資源簡介

親愛的同學加油，給自己實現夢想的機會。
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拋體運動
（模擬精練+真題演練）
1．（2023·四川眉山·校考模擬預測）投壺是從先秦延續至清末的中國傳統禮儀和宴飲游戲，《禮記傳》提到：“投壺，射之細也。宴飲有射以樂賓，以習容而講藝也。”如圖所示，甲、乙兩人在不同位置沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壺中時與水平面的夾角分別為α和β。已知兩支箭的質量相等，豎直方向下落高度也相等，忽略空氣阻力、箭長以及壺口大小等因素的影響，下列說法正確的是（　　）

A．甲、乙兩人所射箭的速度變化量之比為
B．甲、乙兩人所射箭落人壺口時的速度大小之比為
C．甲、乙兩人所射箭的初速度大小之比為
D．甲、乙兩人投射位置與壺口的水平距離之比為
2．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學校考模擬預測）如圖所示，在立方體的塑料盒內，其中AE邊豎直，質量為m的帶正電小球（可看作質點），第一次小球從A點以水平初速度沿AB方向拋出，小球在重力作用下運動恰好落在F點。M點為BC的中點，小球與塑料盒內壁的碰撞為彈性碰撞，落在底面不反彈。則下列說法正確的是（　　）

A．第二次將小球從A點沿AM方向，以的水平初速度拋出，撞上FG的中點
B．第二次將小球從A點沿AM方向，以水平初速度拋出，落在H點
C．若又在空間增加沿AD方向的勻強電場，第三次將小球從A點沿AB方向水平拋出，要使小球落在G點初速度為v0
D．若又在空間增加沿AD方向的勻強電場，第三次將小球從A點沿AB方向水平拋出，要使小球落在G點電場力大小為2mg
3．（2023·湖北·模擬預測）如圖所示，質量相等的小球A、B分別從2l和l的高度水平拋出后落地，上述過程中A、B的水平位移分別為l和2l。兩小球可視為質點，忽略空氣阻力，則（　　）

A．整個運動過程中A、B的位移相等
B．整個運動過程中A、B所受重力的沖量相等
C．A、B從拋出到落地的過程中重力的平均功率之比為2:1
D．A、B落地時重力的瞬時功率之比為
4．（2023·湖南郴州·郴州一中校聯考模擬預測）某游樂場有一打金蛋游戲，游戲示意圖如下。彈珠的發射速度方向與斜面垂直、大小可以通過按壓的力度來調整，若彈珠彈出后直接擊中B點的金蛋為三等獎；若與斜面碰撞一次再擊中金蛋為二等獎；若與斜面碰撞兩次再擊中金蛋為一等獎，已知斜面與水平方向夾角為45°，斜面AB長，彈珠與斜面碰撞瞬間彈珠在垂直于斜面方向上的速度反向、大小不變，沿斜面方向上的速度不變，取重力加速度，忽略空氣阻力影響，以下說法正確的是（　　）

A．若最終得到三等獎，則彈珠發射的初速度大小為5m/s
B．最終得到一、二、三等獎的彈珠從射出到擊中金蛋的時間之比為1：1：1
C．最終得到一、二、三等獎的彈珠從射出到擊中金蛋的時間之比為2：3：4
D．最終得到一、二、三等獎的彈珠的初速度之比為4：3：2
5．（2023·浙江·校聯考模擬預測）如圖甲所示為某農場安裝的一種自動澆水裝置，裝置可以簡化為如圖乙所示的模型。農田中央O點處裝有高度為h的豎直細水管，其上端安裝有長度為l的水平噴水嘴。水平噴水嘴可以繞軸轉動，角速度為，出水速度可調節，其調節范圍滿足，重力加速度大小為g，忽略空氣阻力。則下列說法正確的是（　　）

A．自動澆水裝置能灌溉到的農田離O點最近距離為2l
B．自動澆水裝置能灌溉到的農田離O點最遠距離為
C．自動澆水裝置能灌溉到的農田面積為
D．自動澆水裝置能灌溉到的農田面積為
6．（2021·河北張家口·張家口市宣化第一中學校考模擬預測）如圖所示，小球B在A球的正下方兩球相距h，將A球以速率v1沿水平向右拋出，同時將小球B以速率v2沿豎直向上拋出，不考慮兩球的大小及空氣阻力，則兩球在落地前球A與B之間的最短距離為（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·河北·模擬預測）在第24屆冬季奧林匹克運動會上，某運動員在準備跳臺滑雪比賽訓練時，從跳臺邊緣距離斜面頂端一定高度的O點以不同的速度水平滑出，一段時間后落到斜面上。如圖所示，忽略空氣阻力，下列說法正確的是（　　）

A．運動員在空中運動的時間相等
B．運動員在空中運動時間與滑出的速度成正比
C．運動員落到斜面上的速度大小與滑出的速度大小成正比
D．運動員在空中運動過程中速度變化量與運動時間成正比
8．（2023·江蘇·模擬預測）某人在河谷邊以一定初速度水平拋出一小石塊，拋出的小石塊可以落在拋出點左側的任何位置，其簡化模型如圖所示，下列說法正確的是（　　）
A．初速度越大，小石塊落地時間越長
B．初速度越大，小石塊落地時間越短
C．以不同的初速度水平拋出，小石塊落地速度與水平方向的夾角可能相同
D．初速度越大，小石塊落地速度與水平方向的夾角越小
9．（2023·湖北·模擬預測）如圖，小滑塊以初速度從傾角的固定光滑斜面底端A沿斜面向上滑動，同時從以初速度斜向上拋出一個小球，經滑塊滑到斜面頂端B，恰好被小球水平擊中。滑塊和小球均視為質點，空氣阻力忽略不計，已知，，。則下列說法正確的是（　　）
A．小滑塊的初速度
B．小球的初速度
C．小球從拋出到離斜面最遠處所經歷的時間為
D．斜面AB的長度為
10．（2023·廣東·一模）如圖所示，一平臺固定在豎直平面內，以平臺右邊緣O點為原點，沿平臺右側豎直向下為y軸正方向，沿水平向右為x軸正方向建立直角坐標系xOy。在該坐標系中，以坐標原點O為圓心，半徑為R的四分之一圓弧軌道豎直固定在平臺的右側。質量為m的小球從坐標原點O以初速度v0（大小未知）沿x軸正方向平拋。重力加速度大小為g，不計空氣阻力。小球從O點拋出后到落到圓弧軌道上的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．當初速度的大小為適當的值時，小球可能垂直落到圓弧軌道上
B．初速度越大，小球在空中運動的時間越長
C．初速度時，小球落到圓弧軌道上的動量最小
D．小球落到圓弧軌道上的最小動能為
11．（2023·浙江·模擬預測）如圖所示，豎直平面第一象限有一個接觸面，接觸面表面滿足，質量為的鋼球從圖中其坐標為處，以的初速度水平拋出，經過時，落在接觸面某處（不考慮反彈），下列說法正確的是（ ）
A．接觸表面拋物線方程表達式為
B．落在接觸面上時，鋼球與水平面的夾角為
C．落在接觸面上時，鋼球的動量大小為
D．假設該鋼球以的初速度從圖中原坐標處平拋，則不能落在接觸面上
12．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）小明是一名鉛球運動員，他根據自己的身高計算出每次投出鉛球的速度方向與水平面成θ可以使自己獲得更好的成績。在比賽中小華在O點進行兩次投擲鉛球的情況如圖所示，已知兩次投擲鉛球的速度方向與水平面均成θ角。圖中直線AB與直線CD垂直，不計空氣阻力，下列判斷正確的是（　　）

A．當投出鉛球的速度大小一定時，θ=45°時成績最好
B．小明同學兩次投擲鉛球的成績相同
C．小明同學兩次投擲鉛球時鉛球在最高點時速度方向相同
D．小明同學兩次投擲鉛球時鉛球在某一高度時速度方向與水平面的夾角相同
13．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考三模）如圖，將一小球從足夠長的斜面上的O點，以初速率沿與斜面垂直向上的方向拋出，第一次落到斜面上的P點（未畫出），O、P兩點間的距離用x表示，小球剛落到P點時的動能、速度方向與斜面的夾角、垂直斜面向下的分速度大小分別用、α、表示。不計一切阻力，若僅改變初速率，則能正確反映、tanα、x、隨或變化的圖象是（　　）

A． B．
C． D．
14．（2023·湖南·模擬預測）小蘭和小亮周末去爬山，在一個傾角為的山坡上玩拋石塊。如圖所示，小蘭爬上緊挨山坡底端的一棵樹，從樹上點朝著山坡水平拋出一個石塊甲，石塊甲正好垂直打在山坡中點；小亮在山坡頂端的點水平拋出一個石塊乙，石塊乙也落在點。已知山坡長度，重力加速度為，，不計空氣阻力，則下列說法正確的是（　　）

A．石塊甲的拋出點Q一定比A點高 B．石塊甲的初速度大小為
C．石塊甲、乙的運動時間之比為 D．若兩石塊同時拋出，則他們一定同時擊中P點
15．（2022春·陜西西安·高一長安一中期末）如圖，某學校的排球場長為18m，球網高度為2m。一同學站在離網3m線上（虛線所示）正對網豎直跳起，并在離地高2.5m處將球向正前方水平擊出。不計球飛行過程中受到的阻力，欲使球既不觸網又不出界，則擊球速度可能是（　　）。
A．10m/s B．9m/s C．16m/s D．18m/s
16．（2023·山東濰坊·統考一模）如圖所示，一光滑斜面體固定在水平面上，其矩形斜面abcd與水平面的夾角為θ，ab邊長為L。將質量為m的小球從斜面上的點a以某一速度沿斜面斜向上拋出，速度方向與ab夾角為α，小球運動到斜面的c點并沿dc方向飛出，一段時間后落地，已知重力加速度大小為g，不計空氣阻力，則（　　）
A．小球從a到c的運動時間為
B．小球從a到c重力勢能增加
C．小球觸地時速度大小為
D．小球觸地時重力的瞬時功率為
17．（2023·浙江·統考高考真題）鉛球被水平推出后的運動過程中，不計空氣阻力，下列關于鉛球在空中運動時的加速度大小a、速度大小v、動能Ek和機械能E隨運動時間t的變化關系中，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
18．（2022·廣東·高考真題）如圖所示，在豎直平面內，截面為三角形的小積木懸掛在離地足夠高處，一玩具槍的槍口與小積木上P點等高且相距為L。當玩具子彈以水平速度v從槍口向P點射出時，小積木恰好由靜止釋放，子彈從射出至擊中積木所用時間為t。不計空氣阻力。下列關于子彈的說法正確的是（　　）
A．將擊中P點，t大于 B．將擊中P點，t等于
C．將擊中P點上方，t大于 D．將擊中P點下方，t等于
19．（2022·河北·統考高考真題）如圖，廣場水平地面上同種盆栽緊密排列在以為圓心、和為半徑的同心圓上，圓心處裝有豎直細水管，其上端水平噴水嘴的高度、出水速度及轉動的角速度均可調節，以保障噴出的水全部落入相應的花盆中。依次給內圈和外圈上的盆栽澆水時，噴水嘴的高度、出水速度及轉動的角速度分別用、、和、、表示。花盆大小相同，半徑遠小于同心圓半徑，出水口截面積保持不變，忽略噴水嘴水平長度和空氣阻力。下列說法正確的是（　　）
A．若，則
B．若，則
C．若，，噴水嘴各轉動一周，則落入每個花盆的水量相同
D．若，噴水嘴各轉動一周且落入每個花盆的水量相同，則
拋體運動
（模擬精練+真題演練）
1．（2023·四川眉山·校考模擬預測）投壺是從先秦延續至清末的中國傳統禮儀和宴飲游戲，《禮記傳》提到：“投壺，射之細也。宴飲有射以樂賓，以習容而講藝也。”如圖所示，甲、乙兩人在不同位置沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壺中時與水平面的夾角分別為α和β。已知兩支箭的質量相等，豎直方向下落高度也相等，忽略空氣阻力、箭長以及壺口大小等因素的影響，下列說法正確的是（　　）

A．甲、乙兩人所射箭的速度變化量之比為
B．甲、乙兩人所射箭落人壺口時的速度大小之比為
C．甲、乙兩人所射箭的初速度大小之比為
D．甲、乙兩人投射位置與壺口的水平距離之比為
【答案】C
【詳解】A．箭做平拋運動，兩支箭豎直方向下落高度相等，則兩支箭在空中的運動時間相同，其速度變化量為所以甲、乙兩人所射箭的速度變化量之比為1:1，故A錯誤；
B．箭尖插入壺中時，有；所以故B錯誤；
C．根據幾何關系，有；所以故C正確；
D．因兩支箭在空中的運動時間相同，甲、乙兩人投射位置與壺口的水平距離之比等于初速度大小之比，即
故D錯誤。故選C。
2．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學校考模擬預測）如圖所示，在立方體的塑料盒內，其中AE邊豎直，質量為m的帶正電小球（可看作質點），第一次小球從A點以水平初速度沿AB方向拋出，小球在重力作用下運動恰好落在F點。M點為BC的中點，小球與塑料盒內壁的碰撞為彈性碰撞，落在底面不反彈。則下列說法正確的是（　　）

A．第二次將小球從A點沿AM方向，以的水平初速度拋出，撞上FG的中點
B．第二次將小球從A點沿AM方向，以水平初速度拋出，落在H點
C．若又在空間增加沿AD方向的勻強電場，第三次將小球從A點沿AB方向水平拋出，要使小球落在G點初速度為v0
D．若又在空間增加沿AD方向的勻強電場，第三次將小球從A點沿AB方向水平拋出，要使小球落在G點電場力大小為2mg
【答案】B
【詳解】AB.設立方體邊長為l，從A點沿AB方向平拋落在F點，豎直方向自由落體運動時間為水平方向勻速直線運動可知初速度為=從A點沿AM方向，以v0水平初速度拋出，經歷時間將與面BCGF碰撞，碰撞前后豎直向下的速度不變，平行與面BCGF的速度也不變，垂直面BCGF的速度反向，再經歷時間落到地面恰好打在H點，A錯誤，B正確；
C.加了沿AD方向的勻強電場，從A點沿AB方向水平拋出，不改變AB方向的勻速運動，也不改變豎直方向的自由落體運動，而平行AD方向上做勻加速直線運動，若要打到G點，則拋出的初速度不變，仍為，C錯誤；
D.AD方向上代入上述公式解得所以電場力為，D錯誤。故選B。
3．（2023·湖北·模擬預測）如圖所示，質量相等的小球A、B分別從2l和l的高度水平拋出后落地，上述過程中A、B的水平位移分別為l和2l。兩小球可視為質點，忽略空氣阻力，則（　　）

A．整個運動過程中A、B的位移相等
B．整個運動過程中A、B所受重力的沖量相等
C．A、B從拋出到落地的過程中重力的平均功率之比為2:1
D．A、B落地時重力的瞬時功率之比為
【答案】D
【詳解】A．由圖可知，AB兩小球整個過程中位移的大小相等，但方向不同，故A錯誤；
B．由平拋運動豎直方向的規律可知，A、B整個過程中運動時間之比為
由于兩球質量相等，由沖量的表達式可知整個運動過程中A、B所受重力的沖量之比為∶1，故B錯誤；
C．從拋出到落地的過程中A、B兩球重力的平均功率之比為故C錯誤；
D．A、B落地時重力的瞬時功率之比為故D正確。故選D。
4．（2023·湖南郴州·郴州一中校聯考模擬預測）某游樂場有一打金蛋游戲，游戲示意圖如下。彈珠的發射速度方向與斜面垂直、大小可以通過按壓的力度來調整，若彈珠彈出后直接擊中B點的金蛋為三等獎；若與斜面碰撞一次再擊中金蛋為二等獎；若與斜面碰撞兩次再擊中金蛋為一等獎，已知斜面與水平方向夾角為45°，斜面AB長，彈珠與斜面碰撞瞬間彈珠在垂直于斜面方向上的速度反向、大小不變，沿斜面方向上的速度不變，取重力加速度，忽略空氣阻力影響，以下說法正確的是（　　）

A．若最終得到三等獎，則彈珠發射的初速度大小為5m/s
B．最終得到一、二、三等獎的彈珠從射出到擊中金蛋的時間之比為1：1：1
C．最終得到一、二、三等獎的彈珠從射出到擊中金蛋的時間之比為2：3：4
D．最終得到一、二、三等獎的彈珠的初速度之比為4：3：2
【答案】B
【詳解】A．將重力加速度g沿斜面方向和垂直于斜面方向分解；；
彈珠沿斜面方向做初速度為0，加速度為的勻加速直線運動，在垂直于斜面方向上彈珠做類豎直上拋運動，若最終得到三等獎則有；解得，A錯誤；
BC．從發射出彈珠到擊中金蛋，沿斜面方向彈珠一直在做初速度為零，加速度為的勻加速直線運動，三種情況的位移一樣，所以三種情況運動的時間也相等，即，B正確，C錯誤；
D．因；；得，D錯誤。故選B。
5．（2023·浙江·校聯考模擬預測）如圖甲所示為某農場安裝的一種自動澆水裝置，裝置可以簡化為如圖乙所示的模型。農田中央O點處裝有高度為h的豎直細水管，其上端安裝有長度為l的水平噴水嘴。水平噴水嘴可以繞軸轉動，角速度為，出水速度可調節，其調節范圍滿足，重力加速度大小為g，忽略空氣阻力。則下列說法正確的是（　　）

A．自動澆水裝置能灌溉到的農田離O點最近距離為2l
B．自動澆水裝置能灌溉到的農田離O點最遠距離為
C．自動澆水裝置能灌溉到的農田面積為
D．自動澆水裝置能灌溉到的農田面積為
【答案】B
【詳解】AB．水中空中做平拋運動，豎直方向有解得水被噴出時，水平方向同時具有兩個速度，沿徑向向外的出水速度，垂直徑向方向的水平速度；則水平方向的兩個位移分別為
，其中的范圍滿足根據幾何關系可知，自動澆水裝置能灌溉到的農田離O點最近距離為自動澆水裝置能灌溉到的農田離O點最遠距離為故A錯誤，B正確；
CD．自動澆水裝置能灌溉到的農田面積為故CD錯誤。故選B。
6．（2021·河北張家口·張家口市宣化第一中學校考模擬預測）如圖所示，小球B在A球的正下方兩球相距h，將A球以速率v1沿水平向右拋出，同時將小球B以速率v2沿豎直向上拋出，不考慮兩球的大小及空氣阻力，則兩球在落地前球A與B之間的最短距離為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設經過時間t，A在豎直方向的距地面的高度為，A在水平方向的位移為x=v1t，B在水平方向的位移始終為0，在豎直方向做豎直上拋運動，距地面的高度為兩球在豎直方向的距離為y=hA﹣hB＝h﹣v2t兩球之間的距離為
根據數學知識可知當（二次函數求極值）時，s取得最小值。故選C。
7．（2023·河北·模擬預測）在第24屆冬季奧林匹克運動會上，某運動員在準備跳臺滑雪比賽訓練時，從跳臺邊緣距離斜面頂端一定高度的O點以不同的速度水平滑出，一段時間后落到斜面上。如圖所示，忽略空氣阻力，下列說法正確的是（　　）

A．運動員在空中運動的時間相等
B．運動員在空中運動時間與滑出的速度成正比
C．運動員落到斜面上的速度大小與滑出的速度大小成正比
D．運動員在空中運動過程中速度變化量與運動時間成正比
【答案】D
【詳解】AB．設運動員離開O點時速度為，在空中運動時間為t，跳臺邊緣距離斜面頂端的高度為h，落到斜面上時水平位移為x，豎直下落高度為y，斜坡的傾角為，由平拋運動規律可知運動員滑出速度越大，下落的高度越高，在空中運動時間越長，由推論可得可知運動時間與滑出速度不是正比關系，AB錯誤；
C．若高度，則落到斜面上豎直速度落到斜面上的速度
可以看出此時v與初速度成正比，若高度，則不滿足上述關系，C錯誤；
D．速度的變化為由于加速度恒定，運動員在空中運動過程中速度變化量與運動時間成正比，D正確。故選D。
8．（2023·江蘇·模擬預測）某人在河谷邊以一定初速度水平拋出一小石塊，拋出的小石塊可以落在拋出點左側的任何位置，其簡化模型如圖所示，下列說法正確的是（　　）
A．初速度越大，小石塊落地時間越長
B．初速度越大，小石塊落地時間越短
C．以不同的初速度水平拋出，小石塊落地速度與水平方向的夾角可能相同
D．初速度越大，小石塊落地速度與水平方向的夾角越小
【答案】C
【詳解】AB．落地時間長短與小石塊豎直方向位移有關，由于落點不確定，落地時間長短無法確定，故AB錯誤；
CD．根據平拋運動速度方向夾角和位移方法規律可知當小球落在拋出點所在斜面時，落地速度與水平方向的夾角相同，與水平初速度無關，故C正確，D錯誤。故選C。
9．（2023·湖北·模擬預測）如圖，小滑塊以初速度從傾角的固定光滑斜面底端A沿斜面向上滑動，同時從以初速度斜向上拋出一個小球，經滑塊滑到斜面頂端B，恰好被小球水平擊中。滑塊和小球均視為質點，空氣阻力忽略不計，已知，，。則下列說法正確的是（　　）
A．小滑塊的初速度
B．小球的初速度
C．小球從拋出到離斜面最遠處所經歷的時間為
D．斜面AB的長度為
【答案】C
【詳解】B．將小球的運動逆向看作是從B到A的平拋運動，則；根據幾何關系有
其中；小球的初速度為
故B錯誤；
C．當小球離斜面最遠時，速度方向平行于斜面，有解得則小球從離斜面最遠處到B點所用時間為所以小球從拋出到離斜面最遠處所經歷的時間為故C正確；
D．斜面AB的長度為故D錯誤；
A．小滑塊的加速度大小為根據運動學公式有解得故A錯誤。
故選C。
10．（2023·廣東·一模）如圖所示，一平臺固定在豎直平面內，以平臺右邊緣O點為原點，沿平臺右側豎直向下為y軸正方向，沿水平向右為x軸正方向建立直角坐標系xOy。在該坐標系中，以坐標原點O為圓心，半徑為R的四分之一圓弧軌道豎直固定在平臺的右側。質量為m的小球從坐標原點O以初速度v0（大小未知）沿x軸正方向平拋。重力加速度大小為g，不計空氣阻力。小球從O點拋出后到落到圓弧軌道上的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．當初速度的大小為適當的值時，小球可能垂直落到圓弧軌道上
B．初速度越大，小球在空中運動的時間越長
C．初速度時，小球落到圓弧軌道上的動量最小
D．小球落到圓弧軌道上的最小動能為
【答案】D
【詳解】A．若小球垂直打在圓軌道上，則速度方向的反向延長線應交于圓心；而于平拋運動的規律可知，速度方向的反向延長線應交于水平位移的中點，根據題意可知圓心和水平位移的中點不是同一位置，故A錯誤；
B．小球做平拋運動，在豎直方向上物體做自由落體運動，有解得可知h越大，小球在空中運動時間越長，由圖可知小球速度v0越小，下落的高度越高，飛行時間越長，故B錯誤；
CD．設落地點與O點的連線與水平方向的夾角為θ，小球做平拋運動Rcosθ=v0t；
由動能定理得解得由數學知識得：當
即，Ek取最小值根據可知動能最小時動量最小，此時
聯立以上可得故C錯誤，D正確。故選D。
11．（2023·浙江·模擬預測）如圖所示，豎直平面第一象限有一個接觸面，接觸面表面滿足，質量為的鋼球從圖中其坐標為處，以的初速度水平拋出，經過時，落在接觸面某處（不考慮反彈），下列說法正確的是（ ）
A．接觸表面拋物線方程表達式為
B．落在接觸面上時，鋼球與水平面的夾角為
C．落在接觸面上時，鋼球的動量大小為
D．假設該鋼球以的初速度從圖中原坐標處平拋，則不能落在接觸面上
【答案】D
【詳解】A．根據平拋運動規律、根據題目數據可知，接觸點的坐標為，因此拋物線方程為，A錯誤；
B．根據平拋運動的推論，平拋運動上某點的速度反向延長，交于該位置水平位移中點處，即
所以夾角不等于，B錯誤；
C．落在斜面上的速度大小為所以落在接觸面上時的動量大小為
C錯誤；
D．設物體速度為v時，恰好平拋后落在坐標原點，則根據平拋運動規律，解得
速度比這個速度還要小的物體，不可能落在接觸面上，D正確。故選D。
12．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）小明是一名鉛球運動員，他根據自己的身高計算出每次投出鉛球的速度方向與水平面成θ可以使自己獲得更好的成績。在比賽中小華在O點進行兩次投擲鉛球的情況如圖所示，已知兩次投擲鉛球的速度方向與水平面均成θ角。圖中直線AB與直線CD垂直，不計空氣阻力，下列判斷正確的是（　　）

A．當投出鉛球的速度大小一定時，θ=45°時成績最好
B．小明同學兩次投擲鉛球的成績相同
C．小明同學兩次投擲鉛球時鉛球在最高點時速度方向相同
D．小明同學兩次投擲鉛球時鉛球在某一高度時速度方向與水平面的夾角相同
【答案】D
【詳解】A．當投出鉛球的速度大小一定時，水平射程為豎直方向上有
h未確定時無法確定θ角多少時成績最好，故A錯誤；
B．小明同學兩次投擲鉛球的成績不相同，第2次落地點到圓心O的距離大一些，成績好一些，故B錯誤；
C．鉛球在最高點時速度方向均為水平方向速度，豎直速度均減為零，且速度方向為軌跡的切線方向，由圖可知，兩次投擲鉛球時鉛球在最高點時速度方向不相同，第1次沿OB方向，第2次沿OD方向，故C錯誤；
D．由斜拋運動的對稱性可知，當兩次投擲鉛球時鉛球到與投擲點相同高度時速度方向與水平面的夾角相同，故D正確。故選D。
13．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考三模）如圖，將一小球從足夠長的斜面上的O點，以初速率沿與斜面垂直向上的方向拋出，第一次落到斜面上的P點（未畫出），O、P兩點間的距離用x表示，小球剛落到P點時的動能、速度方向與斜面的夾角、垂直斜面向下的分速度大小分別用、α、表示。不計一切阻力，若僅改變初速率，則能正確反映、tanα、x、隨或變化的圖象是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】ABD
【詳解】A．將小球的運動沿斜面方向和垂直于斜面方向分解，可知小球剛落到P點垂直斜面向下的分速度大小故A正確；
B．沿斜面方向的加速度和垂直于斜面的加速度分別為，設小球落到斜面的時間為t，在垂直于斜面方向有沿斜面方向的速度為則速度方向與斜面的夾角的正切值為可知速度方向與斜面的夾角為定值，故B正確；
C．O、P兩點間的距離為則x與是正比例函數關系，故C錯誤；
D．小球剛落到P點時的動能為則與是正比例函數關系，故D正確；故選ABD。
14．（2023·湖南·模擬預測）小蘭和小亮周末去爬山，在一個傾角為的山坡上玩拋石塊。如圖所示，小蘭爬上緊挨山坡底端的一棵樹，從樹上點朝著山坡水平拋出一個石塊甲，石塊甲正好垂直打在山坡中點；小亮在山坡頂端的點水平拋出一個石塊乙，石塊乙也落在點。已知山坡長度，重力加速度為，，不計空氣阻力，則下列說法正確的是（　　）

A．石塊甲的拋出點Q一定比A點高 B．石塊甲的初速度大小為
C．石塊甲、乙的運動時間之比為 D．若兩石塊同時拋出，則他們一定同時擊中P點
【答案】BC
【詳解】AB．設小球甲拋出的初速度為，Q點相對于P點的豎直高度為H，則
小球甲落在P點時速度的豎直分量小球甲的水平位移，，
聯立各式可得，又A點高度為則Q點的高度為
則A點比Q點高，故A錯誤，B正確；
C．對于小球乙，有結合前面式子可得故C正確；
D．因為兩小球拋出時的高度不同，故不可能相遇，故D錯誤。故選BC。
15．（2022春·陜西西安·高一長安一中期末）如圖，某學校的排球場長為18m，球網高度為2m。一同學站在離網3m線上（虛線所示）正對網豎直跳起，并在離地高2.5m處將球向正前方水平擊出。不計球飛行過程中受到的阻力，欲使球既不觸網又不出界，則擊球速度可能是（　　）。
A．10m/s B．9m/s C．16m/s D．18m/s
【答案】AC
【詳解】設排球水平擊出時高度為H，球網高度為h，若排球恰好過網，則有
解得 則此時擊球速度為若排球恰好不出界，則有解得則此時擊球速度為則有擊球速度在范圍內，可使排球既不觸網又不出界，所以擊球速度可能是10m/s或16m/s，AC正確，BD錯誤。故選AC。
16．（2023·山東濰坊·統考一模）如圖所示，一光滑斜面體固定在水平面上，其矩形斜面abcd與水平面的夾角為θ，ab邊長為L。將質量為m的小球從斜面上的點a以某一速度沿斜面斜向上拋出，速度方向與ab夾角為α，小球運動到斜面的c點并沿dc方向飛出，一段時間后落地，已知重力加速度大小為g，不計空氣阻力，則（　　）
A．小球從a到c的運動時間為
B．小球從a到c重力勢能增加
C．小球觸地時速度大小為
D．小球觸地時重力的瞬時功率為
【答案】AC
【詳解】A．設小球從c點沿dc方向飛出的速度為，bc的變成為；小球從a到c的過程，根據逆向思維，可認為小球從從c到a做類平拋運動，沿cd方向有沿cb方向有，，
在a點時，有聯立解得，，，
故A正確；
B．小球從a到c重力勢能增加故B錯誤；
C．根據機械能守恒可知，小球觸地時速度大小等于小球在a點時的速度大小，則有
故C正確；
D．小球觸地時的豎直分速度為小球觸地時重力的瞬時功率為故D錯誤。故選AC。
17．（2023·浙江·統考高考真題）鉛球被水平推出后的運動過程中，不計空氣阻力，下列關于鉛球在空中運動時的加速度大小a、速度大小v、動能Ek和機械能E隨運動時間t的變化關系中，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】A．由于不計空氣阻力，鉛球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不隨時間改變，故A錯誤；
B．鉛球被水平推出后做平拋運動，豎直方向有則拋出后速度大小為
可知速度大小與時間不是一次函數關系，故B錯誤；
C．鉛球拋出后的動能可知動能與時間不是一次函數關系，故C錯誤；
D．鉛球水平拋出后由于忽略空氣阻力，所以拋出后鉛球機械能守恒，故D正確。故選D。
18．（2022·廣東·高考真題）如圖所示，在豎直平面內，截面為三角形的小積木懸掛在離地足夠高處，一玩具槍的槍口與小積木上P點等高且相距為L。當玩具子彈以水平速度v從槍口向P點射出時，小積木恰好由靜止釋放，子彈從射出至擊中積木所用時間為t。不計空氣阻力。下列關于子彈的說法正確的是（　　）
A．將擊中P點，t大于 B．將擊中P點，t等于
C．將擊中P點上方，t大于 D．將擊中P點下方，t等于
【答案】B
【詳解】由題意知槍口與P點等高，子彈和小積木在豎直方向上做自由落體運動，當子彈擊中積木時子彈和積木運動時間相同，根據可知下落高度相同，所以將擊中P點；又由于初始狀態子彈到P點的水平距離為L，子彈在水平方向上做勻速直線運動，故有故選B。
19．（2022·河北·統考高考真題）如圖，廣場水平地面上同種盆栽緊密排列在以為圓心、和為半徑的同心圓上，圓心處裝有豎直細水管，其上端水平噴水嘴的高度、出水速度及轉動的角速度均可調節，以保障噴出的水全部落入相應的花盆中。依次給內圈和外圈上的盆栽澆水時，噴水嘴的高度、出水速度及轉動的角速度分別用、、和、、表示。花盆大小相同，半徑遠小于同心圓半徑，出水口截面積保持不變，忽略噴水嘴水平長度和空氣阻力。下列說法正確的是（　　）
A．若，則
B．若，則
C．若，，噴水嘴各轉動一周，則落入每個花盆的水量相同
D．若，噴水嘴各轉動一周且落入每個花盆的水量相同，則
【答案】BD
【詳解】AB．根據平拋運動的規律； 解得可知若h1=h2，則 v1:v2 =R1:R2
若v1=v2，則選項A錯誤，B正確；
C．若，則噴水嘴各轉動一周的時間相同，因v1=v2，出水口的截面積相同，可知單位時間噴出水的質量相同，噴水嘴轉動一周噴出的水量相同，但因內圈上的花盆總數量較小，可知得到的水量較多，選項C錯誤；
D．設出水口橫截面積為S0，噴水速度為v，若，則噴水管轉動一周的時間相等，因h相等，則水落地的時間相等，則相等；在圓周上單位時間內單位長度的水量為相等，即一周中每個花盆中的水量相同，選項D正確。故選BD。親愛的同學加油，給自己實現夢想的機會。
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第17講 拋體運動
目錄
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復習目標
網絡構建
考點一 平拋運動的規律
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點1 平拋運動的基本規律
知識點2 平拋運動的兩個重要推論
【提升·必考題型歸納】
考向1 平拋運動基本規律的應用
考向2 平拋運動的兩個重要推論的應用
考點二 落點有約束條件的平拋運動
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點1 平拋運動與斜面相結合的規律
知識點2 平拋運動與圓面相結合的規律
知識點3 平拋運動與豎直面相結合的規律
【提升·必考題型歸納】
考向1 平拋運動與斜面相結合
考向2 平拋運動與圓面相結合
考向3 平拋運動與豎直面相結合
考點三 平拋運動的臨界問題
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點 平拋運動臨界問題的基本規律
【提升·必考題型歸納】
考向 平拋運動在球類問題中的臨界問題
考點四 類平拋運動和斜拋運動
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點1 類平拋運動的基本規律
知識點2 斜拋運動的基本規律
【提升·必考題型歸納】
考向1 類平拋運動
考向2 斜拋運動
真題感悟
掌握平拋運動的規律，能夠利用規律處理與平拋運動有關的各類問題。
掌握斜拋運動的規律并會應用。
考點要求 考題統計 考情分析
（1）平拋運動的規律 （2）斜拋運動的規律 2023年全國甲卷第1題 2023年6月浙江卷第3題 2023年湖南卷第2題 高考對拋體運動的考查較為頻繁，而且大多聯系實際生活，題目的形式較為多樣，有選擇題也有計算題，并且近幾年出現了三維空間的拋體運動考題，對學生的空間建構能力要求很高。
考點一 平拋運動的規律
知識點1 平拋運動的基本規律
1．定義：以一定的初速度沿水平方向拋出的物體只在 作用下的運動。
2．性質：平拋運動是加速度為g的 曲線運動，其運動軌跡是 。
3．平拋運動的條件：(1)v0≠0，沿 ；(2)只受 作用。
4．研究方法：平拋運動可以分解為水平方向的 運動和豎直方向的 運動。
5．基本規律(如圖所示)
(1)速度關系
(2)位移關系
(3)軌跡方程：y＝x2。
6．四個基本規律
飛行時間 由t＝ 知，時間取決于下落高度h，與初速度v0無關
水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同決定，與其他因素無關
落地速度 v＝＝，落地速度也只與初速度v0和下落高度h有關
速度改變量 任意相等時間間隔Δt內的速度改變量Δv＝gΔt相同，方向恒為豎直向下，如圖所示
知識點2 平拋運動的兩個重要推論
1.做平拋(或類平拋)運動的物體在任意時刻任一位置處，設其速度方向與水平方向的夾角為α，位移方向與水平方向的夾角為θ，則 。
2.做平拋(或類平拋)運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，如圖中A點為OB的 。
考向1 平拋運動基本規律的應用
1．投壺是從先秦延續至清末的中國傳統禮儀和宴飲游戲，《禮記傳》中提到：“投壺，射之細也．宴飲有射以樂賓，以習容而講藝也．”如圖所示，甲、乙兩人沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壺中時與水平面的夾角分別為53°和37°；已知兩支箭質量相同，忽略空氣阻力、箭長，壺口大小等因素的影響，下列說法正確的是（，，，）（　　）
A．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，甲所投箭的初速度比乙的大
B．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，乙所投的箭在空中運動時間比甲的長
C．若箭在豎直方向下落的高度相等，則甲投壺位置距壺的水平距離比乙大
D．若箭在豎直方向下落的高度相等，則甲所射箭落入壺口時速度比乙小
2．如圖所示，剛性圓柱形容器，上端開口，容器內側高，內徑，現有一剛性小球（視為質點）從容器上端內邊緣沿直徑以的初速度水平拋出，小球恰好可以擊中容器底部中心位置。已知重力加速度，忽略空氣阻力，小球與容器內壁碰撞視為彈性碰撞，則小球的初速度可能是（　　）
A． B． C． D．
考向2 平拋運動的兩個重要推論的應用
3．如圖所示，為一半徑為R的圓弧，圓心位置O，一小球從與圓心等高的任意點沿半徑方向水平拋出，恰好垂直落在面上的Q點，且速度與水平方向夾角為，則小球拋出后的水平距離為（　　）
A． B． C． D．
4．跳臺滑雪是一項勇敢者的運動，某運動員從跳臺A處沿水平方向飛出，在斜面AB上的B處著陸，斜面AB與水平方向夾角為且足夠長，不計空氣阻力，下列說法正確的是（　　）

A．運動員在空中相同時間內的速度變化相同 B．運動員在斜面上的落點到A點的距離與初速度成正比
C．運動員落在B處的速度與水平方向夾角 D．運動員的質量越大，落點離A越遠
考點二 落點有約束條件的平拋運動
知識點1 平拋運動與斜面相結合的規律
1.與斜面相關的幾種的平拋運動
圖示 方法 基本規律 運動時間
分解速度，構建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 豎直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得 t＝
分解位移，構建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 豎直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝得 t＝
在運動起點同時分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得 t＝，d＝
分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝
2.與斜面相關平拋運動的處理方法
(1)分解速度
平拋運動可以分解為水平方向的 和豎直方向的 ,設平拋運動的初速度為v0,在空中運動時間為t,則平拋運動在水平方向的速度為vx=v0,在豎直方向的速度為vy=gt,合速度為v=,合速度與水平方向的夾角滿足 。
(2)分解位移
平拋運動在水平方向的位移為x=v0t,在豎直方向的位移為y=gt2,對拋出點的位移(合位移)為s=,合位移與水平方向夾角滿足tan φ=。
(3)分解加速度
平拋運動也不是一定要分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動,在有些問題中,過拋出點建立適當的直角坐標系,把重力加速度g正交分解為gx、gy,把初速度v0正交分解為vx、vy,然后分別在x、y方向列方程求解,可以簡化解題過程,化難為易。
知識點2 平拋運動與圓面相結合的規律
三種常見情景：
1.如圖甲所示，小球從半圓弧左邊沿平拋，落到半圓內的不同位置。由半徑和幾何關系制約時間t：h＝gt2，R±＝v0t，聯立兩方程可求t。
2.如圖乙所示，小球恰好沿B點的切線方向進入圓軌道，此時半徑OB垂直于速度方向，圓心角α與速度的偏向角相等。
3.如圖丙所示，小球恰好從圓柱體Q點沿切線飛過，此時半徑OQ垂直于速度方向，圓心角θ與速度的偏向角相等。
知識點3 平拋運動與豎直面相結合的規律
1.從同一點斜拋物體，能垂直打在同一豎直面的不同高度處，可用逆向思維法思考，認為物體在不同高度平拋均落在同一點。
2.無論是從同一點平拋，落在同一豎直面上的不同高度處，還是從同一點斜拋，垂直落在同一豎直面的不同高度處，因高度不同，則運動時間不同，又物體水平位移相同，故平拋的初速度不同。
考向1 平拋運動與斜面相結合
1．如圖所示，物體在傾角為θ、足夠長的斜面上做平拋運動，最終落在斜面上，從拋出到第一次落到斜面上的過程，下列說法正確的是（　　）
A．物體在空中運動的時間與初速度成正比
B．落到斜面上時，速度方向與水平面的夾角隨初速度的增大而增大
C．拋出點和落點之間的距離與初速度成正比
D．物體在空中運動過程中，離斜面的最遠距離與初速度成正比
2．如圖在同一豎直平面內將兩個完全相同的小球從不同的位置沿水平方向拋出，拋出點分別為A點和B點（圖中未畫出），初速度分別為和，并且，經過一段時間的運動后，兩個小球同時垂直落到斜面上的同一個位置O點，不計空氣阻力，則（ ）
A．AO連線與水平方向的夾角一定和BO連線與水平方向的夾角不相同
B．兩個小球落到斜面上時的動能可能相同
C．AO連線與水平方向的夾角一定與斜面的傾角相同
D．兩個小球的運動時間一定不同
考向2 平拋運動與圓面相結合
3．如圖示，半圓軌道固定在水平面上，一小球（小球可視為質點）從半圓軌道上B點沿切線斜向左上方拋出，到達半圓軌道左端A點正上方某處小球的速度剛好水平，O為半圓軌道圓心，半圓軌道半徑為R，OB與水平方向的夾角為，重力加速度為g，不計空氣阻力，則小球在A點正上方的水平速度為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，豎直平面內有一段圓弧MN，小球從圓心O處水平拋出。若初速度為va，將落在圓弧上的a點；若初速度為vb，將落在圓弧上的b點。已知Oa、Ob與豎直方向的夾角分別為α、β，不計空氣阻力,則(　　)
A．= B．= C．= D．=
考向3 平拋運動與豎直面相結
5．如圖所示，一演員表演飛刀絕技，由O點先后拋出完全相同的3把飛刀，分別依次垂直打在豎直木板M、N、P三點上。假設不考慮飛刀的轉動，并可將其視為質點，已知O、M、N、P四點距離水平地面高度分別為h、4h、3h、2h，以下說法正確的是（ ）
A．3把飛刀在擊中木板時速度相同
B．到達M、N、P三點的飛行時間之比為
C．3把飛刀從拋出至分別到達M、N、P三點的過程中，重力的平均功率之比為
D．設到達M、N、P三點的飛刀，初速度與水平方向夾角分別為、、，則有
6．如圖所示，某同學從O點對準前方的一塊豎直放置的擋板將小球水平拋出，O與A在同一高度，小球的水平初速度分別為、，不計空氣阻力，小球打在擋板上的位置分別是B、C，且AB=BC，則為（　　）
A．2∶1 B． C． D．
考點三 平拋運動的臨界問題
知識點 平拋運動臨界問題的基本規律
1．平拋運動中臨界問題的兩種常見情形
(1)物體的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；
(2)物體的速度方向恰好達到某一方向。
2．解題技巧：在題中找出有關臨界問題的關鍵字，如“恰好不出界”“剛好飛過壕溝”“速度方向恰好與斜面平行”“速度方向與圓周相切”等，然后利用平拋運動對應的位移規律或速度規律進行解題。
3.典型規律
擦網 壓線 既擦網又壓線
由得： 由得： 由和得：
考向 平拋運動在球類問題中的臨界問題
1．如圖所示，一網球運動員用球拍先后將兩只球從O點水平擊出，第一只球落在本方場地A處彈起來剛好擦網而過，落在對方場地B處。第二只球直接擦網而過，也落在B處。球與地面的碰撞是彈性碰撞，且空氣阻力不計。若O點離地面的高度為h，則網的高度為（　　）

A． B． C． D．
2．如圖所示為一乒乓球臺的縱截面，是臺面的兩個端點位置，是球網位置，D、E兩點滿足，且E、M、N在同一豎直線上。第一次在M點將球擊出，軌跡最高點恰好過球網最高點P，同時落到A點；第二次在N點將同一乒乓球水平擊出，軌跡同樣恰好過球網最高點P，同時落到D點。乒乓球可看做質點，不計空氣阻力作用，則兩次擊球位置到桌面的高度為（　　）

A． B． C． D．
考點四 類平拋運動和斜拋運動
知識點1 類平拋運動的基本規律
1.類平拋運動的受力特點:
物體所受的合外力為恒力,且與初速度的方向垂直。
2.類平拋運動的運動特點:
在初速度v0方向上做勻速直線運動,在合外力方向上做初速度為零的勻加速直線運動,加速度a=。
3.類平拋運動的求解方法:
(1)常規分解法:將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的勻加速直線運動。兩分運動彼此獨立,互不影響,且與合運動具有等時性。
(2)特殊分解法:對于有些問題,可以過拋出點建立適當的直角坐標系,將加速度a分解為ax、ay,初速度v0分解為vx、vy,然后分別在x、y方向列方程求解。
知識點2 斜拋運動的基本規律
處理方法 水平豎直正交分解 化曲為直 最高點一分為二變平拋運動 逆向處理 將初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解
基本規律 水平速度： 豎直速度： 最高點： 最高點：速度水平 垂直斜面： 沿著斜面： 最高點：
考向1 類平拋運動
1．如圖所示，一光滑寬闊的斜面，傾角為θ，高為h。現有一小球在A處以水平速度v0射出，最后從B處離開斜面，下面說法中正確的是（　　）
A．小球的運動軌跡為拋物線
B．小球的加速度為gsinθ
C．小球到達B點的時的速度為
D．小球到達B點時小球的水平位移為
2．如圖所示，在光滑的水平面內建立坐標，質量為m的小球以某一速度從O點出發后，受到一平行于y軸方向的恒力作用，恰好通過A點，已知小球通過A點的速度大小為，方向沿 x軸正方向，且連線與軸的夾角為30°。則（　　）
A．恒力的方向一定沿y軸負方向
B．恒力在這一過程中所做的功為
C．恒力在這一過程中的沖量大小為
D．小球從O點出發時的動能為
考向2 斜拋運動
1．在某次運動會上籃球項目比賽中某運動員大秀三分球，使運動場上的觀眾激情高漲。設籃球以與水平面成夾角斜向上拋出，籃球落入籃筐時速度方向與水平方向夾角為，且與互余（已知，）。若拋出時籃球離籃筐中心的水平距離為，不計空氣阻力，籃球可視為質點。則拋出時籃球與籃筐中心的高度差h為（　　）

A． B． C． D．
2．如圖所示，某場比賽中籃球運動員在三分線外離地面高度h＝2.3m，與籃筐中心的水平距離L＝6.8m的位置將籃球拋出。籃球離手時的速度與水平方向夾角為45°，并恰好無擦碰地進入籃筐。已知籃筐離地面高H＝3.05m，重力加速度，忽略空氣阻力的影響，下列說法正確的是（　　）
A．從離手到剛進入籃筐，籃球做的是勻變速曲線運動
B．離手1.1s后籃球進入籃筐
C．離手時，籃球的速度大小約為6.2m/s
D．從離手到剛進入籃筐，籃球速度的改變量的大小為10m/s
1．（2023年全國甲卷高考真題）一同學將鉛球水平推出，不計空氣阻力和轉動的影響，鉛球在平拋運動過程中（ ）
A．機械能一直增加 B．加速度保持不變 C．速度大小保持不變 D．被推出后瞬間動能最大
2．（2023年湖南卷高考真題）如圖（a），我國某些農村地區人們用手拋撒谷粒進行水稻播種。某次拋出的谷粒中有兩顆的運動軌跡如圖（b）所示，其軌跡在同一豎直平面內，拋出點均為，且軌跡交于點，拋出時谷粒1和谷粒2的初速度分別為和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空氣阻力，關于兩谷粒在空中的運動，下列說法正確的是（ ）

A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高點的速度小于
C．兩谷粒從到的運動時間相等 D．兩谷粒從到的平均速度相等
第17講 拋體運動
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復習目標
網絡構建
考點一 平拋運動的規律
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點1 平拋運動的基本規律
知識點2 平拋運動的兩個重要推論
【提升·必考題型歸納】
考向1 平拋運動基本規律的應用
考向2 平拋運動的兩個重要推論的應用
考點二 落點有約束條件的平拋運動
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點1 平拋運動與斜面相結合的規律
知識點2 平拋運動與圓面相結合的規律
知識點3 平拋運動與豎直面相結合的規律
【提升·必考題型歸納】
考向1 平拋運動與斜面相結合
考向2 平拋運動與圓面相結合
考向3 平拋運動與豎直面相結合
考點三 平拋運動的臨界問題
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點 平拋運動臨界問題的基本規律
【提升·必考題型歸納】
考向 平拋運動在球類問題中的臨界問題
考點四 類平拋運動和斜拋運動
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點1 類平拋運動的基本規律
知識點2 斜拋運動的基本規律
【提升·必考題型歸納】
考向1 類平拋運動
考向2 斜拋運動
真題感悟
掌握平拋運動的規律，能夠利用規律處理與平拋運動有關的各類問題。
掌握斜拋運動的規律并會應用。
考點要求 考題統計 考情分析
（1）平拋運動的規律 （2）斜拋運動的規律 2023年全國甲卷第1題 2023年6月浙江卷第3題 2023年湖南卷第2題 高考對拋體運動的考查較為頻繁，而且大多聯系實際生活，題目的形式較為多樣，有選擇題也有計算題，并且近幾年出現了三維空間的拋體運動考題，對學生的空間建構能力要求很高。
考點一 平拋運動的規律
知識點1 平拋運動的基本規律
1．定義：以一定的初速度沿水平方向拋出的物體只在重力作用下的運動。
2．性質：平拋運動是加速度為g的勻變速曲線運動，其運動軌跡是拋物線。
3．平拋運動的條件：(1)v0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用。
4．研究方法：平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動。
5．基本規律(如圖所示)
(1)速度關系
(2)位移關系
(3)軌跡方程：y＝x2。
6．四個基本規律
飛行時間 由t＝ 知，時間取決于下落高度h，與初速度v0無關
水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同決定，與其他因素無關
落地速度 v＝＝，落地速度也只與初速度v0和下落高度h有關
速度改變量 任意相等時間間隔Δt內的速度改變量Δv＝gΔt相同，方向恒為豎直向下，如圖所示
知識點2 平拋運動的兩個重要推論
1.做平拋(或類平拋)運動的物體在任意時刻任一位置處，設其速度方向與水平方向的夾角為α，位移方向與水平方向的夾角為θ，則tan α＝2tan θ。
2.做平拋(或類平拋)運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，如圖中A點為OB的中點。
考向1 平拋運動基本規律的應用
1．投壺是從先秦延續至清末的中國傳統禮儀和宴飲游戲，《禮記傳》中提到：“投壺，射之細也．宴飲有射以樂賓，以習容而講藝也．”如圖所示，甲、乙兩人沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壺中時與水平面的夾角分別為53°和37°；已知兩支箭質量相同，忽略空氣阻力、箭長，壺口大小等因素的影響，下列說法正確的是（，，，）（　　）
A．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，甲所投箭的初速度比乙的大
B．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，乙所投的箭在空中運動時間比甲的長
C．若箭在豎直方向下落的高度相等，則甲投壺位置距壺的水平距離比乙大
D．若箭在豎直方向下落的高度相等，則甲所射箭落入壺口時速度比乙小
【答案】D
【詳解】根據題意，設位移與水平方向的夾角為，速度與水平方向的夾角為，由平拋運動規律有
AB．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，則有由可得可知，甲所投的箭在空中運動時間長，由可知，甲所投箭的初速度較小，故AB錯誤；
CD．若箭在豎直方向下落的高度相等，則箭在空中運動時間相等，且有則甲所投箭的初速度較小，由可知，甲、乙所射箭落入壺口時豎直速度相等，則由可得，甲所射箭落入壺口時速度比乙小，故C錯誤，D正確。故選D。
2．如圖所示，剛性圓柱形容器，上端開口，容器內側高，內徑，現有一剛性小球（視為質點）從容器上端內邊緣沿直徑以的初速度水平拋出，小球恰好可以擊中容器底部中心位置。已知重力加速度，忽略空氣阻力，小球與容器內壁碰撞視為彈性碰撞，則小球的初速度可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】根據平拋運動的分析可知，豎直方向有解得而根據題意，水平方向有
（）解得因此的可能值為、、、、、故選B。
考向2 平拋運動的兩個重要推論的應用
3．如圖所示，為一半徑為R的圓弧，圓心位置O，一小球從與圓心等高的任意點沿半徑方向水平拋出，恰好垂直落在面上的Q點，且速度與水平方向夾角為，則小球拋出后的水平距離為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
如圖所示，小球恰好垂直落在面上的Q點，作速度的反向延長線，交于O點，由平拋運動的推論可知，速度反向延長線交水平位移的中點，故滿足結合圓的幾何關系可得聯立可解得，D正確。故選D。
4．跳臺滑雪是一項勇敢者的運動，某運動員從跳臺A處沿水平方向飛出，在斜面AB上的B處著陸，斜面AB與水平方向夾角為且足夠長，不計空氣阻力，下列說法正確的是（　　）

A．運動員在空中相同時間內的速度變化相同 B．運動員在斜面上的落點到A點的距離與初速度成正比
C．運動員落在B處的速度與水平方向夾角 D．運動員的質量越大，落點離A越遠
【答案】A
【詳解】A．運動員在空中只受重力，加速度恒定，單位時間內速度變化相同，A正確；
B．落點到A的距離利用平拋規律；；；得；
所以運動員在斜面上的落點到A點的距離與初速度的平方成正比，故B錯誤；
C．速度與水平方向夾角的正切值是，C錯誤；
D．落點與質量無關，D錯誤。故選A。
考點二 落點有約束條件的平拋運動
知識點1 平拋運動與斜面相結合的規律
1.與斜面相關的幾種的平拋運動
圖示 方法 基本規律 運動時間
分解速度，構建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 豎直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得 t＝
分解位移，構建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 豎直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝得 t＝
在運動起點同時分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得 t＝，d＝
分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝
2.與斜面相關平拋運動的處理方法
(1)分解速度
平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動,設平拋運動的初速度為v0,在空中運動時間為t,則平拋運動在水平方向的速度為vx=v0,在豎直方向的速度為vy=gt,合速度為v=,合速度與水平方向的夾角滿足tan θ=。
(2)分解位移
平拋運動在水平方向的位移為x=v0t,在豎直方向的位移為y=gt2,對拋出點的位移(合位移)為s=,合位移與水平方向夾角滿足tan φ=。
(3)分解加速度
平拋運動也不是一定要分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動,在有些問題中,過拋出點建立適當的直角坐標系,把重力加速度g正交分解為gx、gy,把初速度v0正交分解為vx、vy,然后分別在x、y方向列方程求解,可以簡化解題過程,化難為易。
知識點2 平拋運動與圓面相結合的規律
三種常見情景：
1.如圖甲所示，小球從半圓弧左邊沿平拋，落到半圓內的不同位置。由半徑和幾何關系制約時間t：h＝gt2，R±＝v0t，聯立兩方程可求t。
2.如圖乙所示，小球恰好沿B點的切線方向進入圓軌道，此時半徑OB垂直于速度方向，圓心角α與速度的偏向角相等。
3.如圖丙所示，小球恰好從圓柱體Q點沿切線飛過，此時半徑OQ垂直于速度方向，圓心角θ與速度的偏向角相等。
知識點3 平拋運動與豎直面相結合的規律
1.從同一點斜拋物體，能垂直打在同一豎直面的不同高度處，可用逆向思維法思考，認為物體在不同高度平拋均落在同一點。
2.無論是從同一點平拋，落在同一豎直面上的不同高度處，還是從同一點斜拋，垂直落在同一豎直面的不同高度處，因高度不同，則運動時間不同，又物體水平位移相同，故平拋的初速度不同。
考向1 平拋運動與斜面相結合
1．如圖所示，物體在傾角為θ、足夠長的斜面上做平拋運動，最終落在斜面上，從拋出到第一次落到斜面上的過程，下列說法正確的是（　　）
A．物體在空中運動的時間與初速度成正比
B．落到斜面上時，速度方向與水平面的夾角隨初速度的增大而增大
C．拋出點和落點之間的距離與初速度成正比
D．物體在空中運動過程中，離斜面的最遠距離與初速度成正比
【答案】A
【詳解】A．依題意，初速度不同的小球均落在斜面上，則具有共同的位移偏向角，根據平拋運動規律有
得物體在空中運動的時間與初速度成正比，A正確；
B．落到斜面上時，速度與水平方向夾角滿足則落到斜面上時速度方向與斜面夾角與初速度無關，B錯誤；
C．拋出點與落點間距離，拋出點和落點之間的距離與初速度的平方成正比，C錯誤；
D．當小球在運動過程中速度方向與斜面平行時，小球離斜面的距離最大，把小球初速度及重力加速度分解在平行斜面與垂直斜面方向上，可得小球離斜面的最大距離為則物體在空中運動過程中，離斜面的最遠距離與初速度的平方成正比，D錯誤。故選A。
2．如圖在同一豎直平面內將兩個完全相同的小球從不同的位置沿水平方向拋出，拋出點分別為A點和B點（圖中未畫出），初速度分別為和，并且，經過一段時間的運動后，兩個小球同時垂直落到斜面上的同一個位置O點，不計空氣阻力，則（ ）
A．AO連線與水平方向的夾角一定和BO連線與水平方向的夾角不相同
B．兩個小球落到斜面上時的動能可能相同
C．AO連線與水平方向的夾角一定與斜面的傾角相同
D．兩個小球的運動時間一定不同
【答案】D
【詳解】A．兩小球垂直落入斜面，速度的偏轉角相同，由平拋運動的規律可知，速度偏轉角的正切值是位移偏轉角的正切值的兩倍，所以AO連線與水平方向的夾角一定和BO連線與水平方向的夾角相同，A錯誤；
BD．當小球落到斜面上時，將小球的速度進行分解，由幾何關系可得由平拋運動的規律
解得由題目可知所以；小球的末動能所以故B錯誤，D正確；
C．設AO連線與水平方向的夾角為，由平拋運動的規律聯立求解可得故C錯誤。故選D。
考向2 平拋運動與圓面相結合
3．如圖示，半圓軌道固定在水平面上，一小球（小球可視為質點）從半圓軌道上B點沿切線斜向左上方拋出，到達半圓軌道左端A點正上方某處小球的速度剛好水平，O為半圓軌道圓心，半圓軌道半徑為R，OB與水平方向的夾角為，重力加速度為g，不計空氣阻力，則小球在A點正上方的水平速度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】小球雖說是做斜拋運動，由于到達半圓軌道左端A點正上方某處小球的速度剛好水平，所以逆向看是小球從一半圓軌道左端A點正上方某處開始做平拋運動，運動過程中恰好與半圓軌道相切于B點，這樣就可以用平拋運動規律求解。因小球運動過程中恰好與半圓軌道相切于B點，則速度與水平方向的夾角為，設位移與水平方向的夾角為，則因為則豎直位移
而所以解得故選A。
4．如圖，豎直平面內有一段圓弧MN，小球從圓心O處水平拋出。若初速度為va，將落在圓弧上的a點；若初速度為vb，將落在圓弧上的b點。已知Oa、Ob與豎直方向的夾角分別為α、β，不計空氣阻力,則(　　)
A．= B．= C．= D．=
【答案】D
【詳解】小球水平拋出，其做平拋運動,由平拋運動規律求解。若落到a點，則有；；
；得若落到b點，則有；；；
得則故選D。
考向3 平拋運動與豎直面相結
5．如圖所示，一演員表演飛刀絕技，由O點先后拋出完全相同的3把飛刀，分別依次垂直打在豎直木板M、N、P三點上。假設不考慮飛刀的轉動，并可將其視為質點，已知O、M、N、P四點距離水平地面高度分別為h、4h、3h、2h，以下說法正確的是（ ）
A．3把飛刀在擊中木板時速度相同
B．到達M、N、P三點的飛行時間之比為
C．3把飛刀從拋出至分別到達M、N、P三點的過程中，重力的平均功率之比為
D．設到達M、N、P三點的飛刀，初速度與水平方向夾角分別為、、，則有
【答案】C
【詳解】A．將飛刀的運動逆過來看成是一種平拋運動，三把刀在擊中板時的速度大小即為平拋運動的初速度大小，運動時間為初速度為由圖看出，三把刀飛行的高度不同，運動時間不同，水平位移大小相等，所以平拋運動的初速度大小不等，即打在木板上的速度大小不等，故A錯誤；
B．豎直方向上逆過來看做自由落體運動，運動時間為則得三次飛行時間之比為
故B錯誤；
C．根據，3把飛刀從拋出至分別到達M、N、P三點的過程中，重力之比為，根據結合B選項可知重力的平均功率之比為，故C錯誤；
D．設任一飛刀拋出的初速度與水平方向夾角分別為θ，則則得但故D錯誤。故選C。
6．如圖所示，某同學從O點對準前方的一塊豎直放置的擋板將小球水平拋出，O與A在同一高度，小球的水平初速度分別為、，不計空氣阻力，小球打在擋板上的位置分別是B、C，且AB=BC，則為（　　）
A．2∶1 B． C． D．
【答案】B
【詳解】不計空氣阻力，小球在空中做平拋運動，由平拋運動規律，聯立得
所以又因為所以故選B。
考點三 平拋運動的臨界問題
知識點 平拋運動臨界問題的基本規律
1．平拋運動中臨界問題的兩種常見情形
(1)物體的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；
(2)物體的速度方向恰好達到某一方向。
2．解題技巧：在題中找出有關臨界問題的關鍵字，如“恰好不出界”“剛好飛過壕溝”“速度方向恰好與斜面平行”“速度方向與圓周相切”等，然后利用平拋運動對應的位移規律或速度規律進行解題。
3.典型規律
擦網 壓線 既擦網又壓線
由得： 由得： 由和得：
考向 平拋運動在球類問題中的臨界問題
1．如圖所示，一網球運動員用球拍先后將兩只球從O點水平擊出，第一只球落在本方場地A處彈起來剛好擦網而過，落在對方場地B處。第二只球直接擦網而過，也落在B處。球與地面的碰撞是彈性碰撞，且空氣阻力不計。若O點離地面的高度為h，則網的高度為（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】根據題意，設網的高度為，到網的距離為，點與點間的水平距離為，由于球與地面的碰撞是彈性碰撞，則由對稱性可知由平拋運動規律有；解得
設第一次的初速度為，小球從有從點彈起后，由網頂到最高點可得設第二次的初速度為，從可得從點到網頂有聯立解得，故選B。
2．如圖所示為一乒乓球臺的縱截面，是臺面的兩個端點位置，是球網位置，D、E兩點滿足，且E、M、N在同一豎直線上。第一次在M點將球擊出，軌跡最高點恰好過球網最高點P，同時落到A點；第二次在N點將同一乒乓球水平擊出，軌跡同樣恰好過球網最高點P，同時落到D點。乒乓球可看做質點，不計空氣阻力作用，則兩次擊球位置到桌面的高度為（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設高為H，M點距離臺面的高度為，N點距離臺面的高度為，取M關于的對稱點Q，由幾何關系可知，Q的高度與M的高度相等，且Q點位于D點上方．只看第一次從P點到A的平拋過程，可知P到Q的水平距離為P到A的水平距離的，則有P到Q的時間為P到A時間的，根據
可知，P到Q的豎直運動的距離為P到A的，所以有解得
同理，對第二次平拋運動有解得可得故選C。
考點四 類平拋運動和斜拋運動
知識點1 類平拋運動的基本規律
1.類平拋運動的受力特點:
物體所受的合外力為恒力,且與初速度的方向垂直。
2.類平拋運動的運動特點:
在初速度v0方向上做勻速直線運動,在合外力方向上做初速度為零的勻加速直線運動,加速度a=。
3.類平拋運動的求解方法:
(1)常規分解法:將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的勻加速直線運動。兩分運動彼此獨立,互不影響,且與合運動具有等時性。
(2)特殊分解法:對于有些問題,可以過拋出點建立適當的直角坐標系,將加速度a分解為ax、ay,初速度v0分解為vx、vy,然后分別在x、y方向列方程求解。
知識點2 斜拋運動的基本規律
處理方法 水平豎直正交分解 化曲為直 最高點一分為二變平拋運動 逆向處理 將初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解
基本規律 水平速度： 豎直速度： 最高點： 最高點：速度水平 垂直斜面： 沿著斜面： 最高點：
考向1 類平拋運動
1．如圖所示，一光滑寬闊的斜面，傾角為θ，高為h。現有一小球在A處以水平速度v0射出，最后從B處離開斜面，下面說法中正確的是（　　）
A．小球的運動軌跡為拋物線
B．小球的加速度為gsinθ
C．小球到達B點的時的速度為
D．小球到達B點時小球的水平位移為
【答案】ABD
【詳解】A．小球受重力和支持力兩個力作用，合力沿斜面向下，與初速度垂直，做類平拋運動，軌跡為拋物線。故A正確；
B．根據牛頓第二定律知，小球的加速度故B正確；
C．根據機械能守恒定律，則有解得故C錯誤；
D．小球在沿斜面方向上的位移為，根據解得在水平方向上做勻速直線運動
故D正確。故選ABD。
2．如圖所示，在光滑的水平面內建立坐標，質量為m的小球以某一速度從O點出發后，受到一平行于y軸方向的恒力作用，恰好通過A點，已知小球通過A點的速度大小為，方向沿 x軸正方向，且連線與軸的夾角為30°。則（　　）
A．恒力的方向一定沿y軸負方向
B．恒力在這一過程中所做的功為
C．恒力在這一過程中的沖量大小為
D．小球從O點出發時的動能為
【答案】AD
【詳解】A．小球受到恒力作用做勻變速曲線運動，利用逆向轉換方法，小球做類平拋運動。由此可判斷恒力方向一定沿y軸負方向，選項A正確；
BD．由幾何關系可得所以小球經過坐標原點時，沿y軸方向的分速度
沿x軸方向的速度仍為。小球從O點出發時的動能恒力在這一過程中所做的功為選項B錯誤，D正確；
C．恒力在這一過程中的沖量大小選項C錯誤。故選AD。
考向2 斜拋運動
1．在某次運動會上籃球項目比賽中某運動員大秀三分球，使運動場上的觀眾激情高漲。設籃球以與水平面成夾角斜向上拋出，籃球落入籃筐時速度方向與水平方向夾角為，且與互余（已知，）。若拋出時籃球離籃筐中心的水平距離為，不計空氣阻力，籃球可視為質點。則拋出時籃球與籃筐中心的高度差h為（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設初始速度為，落入籃筐時速度為，籃球做斜拋運動，水平方向速度不變，有
解得 籃球運動總時間為t，在豎直方向設豎直向上為正方向，籃球在水平方向做勻速直線運動，豎直方向做勻變速直線運動，有 解得 故選C。
2．如圖所示，某場比賽中籃球運動員在三分線外離地面高度h＝2.3m，與籃筐中心的水平距離L＝6.8m的位置將籃球拋出。籃球離手時的速度與水平方向夾角為45°，并恰好無擦碰地進入籃筐。已知籃筐離地面高H＝3.05m，重力加速度，忽略空氣阻力的影響，下列說法正確的是（　　）
A．從離手到剛進入籃筐，籃球做的是勻變速曲線運動
B．離手1.1s后籃球進入籃筐
C．離手時，籃球的速度大小約為6.2m/s
D．從離手到剛進入籃筐，籃球速度的改變量的大小為10m/s
【答案】AB
【詳解】A．從離手到剛進入籃筐，忽略空氣阻力的影響只受重力，又速度方向與重力方向不共線，所以籃球做勻變速曲線運動，故A正確；
BC．籃球做斜拋運動，軌跡如圖
設從離手到剛進入籃筐運動時間為，豎直方向先做豎直上拋運動，有水平方向做勻速直線運動，有聯立解得；故B正確，C錯誤；
D．從離手到剛進入籃筐，根據公式可知籃球速度的改變量的大小為
故D錯誤。故選AB。
1．（2023年全國甲卷高考真題）一同學將鉛球水平推出，不計空氣阻力和轉動的影響，鉛球在平拋運動過程中（ ）
A．機械能一直增加 B．加速度保持不變 C．速度大小保持不變 D．被推出后瞬間動能最大
【答案】B
【詳解】A．鉛球做平拋運動，僅受重力，故機械能守恒，A錯誤；
B．鉛球的加速度恒為重力加速度保持不變，B正確；
CD．鉛球做平拋運動，水平方向速度不變，豎直方向做勻加速直線運動，根據運動的合成可知鉛球速度變大，則動能越來越大，CD錯誤。
故選B。
2．（2023年湖南卷高考真題）如圖（a），我國某些農村地區人們用手拋撒谷粒進行水稻播種。某次拋出的谷粒中有兩顆的運動軌跡如圖（b）所示，其軌跡在同一豎直平面內，拋出點均為，且軌跡交于點，拋出時谷粒1和谷粒2的初速度分別為和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空氣阻力，關于兩谷粒在空中的運動，下列說法正確的是（ ）

A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高點的速度小于
C．兩谷粒從到的運動時間相等 D．兩谷粒從到的平均速度相等
【答案】B
【詳解】A．拋出的兩谷粒在空中均僅受重力作用，加速度均為重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A錯誤；
C．谷粒2做斜向上拋運動，谷粒1做平拋運動，均從O點運動到P點，故位移相同。在豎直方向上谷粒2做豎直上拋運動，谷粒1做自由落體運動，豎直方向上位移相同故谷粒2運動時間較長，C錯誤；
B．谷粒2做斜拋運動，水平方向上為勻速直線運動，故運動到最高點的速度即為水平方向上的分速度。與谷粒1比較水平位移相同，但運動時間較長，故谷粒2水平方向上的速度較小即最高點的速度小于，B正確；
D．兩谷粒從O點運動到P點的位移相同，運動時間不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D錯誤。
故選B。

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