資源簡介

親愛的同學加油，給自己實現夢想的機會。
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第24講 衛星變軌問題 雙星模型
（模擬精練+真題演練）
1．（2023·河北邢臺·河北巨鹿中學校聯考三模）2022年，我國航天經歷了不平凡的一年。在探月與深空探測方面，我國科學家在“嫦娥五號”取回的月壤中發現了一種月球的新礦物，并命名為“嫦娥石”；我國首次火星探測“天問一號”任務團隊獲得國際宇航聯合會2022年度“世界航天獎”；載人航天方面，“神舟十五號”飛船成功發射，中國空間站建造階段發射“滿堂紅”。關于航天的知識，下列說法正確的是（　　）
A．“嫦娥五號”的發射速度應大于第二宇宙速度
B．“天問一號”到達火星表面附近后應減速，從而被火星捕獲
C．“神舟十五號”從橢圓軌道的遠地點變軌到圓軌道時應加速，變軌后的速度大于第一宇宙速度
D．空間站運行時，艙內的物體處于完全失重狀態，不受力的作用
2．（2023·安徽·校聯考模擬預測）《天問》是中國戰國時期詩人屈原創作的一首長詩，全詩問天問地問自然，表現了作者對傳統的質疑和對真理的探索精神，我國探測飛船天問一號發射成功飛向火星，屈原的“天問”夢想成為現實，也標志著我國深空探測邁向一個新臺階，如圖所示，軌道1是圓軌道，軌道2是橢圓軌道，軌道3是近火圓軌道，天問一號經過變軌成功進入近火圓軌道3，已知引力常量G，以下選項中正確的是（　　）

A．天問一號在B點需要點火加速才能從軌道2進入軌道3
B．天問一號在軌道2上經過B點時的加速度大于在軌道3上經過B點時的加速度
C．天問一號進入近火軌道3后，測出其近火環繞周期T，可計算出火星的平均密度
D．天問一號進入近火軌道3后，測出其近火環繞周期T，可計算出火星的質量
3．（2023·江蘇南京·模擬預測）中國空間站在軌運行周期為1.54h，地球半徑為6400km，重力加速度取9.8m/s2。在2022年，曾經兩次遭遇星鏈衛星的惡意靠近，為避免不必要的損失，中國空間站不得不通過變軌積極規避。首先變軌到更高的軌道（A到B過程），待星鏈衛星通過之后，再回到原運行軌道（C到D過程）。已知衛星運行方向與地球自轉方向相同，下列說法正確的是（　　）

A．空間站距地面的高度大約400km
B．第一次加速后的速度比第二次加速后的速度小
C．變軌避險的過程，空間站先經過兩次減速進入更高軌道，再經過兩次加速回到原軌道
D．空間站軌道如果在赤道平面內，一天內經赤道上空同一位置最多16次
4．（2023·廣東·統考三模）“神舟十三號”載人飛船與“天和”核心艙在2021年10月16日成功對接，航天員順利進入“天和”核心艙。載人飛船和空間站對接的一種方法叫“同橢圓軌道法”，其簡化示意圖如圖所示。先把飛船發射到近地圓形軌道Ⅰ，然后經過多次變軌使飛船不斷逼近空間站軌道，當兩者軌道很接近的時候，再從空間站下方、后方緩慢變軌進入空間站軌道。Ⅱ、Ⅲ是繞地球運行的橢圓軌道，Ⅳ是繞地球運行、很接近空間站軌道的圓形軌道。P、Q分別為橢圓軌道Ⅲ的遠地點和近地點，下列說法正確的是（　　）
A．在軌道Ⅲ上，載人飛船在Q點的加速度比在P點的加速度大
B．載人飛船在軌道Ⅲ上運行的周期比在軌道Ⅰ上運行的周期小
C．載人飛船在軌道Ⅲ上經過P點的速度大于在軌道Ⅳ上經過P點的速度
D．在軌道Ⅲ上，載人飛船在P點的機械能比在Q點的機械能大
5．（2023·湖北·模擬預測）地球同步軌道上的衛星失效后，及時將其清理，能為新的衛星釋放空間。2021年12月底，我國自主研發的實踐21號衛星“捕捉”到同步軌道上已失效的北斗2號衛星，并與之完成對接。2022年1月22日，實踐21號完成大幅度變軌機動，將北斗2號拖入一條高于同步軌道的“墓地軌道”。1月26日，實踐21號與北斗2號脫離，于1月28日返回地球同步軌道。已失效的北斗2號將在高于同步軌道帶的太空區域漂流。這一舉措展示了我國作為太空大國的責任和擔當，也讓世界見證了中國的科技實力。將上述過程作如圖所示的簡化：組合體在同步軌道上的P點變軌，經過轉移軌道，運動到比同步軌道高3000km的墓地軌道上的Q點，在Q點組合體完成分離，其中實踐21號再經轉移軌道獨自返回同步軌道。已知地球同步軌道高度約為35786km，地球半徑約為6371km，則（　　）

A．由題干材料可知，實踐21號在轉移軌道上的運行周期約為4天
B．已失效的北斗2號衛星在轉移軌道上的Q點速度小于同步軌道速度
C．對于實踐21號衛星，僅考慮地球對它的萬有引力作用，其沿同步軌道運行經過P點時的加速度大小為a1，沿轉移軌道運行經過P點時的加速度大小為a2，那么a1D．若要使已失效的衛星由Q點脫離地球引力的束縛，需要在Q點至少給它一個大于11.2km/s的初速度
6．（2023·海南省直轄縣級單位·嘉積中學校考一模）如圖所示，衛星甲、乙均繞地球做勻速圓周運動，軌道平面相互垂直，乙的軌道半徑是甲的倍。將兩衛星和地心在同一直線且甲、乙位于地球同側的位置稱為“相遇”，則從某次“相遇”后，甲繞地球運動15圈的時間內，甲、乙衛星將“相遇”（　　）

A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
7．（2023·四川成都·成都七中校考模擬預測）西漢時期，《史記·天官書》作者司馬遷在實際觀測中發現歲星呈青色，與“五行”學說聯系在一起，正式把它命名為木星。如圖甲所示，兩衛星Ⅰ、Ⅱ環繞木星在同一平面內做圓周運動，繞行方向相反，衛星Ⅲ繞木星做橢圓運動，某時刻開始計時，衛星Ⅰ、Ⅱ間距離隨時間變化的關系圖象如圖乙所示，其中R、T為已知量，下列說法正確的是（　　）
A．衛星Ⅲ在M點的速度小于衛星Ⅰ的速度
B．衛星Ⅰ、Ⅱ的軌道半徑之比為
C．衛星Ⅰ的運動周期為T
D．繞行方向相同時，衛星Ⅰ、Ⅱ連續兩次相距最近的時間間隔為
8．（2023·山東聊城·統考三模）如圖所示，雙星系統由質量不相等的兩顆恒星組成，質量分別是M、m，它們圍繞共同的圓心O做勻速圓周運動。從地球A看過去，雙星運動的平面與AO垂直，A、O間距離恒為L。觀測發現質量較大的恒星M做圓周運動的周期為T，運動范圍的最大張角為（單位是弧度）。已知引力常量為G，很小，可認為，忽略其他星體對雙星系統的作用力。則（　　）

A．恒星m的角速度大小為
B．恒星m的軌道半徑大小為
C．恒星m的線速度大小為
D．兩顆恒星的質量m和M滿足關系式
9．（2023·北京豐臺·統考二模）兩個天體組成雙星系統，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動。科學家在地球上用望遠鏡觀測由兩個小行星構成的雙星系統，看到一個亮度周期性變化的光點，這是因為當其中一個天體擋住另一個天體時，光點亮度會減弱。科學家用航天器以某速度撞擊該雙星系統中較小的小行星，撞擊后，科學家觀測到光點明暗變化的時間間隔變短。不考慮撞擊后雙星系統的質量變化。根據上述材料，下列說法正確的是（　　）
A．被航天器撞擊后，雙星系統的運動周期變大
B．被航天器撞擊后，兩個小行星中心連線的距離增大
C．被航天器撞擊后，雙星系統的引力勢能減小
D．小行星質量越大，其運動的軌道越容易被改變
10．（2023·河北石家莊·統考模擬預測）2022年1月28日，國務院新聞辦公室發布我國第五部航天白皮書《2021中國的航天》，白皮書中提到將繼續實施月球探測工程，發射“嫦娥六號”探測器、完成月球極區采樣返回。若將地球和月球看做一個雙星系統，二者間距離為L，它們繞著二者連線上的某點做勻速圓周運動，運行周期為T；從漫長的宇宙演化來看，兩者質量都不斷減小，將導致月地間距離變大。若引力常量為G，則下列說法正確的是（　　）
A．當前月球和地球的動能相等
B．當前該雙星系統的總質量為
C．在將來的演化過程中，該雙星系統運轉的周期將逐漸減小
D．在將來的演化過程中，該雙星系統的總動能將逐漸增大
11．（2023·福建龍巖·統考模擬預測）如圖所示，神舟十五號飛船A、空間站B分別沿逆時針方向繞地球的中心O做勻速圓周運動，周期分別為T1、T2。在某時刻飛船和空間站相距最近，空間站B離地面高度約為400km。下列說法正確的是（　　）
A．飛船A和空間站B下一次相距最近需經過時間
B．飛船A要與空間站B對接，可以向其運動相反方向噴氣
C．飛船A與空間站B對接后的周期大于地球同步衛星的周期
D．飛船A與空間站B繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑之比為
12．（2023·云南昆明·云南師大附中校考模擬預測）如圖所示，人造衛星圍繞地球做圓周運動，和與地球相切，，稱為地球對衛星的張角。現有甲、乙兩顆人造衛星，軌道平面相同，以相同方向繞地球公轉。已知地球對甲、乙的張角分別為和，且，甲、乙公轉角速度分別為和，萬有引力常量為。則以下說法正確的是（　　）

A．由題目所給條件，可以算出地球的質量
B．由題目所給條件，可以算出地球的密度
C．每隔時間，兩衛星可以恢復直接通信
D．每隔時間，兩衛星可以恢復直接通信
13．（2023·河北·模擬預測）“祝融號”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的冬季。假設火星和地球的冬季時間是各自公轉周期的四分之一，且火星的冬季時長約為地球的倍。火星和地球繞太陽的公轉均可視為在同一平面上的勻速圓周運動，且繞行方向相同。下列說法正確的是（　　）
A．火星與地球距離最近時火星相對于地球的速度最小
B．火星的運行軌道半徑約為地球的倍
C．火星與地球相鄰兩次距離最近的時間間隔約為年
D．地球公轉的線速度為火星公轉線速度的倍
14．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考模擬預測）某國際研究小組觀測到一組雙星系統，它們繞二者連線上的某點做勻速圓周運動，科學家在地球上用望遠鏡觀測到一個亮度周期性變化的光點，這是因為其中一個天體擋住另一個天體時，光點亮度會減弱。現科學家用一航天器去撞擊雙星系統中的一顆小行星，撞擊后，科學家觀測到系統光點明暗變化的時間間隔變短。若不考慮撞擊引起的小行星質量變化，且撞擊后該雙星系統仍能穩定運行，則被航天器撞擊后（　　）
A．該雙星系統的運動周期變大
B．兩顆小行星做圓周運動的半徑之比保持不變
C．兩顆小行星中心連線的距離增大
D．兩顆小行星的向心加速度均變大
15．（2023·河南鄭州·統考模擬預測）宇宙中存在一個由四顆星組成的系統，三顆質量均為m的星球a、b、c恰好構成一個邊長為L的正三角形，在它們的中心O處還有一顆質量也為m的星球，如圖所示。已知引力常量為G，每個星球的半徑均遠小于L。對于此系統，則下列說法正確的是（　　）

A．中心O處的星球受到a、b、c三顆星球總的萬有引力為零
B．a、b、c三顆星球的線速度大小均為
C．a、b、c三顆星球的加速度大小均為
D．若某時刻中心O處星球消失，則a、b、c三顆星球仍將按原軌道運動且運動周期不變
16．（2023·浙江·高考真題）太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動．當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象，稱為“行星沖日”，已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表：
行星名稱 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
軌道半徑 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
則相鄰兩次“沖日”時間間隔約為（　　）
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
17．（2021·北京·高考真題）2021年5月，“天問一號”探測器成功在火星軟著陸，我國成為世界上第一個首次探測火星就實現“繞、落、巡”三項任務的國家。“天問一號”在火星停泊軌道運行時，近火點距離火星表面2.8102 km、遠火點距離火星表面5.9105 km，則“天問一號” （　　）
A．在近火點的加速度比遠火點的小 B．在近火點的運行速度比遠火點的小
C．在近火點的機械能比遠火點的小 D．在近火點通過減速可實現繞火星做圓周運動
第24講 衛星變軌問題 雙星模型
（模擬精練+真題演練）
1．（2023·河北邢臺·河北巨鹿中學校聯考三模）2022年，我國航天經歷了不平凡的一年。在探月與深空探測方面，我國科學家在“嫦娥五號”取回的月壤中發現了一種月球的新礦物，并命名為“嫦娥石”；我國首次火星探測“天問一號”任務團隊獲得國際宇航聯合會2022年度“世界航天獎”；載人航天方面，“神舟十五號”飛船成功發射，中國空間站建造階段發射“滿堂紅”。關于航天的知識，下列說法正確的是（　　）
A．“嫦娥五號”的發射速度應大于第二宇宙速度
B．“天問一號”到達火星表面附近后應減速，從而被火星捕獲
C．“神舟十五號”從橢圓軌道的遠地點變軌到圓軌道時應加速，變軌后的速度大于第一宇宙速度
D．空間站運行時，艙內的物體處于完全失重狀態，不受力的作用
【答案】B
【詳解】A．“嫦娥五號”是探月飛行，發射速度應在第一宇宙速度和第二宇宙速度之間，A錯誤；
B．“天問一號”到達火星表面附近后應減速，從而被火星引力所捕獲，B正確；
C．“神舟十五號”從橢圓軌道的遠地點變軌到大的圓軌道時應加速，由于第一宇宙速度是衛星繞地球做勻速圓周運動的最大速度，故變軌后的速度一定小于第一宇宙速度，C錯誤；
D．空間站運行時，艙內的物體處于完全失重狀態，但是仍然受引力作用，D錯誤。故選B。
2．（2023·安徽·校聯考模擬預測）《天問》是中國戰國時期詩人屈原創作的一首長詩，全詩問天問地問自然，表現了作者對傳統的質疑和對真理的探索精神，我國探測飛船天問一號發射成功飛向火星，屈原的“天問”夢想成為現實，也標志著我國深空探測邁向一個新臺階，如圖所示，軌道1是圓軌道，軌道2是橢圓軌道，軌道3是近火圓軌道，天問一號經過變軌成功進入近火圓軌道3，已知引力常量G，以下選項中正確的是（　　）

A．天問一號在B點需要點火加速才能從軌道2進入軌道3
B．天問一號在軌道2上經過B點時的加速度大于在軌道3上經過B點時的加速度
C．天問一號進入近火軌道3后，測出其近火環繞周期T，可計算出火星的平均密度
D．天問一號進入近火軌道3后，測出其近火環繞周期T，可計算出火星的質量
【答案】C
【詳解】A．天問一號在點需要點火減速才能從軌道2進入軌道3，故A錯誤；
B．在軌道2和軌道3經過點時，加速度相同，故B錯誤；
CD．假設火星的半徑為，軌道3軌道半徑為，因軌道3是近火軌道，所以，假設火星質量為，天問一號質量為，由萬有引力提供向心力解得火星的密度題干僅提供了引力常量，火星半徑未知，故C正確，D錯誤。故選C。
3．（2023·江蘇南京·模擬預測）中國空間站在軌運行周期為1.54h，地球半徑為6400km，重力加速度取9.8m/s2。在2022年，曾經兩次遭遇星鏈衛星的惡意靠近，為避免不必要的損失，中國空間站不得不通過變軌積極規避。首先變軌到更高的軌道（A到B過程），待星鏈衛星通過之后，再回到原運行軌道（C到D過程）。已知衛星運行方向與地球自轉方向相同，下列說法正確的是（　　）

A．空間站距地面的高度大約400km
B．第一次加速后的速度比第二次加速后的速度小
C．變軌避險的過程，空間站先經過兩次減速進入更高軌道，再經過兩次加速回到原軌道
D．空間站軌道如果在赤道平面內，一天內經赤道上空同一位置最多16次
【答案】A
【詳解】A．對于近地衛星有對中國空間站在軌運行過程有
解得，A正確；
B．A到B過程是由低軌道變軌到高軌道，需要在切點A處加速，則有在切點B處加速后由橢圓低軌道變軌到圓高軌道，在兩個圓軌道上，根據解得由于B處圓軌道的軌道半徑大于A處圓軌道軌道半徑，則有則有即第一次加速后的速度比第二次加速后的速度大，B錯誤；
C．根據變軌規律，進入高軌道需要加速，進入低軌道，需要減速，即變軌避險的過程，空間站先經過兩次加速進入更高軌道，再經過兩次減速回到原軌道，C錯誤；
D．空間站軌道如果在赤道平面內，一天內經赤道上空同一位置最多n次，則有解得可知空間站軌道如果在赤道平面內，一天內經赤道上空同一位置最多15次，D錯誤。故選A。
4．（2023·廣東·統考三模）“神舟十三號”載人飛船與“天和”核心艙在2021年10月16日成功對接，航天員順利進入“天和”核心艙。載人飛船和空間站對接的一種方法叫“同橢圓軌道法”，其簡化示意圖如圖所示。先把飛船發射到近地圓形軌道Ⅰ，然后經過多次變軌使飛船不斷逼近空間站軌道，當兩者軌道很接近的時候，再從空間站下方、后方緩慢變軌進入空間站軌道。Ⅱ、Ⅲ是繞地球運行的橢圓軌道，Ⅳ是繞地球運行、很接近空間站軌道的圓形軌道。P、Q分別為橢圓軌道Ⅲ的遠地點和近地點，下列說法正確的是（　　）
A．在軌道Ⅲ上，載人飛船在Q點的加速度比在P點的加速度大
B．載人飛船在軌道Ⅲ上運行的周期比在軌道Ⅰ上運行的周期小
C．載人飛船在軌道Ⅲ上經過P點的速度大于在軌道Ⅳ上經過P點的速度
D．在軌道Ⅲ上，載人飛船在P點的機械能比在Q點的機械能大
【答案】A
【詳解】A．根據牛頓第二定律有可得可知，離中心天體越近加速度越大，Q點近地點，P點為遠地點，因此在軌道Ⅲ上Q點的加速度大于P點的加速度，故A正確；
B．根據開普勒第三定律軌道III為橢圓軌道，其半長軸大于軌道I的半徑，則可知在軌道III上的運行周期大于在軌道I上額運行周期，故B錯誤；
C．載人飛船要實現在軌道III向軌道IV變軌，則必須在兩軌相切處P點點火加速才能順利實現由低軌向高軌的變軌運行，因此載人飛船在軌道Ⅲ上經過P點的速度小于在軌道Ⅳ上經過P點的速度，故C錯誤；
D．同一物體在環繞中心天體運動的過程中，軌道越高其機械能越大，而在同一軌道上運行時，其機械能守恒，因此在軌道Ⅲ上，載人飛船在P點的機械能等于在Q點的機械能，故D錯誤。故選A。
5．（2023·湖北·模擬預測）地球同步軌道上的衛星失效后，及時將其清理，能為新的衛星釋放空間。2021年12月底，我國自主研發的實踐21號衛星“捕捉”到同步軌道上已失效的北斗2號衛星，并與之完成對接。2022年1月22日，實踐21號完成大幅度變軌機動，將北斗2號拖入一條高于同步軌道的“墓地軌道”。1月26日，實踐21號與北斗2號脫離，于1月28日返回地球同步軌道。已失效的北斗2號將在高于同步軌道帶的太空區域漂流。這一舉措展示了我國作為太空大國的責任和擔當，也讓世界見證了中國的科技實力。將上述過程作如圖所示的簡化：組合體在同步軌道上的P點變軌，經過轉移軌道，運動到比同步軌道高3000km的墓地軌道上的Q點，在Q點組合體完成分離，其中實踐21號再經轉移軌道獨自返回同步軌道。已知地球同步軌道高度約為35786km，地球半徑約為6371km，則（　　）

A．由題干材料可知，實踐21號在轉移軌道上的運行周期約為4天
B．已失效的北斗2號衛星在轉移軌道上的Q點速度小于同步軌道速度
C．對于實踐21號衛星，僅考慮地球對它的萬有引力作用，其沿同步軌道運行經過P點時的加速度大小為a1，沿轉移軌道運行經過P點時的加速度大小為a2，那么a1D．若要使已失效的衛星由Q點脫離地球引力的束縛，需要在Q點至少給它一個大于11.2km/s的初速度
【答案】B
【詳解】A．根據題意可知，已知地球同步軌道高度約為35786km，地球半徑約為6371km，墓地軌道比同步軌道高3000km，則轉移軌道的半長軸為由于同步衛星繞地球運動的周期為24h，由開普勒第三定律可得即實踐21號在轉移軌道上的運行周期略大于同步衛星周期但是比較接近，小于4天，故A錯誤；
B．在Q點變軌需要點火加速，即北斗2號衛星在轉移軌道上的Q點速度小于墓地軌道上運行速度，根據萬有引力提供向心力，有解得軌道半徑越大，線速度越小，即北斗2號衛星在墓地軌道運行的速度小于同步軌道速度，所以北斗2號衛星在轉移軌道上的Q點速度小于同步軌道速度，故B正確；
C．對于實踐21號衛星，在P點，根據牛頓第二定律有可得故C錯誤；
D．11.2km/s是從地球表面發射衛星，使之脫離地球的束縛的最小速度，而已失效的衛星由Q點脫離地球引力的束縛，同等條件下，需要克服地球引力所做的功要少，所以可以在Q點給它一個小于11.2km/s的初速度，故D錯誤。故選B。
6．（2023·海南省直轄縣級單位·嘉積中學校考一模）如圖所示，衛星甲、乙均繞地球做勻速圓周運動，軌道平面相互垂直，乙的軌道半徑是甲的倍。將兩衛星和地心在同一直線且甲、乙位于地球同側的位置稱為“相遇”，則從某次“相遇”后，甲繞地球運動15圈的時間內，甲、乙衛星將“相遇”（　　）

A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
【答案】D
【詳解】根據開普勒第三定律有解得從圖示時刻開始，乙轉動半圈，甲轉動3.5圈，“相遇”一次，此后乙每轉動半圈，兩個衛星就“相遇”一次，則甲運動15圈的時間內，甲、乙衛星將“相遇”4次。故選D。
7．（2023·四川成都·成都七中校考模擬預測）西漢時期，《史記·天官書》作者司馬遷在實際觀測中發現歲星呈青色，與“五行”學說聯系在一起，正式把它命名為木星。如圖甲所示，兩衛星Ⅰ、Ⅱ環繞木星在同一平面內做圓周運動，繞行方向相反，衛星Ⅲ繞木星做橢圓運動，某時刻開始計時，衛星Ⅰ、Ⅱ間距離隨時間變化的關系圖象如圖乙所示，其中R、T為已知量，下列說法正確的是（　　）
A．衛星Ⅲ在M點的速度小于衛星Ⅰ的速度
B．衛星Ⅰ、Ⅱ的軌道半徑之比為
C．衛星Ⅰ的運動周期為T
D．繞行方向相同時，衛星Ⅰ、Ⅱ連續兩次相距最近的時間間隔為
【答案】C
【詳解】A．過M點構建一繞木星的圓軌道，該軌道上的衛星在M點時需加速才能進入橢圓軌道，根據萬有引力定律有可得則在構建的圓軌道上運行的衛星的線速度大于衛星Ⅰ的線速度，根據以上分析可知，衛星Ⅲ在M點的速度一定大于衛星Ⅰ的速度，A錯誤；
BC．根據題圖乙可知，衛星Ⅰ、Ⅱ間的距離呈周期性變化，最近為3R，最遠為5R，則有，
可得，又根據兩衛星從相距最遠到相距最近有其中，根據開普勒第三定律有聯立解得，，B錯誤，C正確；
D． 運動方向相同時衛星Ⅰ、Ⅱ連續兩次相距最近，有解得，D錯誤。故選C。
8．（2023·山東聊城·統考三模）如圖所示，雙星系統由質量不相等的兩顆恒星組成，質量分別是M、m，它們圍繞共同的圓心O做勻速圓周運動。從地球A看過去，雙星運動的平面與AO垂直，A、O間距離恒為L。觀測發現質量較大的恒星M做圓周運動的周期為T，運動范圍的最大張角為（單位是弧度）。已知引力常量為G，很小，可認為，忽略其他星體對雙星系統的作用力。則（　　）

A．恒星m的角速度大小為
B．恒星m的軌道半徑大小為
C．恒星m的線速度大小為
D．兩顆恒星的質量m和M滿足關系式
【答案】D
【詳解】A．恒星m與M具有相同的角速度，則角速度為選項A錯誤；
B．恒星M的軌道半徑為對恒星系統mω2r=Mω2R解得恒星m的軌道半徑大小為選項B錯誤；
C．恒星m的線速度大小為選項C錯誤；
D．對恒星系統=mω2r=Mω2R解得GM=ω2r(r+R)2；Gm=ω2R(r+R)2相加得
聯立可得選項D正確；故選D。
9．（2023·北京豐臺·統考二模）兩個天體組成雙星系統，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動。科學家在地球上用望遠鏡觀測由兩個小行星構成的雙星系統，看到一個亮度周期性變化的光點，這是因為當其中一個天體擋住另一個天體時，光點亮度會減弱。科學家用航天器以某速度撞擊該雙星系統中較小的小行星，撞擊后，科學家觀測到光點明暗變化的時間間隔變短。不考慮撞擊后雙星系統的質量變化。根據上述材料，下列說法正確的是（　　）
A．被航天器撞擊后，雙星系統的運動周期變大
B．被航天器撞擊后，兩個小行星中心連線的距離增大
C．被航天器撞擊后，雙星系統的引力勢能減小
D．小行星質量越大，其運動的軌道越容易被改變
【答案】C
【詳解】A．被航天器撞擊后，科學家觀測到光點明暗變化的時間間隔變短，說明雙星系統的運動周期變小，故A錯誤；
B．設兩個小行星的質量分別為m1,m2,它們做圓周運動半徑分別為r1，r2，設兩個小行星中心連線的距離為r,則兩小行星繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力得；
聯立以上各式得因為周期T變小，說明兩個小行星中心連線的距離r變小，故B錯誤；
C．兩個小行星中心連線的距離r變小，引力做正功，引力勢能減小，故C正確；
D．小行星質量越大，慣性越大，其運動的速度不容易被改變，那其運動的軌道越不容易被改變，故D錯誤。故選C。
10．（2023·河北石家莊·統考模擬預測）2022年1月28日，國務院新聞辦公室發布我國第五部航天白皮書《2021中國的航天》，白皮書中提到將繼續實施月球探測工程，發射“嫦娥六號”探測器、完成月球極區采樣返回。若將地球和月球看做一個雙星系統，二者間距離為L，它們繞著二者連線上的某點做勻速圓周運動，運行周期為T；從漫長的宇宙演化來看，兩者質量都不斷減小，將導致月地間距離變大。若引力常量為G，則下列說法正確的是（　　）
A．當前月球和地球的動能相等
B．當前該雙星系統的總質量為
C．在將來的演化過程中，該雙星系統運轉的周期將逐漸減小
D．在將來的演化過程中，該雙星系統的總動能將逐漸增大
【答案】B
【詳解】A．設地球的質量為M，地球的軌道半徑為，月球的質量為m，軌道半徑為，故有
由于聯立得；故地球的動能為月球的動能為由于地球與月球的質量不同，故兩者動能不同，A項錯誤；
B．雙星系統中，兩天體之間的萬有引力提供向心力，有；將軌道半徑代入后整理得將代入整理得。B項正確；
C．由兩天體質量減小，距離增大，故周期增大，C項錯誤；
D．由于兩天體距離增大，萬有引力做負功，系統總動能減小，D項錯誤；故選B。
11．（2023·福建龍巖·統考模擬預測）如圖所示，神舟十五號飛船A、空間站B分別沿逆時針方向繞地球的中心O做勻速圓周運動，周期分別為T1、T2。在某時刻飛船和空間站相距最近，空間站B離地面高度約為400km。下列說法正確的是（　　）
A．飛船A和空間站B下一次相距最近需經過時間
B．飛船A要與空間站B對接，可以向其運動相反方向噴氣
C．飛船A與空間站B對接后的周期大于地球同步衛星的周期
D．飛船A與空間站B繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑之比為
【答案】AB
【詳解】A．設飛船A和空間站B下一次相距最近需經過時間為t，則有解得
故A正確；
B．飛船A要與空間站B對接，需點火加速，可以向其運動相反方向噴，故B正確；
C．空間站B離地面高度約為400km，根據開普勒第三定律可知飛船A與空間站B對接后的周期小于地球同步衛星的周期，故C錯誤；
D．根據開普勒第三定律有解得飛船A與空間站B繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑之比為，故D錯誤；故選AB。
12．（2023·云南昆明·云南師大附中校考模擬預測）如圖所示，人造衛星圍繞地球做圓周運動，和與地球相切，，稱為地球對衛星的張角。現有甲、乙兩顆人造衛星，軌道平面相同，以相同方向繞地球公轉。已知地球對甲、乙的張角分別為和，且，甲、乙公轉角速度分別為和，萬有引力常量為。則以下說法正確的是（　　）

A．由題目所給條件，可以算出地球的質量
B．由題目所給條件，可以算出地球的密度
C．每隔時間，兩衛星可以恢復直接通信
D．每隔時間，兩衛星可以恢復直接通信
【答案】BD
【詳解】AB．根據題意，由萬有引力提供向心力有由幾何關系有解得由于不知道地球半徑，也無法求出軌道半徑，則無法求出地球質量，又有
聯立解得即地球的密度為故A錯誤，B正確；
CD．根據題述條件畫出幾何關系圖，如圖所示

可知當甲進入弧，則甲、乙無法直接通信，當甲的公轉比乙多轉兩者可恢復直接通信，則有解得故C錯誤，D正確。故選BD。
13．（2023·河北·模擬預測）“祝融號”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的冬季。假設火星和地球的冬季時間是各自公轉周期的四分之一，且火星的冬季時長約為地球的倍。火星和地球繞太陽的公轉均可視為在同一平面上的勻速圓周運動，且繞行方向相同。下列說法正確的是（　　）
A．火星與地球距離最近時火星相對于地球的速度最小
B．火星的運行軌道半徑約為地球的倍
C．火星與地球相鄰兩次距離最近的時間間隔約為年
D．地球公轉的線速度為火星公轉線速度的倍
【答案】AC
【詳解】A．由于火星和地球運動的線速度大小不變，在距離最近處火星和地球速度方向相同，相對速度最小，故A正確；
B．由題意可知，火星的公轉周期約為地球公轉周期倍，根據可得由上式知，火星的軌道半徑不是地球軌道半徑的倍，故B錯誤；
C．設兩次相鄰距離最近時間為t，則解得故C正確；
D．根據可得結合B選項，可知火星的公轉線速度小于地球的公轉線速度，但不是倍的關系，故D錯誤。故選AC。
14．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考模擬預測）某國際研究小組觀測到一組雙星系統，它們繞二者連線上的某點做勻速圓周運動，科學家在地球上用望遠鏡觀測到一個亮度周期性變化的光點，這是因為其中一個天體擋住另一個天體時，光點亮度會減弱。現科學家用一航天器去撞擊雙星系統中的一顆小行星，撞擊后，科學家觀測到系統光點明暗變化的時間間隔變短。若不考慮撞擊引起的小行星質量變化，且撞擊后該雙星系統仍能穩定運行，則被航天器撞擊后（　　）
A．該雙星系統的運動周期變大
B．兩顆小行星做圓周運動的半徑之比保持不變
C．兩顆小行星中心連線的距離增大
D．兩顆小行星的向心加速度均變大
【答案】BD
【詳解】A．撞擊后，科學家觀測到光點明暗變化的時間間隔變短，可知雙星系統的運動周期變小，故A錯誤；
BC．雙設雙星之間的距離為L，星靠相互間的萬有引力提供向心力，所以
聯立解得，則兩顆小行星做圓周運動的半徑之比保持不變，兩個小行星中心連線的距離減小，故B正確，C錯誤。
D．根據萬有引力提供向心力有兩個小行星中心連線的距離減小，則兩顆小行星的向心加速度均變大，故D正確；故選BD。
15．（2023·河南鄭州·統考模擬預測）宇宙中存在一個由四顆星組成的系統，三顆質量均為m的星球a、b、c恰好構成一個邊長為L的正三角形，在它們的中心O處還有一顆質量也為m的星球，如圖所示。已知引力常量為G，每個星球的半徑均遠小于L。對于此系統，則下列說法正確的是（　　）

A．中心O處的星球受到a、b、c三顆星球總的萬有引力為零
B．a、b、c三顆星球的線速度大小均為
C．a、b、c三顆星球的加速度大小均為
D．若某時刻中心O處星球消失，則a、b、c三顆星球仍將按原軌道運動且運動周期不變
【答案】AB
【詳解】A．由萬有引力公式可得即正三角形頂點所在處的星球與中心點處的星球之間的萬有引力大小相等，而根據幾何關系可知，頂點處的星球對中心點處星球的萬有引力兩兩之間的夾角均為，則根據力的矢量合成可知中心點處星球所受萬有引力的合力為零，故A正確；
BC．a、b、c三顆星球所受萬有引力大小相同，方向均指向中心點O，任選其中一顆星分析可知其所受萬有引力為而由萬有引力充當向心力有
解得，,
故B正確，C錯誤；
D．若某時刻中心O處星球消失，則a、b、c三顆星球所受萬有引力變成兩兩之間萬有引力的合力，且指向中心，有顯然萬有引力變小了，若要在原來的軌道上繼續做圓周運動，則可知做圓周運動的線速度必須減小，而根據萬有引力充當向心力，可得周期顯然故D錯誤。
故選AB。
16．（2023·浙江·高考真題）太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動．當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象，稱為“行星沖日”，已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表：
行星名稱 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
軌道半徑 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
則相鄰兩次“沖日”時間間隔約為（　　）
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
【答案】B
【詳解】根據開普勒第三定律有解得設相鄰兩次“沖日”時間間隔為，則
解得由表格中的數據可得；故選B。
17．（2021·北京·高考真題）2021年5月，“天問一號”探測器成功在火星軟著陸，我國成為世界上第一個首次探測火星就實現“繞、落、巡”三項任務的國家。“天問一號”在火星停泊軌道運行時，近火點距離火星表面2.8102 km、遠火點距離火星表面5.9105 km，則“天問一號” （　　）
A．在近火點的加速度比遠火點的小 B．在近火點的運行速度比遠火點的小
C．在近火點的機械能比遠火點的小 D．在近火點通過減速可實現繞火星做圓周運動
【答案】D
【詳解】A．根據牛頓第二定律有解得故在近火點的加速度比遠火點的大，故A錯誤；
B．根據開普勒第二定律，可知在近火點的運行速度比遠火點的大，故B錯誤；
C．“天問一號”在同一軌道，只有引力做功，則機械能守恒，故C錯誤；
D．“天問一號”在近火點做的是離心運動，若要變為繞火星的圓軌道，需要減速，故D正確。
故選D。親愛的同學加油，給自己實現夢想的機會。
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第24講 衛星變軌問題 雙星模型
目錄
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復習目標
網絡構建
考點一 衛星的變軌問題
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點1 兩類變軌的起因
知識點2 變軌前后各運行物理參量的比較
【提升·必考題型歸納】
考向 變軌前后各運行物理參量的比較
考點二 天體追及相遇問題
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點 天體追及相遇問題基本規律
【提升·必考題型歸納】
考向 天體追及相遇問題基本規律的應用
考點三 雙星和多星問題
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點1 雙星模型
知識點2 多星模型
【提升·必考題型歸納】
考向1 雙星模型
考向2 多星模型
真題感悟
掌握衛星變軌問題和追及相遇問題的基本規律。
掌握雙星模型和多星模型的基本規律。
考點要求 考題統計 考情分析
（1）衛星變軌問題 （2）天體的追及相遇問題 （3）雙星模型和多星模型 2023年湖北卷第2題 2022年浙江卷第8題 2021年天津卷第5題 高考對這不內容的考查比較頻繁，多以選擇題的形式出現，題目的背景材料多為我國在航天領域取得的成就，比如神州飛船、天宮軌道艙等。
考點一 衛星的變軌問題
知識點1 兩類變軌的起因
兩類變軌 離心運動 近心運動
示意圖
變軌起因 衛星速度突然增大 衛星速度突然減小
萬有引力與 向心力的 大小關系 Gm
知識點2 變軌前后各運行物理參量的比較
（1）速度：設衛星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點時速率分別為vA、vB。在A點加速，則vA>v1，在B點加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。
（2）加速度：因為在A點，衛星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經過A點，衛星的加速度都相同，同理，經過B點加速度也相同。
（3）周期：設衛星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上的運行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律＝k可知T1（4）機械能：在一個確定的圓(橢圓)軌道上機械能守恒。若衛星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機械能分別為E1、E2、E3，則E1①在A點，由圓周Ⅰ變至橢圓Ⅱ時，發動機向后噴氣，推力做正功，動能增加、勢能不變、機械能增加；
②在B點，由橢圓Ⅱ變至圓周Ⅲ時，發動機向后噴氣，推力做正功，動能增加、勢能不變、機械能增加；
反之也有相應的規律。
考向 變軌前后各運行物理參量的比較
1．2021年6月17日，神舟十二號載人飛船與天和核心艙成功對接，對接過程如圖所示，天和核心艙處于半徑為的圓軌道Ⅲ；神舟十二號飛船處于半徑為的圓軌道Ⅰ，當經過點時，通過變軌操作后，沿橢圓軌道Ⅱ運動到處與核心艙對接，則神舟十二號飛船（　　）
A．沿軌道Ⅰ運行的速度小于天和核心艙沿軌道Ⅲ運行的速度
B．在軌道Ⅰ上運行的周期大于在軌道Ⅱ上運行的周期
C．神舟十二號飛船在飛向核心艙的過程中，引力勢能增大，動能減小，機械能守恒
D．在軌道Ⅰ上運動經過點的加速度小于在軌道Ⅱ上運動經過點的加速度
2．2021年5月15日，我國“天問一號”探測器成功在火星表面著陸。若某探測器登陸火星前先后沿圖示圓軌道I、橢圓軌道II、圓軌道II運行，B為軌道II的近火點。假設探測器的質量不變，則探測器（　　）

A．在軌道I上運行的周期大于在軌道II上運行的周期
B．在軌道II上運行的向心加速度小于在軌道I上運行的向心加速度
C．在軌道II上的動能總是大于在軌道III上的動能
D．由軌道II變軌到軌道III時在B處需要點火減速
考點二 天體追及相遇問題
知識點 天體追及相遇問題基本規律
繞同一中心天體，在同一軌道平面內不同高度上同向運行的衛星，因運行周期的不同，兩顆衛星有時相距最近，有時又相距最遠，這就是天體中的“追及相遇”問題。
相距 最遠 當兩衛星位于和中心天體連線的半徑上兩側時，兩衛星相距最遠，從運動關系上，兩衛星運動關系應滿足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)
相距 最近 兩衛星的運轉方向相同，且位于和中心天體連線的半徑上同側時，兩衛星相距最近，從運動關系上，兩衛星運動關系應滿足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)
考向 天體追及相遇問題基本規律的應用
1．我國的北斗三號衛星導航系統由24顆中圓地球軌道衛星、3顆地球靜止軌道衛星和3顆傾斜地球同步軌道衛星共30顆衛星組成。如圖所示，A、C為地球靜止軌道衛星，B為在赤道平面的中圓地球軌道衛星，繞行方向均與地球自轉方向一致。已知地球自轉周期為，衛星B的運行周期為，圖示時刻，衛星A與衛星B相距最近。下列說法正確的是（　　）

A．衛星A、B、C的向心加速度的大小關系為
B．衛星C向后噴氣加速可沿圓軌道追上衛星A
C．經過時間，衛星A與衛星B又一次相距最近
D．衛星A、C的發射速度小于第一宇宙速度
2．地球的兩顆衛星繞地球在同一平面內做勻速圓周運動，環繞方向如圖所示。已知衛星一運行的周期為，地球的半徑為，衛星一和衛星二到地球中心的距離分別為，，引力常量為G，某時刻兩衛星與地心連線之間的夾角為，下列說法正確的是（　　）

A．衛星二的機械能一定大于衛星一的機械能
B．地球的質量
C．衛星二圍繞地球做圓周運動的周期
D．從圖示時刻開始，經過時間兩衛星第一次相距最近
考點三 雙星和多星問題
知識點1 雙星模型
(1)模型構建：繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統，我們稱之為雙星系統，如圖所示。
(2)特點：
①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即
＝m1ω12r1，＝m2ω22r2
②兩顆星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2。
③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關系為：r1＋r2＝L。
知識點2 多星模型
(1)模型構建：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。
(2)三星模型：
①三顆星體位于同一直線上，兩顆質量相等的環繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖甲所示)。
②三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示)。
(3)四星模型：
①其中一種是四顆質量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動(如圖丙所示)。
②另一種是三顆質量相等的星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運動(如圖丁所示)。
考向1 雙星模型
1．如圖1所示，河外星系中兩黑洞A、B的質量分別為和，它們以兩者連線上的某一點O為圓心做勻速圓周運動。為研究方便，簡化為如圖2所示的示意圖，黑洞A、B均可看成球體，。下列說法正確的是（　　）

A．黑洞A的運行線速度大小小于黑洞B的運行線速度大小
B．若兩黑洞間的距離一定，把黑洞B上的物質移到黑洞A上，他們之間的引力變大
C．若兩黑洞間的距離一定，把黑洞A上的物質移到黑洞B上，他們運行的周期變大
D．人類要把宇航器發射到距黑洞A較近的區域進行探索，發射速度一定大于第三宇宙速度
2．中國天眼FAST已發現約500顆脈沖星，成為世界上發現脈沖星效率最高的設備，如在球狀星團M92第一次探測到“紅背蜘蛛”脈沖雙星。如圖是相距為L的A、B星球構成的雙星系統繞O點做勻速圓周運動情景，其運動周期為T。C為B的衛星，繞B做勻速圓周運動的軌道半徑為R，周期也為T，忽略A與C之間的引力，且A與B之間的引力遠大于C與B之間的引力。引力常量為G，則（　　）
A．A、B的軌道半徑之比為 B．C的質量為
C．B的質量為 D．A的質量為
考向2 多星模型
3．宇宙中存在一些離其他恒星較遠的三星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用，三星質量也相同。現已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星做圓周運動，如圖甲所示；另一種是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，如圖乙所示。設兩種系統中三個星體的質量均為m，且兩種系統中各星間的距離已在圖中標出，引力常量為G，則下列說法中正確的是（　　）
A．直線形三星系統中星體做圓周運動的線速度大小為
B．直線形三星系統中星體做圓周運動的周期為
C．三角形三星系統中每顆星做圓周運動的角速度為
D．三角形三星系統中每顆星做圓周運動的加速度大小為
4．宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的四顆星組成的四星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用，設每個星體的質量均為m，四顆星穩定地分布在邊長為a的正方形的四個頂點上，已知這四顆星均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，引力常量為G。則下列說法正確的是（　　）
A．星體做勻速圓周運動的軌道半徑為
B．若實驗觀測得到星體的半徑為R，則星體表面的重力加速度為
C．星體做勻速圓周運動的周期為
D．每個星體做勻速圓周運動的向心力大小為
1．（2023年湖北高考真題）2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現象被稱為“火星沖日”。火星和地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動，火星與地球的公轉軌道半徑之比約為，如圖所示。根據以上信息可以得出（ ）

A．火星與地球繞太陽運動的周期之比約為
B．當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大
C．火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為
D．下一次“火星沖日”將出現在2023年12月8日之前
2．（2022年福建高考真題）2021年美國“星鏈”衛星曾近距離接近我國運行在距地近圓軌道上的天宮空間站。為避免發生危險，天宮空間站實施了發動機點火變軌的緊急避碰措施。已知質量為m的物體從距地心r處運動到無窮遠處克服地球引力所做的功為，式中M為地球質量，G為引力常量；現將空間站的質量記為，變軌前后穩定運行的軌道半徑分別記為、，如圖所示。空間站緊急避碰過程發動機做的功至少為（　　）
A． B．
C． D．
第24講 衛星變軌問題 雙星模型
目錄
復習目標
網絡構建
考點一 衛星的變軌問題
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點1 兩類變軌的起因
知識點2 變軌前后各運行物理參量的比較
【提升·必考題型歸納】
考向 變軌前后各運行物理參量的比較
考點二 天體追及相遇問題
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點 天體追及相遇問題基本規律
【提升·必考題型歸納】
考向 天體追及相遇問題基本規律的應用
考點三 雙星和多星問題
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點1 雙星模型
知識點2 多星模型
【提升·必考題型歸納】
考向1 雙星模型
考向2 多星模型
真題感悟
掌握衛星變軌問題和追及相遇問題的基本規律。
掌握雙星模型和多星模型的基本規律。
考點要求 考題統計 考情分析
（1）衛星變軌問題 （2）天體的追及相遇問題 （3）雙星模型和多星模型 2023年湖北卷第2題 2022年浙江卷第8題 2021年天津卷第5題 高考對這不內容的考查比較頻繁，多以選擇題的形式出現，題目的背景材料多為我國在航天領域取得的成就，比如神州飛船、天宮軌道艙等。
考點一 衛星的變軌問題
知識點1 兩類變軌的起因
兩類變軌 離心運動 近心運動
示意圖
變軌起因 衛星速度突然增大 衛星速度突然減小
萬有引力與 向心力的 大小關系 Gm
知識點2 變軌前后各運行物理參量的比較
（1）速度：設衛星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點時速率分別為vA、vB。在A點加速，則vA>v1，在B點加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。
（2）加速度：因為在A點，衛星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經過A點，衛星的加速度都相同，同理，經過B點加速度也相同。
（3）周期：設衛星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上的運行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律＝k可知T1（4）機械能：在一個確定的圓(橢圓)軌道上機械能守恒。若衛星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機械能分別為E1、E2、E3，則E1①在A點，由圓周Ⅰ變至橢圓Ⅱ時，發動機向后噴氣，推力做正功，動能增加、勢能不變、機械能增加；
②在B點，由橢圓Ⅱ變至圓周Ⅲ時，發動機向后噴氣，推力做正功，動能增加、勢能不變、機械能增加；
反之也有相應的規律。
考向 變軌前后各運行物理參量的比較
1．2021年6月17日，神舟十二號載人飛船與天和核心艙成功對接，對接過程如圖所示，天和核心艙處于半徑為的圓軌道Ⅲ；神舟十二號飛船處于半徑為的圓軌道Ⅰ，當經過點時，通過變軌操作后，沿橢圓軌道Ⅱ運動到處與核心艙對接，則神舟十二號飛船（　　）
A．沿軌道Ⅰ運行的速度小于天和核心艙沿軌道Ⅲ運行的速度
B．在軌道Ⅰ上運行的周期大于在軌道Ⅱ上運行的周期
C．神舟十二號飛船在飛向核心艙的過程中，引力勢能增大，動能減小，機械能守恒
D．在軌道Ⅰ上運動經過點的加速度小于在軌道Ⅱ上運動經過點的加速度
【答案】C
【詳解】A．由萬有引力提供向心力有得可知，運行速度大小與環繞物體的質量無關，r越小，運行速度越大，高軌低速，即：沿軌道Ⅰ運行的速度大于沿軌道Ⅲ運行的速度，故A錯誤；
B．由開普勒第三定律可知，高軌長周期，在軌道Ⅰ上運行的周期小于在軌道Ⅱ上運行的周期，故B錯誤；
C．在神舟十二號飛向核心艙的過程中，在橢圓軌道上只受引力作用，萬有引力做負功,引力勢能增大，動能減小，機械能守恒，故C正確；
D．由萬有引力提供向心力有得可知與地球距離相等的位置，加速度大小相同，故D錯誤。故選C。
2．2021年5月15日，我國“天問一號”探測器成功在火星表面著陸。若某探測器登陸火星前先后沿圖示圓軌道I、橢圓軌道II、圓軌道II運行，B為軌道II的近火點。假設探測器的質量不變，則探測器（　　）

A．在軌道I上運行的周期大于在軌道II上運行的周期
B．在軌道II上運行的向心加速度小于在軌道I上運行的向心加速度
C．在軌道II上的動能總是大于在軌道III上的動能
D．由軌道II變軌到軌道III時在B處需要點火減速
【答案】AD
【詳解】A．根據開普勒第三定律可知探測器在軌道I上運行的周期大于在軌道II上運行的周期，故A正確；
B．根據萬有引力提供向心力有解得所以在軌道II上運行的向心加速度大于在軌道I上運行的向心加速度，且在A點的向心加速度相等，故B錯誤；
C．探測器在軌道II上的A點加速進入軌道I，根據萬有引力提供向心力有解得可知探測器在軌道I的速度小于III的速度，進而可知在軌道II上A點的動能小于在軌道III上的動能，故C錯誤；
D．由軌道II變軌到軌道III時在B處需要點火減速，故D正確。故選AD。
考點二 天體追及相遇問題
知識點 天體追及相遇問題基本規律
繞同一中心天體，在同一軌道平面內不同高度上同向運行的衛星，因運行周期的不同，兩顆衛星有時相距最近，有時又相距最遠，這就是天體中的“追及相遇”問題。
相距 最遠 當兩衛星位于和中心天體連線的半徑上兩側時，兩衛星相距最遠，從運動關系上，兩衛星運動關系應滿足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)
相距 最近 兩衛星的運轉方向相同，且位于和中心天體連線的半徑上同側時，兩衛星相距最近，從運動關系上，兩衛星運動關系應滿足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)
考向 天體追及相遇問題基本規律的應用
1．我國的北斗三號衛星導航系統由24顆中圓地球軌道衛星、3顆地球靜止軌道衛星和3顆傾斜地球同步軌道衛星共30顆衛星組成。如圖所示，A、C為地球靜止軌道衛星，B為在赤道平面的中圓地球軌道衛星，繞行方向均與地球自轉方向一致。已知地球自轉周期為，衛星B的運行周期為，圖示時刻，衛星A與衛星B相距最近。下列說法正確的是（　　）

A．衛星A、B、C的向心加速度的大小關系為
B．衛星C向后噴氣加速可沿圓軌道追上衛星A
C．經過時間，衛星A與衛星B又一次相距最近
D．衛星A、C的發射速度小于第一宇宙速度
【答案】AC
【詳解】A．根據得如圖可知，A正確；
B．衛星C向后噴氣加速做離心運動，不能追上同軌道的A，B錯誤；
C．根據衛星A與衛星B又一次相距最近的時間間隔為，C正確；
D．第一宇宙速度是最小發射速度，則衛星A、C的發射速度大于第一宇宙速度，D錯誤；故選AC。
2．地球的兩顆衛星繞地球在同一平面內做勻速圓周運動，環繞方向如圖所示。已知衛星一運行的周期為，地球的半徑為，衛星一和衛星二到地球中心的距離分別為，，引力常量為G，某時刻兩衛星與地心連線之間的夾角為，下列說法正確的是（　　）

A．衛星二的機械能一定大于衛星一的機械能
B．地球的質量
C．衛星二圍繞地球做圓周運動的周期
D．從圖示時刻開始，經過時間兩衛星第一次相距最近
【答案】D
【詳解】A．因為未知兩衛星的質量，所以無法比較它們機械能的大小，A錯誤；
B．對衛星一由牛頓第二定律解得地球質量為故B錯誤；
C．由開普勒第三定律可得衛星二圍繞地球做圓周運動的周期故C錯誤；
D．兩衛星共線且在同一側時相距最近，設經過t時間，兩衛星第一次相距最近解得故D正確。故選D。
考點三 雙星和多星問題
知識點1 雙星模型
(1)模型構建：繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統，我們稱之為雙星系統，如圖所示。
(2)特點：
①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即
＝m1ω12r1，＝m2ω22r2
②兩顆星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2。
③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關系為：r1＋r2＝L。
知識點2 多星模型
(1)模型構建：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。
(2)三星模型：
①三顆星體位于同一直線上，兩顆質量相等的環繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖甲所示)。
②三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示)。
(3)四星模型：
①其中一種是四顆質量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動(如圖丙所示)。
②另一種是三顆質量相等的星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運動(如圖丁所示)。
考向1 雙星模型
1．如圖1所示，河外星系中兩黑洞A、B的質量分別為和，它們以兩者連線上的某一點O為圓心做勻速圓周運動。為研究方便，簡化為如圖2所示的示意圖，黑洞A、B均可看成球體，。下列說法正確的是（　　）

A．黑洞A的運行線速度大小小于黑洞B的運行線速度大小
B．若兩黑洞間的距離一定，把黑洞B上的物質移到黑洞A上，他們之間的引力變大
C．若兩黑洞間的距離一定，把黑洞A上的物質移到黑洞B上，他們運行的周期變大
D．人類要把宇航器發射到距黑洞A較近的區域進行探索，發射速度一定大于第三宇宙速度
【答案】BD
【詳解】A.黑洞A、B運行的角速度相同，A的半徑較大，則A的線速度更大，A錯誤；
B.設它們相距為L，角速度為ω，根據牛頓第二定律得；可得
則當B的質量減小，A的質量增加時，兩個質量的乘積變大，故它們的引力變大，B正確；
C.根據；整理得根據可知角速度不變，周期不變，C錯誤；
D.人類要把航天器發射到距黑洞A較近的區域進行探索，必須沖出太陽系，所以發射速度一定大于第三宇宙速度，D正確。故選BD。
2．中國天眼FAST已發現約500顆脈沖星，成為世界上發現脈沖星效率最高的設備，如在球狀星團M92第一次探測到“紅背蜘蛛”脈沖雙星。如圖是相距為L的A、B星球構成的雙星系統繞O點做勻速圓周運動情景，其運動周期為T。C為B的衛星，繞B做勻速圓周運動的軌道半徑為R，周期也為T，忽略A與C之間的引力，且A與B之間的引力遠大于C與B之間的引力。引力常量為G，則（　　）
A．A、B的軌道半徑之比為 B．C的質量為
C．B的質量為 D．A的質量為
【答案】D
【詳解】B．C繞B做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，有解得
故不能求出C的質量，故B錯誤；
C．雙星系統在萬有引力作用下繞O點做勻速圓周運動，對A研究對B研究
解得雙星的總質量故C錯誤；
D．A的質量故D正確；
A．A、B的軌道半徑之比為故A錯誤。故選D。
考向2 多星模型
3．宇宙中存在一些離其他恒星較遠的三星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用，三星質量也相同。現已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星做圓周運動，如圖甲所示；另一種是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，如圖乙所示。設兩種系統中三個星體的質量均為m，且兩種系統中各星間的距離已在圖中標出，引力常量為G，則下列說法中正確的是（　　）
A．直線形三星系統中星體做圓周運動的線速度大小為
B．直線形三星系統中星體做圓周運動的周期為
C．三角形三星系統中每顆星做圓周運動的角速度為
D．三角形三星系統中每顆星做圓周運動的加速度大小為
【答案】D
【詳解】A．直線三星系統中星體做圓周運動，萬有引力做向心力；根據星體受到另兩個星體的引力作用可得星體做圓周運動的線速度大小為故A錯誤；
B．直線三星系統中星體做圓周運動，萬有引力做向心力；根據星體受到另兩個星體的引力作用可得
解得星體做圓周運動的周期為故B錯誤；
C．根據幾何關系可得：三角形三星系統中星體受另外兩個星體的引力作用，圓周運動的軌道半徑為
由萬有引力提供向心力得解得三角形三星系統中每顆星做圓周運動的角速度為故C錯誤；
D．三角形三星系統中每顆星做圓周運動的加速度大小為故D正確。故選D。
4．宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的四顆星組成的四星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用，設每個星體的質量均為m，四顆星穩定地分布在邊長為a的正方形的四個頂點上，已知這四顆星均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，引力常量為G。則下列說法正確的是（　　）
A．星體做勻速圓周運動的軌道半徑為
B．若實驗觀測得到星體的半徑為R，則星體表面的重力加速度為
C．星體做勻速圓周運動的周期為
D．每個星體做勻速圓周運動的向心力大小為
【答案】ABC
【詳解】A．根據題意可知四星系統模型如下所示，四邊形頂點到對角線交點O的距離即為星體做圓周運動的半徑r，根據圖中幾何關系可得
故A正確；
B．物體在星體表面所受的重力等于星體對其施加的萬有引力，設物體質量為，根據萬有引力定律有
解得故B正確；
CD．根據題意可知，任意一個星體都受到其他三個星體的引力作用，根據對稱性可知每個星體所受引力合力大小相等，且指向對角線的交點O。對上圖模型中右上角星體分析受力，可知其所受萬有引力合力大小為星體做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律有
聯立兩式可得故C正確，D錯誤。故選ABC。
1．（2023年湖北高考真題）2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現象被稱為“火星沖日”。火星和地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動，火星與地球的公轉軌道半徑之比約為，如圖所示。根據以上信息可以得出（ ）

A．火星與地球繞太陽運動的周期之比約為
B．當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大
C．火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為
D．下一次“火星沖日”將出現在2023年12月8日之前
【答案】B
【詳解】A．火星和地球均繞太陽運動，由于火星與地球的軌道半徑之比約為3：2，根據開普勒第三定律有可得故A錯誤；
B．火星和地球繞太陽勻速圓周運動，速度大小均不變，當火星與地球相距最遠時，由于兩者的速度方向相反，故此時兩者相對速度最大，故B正確；
C．在星球表面根據萬有引力定律有由于不知道火星和地球的質量比，故無法得出火星和地球表面的自由落體加速度，故C錯誤；
D．火星和地球繞太陽勻速圓周運動，有；要發生下一次火星沖日則有
得可知下一次“火星沖日”將出現在2023年12月18日之后，故D錯誤。故選B。
2．（2022年福建高考真題）2021年美國“星鏈”衛星曾近距離接近我國運行在距地近圓軌道上的天宮空間站。為避免發生危險，天宮空間站實施了發動機點火變軌的緊急避碰措施。已知質量為m的物體從距地心r處運動到無窮遠處克服地球引力所做的功為，式中M為地球質量，G為引力常量；現將空間站的質量記為，變軌前后穩定運行的軌道半徑分別記為、，如圖所示。空間站緊急避碰過程發動機做的功至少為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】空間站緊急避碰的過程可簡化為加速、變軌、再加速的三個階段；空間站從軌道變軌到過程，根據動能定理有依題意可得引力做功萬有引力提供在圓形軌道上做勻速圓周運動的向心力，由牛頓第二定律有求得空間站在軌道上運動的動能為
動能的變化解得故選A。

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