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2024學(xué)年北師大版六下數(shù)學(xué)學(xué)霸速記巧練1：圓柱與圓錐（知識(shí)清單）
知識(shí)點(diǎn)一：面的旋轉(zhuǎn)
1、點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。
2、將一個(gè)長方形以長(寬)為軸，快速旋轉(zhuǎn)后可以形成一個(gè)圓柱。
圓柱有兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面，兩個(gè)底面是兩個(gè)完全相同的圓，側(cè)面是一個(gè)曲面，圓柱有無數(shù)條高，所有的高都相等。
3、將一個(gè)直角三角形沿一條直角邊快速旋轉(zhuǎn)，會(huì)形成一個(gè)圓錐。
圓錐的底面是一個(gè)圓，圓錐的側(cè)面是一個(gè)曲面，圓錐只有一條高。
面的形狀不同，快速旋轉(zhuǎn)后形成的立體圖形也不同。
【典例一】下面的圖形中，分別以虛線為軸旋轉(zhuǎn)，可以形成圓柱的是（ ）。
A． B． C． D．
【分析】以長方形的一條邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體就是圓柱，據(jù)此解答。
【詳解】A.以虛線為軸旋轉(zhuǎn)，不可以形成圓柱；
B．以虛線為軸旋轉(zhuǎn)，可以形成圓柱；
C．以虛線為軸旋轉(zhuǎn)，不可以形成圓柱；
D．以虛線為軸旋轉(zhuǎn)，可以形成圓錐體。
故答案為：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓柱的認(rèn)識(shí)，掌握?qǐng)A柱的特征是解答題目的關(guān)鍵。
【變式訓(xùn)練01】一個(gè)直角三角形，兩條直角邊分別為3厘米、4厘米，以它的任意一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周成（ ）。
A．長方體 B．正方體 C．圓柱 D．圓錐
【分析】根據(jù)圓錐的特征：以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是圓錐體；據(jù)此解答。
【詳解】根據(jù)分析可知，一個(gè)直角三角形，兩條直角邊分別為3厘米、4厘米，以它的任意一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周成圓錐。
故答案為：D
【點(diǎn)睛】利用圓錐的特征進(jìn)行解答。
【變式訓(xùn)練02】如圖，過圓柱的底面直徑把圓柱切割成兩個(gè)相等的半圓柱（底面直徑是8cm，高是10cm），截面是一個(gè)（ ）形，截面的面積是（ ）cm2。
【分析】由題意得截面是長10cm、寬8cm的長方形，面積是（8×10）平方厘米。
【詳解】8×10＝80（cm2）
截面是一個(gè)長方形，截面的面積是80cm2。
【點(diǎn)睛】此題主要考查圓柱的特征和長方形面積公式的應(yīng)用。
【變式訓(xùn)練03】用彩帶捆扎一個(gè)圓柱形蛋糕盒（如圖），打結(jié)處正好是底面圓心，打結(jié)用去彩帶28厘米。捆扎這個(gè)蛋糕盒至少要用彩帶多少厘米？合多少米？
【分析】由圖可知：所用彩帶的長＝圓柱直徑×8＋高×8＋打結(jié)處的長度，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可。
【詳解】40×8＋15×8＋28
＝320＋120＋28
＝468（厘米）
468厘米＝4.68米
答：捆扎這個(gè)蛋糕盒至少要用彩帶468厘米，合4.68米。
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓柱的特征，明確有幾條直徑、幾條高是解題的關(guān)鍵。
知識(shí)點(diǎn)二：圓柱的表面積
1、圓柱的側(cè)面積。
圓柱的側(cè)面如果沿高剪開得到一個(gè)長方形。
長方形的長就是圓柱的底面的周長，長方形的寬就是圓柱的高。
圓柱的側(cè)面積=底面周長×高，用字母表示:S側(cè)=Ch
圓柱側(cè)面積公式的應(yīng)用分為以下幾種情況：已知底面周長和高，求側(cè)面積，S側(cè)=Ch；已知底面直徑和高，求側(cè)面積，S側(cè)=πdh；已知底面半徑和高，求側(cè)面積，S側(cè)=2πrh
2、圓柱的表面積。
圓柱的表面積=側(cè)面積+兩個(gè)底面積
圓柱的表面積公式：S表=2πr +2πrh。
圓柱的表面積=側(cè)面積+兩個(gè)底面積（S表=S側(cè)+2S底）；
圓柱的底面積=圓的面積，也就是S底=πr 。
不同的圓柱形實(shí)物，它們的表面積也不相同。比如圓柱形煙囪的表面積等于煙囪的側(cè)面積，圓柱形水桶的表面積就是水桶的側(cè)面積加上一個(gè)底面積。
【典例一】一個(gè)圓柱的高是8厘米，如果將它的高縮短2厘米，那么表面積比原來減少了12.56平方厘米，原來這個(gè)圓柱的表面積是（ ）平方厘米。
A．81.64 B．62.8 C．50.24 D．56.52
【分析】根據(jù)題意可知，把這個(gè)圓柱的高縮短2厘米，表面積就減少12.56平方厘米，表面積減少的是高為2厘米的圓柱的側(cè)面積，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式：側(cè)面積＝底面周長×高，底面周長＝側(cè)面積÷高，代入數(shù)據(jù)，求出圓柱的底面周長，再根據(jù)圓的周長公式：周長＝π×半徑×2，半徑＝周長÷π÷2，代入數(shù)據(jù)，求出圓柱的底面半徑，再根據(jù)圓柱的表面積公式：表面積＝底面積×2＋側(cè)面積，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
【詳解】12.56÷2÷3.14÷2
＝6.28÷3.14÷2
＝2÷2
＝1（厘米）
3.14×12×2＋3.14×1×2×8
＝3.14×1×2＋3.14×2×8
＝3.14×2＋6.28×8
＝6.28＋50.24
＝56.52（平方厘米）
一個(gè)圓柱的高是8厘米，如果將它的高縮短2厘米，那么表面積比原來減少了12.56平方厘米，原來這個(gè)圓柱的表面積是56.52平方厘米。
故答案為：D
【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的側(cè)面積公式和表面積公式以及圓的周長公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。
【變式訓(xùn)練01】如下圖是一個(gè)圓柱形茶葉罐，底面半徑是3cm，高是15cm。給這個(gè)茶葉罐側(cè)面貼上商標(biāo)紙，高度如圖所示，至少需要( )的商標(biāo)紙。

【分析】由題意可知：商標(biāo)紙的面積等于底面半徑是3cm，高是10cm的圓柱的側(cè)面積，將數(shù)據(jù)代入圓柱的側(cè)面積公式：S＝2πrh計(jì)算即可。
【詳解】3.14×3×2×10
＝9.42×2×10
＝18.84×10
＝188.4（cm2）
即至少需要188.4的商標(biāo)紙。
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓柱的側(cè)面積公式的靈活運(yùn)用。
【變式訓(xùn)練02】要想富，先修路，某村最近正在積極修建公路。一臺(tái)壓路機(jī)正在施工，壓路機(jī)的滾筒是一個(gè)圓柱形，它的橫截面周長是3.14米，長是1.5米，每滾一周能壓多大的路面？如果轉(zhuǎn)100周，壓過的路面有多大？
【分析】壓路的面積等于這個(gè)圓柱的側(cè)面積，橫截面周長×長＝滾一周壓路面積的大小。轉(zhuǎn)100周壓過的路面＝滾一周壓路面積×100；據(jù)此列式解答。
【詳解】3.14×1.5＝4.71（平方米）
4.71×100＝471（平方米）
答：每滾一周能壓4.71平方米的路面，如果轉(zhuǎn)100周，壓過的路面為471平方米。
【變式訓(xùn)練03】一根長2米的圓柱木料，橫著截去2分米，剩下的圓柱體的木料表面積比原來減少了12.56平方分米，原來圓柱體的表面積是多少平方分米？
【分析】由題意知，截去的部分是一個(gè)高為2分米的圓柱體，并且表面積減少了12.56平方分米，其實(shí)減少的面積就是截去部分的側(cè)面積，由此可求出圓柱體的底面周長，進(jìn)一步可求出底面積是多少，利用表面積＝底面積×2＋底面周長×高，即可求出這個(gè)圓柱的表面積。
【詳解】底面周長：12.56÷2＝6.28（分米）
底面半徑：6.28÷3.14÷2
＝2÷2
＝1（分米）
底面積：3.14×12
＝3.14×1
＝3.14（平方分米）
2米＝20分米
表面積：6.28×20＋3.14×2
＝125.6＋6.28
＝131.88（平方分米）
答：原來圓柱體的表面積是131.88平方分米。
【點(diǎn)睛】解答此題要注意兩點(diǎn)：一是沿長截去一段后，表面積減少的部分就是截去部分的側(cè)面積；二是要統(tǒng)一單位。
知識(shí)點(diǎn)三：圓柱的體積
1、意義：圓柱形物體所占空間的大小叫作圓柱的體積。
2、圓柱的體積的計(jì)算公式。
圓柱的體積=底面積×高。
如果用V表示圓柱的體積，S表示底面積，h表示高，那么圓柱的體積計(jì)算公式是V=Sh,用字母表示：V=S×h。
3、圓柱體積公式的應(yīng)用。
圓柱的體積=底面積×高。
①如果已知圓柱的高和底面卓徑，那么圓柱的體積計(jì)算公式是V=πr2h。
②如果已知圓柱的高和底面直徑，那么圓柱的體積計(jì)算公式是V=π（）2h。
③如果已知圓柱的高和底面周長，那么圓柱的體積計(jì)算公式是V=π（）2h。
4、圓柱形容器的容積。
圓柱形容器的容積=圓柱形容器內(nèi)部的底面積×內(nèi)部的高，當(dāng)容器壁的厚度忽略不計(jì)時(shí)，容器的體積等于容積。
5、不規(guī)則物體的體積。
計(jì)算不規(guī)則物體的體積，可以借助圓柱形容器和水，給圓柱形容器里裝適量的水，量出水的高度，把不規(guī)則物體放入容器完全浸入水中，并且水不被溢出，這時(shí)測(cè)量水的高度，上升的水的體積就是不規(guī)則物體的體積。
【典例一】一個(gè)圓柱，如果高減少2厘米，表面積就減少25.12平方厘米，體積減少，這個(gè)圓柱原來的體積是（ ）立方厘米。
A．251.2 B．125.6 C．94.2 D．62.8
【分析】根據(jù)題干，高減少2厘米，表面積就減少25.12平方厘米，減少部分就是高2厘米的圓柱的側(cè)面積，利用側(cè)面積公式即可求得這個(gè)柱的底面周長，從而求得這個(gè)圓柱的底面半徑，再根據(jù)圓柱的體積公式求得減少部分的體積，根據(jù)減少部分的體積是原來圓柱體積的，利用分?jǐn)?shù)除法計(jì)算即可求得這個(gè)圓柱原來的體積。
【詳解】圓柱的底面半徑為：
25.12÷2÷3.14÷2
＝12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（厘米）
減少部分的體積為：
3.14×22×2
＝3.14×4×2
＝12.26×2
＝25.12（立方厘米）
原來圓柱的體積為：
25.12÷＝125.6（立方厘米）
這個(gè)圓柱原來的體積為125.6立方厘米。
故答案為：B
【點(diǎn)睛】抓住高減少2厘米時(shí)，表面積減少25.12平方厘米，從而求得這個(gè)圓柱的底面半徑是解決本題的關(guān)鍵。
【變式訓(xùn)練01】把一根3米長的圓柱形木頭平均截成3個(gè)小圓柱，表面積增加了12.56平方分米，這根木頭的體積是( )立方分米。
【分析】把一根圓柱形木頭平均截成3個(gè)小圓柱，要截2次，表面積比原來增加（2×2）個(gè)橫截面的面積，據(jù)此用（12.56÷4）即可求出橫截面的面積，就是圓柱的底面積，再根據(jù)“圓柱的體積公式V＝sh”進(jìn)行計(jì)算即可。
【詳解】（3－1）×2
＝2×2
＝4（個(gè)）
3米＝30分米
12.56÷4×30
＝3.14×30
＝94.2（立方分米）
即這根木頭的體積是94.2立方分米。
【變式訓(xùn)練02】人民大會(huì)堂壯觀巍峨，建筑平面呈“山”字形，兩翼略低，中部稍高，四面開門。人民大會(huì)堂正門面對(duì)天安門廣場(chǎng)，正門門額上鑲嵌著中華人民共和國國徽，正門迎面有十二根淺灰色大理石門柱，正門柱每根直徑2米，高25米。建造這十二根大理石門柱共用石材多少立方米？
【分析】根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，據(jù)此求出1根大理石門柱所用石材的體積，再乘12即可求出建造這十二根大理石門柱共用石材多少立方米。
【詳解】3.14×（2÷2）2×25×12
＝3.14×12×25×12
＝3.14×1×25×12
＝3.14×25×12
＝78.5×12
＝942（立方米）
答：建造這十二根大理石門柱共用石材942立方米。
【變式訓(xùn)練03】做一個(gè)無蓋圓柱形水桶，有以下幾種型號(hào)的鐵皮可供搭配選擇。（單位：分米）
（1）你選擇的是（ ）和（ ）搭配使用。（填序號(hào)）
（2）你選擇的材料制成水桶需要鐵皮多少平方分米？
（3）你選擇的材料制成的水桶最多能裝水多少升？（鐵皮的厚度略去不計(jì)）
【分析】（1）要做成一個(gè)無蓋圓柱形水桶，長方形的長應(yīng)等于底面圓的周長，與之相配的是②號(hào)和③號(hào)；
（2）由于水桶無蓋，使用只求這個(gè)圓柱的一個(gè)底面和側(cè)面的總面積，根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，圓柱的側(cè)面積公式：S＝ch，把數(shù)據(jù)代入公式解答；
（3）求水桶的容積就是求底面周長是12.56分米，高是5分米的圓柱的體積。
【詳解】（1）要做成一個(gè)無蓋圓柱形水桶，長方形的長應(yīng)等于底面圓的周長，
2號(hào)周長是：3.14×4＝12.56（分米）
4號(hào)周長是：
2×3.14×3
＝6.28×3
＝18.84（分米）
所以相配的是②號(hào)和③號(hào)。
（2）3.14×（4÷2）2＋3.14×4×5
＝3.14×4＋12.56×5
＝12.56＋62.8
＝75.36（平方分米）
答：你選擇的材料制成水桶需要鐵皮75.36平方分米。
（3）3.14×（4÷2）2×5
＝3.14×4×5
＝3.14×20
＝62.8（立方分米）
＝62.8（升）
答：你選擇的材料制成的水桶最多能裝水62.8升。
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的體積公式V＝Sh＝πr2h在實(shí)際生活中的應(yīng)用。
知識(shí)點(diǎn)四：圓錐的體積
1、意義：圓錐形物體所占空間的大小叫作圓錐的體積。
2、圓錐的體積公式。
一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的底面積和高都相等，將圓錐形容器裝滿沙子，再倒入圓柱形容器，3次可以倒?jié)M。所以說圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱體積的。
圓錐的體積=圓柱的體積×
用字母表示為V=Sh
V=πr2h×
3、求圓錐體積時(shí)，方法如下：
（1）如果題中給出底面積和高這兩個(gè)條件，可以直接運(yùn)用V=Sh這一公式。
（2）如果題中給出底面半徑和高這兩個(gè)條件，可以運(yùn)用V=πr2h這一公式。
（3）如果題中給出底面直徑和高這兩個(gè)條件，可以運(yùn)用V=π（）2h這一公式。
【典例一】一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱底面積相等，體積的比是2∶9。如果圓錐的高是3厘米，那么圓柱的高是（ ）厘米。
A．54 B．13.5 C．9 D．4.5
【分析】根據(jù)等底等高的圓錐與圓柱體積比是1∶3，已知一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的底面積相等，體積的比是2∶9；由此推出這個(gè)圓錐與這個(gè)圓柱的高的比是2∶3，根據(jù)圓錐高于與圓柱高的比例關(guān)系進(jìn)行解答即可得到答案。
【詳解】解：設(shè)圓柱和圓錐的底面積為S，圓錐高為h，圓柱的高為H。
圓錐的體積∶圓柱的體積
Sh∶SH＝2∶9
2SH＝3Sh（S一定）
h∶H＝2∶3
所以圓錐與圓柱高的比是2∶3。
圓柱的高：2∶3＝3∶H
2H＝9
2H÷2＝9÷2
H＝4.5
圓柱的高是4.5厘米。
故答案為：D
【點(diǎn)睛】此題主要根據(jù)等底等高的圓錐的體積是圓柱的體積的這一關(guān)系，由已知圓錐和圓柱體積的比是2∶9，推導(dǎo)出這個(gè)圓錐與圓柱高的比是2∶3；由此解答即可。
【變式訓(xùn)練01】一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長方形，已知圓柱的高是20厘米，底面周長是62.8厘米，那么長方形的長是( )厘米，圓柱的底面直徑是( )厘米。這個(gè)圓柱的側(cè)面積是( )平方厘米，表面積是( )平方厘米，體積是( )立方厘米，與它等底等高的圓錐的體積是( )。（得數(shù)保留一位小數(shù)）
【分析】將一個(gè)圓柱的側(cè)面展開，得到一個(gè)長方形，長等于圓柱的底面周長，寬等于圓柱的高；圓柱的底面直徑＝周長÷π；圓柱的側(cè)面積＝底面周長×高；圓柱的表面積＝側(cè)面積＋底面積×2；圓柱的體積＝底面積×高；與它等底等高的圓錐的體積＝圓柱的體積×，得數(shù)保留一位小數(shù)看小數(shù)點(diǎn)后面第二位，然后運(yùn)用“四舍五入”法即可解答。
【詳解】由分析可知，長方形的長是62.8厘米，
62.8÷3.14＝20（厘米）
即圓柱的底面直徑是20厘米；
62.8×20＝1256（平方厘米）
即這個(gè)圓柱的側(cè)面積是1256cm2；
1256＋3.14×（20÷2）2×2
＝1256＋3.14×100×2
＝1256＋314×2
＝1256＋628
＝1884（平方厘米）
即圓柱的表面積是1884cm2；
3.14×（20÷2）2×20
＝3.14×100×20
＝314×20
＝6280（立方厘米）
即圓柱的體積是6280cm3；
6280×≈2093.3（立方厘米）
即與它等底等高的圓錐的體積是2093.3立方厘米。
【變式訓(xùn)練02】一個(gè)圓柱形容器，從里面量得底面直徑是12厘米，此時(shí)水面高度是底面直徑的，將一底面直徑比圓柱底面直徑少的圓錐形鋼材放入，待完全浸入水中后，水面上升到16厘米（水沒有溢出），圓錐形鋼材的高是多少厘米？
【分析】根據(jù)題意，首先求出圓柱形容器的水面高度和圓錐鋼材的底面直徑，圓柱形容器內(nèi)放入圓錐后，上升部分水的容積等于這個(gè)圓錐的體積，根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式求出這個(gè)圓錐鋼材的體積，再根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，那么h＝V÷÷πr2，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可。
【詳解】1215（厘米）
12
＝12
6（厘米）
3.14×（12÷2）2×（16－15）
＝3.14×62×1
＝3.14×36×1
＝113.04（立方厘米）
113.04×3÷[3.14×（6÷2）2]
＝339.12÷[3.14×9]
＝339.12÷28.26
＝12（厘米）
答：圓錐形鋼材的高是12厘米。
【點(diǎn)睛】此題主要考查圓柱、圓錐體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。
【變式訓(xùn)練03】測(cè)量與計(jì)算。
有一頂圓錐帳篷，底面直徑約6米，高約3.6米。（取3.14）
（1）它的占地面積約是多少平方米？
（2）它內(nèi)部的空間約是多少立方米？
【分析】（1）半徑＝直徑÷2，據(jù)此求出該底面半徑，根據(jù)圓的面積公式：S＝r2，將數(shù)值代入求出占地面積；
（2）根據(jù)圓錐的體積（容積）公式：V＝Sh，把數(shù)據(jù)代入求值即可。
【詳解】由分析可得：
（1）3.14×（6÷2）2
＝3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方米）
答：它的占地面積約是28.26平方米。
（2）×28.26×3.6
＝9.42×3.6
＝33.912（立方米）
答：它內(nèi)部的空間約是33.912立方米。
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的面積公式和圓錐體積公式的掌握和靈活運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟記公式。
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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