資源簡介

親愛的同學加油，給自己實現夢想的機會。
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第19講 圓周運動的臨界問題
（模擬精練+真題演練）
1．（2023·新疆·統考三模）如圖甲所示，在勻速轉動的水平盤上，沿半徑方向放著用輕質細線相連的質量相等的兩個物體A和B，它們分居圓心兩側，與圓心距離分別為和，兩物體與盤間的動摩擦因數相同，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。若初始時繩子恰好拉直但沒有拉力，現增大轉盤角速度讓轉盤做勻速圓周運動，但兩物體還未發生相對滑動，這一過程A與B所受摩擦力f的大小與的大小關系圖像如圖乙所示，下列關系式正確的是（　　）

A． B． C． D．
2．（2022·山東青島·統考三模）如圖，相同的物塊a、b用沿半徑方向的細線相連放置在水平圓盤上（繩子無拉力）。當圓盤繞轉軸轉動時，物塊a、b始終相對圓盤靜止。下列關于物塊b所受的摩擦力隨圓盤角速度的平方（）的變化關系正確的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022·廣東·統考模擬預測）如圖所示，、B、C三個物體放在水平旋轉圓臺上，用細線連接并固定在轉軸上。已知物體與圓臺間的動摩擦因數均為，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力；細線能承受的最大拉力為，的質量為，B、C的質量均為，、B離軸的距離為，C離軸的距離為，重力加速度取，當慢慢增加圓臺轉速，最先滑動的是（　　）
A． B．B C．C D．三個物體同時滑動
4．（2023·湖南邵陽·統考模擬預測）一宇航員到達半徑為R、密度均勻的某星球表面，做如下實驗：用不可伸長的輕繩拴一質量為m的小球，上端固定在O點，如圖甲所示，在最低點給小球某一初速度，使其繞O點在豎直面內做半徑為r的圓周運動，測得繩的拉力F大小隨時間t的變化規律如圖乙所示．設R、m、r、引力常量G以及F1和F2為已知量，忽略各種阻力．以下說法正確的是（　　）
A．該星球表面的重力加速度為
B．小球在最高點的最小速度為
C．該星球的密度為
D．衛星繞該星球的第一宇宙速度為
5．（2023·湖北·模擬預測）如圖甲所示的陀螺可在圓軌道外側旋轉而不脫落，好像軌道對它施加了魔法一樣，這被稱為“魔力陀螺”。它可簡化為一質量為m的質點在固定豎直圓軌道外側運動的模型，如圖乙所示．在豎直平面內固定的強磁性圓軌道半徑為R，A、B兩點與分別為軌道的最高點最低點，C、D兩點與圓心O等高，質點受到的圓軌道的強磁性引力始終指向圓心O且大小恒為7mg，不計摩擦和空氣阻力，重力加速度為g，若質點能始終沿圓弧軌道外側做完整的圓周運動，則（　　）
A．質點經過C、B兩點時，質點對軌道壓力的差值為6mg
B．質點經過A點的最大速度為
C．質點由A到B的過程中，軌道對質點的支持力逐漸增大
D．質點經過C、D兩點時，軌道對質點的支持力可能為0
6．（2023·遼寧·模擬預測）如圖，“單臂大回環”是體操運動中的高難度動作，運動員單臂抓杠，以單杠為軸完成圓周運動，不考慮手和單杠之間的摩擦和空氣阻力，將人視為處于重心的質點，將“單臂大回環”看成豎直平面內的圓周運動，等效半徑為L，重力加速度為g，下列說法正確的是（　　）
A．單杠對手臂只能提供拉力，不能提供支持力
B．從最高點到最低點的過程中，單杠對人的作用力做正功
C．若運動員恰好能夠完成此圓周運動，則運動員在最低點的向心加速度大小為
D．若運動員恰好能夠完成此圓周運動，則運動員在最高點處時，手臂與單杠之間無支持力
7．（2021·青海西寧·統考三模）如圖所示，豎直放置的光滑圓形軌道（帶底座）質量為，半徑為，軌道最低點有一個質量為的小球（球直徑小于管道內徑，可視為質點）。現給小球一水平初速度，使小球在豎直軌道內做圓周運動，則下列說法正確的是（已知重力加速度為）（　　）
A．當時，小球才能在豎直軌道內做圓周運動
B．小球在軌道最低、最高點時的壓力大小差恒等于
C．當時，就能使軌道離開地面
D．小球從最低點運動到最高點的過程中，軌道對地面的壓力一直在減小
8．（2023·山東·模擬預測）四川西嶺雪山滑雪場是中國南方規模最大、檔次最高、設施最完善的大型滑雪場。某段滑道建在一斜坡上，斜坡簡化為一斜面，傾角，示意圖如圖所示。運動員從a點由靜止自由滑下，到達c點飛離滑道，bc為一小段半徑為R的圓弧且b點為圓弧的最低點，運動員視為質點，不計一切阻力，若要求運動員在b點對滑道沿斜面向下的作用力不超過自身重力的3倍，則a、b點間的高度差（　　）
A．不大于 B．不大于 C．不小于 D．不小于R
9．（2023·上海·統考一模）如圖所示，用光電門傳感器和力傳感器研究小球經過拱橋最高點時對橋面壓力FN的大小與小球速度的關系。若光電門測得小球的擋光時間t，多次實驗，則t越短（　　）
A．FN越小，且大于小球重力
B．FN越大，且大于小球重力
C．FN越小，且小于小球重力
D．FN越大，且小于小球重力
10．（2023·山東泰安·統考模擬預測）如圖所示，水平圓盤可繞豎直軸轉動，沿直徑方向放著用細線相連的質量均為m的物體A和B，它們分居圓心兩側，與圓心距離分別為RA=r，RB=2r，A和B與圓盤間的動摩擦因數分別為μ和，圓盤靜止時細線剛好伸直且無張力。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，現讓圓盤從靜止開始緩慢加速，則（　　）
A．當時， 細線中沒有張力
B．當ω= 時，物體A受到的摩擦力指向圓心
C．當ω= 時，兩物體剛好不滑動
D．當兩物體剛好不滑動時燒斷繩子，A仍相對圓盤靜止，B將做離心運動
11．（2023·甘肅甘南·校考三模）如圖所示，疊放在水平轉臺上的物體A、B、C能隨轉臺一起以角速度ω勻速轉動，A、B、C的質量分別為3m、2m、m，A與B、B和C與轉臺間的動摩擦因數均為μ，A、B和C離轉臺中心的距離分別為r、1.5r，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。以下說法中正確的是（　　）
A．B對A的摩擦力一定為3μmg
B．B對A的摩擦力一定為3mω2r
C．轉臺的角速度一定滿足
D．轉臺的角速度一定滿足
12．（2019·重慶·重慶巴蜀中學校考模擬預測）如圖，水平圓形轉盤可繞豎直軸轉動，圓盤上放有小物體A、B、C，質量分別為m、2m、3m，物塊A疊放在B上，B、C到轉盤中心O的距離分別為3r、2r。B、C間用一輕質細線相連，圓盤靜止時，細線剛好伸直無拉力。已知B、C與圓盤間的動摩擦因數為μ，A、B間動摩擦因數為3μ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。現讓圓盤從靜止開始加速。則（　　）
A．當時，A、B即將開始滑動
B．當時，細線張力為
C．當時，C受到圓盤的摩擦力為0
D．當時剪斷細線，C將做離心運動
13．（2023·山東·模擬預測）如圖所示，兩個圓弧軌道豎直固定在水平地面上，半徑均為R，a軌道由金屬凹槽制成，b軌道由金屬圓管制成（圓管內徑遠小于R），均可視為光滑軌道。在兩軌道右端的正上方分別將金屬小球A和B（直徑略小于圓管內徑）由靜止釋放，小球距離地面的高度分別用和表示，兩小球均可視為質點，下列說法中正確的是（　　）
A．若，兩小球都能沿軌道運動到軌道最高點
B．若，兩小球沿軌道上升的最大高度均為R
C．適當調整和，均可使兩小球從軌道最高點飛出后，恰好落在軌道右端口處
D．若使小球沿軌道運動并且從最高點飛出，的最小值為，B小球在的任何高度釋放均可
14．（2023·全國·模擬預測）如圖所示，一小物塊被夾子夾緊，夾子通過輕繩懸掛在小環上，小環套在水平光滑細桿上，物塊質量為M，到小環的距離為L，其兩側面與夾子間的最大靜摩擦力均為F，小環和物塊以速度v向右勻速運動，小環碰到桿上的釘子P后立刻停止，物塊向上擺動，整個過程中，物塊在夾子中沒有滑動，小環和夾子的質量均不計，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．物塊向右勻速運動時，繩中的張力等于
B．小環碰到釘子P時，繩中的張力大于
C．小環碰到釘子P時，繩中的張力大于
D．速度v不能超過
15．（2022·山東威海·二模）如圖所示，豎直平面內固定一半徑光滑圓形軌道，圓心為O。一小球在軌道的最低點A，某時刻獲得水平向右的瞬時速度。已知，重力加速度。在小球從A點運動到軌跡最高點的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．小球在最高點的速度大小為
B．小球在最高點的速度大小為
C．重力做功的功率先增大后減小
D．小球做圓周運動時重力和彈力的合力提供向心力
16．（2021·遼寧·校聯考一模）如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，現讓小球繞定點O在豎直面內做圓周運動，小球經過最高點的速度大小為v，此時輕桿對小球的作用力大小為，（設豎直向上為正）與速度的平方的關系如圖乙所示，圖像中的a、b及重力加速度g均為已知量，不計空氣阻力。下列說法正確的是（　　）
A．小球的質量等于
B．輕桿的長度為
C．當時，小球的向心加速度小于g
D．當時，縱軸坐標值
17．（2022·浙江·統考高考真題）如圖所示，處于豎直平面內的一探究裝置，由傾角=37°的光滑直軌道AB、圓心為O1的半圓形光滑軌道BCD、圓心為O2的半圓形光滑細圓管軌道DEF、傾角也為37°的粗糙直軌道FG組成，B、D和F為軌道間的相切點，彈性板垂直軌道固定在G點（與B點等高），B、O1、D、O2和F點處于同一直線上。已知可視為質點的滑塊質量m=0.1kg，軌道BCD和DEF的半徑R=0.15m，軌道AB長度，滑塊與軌道FG間的動摩擦因數，滑塊與彈性板作用后，以等大速度彈回，sin37°=0.6，cos37°=0.8。滑塊開始時均從軌道AB上某點靜止釋放，（）
（1）若釋放點距B點的長度l=0.7m，求滑塊到最低點C時軌道對其支持力FN的大小；
（2）設釋放點距B點的長度為，滑塊第一次經F點時的速度v與之間的關系式；
（3）若滑塊最終靜止在軌道FG的中點，求釋放點距B點長度的值。
18．（2020·浙江·統考高考真題）小明將如圖所示的裝置放在水平地面上，該裝置由弧形軌道、豎直圓軌道、水平直軌道和傾角的斜軌道平滑連接而成。質量的小滑塊從弧形軌道離地高處靜止釋放。已知，，滑塊與軌道和間的動摩擦因數均為，弧形軌道和圓軌道均可視為光滑，忽略空氣阻力。
(1)求滑塊運動到與圓心O等高的D點時對軌道的壓力；
(2)通過計算判斷滑塊能否沖出斜軌道的末端C點；
(3)若滑下的滑塊與靜止在水平直軌道上距A點x處的質量為的小滑塊相碰，碰后一起運動，動摩擦因數仍為0.25，求它們在軌道上到達的高度h與x之間的關系。（碰撞時間不計，，）
第19講 圓周運動的臨界問題
（模擬精練+真題演練）
1．（2023·新疆·統考三模）如圖甲所示，在勻速轉動的水平盤上，沿半徑方向放著用輕質細線相連的質量相等的兩個物體A和B，它們分居圓心兩側，與圓心距離分別為和，兩物體與盤間的動摩擦因數相同，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。若初始時繩子恰好拉直但沒有拉力，現增大轉盤角速度讓轉盤做勻速圓周運動，但兩物體還未發生相對滑動，這一過程A與B所受摩擦力f的大小與的大小關系圖像如圖乙所示，下列關系式正確的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意可知，因為物體A和B分居圓心兩側，與圓心距離分別為和，兩個物體都沒滑動之前，都受靜摩擦力的作用，與成正比，由于B物體到圓心的距離大，故B物體先達到滑動摩擦力，摩擦力大小不變為角速度達到后繩子出現拉力，在角速度為時，設繩子拉力為T，對B有
對A有解得故選D。
2．（2022·山東青島·統考三模）如圖，相同的物塊a、b用沿半徑方向的細線相連放置在水平圓盤上（繩子無拉力）。當圓盤繞轉軸轉動時，物塊a、b始終相對圓盤靜止。下列關于物塊b所受的摩擦力隨圓盤角速度的平方（）的變化關系正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】轉動過程中a、b角速度相同，當圓盤角速度較小時，a、b由靜摩擦力充當向心力，繩子拉力為零，此過程中a、b所需要的摩擦力分別為，因為，故，又因為a、b與平臺的最大靜摩擦力相同，所以隨著角速度增大，b先達到最大靜摩擦力，當b達到最大靜摩擦力時繩子開始出現拉力，此后b受到的摩擦力保持不變，故圖像剛開始為一段過原點的傾斜直線（斜率為），后為水平直線（大小恒為f0）。故選A。
3．（2022·廣東·統考模擬預測）如圖所示，、B、C三個物體放在水平旋轉圓臺上，用細線連接并固定在轉軸上。已知物體與圓臺間的動摩擦因數均為，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力；細線能承受的最大拉力為，的質量為，B、C的質量均為，、B離軸的距離為，C離軸的距離為，重力加速度取，當慢慢增加圓臺轉速，最先滑動的是（　　）
A． B．B C．C D．三個物體同時滑動
【答案】C
【詳解】當圓臺轉速較小時，三者都由靜摩擦力提供向心力，由牛頓第二定律
A、C需要的向心力相等，當轉速增大到 時，由于，C受靜摩擦力先達到最大值；
再增大，B、C間細線開始有拉力，對C，由牛頓第二定律對B：
對A：當時，，；再增大，OB間拉力出現，對A：對B：對C：
當B、C間細線拉力達到最大值時，即時，
則再增大，B、C間細線將斷裂，故C最先滑動。ABD錯誤，C正確。
故選C。
4．（2023·湖南邵陽·統考模擬預測）一宇航員到達半徑為R、密度均勻的某星球表面，做如下實驗：用不可伸長的輕繩拴一質量為m的小球，上端固定在O點，如圖甲所示，在最低點給小球某一初速度，使其繞O點在豎直面內做半徑為r的圓周運動，測得繩的拉力F大小隨時間t的變化規律如圖乙所示．設R、m、r、引力常量G以及F1和F2為已知量，忽略各種阻力．以下說法正確的是（　　）
A．該星球表面的重力加速度為
B．小球在最高點的最小速度為
C．該星球的密度為
D．衛星繞該星球的第一宇宙速度為
【答案】B
【詳解】A.在最低點有在最高點有由機械能守恒定律得
聯立可得故A錯誤；
B.設星球表面的重力加速度為g，小球能在豎直面上做圓周運動，即能過最高點，過最高點的條件是只有重力提供向心力，有則最高點最小速度為故B正確；
C.由；可得故C錯誤；
D.由可得故D錯誤。故選B。
5．（2023·湖北·模擬預測）如圖甲所示的陀螺可在圓軌道外側旋轉而不脫落，好像軌道對它施加了魔法一樣，這被稱為“魔力陀螺”。它可簡化為一質量為m的質點在固定豎直圓軌道外側運動的模型，如圖乙所示．在豎直平面內固定的強磁性圓軌道半徑為R，A、B兩點與分別為軌道的最高點最低點，C、D兩點與圓心O等高，質點受到的圓軌道的強磁性引力始終指向圓心O且大小恒為7mg，不計摩擦和空氣阻力，重力加速度為g，若質點能始終沿圓弧軌道外側做完整的圓周運動，則（　　）
A．質點經過C、B兩點時，質點對軌道壓力的差值為6mg
B．質點經過A點的最大速度為
C．質點由A到B的過程中，軌道對質點的支持力逐漸增大
D．質點經過C、D兩點時，軌道對質點的支持力可能為0
【答案】B
【詳解】A．設質點經過C、B兩點的速度為分別為與，軌道對其支持力分別為與
由牛頓第二定律知，對C點和B點分別有 ，
由機械能守恒定律知 聯立解得由牛頓第三定律知，質點經過C、B兩點時，質點對軌道壓力的差值為3mg，故A錯誤；
B．要使質點始終沿圓弧軌道外側做完整的圓周運動，在最低點B，質點的向心力
由此可知，質點經過B點速度最大時，軌道對質點的支持力為0，由知質點經過B點的最大速度為由機械能守恒定律知 解得故B正確；
C．從A到B的過程中，設質點在軌道上的某點的速度為v，速度與水平向右方向的夾角為，則由牛頓第二定律知則由于從A到B的過程中，角逐漸增大，速度v逐漸增大，故軌道對質點的支持力逐漸減小，故C錯誤；
D．假設質點經過C、D點時軌道對質點的支持力為0，則由牛頓第二定律知：對C點
得 由能量守恒定律知，這是不可能的，故在質點繞軌道做完整圓周的情況下，質點經過C、D兩點時，軌道對質點的支持力不可能為0，故D錯誤。故選B。
6．（2023·遼寧·模擬預測）如圖，“單臂大回環”是體操運動中的高難度動作，運動員單臂抓杠，以單杠為軸完成圓周運動，不考慮手和單杠之間的摩擦和空氣阻力，將人視為處于重心的質點，將“單臂大回環”看成豎直平面內的圓周運動，等效半徑為L，重力加速度為g，下列說法正確的是（　　）
A．單杠對手臂只能提供拉力，不能提供支持力
B．從最高點到最低點的過程中，單杠對人的作用力做正功
C．若運動員恰好能夠完成此圓周運動，則運動員在最低點的向心加速度大小為
D．若運動員恰好能夠完成此圓周運動，則運動員在最高點處時，手臂與單杠之間無支持力
【答案】C
【詳解】A．運動員在做圓周運動的過程中，單杠對手臂可能為拉力，也可能為支持力，如在最高點，當運動員的重力恰好提供向心力時，有可得當運動員在最高點的速度大于時，桿對運動員的力為拉力，當運動員在最高點的速度小于時，桿對運動員的力為支持力，故A錯誤；
B．從最高點到最低點的過程中，單杠對人的作用力一直與速度方向垂直，不做功，故B錯誤；
C．若運動員恰好能夠完成此圓周運動，則運動員在最高點的速度為零，此時手臂與單杠之間支持力大小等于運動員的重力大小，從最高點到最低點，根據動能定理有在最低點的向心加速度大小為
聯立兩式可得故C正確，D錯誤。故選C。
7．（2021·青海西寧·統考三模）如圖所示，豎直放置的光滑圓形軌道（帶底座）質量為，半徑為，軌道最低點有一個質量為的小球（球直徑小于管道內徑，可視為質點）。現給小球一水平初速度，使小球在豎直軌道內做圓周運動，則下列說法正確的是（已知重力加速度為）（　　）
A．當時，小球才能在豎直軌道內做圓周運動
B．小球在軌道最低、最高點時的壓力大小差恒等于
C．當時，就能使軌道離開地面
D．小球從最低點運動到最高點的過程中，軌道對地面的壓力一直在減小
【答案】C
【詳解】A．小球在豎直軌道內能做圓周運動的條件是通過最高點時，因為軌道光滑，小球在運動中機械能守恒，所以有；，A選項錯誤；
B．上述情況（時），小球在最低點和最高點時由向心力公式有；
即；，B選項錯誤；
C．當時，小球在最高點時由向心力公式得由機械能守恒
解得由牛頓第三定律有：小球對軌道有豎直向上大于的彈力作用，C選項正確；
D．在時，小球從軌道最低點到最高點的運動過程中軌道對球的彈力數值上先減小后增大，方向先向心后離心，中間有一點在90°~180°間球與軌道彈力為零，此時軌道對地面的壓力大小為，其他位置大于，D選項錯誤。故選C。
8．（2023·山東·模擬預測）四川西嶺雪山滑雪場是中國南方規模最大、檔次最高、設施最完善的大型滑雪場。某段滑道建在一斜坡上，斜坡簡化為一斜面，傾角，示意圖如圖所示。運動員從a點由靜止自由滑下，到達c點飛離滑道，bc為一小段半徑為R的圓弧且b點為圓弧的最低點，運動員視為質點，不計一切阻力，若要求運動員在b點對滑道沿斜面向下的作用力不超過自身重力的3倍，則a、b點間的高度差（　　）
A．不大于 B．不大于 C．不小于 D．不小于R
【答案】A
【詳解】運動員從a點到b點，根據機械能守恒有在b點，由圓周運動規律有；
聯立解得故選A。
9．（2023·上海·統考一模）如圖所示，用光電門傳感器和力傳感器研究小球經過拱橋最高點時對橋面壓力FN的大小與小球速度的關系。若光電門測得小球的擋光時間t，多次實驗，則t越短（　　）
A．FN越小，且大于小球重力
B．FN越大，且大于小球重力
C．FN越小，且小于小球重力
D．FN越大，且小于小球重力
【答案】C
【詳解】小球經過拱橋最高點時，根據牛頓第二定律，有則有則可知，當t越短，說明小球通過最高點的速度越大，則FN越小，且小于小球重力。故選C。
10．（2023·山東泰安·統考模擬預測）如圖所示，水平圓盤可繞豎直軸轉動，沿直徑方向放著用細線相連的質量均為m的物體A和B，它們分居圓心兩側，與圓心距離分別為RA=r，RB=2r，A和B與圓盤間的動摩擦因數分別為μ和，圓盤靜止時細線剛好伸直且無張力。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，現讓圓盤從靜止開始緩慢加速，則（　　）
A．當時， 細線中沒有張力
B．當ω= 時，物體A受到的摩擦力指向圓心
C．當ω= 時，兩物體剛好不滑動
D．當兩物體剛好不滑動時燒斷繩子，A仍相對圓盤靜止，B將做離心運動
【答案】AC
【詳解】A．當最大靜摩擦力提供向心力時，對B則有解得對A則有
解得可知當時， 細線中沒有張力，A正確；
B．當ω=時，對A所需向心力，則有 對B所需向心力，則有
由以上計算可知，B對A的拉力恰好提供A做圓周運動的向心力，因此A受到的摩擦力是零，B錯誤；
C．當兩物體剛好不滑動時，對B則有對A則有聯立兩式解得
ω=，C正確；
D．當兩物體剛好不滑動時，在燒斷繩子的瞬間，A所需向心力為
B所需向心力為可知兩物體的最大靜摩擦力都不足以提供向心力，因此A和B都將做離心運動，D錯誤。故選AC。
11．（2023·甘肅甘南·校考三模）如圖所示，疊放在水平轉臺上的物體A、B、C能隨轉臺一起以角速度ω勻速轉動，A、B、C的質量分別為3m、2m、m，A與B、B和C與轉臺間的動摩擦因數均為μ，A、B和C離轉臺中心的距離分別為r、1.5r，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。以下說法中正確的是（　　）
A．B對A的摩擦力一定為3μmg
B．B對A的摩擦力一定為3mω2r
C．轉臺的角速度一定滿足
D．轉臺的角速度一定滿足
【答案】BC
【詳解】AB．對A受力分析，受重力、支持力以及B對A的靜摩擦力，靜摩擦力提供向心力，有故A錯誤，B正確；
CD．對AB整體，有對物體C，有對物體A，有解得故C正確，D錯誤。故選BC。
12．（2019·重慶·重慶巴蜀中學校考模擬預測）如圖，水平圓形轉盤可繞豎直軸轉動，圓盤上放有小物體A、B、C，質量分別為m、2m、3m，物塊A疊放在B上，B、C到轉盤中心O的距離分別為3r、2r。B、C間用一輕質細線相連，圓盤靜止時，細線剛好伸直無拉力。已知B、C與圓盤間的動摩擦因數為μ，A、B間動摩擦因數為3μ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。現讓圓盤從靜止開始加速。則（　　）
A．當時，A、B即將開始滑動
B．當時，細線張力為
C．當時，C受到圓盤的摩擦力為0
D．當時剪斷細線，C將做離心運動
【答案】BC
【詳解】A．當A相對B開始滑動時有：解得：當時，AB未發生相對滑動，故A錯誤；
B．當時，以AB為整體，根據可知，B與轉盤之間的最大靜摩擦力為：所以有：此時細線有張力，設細線的拉力為T，
對AB有：對C有：解得；
故B正確；
C. 當時，AB需要的向心力為：解得此時細線的拉力
，C需要的向心力為：，C受到細線的拉力恰好等于需要的向心力，所以圓盤對C的摩擦力一定等于0，故C正確；
D. 當時，對C有：剪斷細線，則所以C與轉盤之間的最大靜摩擦力大于需要的向心力，則C仍然做勻速圓周運動，故D錯誤。故選BC。
13．（2023·山東·模擬預測）如圖所示，兩個圓弧軌道豎直固定在水平地面上，半徑均為R，a軌道由金屬凹槽制成，b軌道由金屬圓管制成（圓管內徑遠小于R），均可視為光滑軌道。在兩軌道右端的正上方分別將金屬小球A和B（直徑略小于圓管內徑）由靜止釋放，小球距離地面的高度分別用和表示，兩小球均可視為質點，下列說法中正確的是（　　）
A．若，兩小球都能沿軌道運動到軌道最高點
B．若，兩小球沿軌道上升的最大高度均為R
C．適當調整和，均可使兩小球從軌道最高點飛出后，恰好落在軌道右端口處
D．若使小球沿軌道運動并且從最高點飛出，的最小值為，B小球在的任何高度釋放均可
【答案】BD
【詳解】AD．B軌道是雙軌模型，到達最高點的最小速度為零。即若時，B球能沿軌道運動到最高點；若A小球恰好運動到最高點，則有；解得可知，若小球A能夠到達最高點，需要選項A錯誤，D正確；
B．若，根據機械能守恒定律可知，兩小球沿軌道上升的最大高度均為R，不超過過圓心的水平線，選項B正確；
C．B小球從軌道最高點飛出后，恰好落在軌道右端口，則有；對B球有
解得對A球，從最高點射出時最小速度為此時根據；解得則無論如何調節hA都不可能使A小球從軌道最高點飛出后，恰好落在軌道右端口處，選項C錯誤；
故選BD。
14．（2023·全國·模擬預測）如圖所示，一小物塊被夾子夾緊，夾子通過輕繩懸掛在小環上，小環套在水平光滑細桿上，物塊質量為M，到小環的距離為L，其兩側面與夾子間的最大靜摩擦力均為F，小環和物塊以速度v向右勻速運動，小環碰到桿上的釘子P后立刻停止，物塊向上擺動，整個過程中，物塊在夾子中沒有滑動，小環和夾子的質量均不計，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．物塊向右勻速運動時，繩中的張力等于
B．小環碰到釘子P時，繩中的張力大于
C．小環碰到釘子P時，繩中的張力大于
D．速度v不能超過
【答案】CD
【詳解】A．物塊向右勻速運動時，物塊所受合力為零，則物塊受到的靜摩擦力大小為，由于夾子質量不計，則繩中的張力等于，故A錯誤；
B．無論物塊在向右勻速運動時，還是在小環碰到釘子P時，繩中的張力都不可能大于，故B錯誤；
C．小環碰到釘子P時，由于物塊在夾子中沒有滑動，則對物塊和夾子整體分析，物塊和夾子開始向上擺動，做圓周運動，根據牛頓第二定律可得由此可知，繩中的張力T大于，故C正確；
D．當繩中的張力恰好達到時，根據牛頓第二定律可得解得，此時的速度為
即為使物塊在夾子中沒有滑動，則速度v不能超過，故D正確。故選CD。
15．（2022·山東威海·二模）如圖所示，豎直平面內固定一半徑光滑圓形軌道，圓心為O。一小球在軌道的最低點A，某時刻獲得水平向右的瞬時速度。已知，重力加速度。在小球從A點運動到軌跡最高點的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．小球在最高點的速度大小為
B．小球在最高點的速度大小為
C．重力做功的功率先增大后減小
D．小球做圓周運動時重力和彈力的合力提供向心力
【答案】BC
【詳解】
AB．假設小球能夠達到圓軌道的最高點，根據動能定理可知解故小球在未到達最高點就已經脫離軌道做近心運動，設脫離軌道時小球與圓心連線與水平方向的夾角為，此時的速度為v，則根據動能定理有
由重力的分力提供向心力，彈力為0，則有解得，脫離軌道后做斜拋運動，故軌跡最高點的速度為，A錯誤，B正確；
C．在小球從A點運動到軌跡最高點的過程中，初始時，重力方向與速度方向垂直，功率為0，過程中重力與速度方向不垂直，末狀態最高點時重力方向與速度方向又垂直，功率又變為0，故重力做功的功率先增大后減小，C正確；
D．小球做圓周運動時速度的大小和方向都在變，故重力和彈力沿半徑方向的分量的合力提供向心力，D錯誤。故選BC。
16．（2021·遼寧·校聯考一模）如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，現讓小球繞定點O在豎直面內做圓周運動，小球經過最高點的速度大小為v，此時輕桿對小球的作用力大小為，（設豎直向上為正）與速度的平方的關系如圖乙所示，圖像中的a、b及重力加速度g均為已知量，不計空氣阻力。下列說法正確的是（　　）
A．小球的質量等于
B．輕桿的長度為
C．當時，小球的向心加速度小于g
D．當時，縱軸坐標值
【答案】AB
【詳解】AB．由圖可知，當小球在最高點的速度為零時，有當桿對小球無作用力時，有聯立兩式可解得，，AB正確；
C．當時，，小球只受重力，故小球在最高點的向心加速度等于重力加速度g，C錯誤；
D．當時，解得負號表示桿對小球的作用力為拉力，且小球受到桿的彈力與重力大小相等，所以縱軸坐標值，D錯誤。故選AB。
17．（2022·浙江·統考高考真題）如圖所示，處于豎直平面內的一探究裝置，由傾角=37°的光滑直軌道AB、圓心為O1的半圓形光滑軌道BCD、圓心為O2的半圓形光滑細圓管軌道DEF、傾角也為37°的粗糙直軌道FG組成，B、D和F為軌道間的相切點，彈性板垂直軌道固定在G點（與B點等高），B、O1、D、O2和F點處于同一直線上。已知可視為質點的滑塊質量m=0.1kg，軌道BCD和DEF的半徑R=0.15m，軌道AB長度，滑塊與軌道FG間的動摩擦因數，滑塊與彈性板作用后，以等大速度彈回，sin37°=0.6，cos37°=0.8。滑塊開始時均從軌道AB上某點靜止釋放，（）
（1）若釋放點距B點的長度l=0.7m，求滑塊到最低點C時軌道對其支持力FN的大小；
（2）設釋放點距B點的長度為，滑塊第一次經F點時的速度v與之間的關系式；
（3）若滑塊最終靜止在軌道FG的中點，求釋放點距B點長度的值。
【答案】（1）7N；（2） （）；（3），，
【詳解】（1）滑塊釋放運動到C點過程，由動能定理
經過C點時解得
（2）能過最高點時，則能到F點，則恰到最高點時解得
而要保證滑塊能到達F點，必須要保證它能到達DEF最高點，當小球恰好到達DEF最高點時，由動能定理可解得則要保證小球能到F點，，帶入可得
（3）設全過程摩擦力對滑塊做功為第一次到達中點時做功的n倍，則n=1,3,5,……解得 n=1,3,5, ……
又因為，當時，，當時，，當時，，滿足要求。即若滑塊最終靜止在軌道FG的中點，釋放點距B點長度的值可能為，， 。
18．（2020·浙江·統考高考真題）小明將如圖所示的裝置放在水平地面上，該裝置由弧形軌道、豎直圓軌道、水平直軌道和傾角的斜軌道平滑連接而成。質量的小滑塊從弧形軌道離地高處靜止釋放。已知，，滑塊與軌道和間的動摩擦因數均為，弧形軌道和圓軌道均可視為光滑，忽略空氣阻力。
(1)求滑塊運動到與圓心O等高的D點時對軌道的壓力；
(2)通過計算判斷滑塊能否沖出斜軌道的末端C點；
(3)若滑下的滑塊與靜止在水平直軌道上距A點x處的質量為的小滑塊相碰，碰后一起運動，動摩擦因數仍為0.25，求它們在軌道上到達的高度h與x之間的關系。（碰撞時間不計，，）
【答案】(1)8N，方向水平向左；(2)不會沖出；(3) （）；（）
【詳解】(1)機械能守恒定律牛頓第二定律牛頓第三定律
方向水平向左
(2)能在斜軌道上到達的最高點為點，功能關系得故不會沖出
(3)滑塊運動到距A點x處的速度為v，動能定理碰撞后的速度為，動量守恒定律
設碰撞后滑塊滑到斜軌道的高度為h，動能定理
得；親愛的同學加油，給自己實現夢想的機會。
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第19講 圓周運動的臨界問題
目錄
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復習目標
網絡構建
考點一 水平面內的圓盤臨界模型
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點 水平面內的圓盤臨界模型臨界規律
【提升·必考題型歸納】
考向 水平面內的圓盤臨界模型臨界規律應用
考點二 豎直面內圓周運動臨界模型
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點1 常見繩桿模型特點及臨界規律
知識點2 拱形橋和凹形橋類模型特點及臨界規律
【提升·必考題型歸納】
考向1 繩類模型
考向2 桿類模型
考向3 拱形橋和凹形橋類模型
真題感悟
掌握水平面內圓盤模型的動力學分析及臨界條件。
掌握豎直面內圓周運動的基本規律，并能夠聯系實際問題做出相應問題的分析。
考點要求 考題統計 考情分析
（1）水平面內圓周運動臨界 （2）豎直面內圓周運動臨界 2022年全國甲卷第1題 2022年1月浙江卷第21題 2021年湖北卷第15題 高考對圓周運動的臨界問題的單獨考查不是太常見，大多在綜合性的計算題中出現的比較頻繁，并且會結合有關的功能關系。
考點一 水平面內的圓盤臨界模型
知識點 水平面內的圓盤臨界模型臨界規律
①口訣：“誰遠誰先飛”； ②a或b發生相對圓盤滑動的各自臨界角速度： ；
①口訣：“誰遠誰先飛”； ②輕繩出現拉力，先達到B的臨界角速度：； ③AB一起相對圓盤滑動時，臨界條件： 隔離A：T=μmAg；隔離B：T+μmBg=mBω22rB 整體：μmAg+μmBg=mBω22rB AB相對圓盤滑動的臨界條件：
①口訣：“誰遠誰先飛”； ②輕繩出現拉力，先達到B的臨界角速度：； ③同側背離圓心，fAmax和fBmax指向圓心，一起相對圓盤滑動時， 臨界條件： 隔離A：μmAg-T=mAω22rA；隔離B：T+μmBg=mBω22rB 整體：μmAg+μmBg=mAω22rA+mBω22rB AB相對圓盤滑動的臨界條
①口訣：“誰遠誰先飛”（rB>rA）； ②輕繩出現拉力臨界條件：； 此時B與面達到最大靜摩擦力，A與面未達到最大靜摩擦力。 此時隔離A：fA+T=mAω2rA；隔離B：T+μmBg=mBω2rB 消掉T：fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2 ③當mBrB=mArA時，fA=μmBg，AB永不滑動，除非繩斷； ④AB一起相對圓盤滑動時，臨界條件： 1）當mBrB>mArA時，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA達到最大→從B側飛出； 2）當mBrB臨界條件： ①，； ②，
臨界條件： ① ②
考向 水平面內的圓盤臨界模型臨界規律應用
1．如圖所示，兩個質量均為m的小木塊a和b（可視為質點）放在水平圓盤上，a與轉軸的距離為l，b與轉軸的距離為。木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用表示圓盤轉動的角速度，下列說法正確的是（　　）
A．a可能比b先開始滑動
B．a、b所受的靜摩擦力始終相等
C．是b開始滑動的臨界角速度
D．當時，a所受摩擦力的大小為
2．如圖，在水平轉臺上放一個質量M＝2kg的木塊，它與轉臺間的最大靜摩擦力Fmax＝6.0N，繩的一端系掛木塊，通過轉臺的中心孔O（孔光滑），另一端懸掛一個質量m＝1.0kg的物體，當轉臺以角速度＝5rad/s勻速轉動時，木塊相對轉臺靜止，木塊到O點的距離可能值（　　）
A．0.40m B．0.25m C．0.20m D．0.06m
3．如圖所示、放在水平轉臺上可視為質點的長方體A、B、C隨轉臺一起以角速度ω勻速轉動，A、B、C的質量分別為3m、2m、m，A與C之間的動摩擦因數為2μ、B和C與轉臺間的動摩擦因數均為μ，A、C以及B離轉臺中心的距離分別為1.5r、r。設最大靜靡擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，下列說法正確的是（　　）
A．物體A受到的摩擦力大小為6μmg
B．轉盤對物體C的摩擦力大小為9
C．維持物體A、B、C能隨轉臺一起轉動，轉盤的角速度應滿足
D．隨著轉臺角速度增大，最先被甩出去的是物體B
4．一圓盤可以繞其豎直軸在水平面內轉動，圓盤半徑為R，甲、乙兩物體質量分別為M和m（M>m），它們與圓盤之間的最大靜摩擦力均為壓力的倍，兩物體用一根長為L（LA．隨著角速度的增大的過程中，物塊m受到的摩擦力先增加再逐漸減少
B．隨著角速度的增大的過程中，物塊M始終受到摩擦力
C．則圓盤旋轉的角速度最大不得超過
D．則圓盤旋轉的角速度最大不得超過
5．如圖所示，兩個可視為質點的、相同的木塊A和B放在轉盤上，兩者用長為的細繩連接，木塊與轉的最大靜摩擦力均為各自重力的倍，A放在距離轉軸處，整個裝置能繞通過轉盤中心的轉軸轉動，開始時，繩恰好伸直但無彈力，現讓該裝置從靜止開始轉動，使角速度緩慢增大，以下說法正確的是（　　）
A．當時，A、B相對于轉盤會滑動
B．當時，繩子一定有彈力
C．在范圍內增大時，B所受摩擦力變大
D．在范圍內增大時，A所受摩擦力一直不變
6．如圖所示，兩個質量相同的小物塊A、B（可視為質點），用一根長為的細線（不計質量）相連，放在絕緣的水平圓形轉臺的一條直徑上，A、B與轉臺間的動摩擦因數都是。轉臺可繞過圓心的豎直軸以角速度逆時針轉動（俯視），且A、B到轉軸的距離分別為和。初始時，A、B間的連接細線恰好拉直但沒有張力，轉臺的角速度極為緩慢地增大，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為，則（　　）

A．當時，連接細線不會產生張力
B．當時，隨著的緩慢增大，物塊A所受的靜摩擦力逐漸減小
C．若A、B帶有等量的正電荷，在空間中加上豎直向上的勻強磁場，當時，物塊A、B一定會和轉臺保持相對靜止
D．若A、B帶有等量的正電荷，在空間中加上豎直向上的勻強磁場，當時，物塊A、B已經與轉臺發生相對滑動
考點二 豎直面內圓周運動臨界模型
知識點1 常見繩桿模型特點及臨界規律
輕繩模型 輕桿模型
情景圖示
彈力特征 彈力可能向下，也可能等于零 彈力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意圖
力學方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m
臨界特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0， 此時FN＝mg
模型關鍵 (1)“繩”只能對小球施加向下的力 (2)小球通過最高點的速度至少為 (1)“桿”對小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力 (2)小球通過最高點的速度最小可以為0
知識點2 拱形橋和凹形橋類模型特點及臨界規律
拱形橋模型 凹形橋模型
情景圖示
彈力特征 彈力可能向上，也可能等于零 彈力向上
受力示意圖
力學方程
臨界特征 FN＝0，即mg＝m，得v＝
模型關鍵 ①最高點:，失重； ②，汽車脫離，做平拋運動。 ①最低點：，超重； ②，v越大，FN越大。
考向1 繩類模型
1．如圖甲所示，用一輕質繩拴著一質量為的小球，在豎直平面內做圓周運動（不計一切阻力），小球運動到最高點時繩對小球的拉力為，小球在最高點的速度大小為，其圖像如圖乙所示，則（　　）
A．輕質繩長為
B．當地的重力加速度為
C．當時，輕質繩的拉力大小為
D．只要，小球在最低點和最高點時繩的拉力差均為
2．如圖甲所示，一質量m＝4kg的小球（可視為質點）以v0＝4m/s的速度從A點沖上豎直光滑半圓軌道。當半圓軌道的半徑R發生改變時，小球對B點的壓力與半徑R的關系圖像如圖乙所示，g取10m/s2，下列說法不正確的是（　　）
A．x＝2.5
B．y＝40
C．若小球能通過軌道上的C點，則其落地點距A點的最大水平距離為0.80m
D．當小球恰能通過軌道上的C點時，半圓軌道的半徑R＝64cm
考向2 桿類模型
3．如圖所示，輕桿一端與一小球相連，另一端連在光滑固定軸上，可在豎直平面內自由轉動。小球在豎直平面內恰好能做完整的圓周運動，已知小球質量為m，桿長為L，重力加速度為g，不計空氣阻力。下列說法正確的是（　　）
A．小球在最高點時，小球的速度大小為
B．小球在最低點時，小球的速度大小為
C．小球在最低點時，桿對小球的作用力大小為
D．當桿處于水平位置時，桿對小球的作用力大小為
4．一半徑為r的小球緊貼豎直放置的圓形管道內壁做圓周運動，如圖甲所示。小球運動到最高點時管壁對小球的作用力大小為，小球的速度大小為v，其圖像如圖乙所示。已知重力加速度為g，規定豎直向下為正方向，不計一切阻力。則下列說法正確的是（　　）

A．小球的質量為
B．圓形管道內側壁半徑為
C．當時，小球受到外側壁豎直向上的作用力，大小為
D．小球在最低點的最小速度為
考向3 拱形橋和凹形橋類模型
5．在豎直平面內光滑圓軌道的外側，有一小球（可視為質點）以某一水平速度從最高點A出發沿圓軌道運動，至B點時脫離軌道，最終落在水平面上的C點，圓軌道半徑為，重力加速度為，不計空氣阻力。下列說法中正確的是（　　）
A．小球從A點出發的速度大小
B．小球經過B點時的速度大小
C．小球經過B點時速度變化率大小為
D．小球落在C點時的速度方向豎直向下
6．汽車行駛中經常會經過一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看作圓弧的一部分，如圖所示的A、B、C處，其中B處的曲率半徑最大，A處的曲率半徑為，C處的曲率半徑為，重力加速度為g。若有一輛可視為質點、質量為m的小汽車與路面之間各處的動摩擦因數均為，當該車以恒定的速率v沿這段凹凸路面行駛時，下列說法正確的是（　　）
A．汽車經過A處時處于失重狀態，經過C處時處于超重狀態
B．汽車經過B處時最容易爆胎
C．為了保證行車不脫離路面，該車的行駛速度不得超過
D．汽車經過C處時所受的摩擦力大小為
（2023湖南卷高考真題）如圖，固定在豎直面內的光滑軌道ABC由直線段AB和圓弧段BC組成，兩段相切于B點，AB段與水平面夾角為θ，BC段圓心為O，最高點為C、A與C的高度差等于圓弧軌道的直徑2R。小球從A點以初速度v0沖上軌道，能沿軌道運動恰好到達C點，下列說法正確的是（ ）

A．小球從B到C的過程中，對軌道的壓力逐漸增大
B．小球從A到C的過程中，重力的功率始終保持不變
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能從B點脫離軌道
第19講 圓周運動的臨界問題
目錄
復習目標
網絡構建
考點一 水平面內的圓盤臨界模型
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點 水平面內的圓盤臨界模型臨界規律
【提升·必考題型歸納】
考向 水平面內的圓盤臨界模型臨界規律應用
考點二 豎直面內圓周運動臨界模型
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點1 常見繩桿模型特點及臨界規律
知識點2 拱形橋和凹形橋類模型特點及臨界規律
【提升·必考題型歸納】
考向1 繩類模型
考向2 桿類模型
考向3 拱形橋和凹形橋類模型
真題感悟
掌握水平面內圓盤模型的動力學分析及臨界條件。
掌握豎直面內圓周運動的基本規律，并能夠聯系實際問題做出相應問題的分析。
考點要求 考題統計 考情分析
（1）水平面內圓周運動臨界 （2）豎直面內圓周運動臨界 2022年全國甲卷第1題 2022年1月浙江卷第21題 2021年湖北卷第15題 高考對圓周運動的臨界問題的單獨考查不是太常見，大多在綜合性的計算題中出現的比較頻繁，并且會結合有關的功能關系。
考點一 水平面內的圓盤臨界模型
知識點 水平面內的圓盤臨界模型臨界規律
①口訣：“誰遠誰先飛”； ②a或b發生相對圓盤滑動的各自臨界角速度： ；
①口訣：“誰遠誰先飛”； ②輕繩出現拉力，先達到B的臨界角速度：； ③AB一起相對圓盤滑動時，臨界條件： 隔離A：T=μmAg；隔離B：T+μmBg=mBω22rB 整體：μmAg+μmBg=mBω22rB AB相對圓盤滑動的臨界條件：
①口訣：“誰遠誰先飛”； ②輕繩出現拉力，先達到B的臨界角速度：； ③同側背離圓心，fAmax和fBmax指向圓心，一起相對圓盤滑動時， 臨界條件： 隔離A：μmAg-T=mAω22rA；隔離B：T+μmBg=mBω22rB 整體：μmAg+μmBg=mAω22rA+mBω22rB AB相對圓盤滑動的臨界條
①口訣：“誰遠誰先飛”（rB>rA）； ②輕繩出現拉力臨界條件：； 此時B與面達到最大靜摩擦力，A與面未達到最大靜摩擦力。 此時隔離A：fA+T=mAω2rA；隔離B：T+μmBg=mBω2rB 消掉T：fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2 ③當mBrB=mArA時，fA=μmBg，AB永不滑動，除非繩斷； ④AB一起相對圓盤滑動時，臨界條件： 1）當mBrB>mArA時，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA達到最大→從B側飛出； 2）當mBrB臨界條件： ①，； ②，
臨界條件： ① ②
考向 水平面內的圓盤臨界模型臨界規律應用
1．如圖所示，兩個質量均為m的小木塊a和b（可視為質點）放在水平圓盤上，a與轉軸的距離為l，b與轉軸的距離為。木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用表示圓盤轉動的角速度，下列說法正確的是（　　）
A．a可能比b先開始滑動
B．a、b所受的靜摩擦力始終相等
C．是b開始滑動的臨界角速度
D．當時，a所受摩擦力的大小為
【答案】CD
【詳解】AB．兩個木塊的最大靜摩擦力相等，木塊隨圓盤一起轉動，木塊所受靜摩擦力提供向心力，由牛頓第二定律得，木塊所受的靜摩擦力滿足由于兩個木塊的m、ω相等，a的運動半徑小于b，所以b所受的靜摩擦力大于a的靜摩擦力，當圓盤的角速度增大時，b的靜摩擦力先達到最大值，所以b一定比a先開始滑動，故A、B錯誤；
C．當b剛要滑動時，物塊所受靜摩擦力達到最大，則有解得b開始滑動的臨界角速度為
故C正確；
D．當a剛要滑動時，物塊所受靜摩擦力達到最大，則有解得a開始滑動的臨界角速度為
因為所以a相對圓盤靜止，此時a物塊所受摩擦力是靜摩擦，則有
解得a所受摩擦力的大小為故D正確。故選CD。
2．如圖，在水平轉臺上放一個質量M＝2kg的木塊，它與轉臺間的最大靜摩擦力Fmax＝6.0N，繩的一端系掛木塊，通過轉臺的中心孔O（孔光滑），另一端懸掛一個質量m＝1.0kg的物體，當轉臺以角速度＝5rad/s勻速轉動時，木塊相對轉臺靜止，木塊到O點的距離可能值（　　）
A．0.40m B．0.25m C．0.20m D．0.06m
【答案】BC
【詳解】由于木塊所受靜摩擦力的方向不確定，故我們需要求出兩種臨界情況。情況一，當方向指向圓心的摩擦力達到最大靜摩擦力時，此時木塊到O點的距離最大，對木塊根據牛頓第二定律有
Fmax＋mg = Mω2rmax代入數據解得rmax = 0.32m
情況二，當方向背離圓心的摩擦力達到最大靜摩擦力時，此時木塊到O點的距離最小，根據牛頓第二定律有mg－Fmax = Mω2rmin代入數據解得rmin = 0.08m所以木塊到O點的距離應該在0.08m ~ 0.32m之間。
故選BC。
3．如圖所示、放在水平轉臺上可視為質點的長方體A、B、C隨轉臺一起以角速度ω勻速轉動，A、B、C的質量分別為3m、2m、m，A與C之間的動摩擦因數為2μ、B和C與轉臺間的動摩擦因數均為μ，A、C以及B離轉臺中心的距離分別為1.5r、r。設最大靜靡擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，下列說法正確的是（　　）
A．物體A受到的摩擦力大小為6μmg
B．轉盤對物體C的摩擦力大小為9
C．維持物體A、B、C能隨轉臺一起轉動，轉盤的角速度應滿足
D．隨著轉臺角速度增大，最先被甩出去的是物體B
【答案】C
【詳解】A．若物體AC隨轉盤一起轉動恰不相對轉盤滑動，則解得
則此時AC之間的靜摩擦力物體AC之間的最大靜摩擦力為
則此時AC之間不會產生滑動，則物體A受到的摩擦力大小為3μmg，選項A錯誤；
B．當轉盤以角速度ω勻速轉動時，轉盤對物體C的摩擦力大小為選項B錯誤；
CD．若轉盤角速度增加，若B恰能產生滑動，則根據可得可知隨著轉盤角速度增大，最先被甩出去的是物體AC；若要維持物體A、B、C能隨轉臺一起轉動，這只需AC相對轉盤不產生滑動，則即轉盤的角速度應滿足選項C正確，D錯誤。故選C。
4．一圓盤可以繞其豎直軸在水平面內轉動，圓盤半徑為R，甲、乙兩物體質量分別為M和m（M>m），它們與圓盤之間的最大靜摩擦力均為壓力的倍，兩物體用一根長為L（LA．隨著角速度的增大的過程中，物塊m受到的摩擦力先增加再逐漸減少
B．隨著角速度的增大的過程中，物塊M始終受到摩擦力
C．則圓盤旋轉的角速度最大不得超過
D．則圓盤旋轉的角速度最大不得超過
【答案】D
【詳解】AB．當圓盤角速度較小時，m的向心力由靜摩擦力提供，繩子沒拉力，由牛頓第二定律
m受的靜摩擦力隨角速度增大而增大，當角速度增大到時，靜摩擦力達到最大靜摩擦力，角速度再增大，繩子拉力出現，由牛頓第二定律隨著角速度增大，m受的摩擦力保持不變，一直為最大靜摩擦力。則隨著角速度的增大的過程中，物塊m受到的摩擦力先增加后保持不變，當繩子有力時，M開始受到摩擦力作用，故AB錯誤；
CD．當繩子的拉力增大到等于甲的最大靜摩擦力時，角速度達到最大，對m和M，分別有；
聯立可得故C錯誤，D正確。故選D。
5．如圖所示，兩個可視為質點的、相同的木塊A和B放在轉盤上，兩者用長為的細繩連接，木塊與轉的最大靜摩擦力均為各自重力的倍，A放在距離轉軸處，整個裝置能繞通過轉盤中心的轉軸轉動，開始時，繩恰好伸直但無彈力，現讓該裝置從靜止開始轉動，使角速度緩慢增大，以下說法正確的是（　　）
A．當時，A、B相對于轉盤會滑動
B．當時，繩子一定有彈力
C．在范圍內增大時，B所受摩擦力變大
D．在范圍內增大時，A所受摩擦力一直不變
【答案】B
【詳解】A．開始角速度較小，兩木塊都靠靜摩擦力提供向心力，B先到達最大靜摩擦力，角速度繼續增大，則繩子出現拉力，角速度繼續增大，A的靜摩擦力增大，當增大到最大靜摩擦力時，開始發生相對滑動，A、B相對于轉盤會滑動，對A有對B有解得故A錯誤；
B．當B達到最大靜摩擦力時，繩子開始出現彈力解得則當時，繩子一定有彈力，故B正確；
C．時B已經達到最大靜摩擦力，則ω在內，B受到的摩擦力不變，故C錯誤；
D．繩子沒有拉力時，對A有則隨轉盤角速度增大，靜摩擦力增大，繩子出現拉力后，對A有
對B有聯立有則當ω增大時，靜摩擦力也增大，故D錯誤。
故選B。
6．如圖所示，兩個質量相同的小物塊A、B（可視為質點），用一根長為的細線（不計質量）相連，放在絕緣的水平圓形轉臺的一條直徑上，A、B與轉臺間的動摩擦因數都是。轉臺可繞過圓心的豎直軸以角速度逆時針轉動（俯視），且A、B到轉軸的距離分別為和。初始時，A、B間的連接細線恰好拉直但沒有張力，轉臺的角速度極為緩慢地增大，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為，則（　　）

A．當時，連接細線不會產生張力
B．當時，隨著的緩慢增大，物塊A所受的靜摩擦力逐漸減小
C．若A、B帶有等量的正電荷，在空間中加上豎直向上的勻強磁場，當時，物塊A、B一定會和轉臺保持相對靜止
D．若A、B帶有等量的正電荷，在空間中加上豎直向上的勻強磁場，當時，物塊A、B已經與轉臺發生相對滑動
【答案】BD
【詳解】A．在B的靜摩擦力達到最大時，連接細線剛要產生張力，對B有解得
可知當時，細線產生張力，故A錯誤；
B．當從繼續增大時，B所需向心力是A的兩倍，由受力分析可知，A所受指向圓心的靜摩擦力將減小，當A所受靜摩擦力為0時，對B有對A有聯立可得可知當時，隨著的緩慢增大，物塊A所受的靜摩擦力逐漸減小，故B正確；
CD．當兩物塊即將相對滑動時，對系統用牛頓第二定律，有解得若A、B帶有等量的正電荷，在空間中加上豎直向上的勻強磁場，除摩擦力外，A、B所受的洛倫茲力的合力是從A指向B的，即有可知在的情況下，所解得的比小，當時，物塊A、B已經與轉臺發生相對滑動，故C錯誤，D正確。故選BD。
考點二 豎直面內圓周運動臨界模型
知識點1 常見繩桿模型特點及臨界規律
輕繩模型 輕桿模型
情景圖示
彈力特征 彈力可能向下，也可能等于零 彈力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意圖
力學方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m
臨界特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0， 此時FN＝mg
模型關鍵 (1)“繩”只能對小球施加向下的力 (2)小球通過最高點的速度至少為 (1)“桿”對小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力 (2)小球通過最高點的速度最小可以為0
知識點2 拱形橋和凹形橋類模型特點及臨界規律
拱形橋模型 凹形橋模型
情景圖示
彈力特征 彈力可能向上，也可能等于零 彈力向上
受力示意圖
力學方程
臨界特征 FN＝0，即mg＝m，得v＝
模型關鍵 ①最高點:，失重； ②，汽車脫離，做平拋運動。 ①最低點：，超重； ②，v越大，FN越大。
考向1 繩類模型
1．如圖甲所示，用一輕質繩拴著一質量為的小球，在豎直平面內做圓周運動（不計一切阻力），小球運動到最高點時繩對小球的拉力為，小球在最高點的速度大小為，其圖像如圖乙所示，則（　　）
A．輕質繩長為
B．當地的重力加速度為
C．當時，輕質繩的拉力大小為
D．只要，小球在最低點和最高點時繩的拉力差均為
【答案】D
【詳解】A．小球運動到最高點時，對小球受力分析，由牛頓第二定律有可得
可知圖線斜率為可得輕質繩長為故A錯誤；
B．由圖像可知縱軸上截距的絕對值為則有故B錯誤；
C．由圖像可知故當時，有故C錯誤；
D．從最高點到最低點，由機械能守恒有在最低點對小球受力分析，由牛頓第二定律有
聯立可得小球在最低點和最高點時繩的拉力差為故D正確。故選D。
2．如圖甲所示，一質量m＝4kg的小球（可視為質點）以v0＝4m/s的速度從A點沖上豎直光滑半圓軌道。當半圓軌道的半徑R發生改變時，小球對B點的壓力與半徑R的關系圖像如圖乙所示，g取10m/s2，下列說法不正確的是（　　）
A．x＝2.5
B．y＝40
C．若小球能通過軌道上的C點，則其落地點距A點的最大水平距離為0.80m
D．當小球恰能通過軌道上的C點時，半圓軌道的半徑R＝64cm
【答案】ABD
【詳解】AB．從A到B，根據動能定理可得在B點，根據牛頓第二定律得
聯立解得結合題圖乙可知，故AB錯誤，AB滿足題意要求；
D．恰能通過最高點時，在最高點，根據牛頓第二定律可得從最低點到最高點，根據動能定理可得解得故D錯誤，滿足題意要求；
C．從最高點做平拋運動，則有，；且聯立解得當解得，取最大值，可得
故C正確，不滿足題意要求。故選ABD。
考向2 桿類模型
3．如圖所示，輕桿一端與一小球相連，另一端連在光滑固定軸上，可在豎直平面內自由轉動。小球在豎直平面內恰好能做完整的圓周運動，已知小球質量為m，桿長為L，重力加速度為g，不計空氣阻力。下列說法正確的是（　　）
A．小球在最高點時，小球的速度大小為
B．小球在最低點時，小球的速度大小為
C．小球在最低點時，桿對小球的作用力大小為
D．當桿處于水平位置時，桿對小球的作用力大小為
【答案】CD
【詳解】A．小球在豎直平面內恰好能做完整的圓周運動，則小球在最高點的速度恰好為零，A錯誤；
B．從最高點到最低點對小球應用動能定理可得解得，B錯誤；
C．最低點對小球受力分析，由牛頓第二定律解得，C正確；
D．從最高點到水平位置對小球應用動能定理可得由牛頓第二定律解得，D正確。故選CD。
4．一半徑為r的小球緊貼豎直放置的圓形管道內壁做圓周運動，如圖甲所示。小球運動到最高點時管壁對小球的作用力大小為，小球的速度大小為v，其圖像如圖乙所示。已知重力加速度為g，規定豎直向下為正方向，不計一切阻力。則下列說法正確的是（　　）

A．小球的質量為
B．圓形管道內側壁半徑為
C．當時，小球受到外側壁豎直向上的作用力，大小為
D．小球在最低點的最小速度為
【答案】AB
【詳解】A．規定豎直向下為正方向，設圓形管道內側壁半徑為R，小球受到圓形管道的作用力大小為，在最高點，由牛頓第二定律，當時當時，由重力提供向心力有
解得當時，由牛頓第二定律有解得
當時，由牛頓第二定律有解得故故小球的質量為或，故A正確；
B．當時；解得圓形管內側壁半徑故B正確；
C．當時，小球受到外側壁豎直向下的作用力，由牛頓第二定律有解得
故C錯誤；
D．根據能量守恒定律，當小球在最高點具有最小速度（為零）時，其在最低點的速度最小，即
；故D錯誤。故選AB。
考向3 拱形橋和凹形橋類模型
5．在豎直平面內光滑圓軌道的外側，有一小球（可視為質點）以某一水平速度從最高點A出發沿圓軌道運動，至B點時脫離軌道，最終落在水平面上的C點，圓軌道半徑為，重力加速度為，不計空氣阻力。下列說法中正確的是（　　）
A．小球從A點出發的速度大小
B．小球經過B點時的速度大小
C．小球經過B點時速度變化率大小為
D．小球落在C點時的速度方向豎直向下
【答案】C
【詳解】A．根據題意可知，小球在A點沒有脫離軌道，則小球對圓軌道的壓力不為零，由牛頓第二定律有解得故A錯誤；
B．根據題意可知，小球在B點脫離軌道，則小球對圓軌道的壓力為零，只受重力作用，設此時小球與圓心的連線與豎直方向的夾角為，由牛頓第二定律有解得故B錯誤；
C．根據題意可知，小球在B點脫離軌道，則小球對圓軌道的壓力為零，只受重力作用，小球的加速度為，即小球經過B點時速度變化率大小為，故C正確；
D．根據題意可知，小球在B點脫離軌道，速度方向為斜向下，只受重力作用，水平方向做勻速直線運動，小球落地時，水平方向速度不為零，則小球落在C點時的速度方向不可能豎直向下，故D錯誤。故選C。
6．汽車行駛中經常會經過一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看作圓弧的一部分，如圖所示的A、B、C處，其中B處的曲率半徑最大，A處的曲率半徑為，C處的曲率半徑為，重力加速度為g。若有一輛可視為質點、質量為m的小汽車與路面之間各處的動摩擦因數均為，當該車以恒定的速率v沿這段凹凸路面行駛時，下列說法正確的是（　　）
A．汽車經過A處時處于失重狀態，經過C處時處于超重狀態
B．汽車經過B處時最容易爆胎
C．為了保證行車不脫離路面，該車的行駛速度不得超過
D．汽車經過C處時所受的摩擦力大小為
【答案】AC
【詳解】A．小車經過A處時具有向下指向圓心的向心加速度，處于失重狀態，經過C處時具有向上指向圓心的向心加速度，處于超重狀態，A正確；
B．在B、C處受向下的重力mg、向上的彈力 ，由圓周運動有得車對軌道的壓力
故在B、C處處于超重，以同樣的速度行駛時，R越小，壓力越大，越容易爆胎，故在半徑較小的C處更容易爆胎，B錯誤；
D．在C處所受的滑動摩擦力，D錯誤；
C．要使車安全行駛，則不得離開地面，故經過A處時恰不離開地面有即安全行駛的速度不得超過，C正確。故選AC。
（2023湖南卷高考真題）如圖，固定在豎直面內的光滑軌道ABC由直線段AB和圓弧段BC組成，兩段相切于B點，AB段與水平面夾角為θ，BC段圓心為O，最高點為C、A與C的高度差等于圓弧軌道的直徑2R。小球從A點以初速度v0沖上軌道，能沿軌道運動恰好到達C點，下列說法正確的是（ ）

A．小球從B到C的過程中，對軌道的壓力逐漸增大
B．小球從A到C的過程中，重力的功率始終保持不變
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能從B點脫離軌道
【答案】AD
【詳解】A．由題知，小球能沿軌道運動恰好到達C點，則小球在C點的速度為vC = 0
則小球從C到B的過程中，有；聯立有FN= 3mgcosα－2mg
則從C到B的過程中α由0增大到θ，則cosα逐漸減小，故FN逐漸減小，而小球從B到C的過程中，對軌道的壓力逐漸增大，A正確；
B．由于A到B的過程中小球的速度逐漸減小，則A到B的過程中重力的功率為P = －mgvsinθ
則A到B的過程中小球重力的功率始終減小，則B錯誤；
C．從A到C的過程中有解得C錯誤；
D．小球在B點恰好脫離軌道有則則若小球初速度v0增大，小球在B點的速度有可能為，故小球有可能從B點脫離軌道，D正確。
故選AD。

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