與長(zhǎng)方體的關(guān)系
正方體可以看成是長(zhǎng)、寬、高都相等的長(zhǎng)方體。
4、判斷所給圖形能否組成長(zhǎng)方體，可以根據(jù)長(zhǎng)方體面和棱的特點(diǎn)一組一組地進(jìn)行對(duì)比。
【典例一】做一個(gè)長(zhǎng)6cm，寬5cm，高4cm的長(zhǎng)方體框架，最少需要（ ）cm長(zhǎng)的木條。
A．15 B．30 C．45 D．60
【分析】求做這個(gè)長(zhǎng)方體需要木條的長(zhǎng)度，就是求這個(gè)長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和，根據(jù)長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總共公式：棱長(zhǎng)總和＝（長(zhǎng)＋寬＋高）×4，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
【詳解】（6＋5＋4）×4
＝（11＋4）×4
＝15×4
＝60（cm）
做一個(gè)長(zhǎng)6cm，寬5cm，高4cm的長(zhǎng)方體框架，最少需要60cm的木條。
故答案為：D
【點(diǎn)睛】熟練掌握長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和公式是解答本題的關(guān)鍵。
【變式訓(xùn)練01】一個(gè)上下兩層的長(zhǎng)方體儲(chǔ)物柜，每層高0.3米，后來(lái)往上又加了一層，這時(shí)儲(chǔ)物柜的形狀是正方體，這個(gè)儲(chǔ)物柜現(xiàn)在占地（ ）平方米。
【分析】上下兩層的長(zhǎng)方體儲(chǔ)物柜，又加了一層變成了正方體，每層高0.3米，證明正方體的棱長(zhǎng)為0.3×3＝0.9（米），根據(jù)正方形的面積公式：S＝a2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【詳解】0.9×0.9＝0.81（平方米）
這個(gè)儲(chǔ)物柜現(xiàn)在占地0.81平方米。
【點(diǎn)睛】此題主要考查正方形的面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。
【變式訓(xùn)練02】下圖中，A面的面積是40cm2。那么：
（1）B面的面積是（ ）cm2。
（2）要做這個(gè)長(zhǎng)方體框架，至少需要（ ）cm的鐵絲。
【分析】（1）根據(jù)圖分析，A面是一個(gè)長(zhǎng)方形，寬是5cm，面積是40cm2，長(zhǎng)方形面積公式：面積＝長(zhǎng)×寬，代入數(shù)據(jù)求出A面的長(zhǎng)是多少。A面的長(zhǎng)，也是B面的長(zhǎng)，同時(shí)也是整個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，B面的寬為7cm，代入長(zhǎng)方形面積公式可求B面面積。
（2）根據(jù)長(zhǎng)方體的特征，它有12條棱，分為3組，每組4條棱的長(zhǎng)度相等，長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和＝（長(zhǎng)＋寬＋高）×4，從圖上可知該長(zhǎng)方體高為5cm，寬為7cm，再利用上一問(wèn)求出的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，計(jì)算即可。
【詳解】（1）（1）40÷5＝8（cm）
8×7＝56（cm2）
B面的面積是56cm2。
（2）（8＋7＋5）×4
＝（15＋5）×4
＝20×4
＝80（cm）
要做這個(gè)長(zhǎng)方體框架，至少需要80cm的鐵絲。
【點(diǎn)睛】本題主要考查了長(zhǎng)方形的面積公式和長(zhǎng)方體的特征及棱長(zhǎng)總和的計(jì)算方法，根據(jù)棱長(zhǎng)總和的計(jì)算方法解決問(wèn)題。
【變式訓(xùn)練03】一根繩子長(zhǎng)6米，現(xiàn)要捆扎一種禮盒（如下圖）。如果結(jié)頭處要用掉繩子25厘米，這根繩子最多可以捆扎幾個(gè)這樣的禮盒？（單位：厘米）
【分析】通過(guò)觀察圖形可知，捆扎一個(gè)這樣的禮品盒需要繩子的長(zhǎng)度等于這個(gè)長(zhǎng)方體的2條長(zhǎng)，加2條寬，加4條高，再加上結(jié)頭處要用的繩子25厘米，據(jù)此可以求出捆扎一個(gè)禮品盒需要繩子的長(zhǎng)度，然后根據(jù)“包含”除法的意義，用除法解答。
【詳解】6米＝600厘米
10×2＋15×2＋8×4＋25
＝20＋30＋32＋25
＝107（厘米）
600÷107＝5（個(gè)）……65（厘米）
答：這根繩子最多可以捆扎5個(gè)這樣的禮盒。
【點(diǎn)睛】此題考查的目的是理解掌握長(zhǎng)方體的特征，以及長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和的計(jì)算方法及應(yīng)用。
知識(shí)點(diǎn)二：展開(kāi)與折疊
1、長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖。
長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖是由6個(gè)長(zhǎng)方形組成的，相對(duì)面的面積相等，而且相鄰面的面積一般不相等(特殊情況也有4個(gè)面的面積相等)。
2、正方體的展開(kāi)圖。
正方體的展開(kāi)圖是由6個(gè)正方形組成的，而且6個(gè)正方形的面積相等。
3、判斷一個(gè)圖形折疊后相對(duì)的面，可以根據(jù)長(zhǎng)方體，正方體的特點(diǎn)，先確定一個(gè)面為下底面，再想象折疊的過(guò)程，從而找出相對(duì)的面，也可以用實(shí)物圖折一折。
【典例一】下圖是一個(gè)長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖（單位：），則陰影部分的面積是（ ）。
A．15 B．21 C．35 D．50
【分析】觀察圖形可知，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是7dm，寬是5dcm，高是3dm，陰影部分的長(zhǎng)是等于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，等于7dcm，寬等于長(zhǎng)方體的高，等于是3dm，根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式：面積＝長(zhǎng)×寬，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
【詳解】7×3＝21（dm2）
則陰影部分的面積是21dm2。
故答案為：B
【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的特征確定陰影部分的長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度。
【變式訓(xùn)練01】一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是7厘米，寬是5厘米，高是3厘米。說(shuō)出這個(gè)長(zhǎng)方體的底面、前面和左面的面積各是多少平方厘米？
底面的面積是( )平方厘米。
前面的面積是( )平方厘米。
左面的面積是( )平方厘米。
【分析】根據(jù)題意可知，底面面積＝長(zhǎng)×寬，前面面積＝長(zhǎng)×高，左面面積＝寬×高，以此解答。
【詳解】底面的面積：7×5＝35（平方厘米）
前面的面積：3×7＝21（平方厘米）
左面的面積：3×5＝15（平方厘米）
【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體表面積的理解與應(yīng)用。
【變式訓(xùn)練02】如圖，一張硬紙板剪下4個(gè)邊長(zhǎng)4厘米的小正方形后，可以做成一個(gè)沒(méi)有蓋子的盒子。請(qǐng)你求出剪后的硬紙板的面積？
【分析】由題意可知，剪后的硬紙板的面積＝原長(zhǎng)方形面積－4×小正方形面積，將數(shù)值代入長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式求值即可。
【詳解】26×20－4×4×4
＝520－64
＝456（cm2）
答：剪后的硬紙板的面積是456平方厘米。
【點(diǎn)睛】此題主要考查了學(xué)生動(dòng)手操作的能力，在計(jì)算不規(guī)則圖形的面積時(shí)，一般都會(huì)把它轉(zhuǎn)化成幾個(gè)規(guī)則圖形的面積之和或差，再利用規(guī)則圖形的面積公式進(jìn)行解答。
【變式訓(xùn)練03】熊媽媽在魔方的六個(gè)面上各貼了一個(gè)數(shù)字，分別是1，2，3，4，5，6。第一次熊寶寶看到了，第二次熊寶寶又看到了。數(shù)字1，2，3對(duì)面分別是多少？
【分析】從兩次的圖形中可以得知：3是和1、2、4、6相鄰，所以3的對(duì)面就是5；由第二次看到的圖形可以得知2與1、3、5、6相鄰，據(jù)此可推出2的對(duì)面是4，進(jìn)而推出1的對(duì)面是6。據(jù)此解答。
【詳解】根據(jù)分析可得，以3為中心的展開(kāi)圖如下：
答：數(shù)字1的對(duì)面是數(shù)字6；數(shù)字2的對(duì)面是數(shù)字4；數(shù)字3的對(duì)面是數(shù)字5。
【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是明確數(shù)字6是靠著數(shù)字2的。
知識(shí)點(diǎn)三：長(zhǎng)方體的表面積
1、長(zhǎng)方體的表面積。
（1）長(zhǎng)方體的表面積的意義:長(zhǎng)方體6個(gè)面的面積之和叫作它的表面積。
（2）長(zhǎng)方體的表面積=(長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高)×2
或長(zhǎng)方體的表面積=長(zhǎng)×寬×2+長(zhǎng)×高×2+寬×高×2
2、正方體的表面積。
（1）正方體的表面積的意義:正方體6個(gè)面的面積之和叫作它的表面積。
（2）正方體的表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6
【典例一】一個(gè)長(zhǎng)方體的茶葉盒，長(zhǎng)10厘米，寬8厘米，高12厘米。如果圍著它貼一圈商標(biāo)紙（上、下面不貼），這張商標(biāo)紙的面積至少有（ ）平方厘米。
A．120 B．432 C．592 D．960
【分析】已知這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高，且要求只圍著側(cè)面貼一圈商標(biāo)紙，這就意味著只求長(zhǎng)方體的前后兩面、左右兩面的面積之和即可。
【詳解】（10×12＋8×12）×2
＝（120＋96）×2
＝216×2
＝432（平方厘米）
這張商標(biāo)紙的面積至少有432平方厘米。
故答案為：B
【點(diǎn)睛】明確所求部分面積屬于長(zhǎng)方體的哪幾個(gè)面，從而確定所運(yùn)用的相關(guān)元素，這是解題關(guān)鍵。
【變式訓(xùn)練01】?jī)蓧K完全一樣的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)6dm、寬5dm、高4dm，把它們拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體后，大長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和最多減少( )，最少減少( )。
【分析】此題考查的是立體圖形的拆拼，解答此題的關(guān)鍵是，將兩個(gè)長(zhǎng)方體最大的兩個(gè)面重疊在起，才能保證拼成的新長(zhǎng)方體的表面積最小，將兩個(gè)長(zhǎng)方體最小的兩個(gè)面重疊在一起，才能保證拼成的新長(zhǎng)方體的表面積最大。
1、此題考查的是立體圖形的拆拼，關(guān)鍵是分析哪兩個(gè)面拼接表面積最大；
2、兩個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，要使表面積減少的最多，則可以把最大面6×5面相粘合，據(jù)此減少了兩個(gè)6×5的面的面積；
3、反之，把最小面5×4面相粘合，表面積減少的最少，據(jù)此即可解答。
【詳解】6×5×2
＝30×2
＝60（dm2）
5×4×2
＝20×2
＝40（dm2）
大長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和最多減少60，最少減少40。
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解要使拼成的大長(zhǎng)方體表面積減少最多，必須使原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體的最大面重合，反之減少最少即最小面重合，也就是兩個(gè)長(zhǎng)方體上下面重合的道理。
【變式訓(xùn)練02】餅干盒長(zhǎng)10厘米、寬5厘米，高2厘米，將2盒餅干盒包裝在一起，成為一個(gè)包裝盒。
（1）最少用多少平方厘米的包裝紙？
（2）如果用彩帶系在包裝盒上，打結(jié)部分為30厘米，至少用多少彩帶？
【分析】（1）將2盒餅干盒包裝在一起，成為一個(gè)包裝盒，最少用紙應(yīng)該把長(zhǎng)方體中最大的兩個(gè)面合在一起，求最少用多少平方厘米的包裝紙，就是求的長(zhǎng)是10厘米。寬是5厘米，高是2×2＝4厘米的長(zhǎng)方體包裝盒的表面積，根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式：表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高），代入數(shù)據(jù)，即可解答；
（2）彩帶的長(zhǎng)度是有2個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)的長(zhǎng)，2個(gè)長(zhǎng)方體的寬的長(zhǎng)，4個(gè)長(zhǎng)方體高的長(zhǎng)與打結(jié)部分的長(zhǎng)的和，據(jù)此解答。
【詳解】（1）2×2＝4（厘米）
（10×5＋10×4＋5×4）×2
＝（50＋40＋20）×2
＝（90＋20）×2
＝110×2
＝220（平方厘米）
答：最少用多少平方厘米的包裝紙220平方厘米的包裝紙。
（2）2×10＋2×5＋4×4＋30
＝20＋10＋16＋30
＝30＋16＋30
＝46＋30
＝76（厘米）
答：至少用76厘米的彩帶。
【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵明確最少用紙應(yīng)該把長(zhǎng)方體中最大的兩個(gè)面合在一起。
【變式訓(xùn)練03】有一個(gè)棱長(zhǎng)是5厘米的正方體，在它的前面打一個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方形孔洞（打通），在它的上面也打一個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方形孔洞（打通）， 兩個(gè)孔洞相交。求剩余部分的表面積是多少平方厘米？
【分析】根據(jù)在正方體打一個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方形空洞（打通），再在它的上面也打一個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米的正方形空洞（打通），可知棱長(zhǎng)是5厘米的正方體表面積減少了4個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的正方形面積，即減少的面積為：1×1×4＝4平方厘米；同時(shí)也增加了8個(gè)長(zhǎng)是5厘米，寬是1厘米的長(zhǎng)方形面積，再?gòu)闹腥サ粢粋€(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體的表面積，根據(jù)正方體表面積公式：棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6；長(zhǎng)方形面積公式：面積＝長(zhǎng)×寬，代入數(shù)據(jù)，即可求出剩余面積，據(jù)此解答。
【詳解】5×5×6－1×1×4＋5×1×8－1×1×6
＝25×6－1×4＋5×8－1×6
＝150－4＋40－6
＝146＋40－6
＝186－6
＝180（平方厘米）
答：剩余部分的表面積是180平方厘米。
【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是兩個(gè)空洞相交，需要減去重復(fù)的面積，即一個(gè)正方體的表面積，利用正方體表面積公式，長(zhǎng)方體表面積公式，進(jìn)行解答。
知識(shí)點(diǎn)四：露在外面的面
1、數(shù)露在外面的面的方法：逐一觀察每一個(gè)小正方體，把它們露出來(lái)的面的數(shù)量分別數(shù)出來(lái)，然后相加。
2、數(shù)堆放在一起的正方體露在外面的面的個(gè)時(shí)，先觀察小正方體的擺放特點(diǎn)，再?gòu)闹姓页稣襟w的個(gè)數(shù)與露在外面的面的個(gè)數(shù)間存在的規(guī)律。
3、計(jì)算堆放在墻角的正方體露在外面的面積的方法：先數(shù)露在外面的面的總個(gè)數(shù)，再用1個(gè)面的面積乘露在外面的面的總個(gè)數(shù)。
【典例一】按下圖方式，將小正方體擺在地面上，這樣擺100個(gè)，有（ ）個(gè)小正方形的面露在外面。
A．202 B．302 C．402 D．502
【分析】因?yàn)樵摻M合體是放在地面上，所以可以從前、后、上、左、右?guī)讉€(gè)方位觀察。通過(guò)對(duì)該組合體的觀察，該組合體從前面看，有100個(gè)小正方形；從上面看，有100個(gè)小正方形；從右面看，有1個(gè)小正方形；從左面看，有1個(gè)小正方形；從后面看，有100個(gè)小正方形，把這幾個(gè)方位能看見(jiàn)的小正方形數(shù)量加起來(lái)即可。
【詳解】由分析可得：
100＋100＋1＋1＋100
＝200＋1＋1＋100
＝201＋1＋100
＝202＋100
＝302（個(gè)）
故答案為：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查求組合體露在外面的面的個(gè)數(shù)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是從各個(gè)方向看，能看到幾個(gè)正方形，要求學(xué)生有一定的空間想象能力。
【變式訓(xùn)練01】將6個(gè)棱長(zhǎng)為2cm的小正方體按如圖所示的方式堆放在墻角處，則露在外面的面積是( )cm2。
【分析】數(shù)出露在外面的面的個(gè)數(shù)，乘每個(gè)面的面積，根據(jù)正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)即可求解。
【詳解】12×（2×2）
＝12×4
＝48（cm2）
即露在外面的面積是48 cm2。
【點(diǎn)睛】本題主要考查露在外面的面的面積，關(guān)鍵數(shù)出露在外面的面的個(gè)數(shù)。
【變式訓(xùn)練02】將一個(gè)由4個(gè)棱長(zhǎng)是8cm的正方體拼成的長(zhǎng)方體拆開(kāi)（如圖），4個(gè)正方體的表面積之和是多少？與長(zhǎng)方體的表面積相等嗎？與同伴交流。
【分析】4個(gè)正方體的表面積之和＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6×4，將一個(gè)由4個(gè)棱長(zhǎng)是8cm的正方體拼成的長(zhǎng)方體拆開(kāi)，表面積增加了6個(gè)面的面積。
【詳解】8×8×6×4
＝64×6×4
＝1536（cm2）
將一個(gè)由4個(gè)棱長(zhǎng)是8cm的正方體拼成的長(zhǎng)方體拆開(kāi)，表面積增加了6個(gè)面的面積，與原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積不相等。
答：4個(gè)正方體的表面積之和是1536cm2，與長(zhǎng)方體的表面積不相等。
【點(diǎn)睛】考查了立體圖形的切拼，解題的關(guān)鍵是分析出將長(zhǎng)方體拆開(kāi)，表面積增加了6個(gè)面的面積。
【變式訓(xùn)練03】淘氣將正方體按下面的方式擺放在桌面上。
（1）填一填。
小正方體的個(gè)數(shù) 1 2 3 4
露在外面的面/個(gè)
（2）你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
（3）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，10個(gè)這樣的小正方體這樣擺放，有（ ）個(gè)露在外面的面。
【分析】（1）觀察圖形，小正方體的個(gè)數(shù)為1時(shí)，露在外面的面有5個(gè)面，小正方體的個(gè)數(shù)為2時(shí)，露在外面的面有（5＋3）個(gè)面，小正方體的個(gè)數(shù)為3時(shí)，露在外面的面有（5＋3×2）個(gè)面，小正方體的個(gè)數(shù)為4時(shí)，露在外面的面有（5＋3×3）個(gè)面，據(jù)此完成填空。
（2）通過(guò)前面計(jì)算出來(lái)的數(shù)據(jù)，我們可以看出隨著小正方體的個(gè)數(shù)的增多，露在外面的面的個(gè)數(shù)也在增加，具體的變化規(guī)律是當(dāng)前圖形露在外面的面的個(gè)數(shù)比前一個(gè)露在外面的面的個(gè)數(shù)要多3個(gè)。
（3）依次類推，小正方體的個(gè)數(shù)為n時(shí)，露在外面的面有個(gè)面，當(dāng)n＝10時(shí)，把數(shù)據(jù)代入，即可求出有多少個(gè)露在外面的面。
【詳解】（1）5＋3＝8（個(gè)）
5＋3×2
＝5＋6
＝11（個(gè)）
5＋3×3
＝5＋9
＝14（個(gè)）
填表如下：
小正方體的個(gè)數(shù) 1 2 3 4
露在外面的面/個(gè) 5 8 11 14
（2）答：我發(fā)現(xiàn)當(dāng)前圖形露在外面的面的個(gè)數(shù)比前一個(gè)露在外面的面的個(gè)數(shù)要多3個(gè)。
（3）小正方體的個(gè)數(shù)為n時(shí)，露在外面的面有個(gè)面，
當(dāng)n＝10時(shí)，
＝
＝
＝5＋27
＝32（個(gè)）
【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是利用數(shù)與形的結(jié)合，通過(guò)觀察圖形，把圖形中變化的規(guī)律轉(zhuǎn)化成數(shù)字，多多練習(xí)，培養(yǎng)數(shù)感。
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