資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024學年北師大版六下數學學霸速記巧練2：比例（知識清單）
知識點一：比例的認識
1、意義：表示兩個比相等的式子，叫作比例。比例表示兩個比相等的關系，是一個等式。
2、比例的基本性質。
（1）認識比例的項。
在比例里，兩端的兩項叫作比例的外項，中間的兩項叫作比例的內項。
（2）比例的基本性質。
在比例里，兩個內項的積等于兩個外項的積。
3、判斷兩個比能否組成比例。
【典例一】甲數的是乙數的，那么甲數與乙數的最簡比是（ ）。
A．∶ B．7∶8 C．∶ D．8∶7
【分析】甲數的是乙數的，則甲數×＝乙數×。根據比例的基本性質，把甲數和看作比例的外項，乙數和看作比例的內項，據此即可求出甲數與乙數的比，再運用比的性質化簡比。
【詳解】通過分析，甲數×＝乙數×，則甲數∶乙數＝∶。
∶
＝（×28）∶（×28）
＝24∶21
＝（24÷3）∶（21÷3）
＝8∶7
那么甲數與乙數的最簡比是8∶7。
故答案為：D
【點睛】本題考查了分數乘法、比例的基本性質、比的化簡。根據分數乘法的意義寫出等式，繼而根據比例的基本性質把等式改寫成比例形式是解題的關鍵。
【變式訓練01】在一個比例中，兩個比的比值都等于2，這個比例的外項是8和9，這個比例是( )。
【分析】根據“這個比例的外項為8和9”，可知如果把8當作前一個比的前項，那么9當作后一個比的后項，進而根據比的后項比的前項比值，比的前項比值比的后項，計算后即可寫出符合題意的比例。
【詳解】（1）把8當作前一個比的前項，9就作為后一個比的后項，那么
前一個比的后項：
后一個比的前項：
所以這個比例式是8∶4=18∶9
（2）把9當作前一個比的前項，8就作為后一個比的后項，那么
前一個比的后項：
后一個比的前項：
所以這個比例式是9∶4.5=16∶8
【點睛】此題考查求比的前、后項的方法，也考查了比例的意義，要注意此題要分兩種情況解決。
【變式訓練02】小莉用水和蜂蜜為一家人分別調制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情況如下表。
四杯蜂蜜水的配比情況表：
第一杯 第二杯 第三杯 第四杯
蜂蜜/mL 12 11 10 14
水/mL 60 44 60 70
把最甜的一杯給弟弟，弟弟喝的是第( )杯蜂蜜水，你判斷的理由是( )。同樣甜的兩杯給爸爸和媽媽，請你根據這兩杯蜂蜜水的配比情況寫出一個比例是( )。
【分析】將蜂蜜的質量除以水的質量，求出每杯蜂蜜水中蜂蜜和水的比值。比值越大，蜂蜜水越甜；
比值相等的兩杯蜂蜜水同樣甜。比值相等的兩個比可以組成一個比例。據此，寫出一個比例即可。
【詳解】12÷60＝0.2
11÷44＝0.25
10÷60＝
14÷70＝0.2
0.25＞0.2＞
所以弟弟喝的是第二杯蜂蜜水，理由是第二杯蜂蜜和水的比值最大（答案不唯一）。
同樣甜的兩杯是第一杯和第四杯，寫成的比例可以是12∶60＝14∶70（答案不唯一）。
【變式訓練03】有兩個圓，直徑分別是2cm和3cm。
（1）請你畫出這兩個圓。
（2）寫出兩個圓的直徑比和周長比。
（3）這兩個比能組成比例嗎？
【分析】（1）確定圓的半徑，畫圓即可；
（2）小圓的直徑∶大圓的直徑即可求出兩個圓的直徑比，根據圓的周長＝π×直徑，求出兩個圓的周長比；
（3）根據比例：表示兩個比相等的式子，來解答。
【詳解】（1）兩個圓的半徑分別為：2÷2＝1（cm），3÷2＝1.5（cm），
作圖如下：
。
（2）直徑比：2∶3；
周長比：（3.14×2）∶（3.14×3）＝2∶3。
（3）能組成比例，因為2∶3＝（3.14×2）∶（3.14×3），所以能組成比例。
【點睛】考查了比例，判斷兩個式子是否成比例，只要看它們的比是否相等。
知識點二：比例的應用
1、解比例。
根據比例的基本性質，如果已知比例中的任何三項，就可以求出這個比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫作解比例。
解比例的方法：
（1）根據比例的基本性質把比例轉化成乘法等式，即一般方程；
（2）解方程求出未知項的值；
（3）把求出的結果代入比例中驗算一下，看比例是否成立。
2、比例的應用。
根據比例的意義和基本性質，設未知數、解比例、解決實際問題。
【典例一】用5毫升的蜂蜜兌100毫升水調制成蜂蜜水，如果再加入10毫升的蜂蜜，為了使蜂蜜水的甜度不變，需要加入的水可以是（ ）。
A．10毫升 B．200毫升 C．原來的3倍 D．原來的4倍
【分析】根據蜂蜜水的甜度不變，即蜂蜜與水的比值一定，據此列比例解答即可。
【詳解】解：設需要加入x毫升水。
5∶100＝10∶x
5x＝100×10
5x＝1000
x＝200
故答案為：B
【點睛】本題主要考查比例的實際應用，答題的關鍵是明確蜂蜜水的濃度不變，也就是蜂蜜與水的比值一定。
【變式訓練01】配制一種藥水，藥粉和水的比是1∶39，現有藥粉4.5千克，可以配制成 千克藥水。
【分析】藥粉與水的比是1∶39，意思就是1份的藥粉配39份的水，現在藥粉是4.5千克，也就是1份代表4.5千克，那么對應的水就是4.5×39，將藥粉和水相加即可解答。
【詳解】水：4.5×39＝175.5（千克）
藥水：175.5＋4.5＝180（千克）
4.5千克的藥粉可以配制成180千克藥水。
【點睛】此題主要考查學生對比例的實際應用，同時此題還可以利用設未知數，解比例進行解答。
【變式訓練02】王阿姨和李阿姨做一批仿真花，王阿姨已經做的與李阿姨已經做的數量比是，已知王阿姨已經做了72朵，李阿姨已經做了多少朵？（用比例解）
【分析】設李阿姨已經做了x朵，根據王阿姨已經做的與李阿姨已經做的數量比是9∶11，列出比例即可。
【詳解】解：設李阿姨已經做了x朵。
72∶x＝9∶11
9x＝792
9x÷9＝792÷9
x＝88
答：李阿姨已經做了88朵。
【點睛】找出題目中的等量關系，是解答此題的關鍵。
【變式訓練03】請你選擇一個問題填在橫線上，并用比例知識解答出來。
黎明5分鐘可以走325米，照這樣計算，
①18分鐘可以走多少米？
②從家到學校相距1300米，他要走多少分鐘？
【分析】（1）假設18分鐘可以走x米，然后利用速度相等，通過速度＝路程÷時間解比例解答；
（2）假設他要走x分鐘，然后利用速度相等，通過速度＝路程÷時間解比例解答；
【詳解】①解：設18分鐘可以走x米。
325∶5＝x∶18
5x＝325×18
5x＝5850
x＝1170
答：18分鐘可以走1170米。
②解：設他要走x分鐘。
325∶5＝1300∶x
325x＝5×1300
325x＝6500
x＝20
答：他要走20分鐘。
【點睛】此題考查學生利用解比例解決實際問題的能力。
知識點三：比例尺
1、意義。
一副圖上距離和實際距離的比，叫作這幅圖的比例尺。
比例尺是一個比，它表示圖上距離和實際距離的倍比關系，因此不能帶有計量單位。
2、比例尺的書寫形式。
圖上距離：實際距離=比例尺或=比例尺。
3、比例尺的應用。
（1）應用比例尺畫圖時，要先根據比例尺求出圖上距離，再根據圖上距離畫圖；
（2）圖上距離：實際距離=比例尺。
（3）實際距離=圖上距離÷比例尺。
（4）圖上距離=實際距離×比例尺。
3、比例尺的分類。
比例尺根據表現形式的不同，可分為線段比例尺和數值比例尺；根據世紀距離是縮小還是方法，還可分為縮小比例尺和放大比例尺。
【典例一】有一張邊長為65cm的正方形圖紙，要在上面畫出長為120m、寬為90m的長方形菜地的平面圖，你認為最合適的比例尺是（ ）。
A．200∶1 B．1∶150 C．1∶200 D．1∶20000
【分析】根據圖上距離＝實際距離×比例尺，求出長方形的長和寬的圖上距離，再與65cm對比即可。
【詳解】120m＝12000cm；90m＝9000cm。
A．12000×200＝2400000（cm）
比例尺是擴大比例尺，不合適；
B．12000×＝80（cm）
因為正方形圖紙的邊長是65cm，所以比例尺不合適；
C．12000×＝60（cm）
9000×＝45（cm）
因為正方形圖紙的邊長是65cm，所以比例尺合適；
D．12000×＝0.6（cm）
9000×＝0.45（cm）
畫出來的圖形太小，所以比例尺不合適
有一張邊長為65cm的正方形圖紙，要在上面畫出長為120m、寬為90m的長方形菜地的平面圖，你認為最合適的比例尺是1∶200。
故答案為：C
【變式訓練01】我國“神舟六號”載人飛船著陸在內蒙古的四子王旗，在一幅比例尺為1∶5000000的地圖上，量得四子王旗和北京的圖上距離為9cm，則兩地之間的實際距離大約是 km。
【分析】要求兩地之間的實際距離大約是多少千米，根據“圖上距離÷比例尺＝實際距離”，代入數值計算即可。
【詳解】9÷
＝9×5000000
＝45000000（cm）
45000000cm＝450km
兩地之間的實際距離大約是450km。
【點睛】此題考查了比例尺的實際應用，根據圖上距離、比例尺和實際距離三者的關系，進行分析解答即可得出結論。
【變式訓練02】學校要建一個長80m、寬60m的長方形操場。按1∶2000的比例尺，先計算出操場長和寬的圖上距離，再畫出操場的平面圖。
【分析】根據圖上距離＝比例尺×實際距離，求出長方形操場的長和寬在圖上的長度，再畫出圖形。
【詳解】80米＝8000厘米
60米＝6000厘米
8000×＝4（厘米）
6000×＝3（厘米）
如圖：
【點睛】考查了應用比例尺畫圖，注意單位的換算。
【變式訓練03】迷人的樂園設施如下圖。
（1）百寶園距開心樂園門口有300米，圖上距離是（ ）厘米，這個示意圖的比例尺是（ ）。
（2）若卡卡從展臺出發，經過開心樂園門口，到書畫樂園的實際距離是（ ）米。
（3）游樂園在展臺北偏東45°，距展臺實際距離為400米處，請在圖中標出游樂園的位置。
【分析】（1）首先測量出百寶園到開心樂園門口的圖上距離，再根據比例尺的意義，圖上距離∶實際距離＝比例尺，據此求出這幅圖的比例尺。
（2）量出展臺到開心樂園再到書畫樂園門口的圖上距離，根據實際距離＝圖上距離÷比例尺，即可求出卡卡從展臺出發，經過開心樂園門口，到書畫樂園的實際距離。
（3）首先根據圖上距離＝實際距離×比例尺，求出展臺到游樂園的圖上距離，然后根據方向和距離確定游樂園的位置。
【詳解】（1）百寶園到開心樂園門口的圖上距離是3厘米；
3厘米∶300米
＝3厘米∶30000厘米
＝3∶30000
＝1∶10000
所以這個示意圖的比例尺是1∶10000。
（2）展臺到開心樂園門口的圖上距離是2厘米；開心樂園門口到書畫樂園的圖上距離是5厘米；
（2＋5）÷
＝7÷
＝70000厘米
＝700（米）
（3）游樂園距展臺實際距離為400米，圖上距離為：
40000×＝4（厘米）
作圖如下：
【點睛】此題考查的目的是理解比例尺的意義，掌握比例尺的實際應用，以及利用方向和距離確定物體位置的方法及應用。
知識點四：圖形的放大和縮小
1、圖形的放大和縮小是生活中常見的現象。
保持圖形原來的形狀不變，和原圖相比，圖形變大了，叫做圖形的放大；保持圖形原來的形狀不變，和原圖相比，圖形變小了，叫做圖形的縮小。
2、圖形的放大與縮小的意義。
把一個圖形放大或縮小后得到的圖形與原圖形相比，形狀相同，大小不同。
3、圖形放大或縮小的方格。
在方格紙上按一定的比將圖形放大或縮小，分為三步；
一看：看原圖形每邊各占幾格；
二算：計算按給定的比將圖形的各邊長放大或縮小后得到的新圖形每邊各占幾格；
三畫：按計算出的邊長畫出原圖形的放大圖或縮小圖。
【典例一】將如圖圖形按1∶2的比縮小后的圖形是（ ）。

A． B． C． D．
【分析】把圓按1∶2縮小，就是將圓的半徑縮小到原來的，縮小后圓的半徑與原來圓的半徑比是1∶2，據此按縮小后的半徑畫圓，據此解答。
【詳解】A．，不是按照1∶2的比縮小后的圖形，不符合題意；
B．，不是按照1∶2的比縮小后的圖形，不符合題意。
C．，是按照1∶2的比縮小后的圖形，符合題意；
D．，不是按照1∶2縮小后的圖形，不符合題意。
將圖形按1∶2的比縮小后的圖形是。
故答案為：C
【點睛】本題考查的目的是理解掌握圖形放大、縮小的方法以及應用。
【變式訓練01】亮亮畫了一個底是2cm，高是3cm的直角三角形，按3∶1放大后，這個三角形的底是（ ）cm，高是（ ）cm，放大后三角形的面積是（ ）cm2。
【分析】把三角形按3∶1放大，三角形的每條邊都擴大到原來的3倍，據此求出放大后的三角形的底和高；三角形的面積＝底×高÷2，據此把放大后的數據代入公式計算。
【詳解】2×3＝6（cm），3×3＝9（cm），則按3∶1放大后，這個三角形的底是6cm，高是9cm；6×9÷2＝27（cm2），放大后三角形的面積是27cm2。
【點睛】本題主要考查圖形的放大與縮小。把圖形按照n∶1放大，就是將圖形的每一條邊放大到原來的n倍。
【變式訓練02】一張獎狀長40厘米，寬30厘米，笑笑把它的平面圖畫在紙上，平面圖的長是10厘米，寬是2厘米，笑笑畫得像嗎？
【分析】根據比例尺的公式：比例尺＝圖上距離∶實際距離，把圖形按照比例放大或縮小，才能保證獎狀整體形狀不變，只是大小變化，據此即可解答。
【詳解】40∶10
＝（40÷10）∶（10÷10）
＝4∶1
30∶2
＝（30÷2）∶（2÷2）
＝15∶1
由于長的圖上距離和實際距離的比值與寬的圖上距離和實際距離不相等。
答：笑笑畫得不像。
【點睛】熟練掌握比例尺的意義是解題的關鍵。
【變式訓練03】在“垃圾不落地，普寧更美麗”活動中，流沙某街道辦準備增加垃圾桶的投放量。這種垃圾桶內膽是一個鐵皮做的無蓋圓柱，高45厘米，直徑30厘米。（π取3）
（1）請你按照1∶15的比例尺為工人師傅畫出內膽的展開圖（焊接部分忽略不計）。
（2）做一個這樣的垃圾桶內膽需要多少平方厘米鐵皮？（結果保留整十厘米）
（3）這個垃圾桶的內膽的容積是多少立方厘米？
【分析】（1）按照1∶15的比例尺畫圖，就是把直徑和高縮小到原來的，再根據圓柱展開圖的特征畫出即可；
（2）無蓋的圓柱的表面積就是圓柱的底面積加圓柱的側面積，根據圓的的表面積公式：底面積＋側面積，代入數據，即可；
（3）再根據圓柱的體積公式：底面積×高，代入數據，即可解答。
【詳解】（1）圓柱的底面直徑：30×＝2（厘米）
底面周長：3×2＝6（厘米）
圓柱的高：45×＝3（厘米）
（2）3×（30÷2）2＋3×30×45
＝3×225＋90×45
＝675＋4050
＝4725
≈4730（平方厘米）
答：做一個這樣的垃圾內膽需要4730平方厘米鐵皮。
（3）3×（30÷2）2×45
＝3×225×45
＝675×45
＝30375（立方厘米）
答：這個垃圾的內膽的容積是30375立方厘米。
【點睛】根據圖形的放大和縮小、圓柱的表面積公式以及體積公式進行解答。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑