資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第5講 一次方程（組）及其應用
目 錄
一、考情分析
二、知識建構
考點一 等式的基本性質
題型01 利用等式的性質判斷變形正誤
題型02 利用等式的性質求解
考點二 一元一次方程
題型01 判斷一元一次方程
題型02 解一元一次方程
題型03 一元一次方程的特殊解題技巧
【類型一】分母含小數的一元一次方程
技巧1 巧化分母為1
技巧2 巧化同分母
技巧3 巧約分去分母
【類型二】分子、分母為整數的一元一次方程
技巧1 巧用拆分法
技巧2 巧用對消法
技巧3 巧通分
【類型三】含括號的一元一次方程
技巧1 利用倒數關系去括號
技巧2 整體合并去括號
技巧3 整體合并去分母
技巧4 由外向內去括號
技巧5 由內向外去括號
題型04 錯看或錯解一元一次方程問題
考點三 二元一次方程（組）
題型01 二元一次方程（組）的概念
題型02 解二元一次方程組
題型03 二元一次方程組特殊解法
類型一 引入參數法
類型二 特殊消元法-方程組中兩未知數系數
之差的絕對值相等
類型三 特殊消元法-方程組中兩未知數系數
之和的絕對值相等
考點要求 新課標要求 命題預測
等式的基本性質 理解等式的基本性質 一元一次方程與二元一次方程（組）在初中數學中因為未知數的最高次數都是一次，且都是整式方程,所以統稱為“一次方程”. 中考中，對于這兩個方程的解法及其應用一直都有考察，其中對于兩個方程的解法以及注意事項是必須掌握的，而在其應用上也是中考代數部分結合型較強的一類考點. 預計2024年各地中考還將繼續考查一次方程的解法和應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握．
一元一次方程 能解一元一次方程
二元一次方程（組） 掌握消元法，能解二元一次方程組 能解簡單的三元一次方程組[選學]
一次方程（組） 的應用 利用一次方程求解實際問題
考點一 等式的基本性質
題型01 利用等式的性質判斷變形正誤
【例1】（2022青海省中考）下列說法中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【分析】直接利用等式的基本性質以及結合絕對值的性質分析得出答案．
【解答】解：A、若ac=bc，當c≠0，則a=b，故此選項錯誤；
B、若，則，故此選項錯誤；
C、若，則，故此選項正確；
D、若，則，故此選項錯誤；
故選：C．
【考點】本題主要考查了等式的基本性質，正確把握等式的基本性質是解題關鍵．
【變式1-1】（2023·山西大同·校聯考模擬預測）下列等式變形正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【分析】根據等式的性質逐一判斷即可．
【解答】解：A、當時，由不能得到，變形錯誤，不符合題意；
B、當時，由不一定能得到，變形錯誤，不符合題意；
C、若，則或，變形錯誤，不符合題意；
D、由，可以得到，變形正確，符合題意；
故選D．
【考點】本題主要考查了等式的性質，熟知等式的性質是解題的關鍵：等式兩邊同時加上或減去一個數或式子等式仍然成立；等式兩邊同時乘以一個數或式子等式兩邊仍然成立，等式兩邊同時除以一個不為0的數或式子等式仍然成立．
【變式1-2】（2023滄州市二模）如果x＝y，那么根據等式的性質下列變形正確的是（ ）
A．x＋y＝0 B． C．x﹣2＝y﹣2 D．x＋7＝y﹣7
【答案】C
【分析】利用等式的基本性質逐一判斷各選項可得答案．
【解答】解：， 故錯誤；
， 故錯誤；
， 故正確；
， 故錯誤；故選：
【考點】本題考查的是等式的基本性質，掌握等式的基本性質是解題的關鍵．
題型02 利用等式的性質求解
【例2】（2023·河北唐山·一模）有三種不同質量的物體“■”“▲”“●”，其中同一種物體的質量都相等．下列四個天平中只有一個天平沒有處于平衡狀態，則該天平是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】設“■”的質量為x，“▲”的質量為y “●”的質量為m，列出等式，根據等式的性質計算判斷即可．
【解答】設“■”的質量為x，“▲”的質量為y “●”的質量為m，
根據題意，得即，故A正確，不符合題意；
∴，故C正確，不符合題意；
故B不正確，符合題意；
∴，故D正確，不符合題意；
故選B．
【考點】本題考查了等式的性質，正確理解等式的性質是解題的關鍵．
【變式2-1】（2023·河北承德·校聯考模擬預測）能運用等式的性質說明如圖事實的是（　　）
A．如果，那么（a，b，c均不為0）
B．如果，那么（a，b，c均不為0）
C．如果，那么（a，b，c均不為0）
D．如果，那么（a，b，c均不為0）
【答案】A
【分析】根據等式的性質解答即可．
【解答】解：觀察圖形，是等式的兩邊都減去c（a，b，c均不為0），
利用等式性質1，得到，
即如果，那么（a，b，c均不為0）．
故選：A．
【考點】本題考查了等式的性質，掌握等式兩邊加或減去同一個數（或式子）結果仍得等式；等式兩邊乘同一個數或除以一個不為零的數，結果仍得等式是解題的關鍵．
【變式2-2】（2022·山東濱州·中考真題）在物理學中，導體中的電流Ⅰ跟導體兩端的電壓U，導體的電阻R之間有以下關系：去分母得，那么其變形的依據是（ ）
A．等式的性質1 B．等式的性質2
C．分式的基本性質 D．不等式的性質2
【答案】B
【分析】根據等式的性質2可得答案．
【解答】解：去分母得，其變形的依據是等式的性質2，
故選：B．
【考點】本題考查了等式的性質2：等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為零的數，等式仍然成立．
【變式2-3】（2023·河北滄州·校考模擬預測）已知，則的值是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據等式的性質進行計算即可．
【解答】解：將原式兩邊同時減去可得：，
即，
故選：C．
【考點】本題考查等式的基本性質，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
【變式2-4】（2023 衡水市中考模擬）若等式根據等式的性質變形得到，則滿足的條件是（ ）
A．相等 B．互為倒數 C．互為相反數 D．無法確定
【答案】C
【分析】根據等式的性質，兩邊都加上b，然后判斷即可得解．
【解答】解：m+a=n-b兩邊都加上b得，m+a+b=n，
∵等式可變形為m=n，
∴a+b=0，
∴a=-b．
故選：C．
【考點】本題主要考查了等式的基本性質，等式性質：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數或字母，等式仍成立．
考點二 一元一次方程
一元一次方程的概念：只含有一個未知數，且未知數的次數都是1，這樣的整式方程叫一元一次方程.
一元一次方程標準形式：ax+b=0（x為未知數，a、b是常數且a≠0）
解一元一次方程的基本步驟：
題型01 判斷一元一次方程
【例1】（2020·浙江·模擬預測）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】根據一元一次方程的定義逐個判斷即可
【解答】解：①不含未知數，故錯
②未知數的最高次數為2，故錯
③含一個未知數，次數為1，是等式且兩邊均為整式，故對
④左邊不是整式，故錯
⑤不是等式，故錯
⑥含一個未知數，次數為1，是等式且兩邊均為整式，故對
故選：B
【考點】本題考查了一元一次方程的定義，熟練掌握并理解一元一次方程的定義是解本題的關鍵
【變式1-1】（2021·貴州·一模）已知關于的方程是一元一次方程，則方程的解為（ ）
A．-2 B．2 C．-6 D．-1
【答案】D
【分析】利用一元一次方程的定義確定出k的值，進而求出k的值即可．
【解答】解：∵方程是關于x的一元一次方程，
∴ ，
解得：k=-2，方程為-4x=-2+6，
解得：x=-1，
故選：D．
【考點】此題考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解本題的關鍵．
【變式1-2】（2023 九江市一模）已知是關于的一元一次方程，則值為 ．
【答案】
【分析】由一元一次方程的定義可直接進行列式求解．
【解答】解：∵方程是關于的一元一次方程 ，
∴，
解得：；
故答案為．
【考點】本題主要考查一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關鍵．
【變式1-3】（2023武威市一模）若方程是關于x的一元一次方程，則 ．
【答案】2023
【分析】只含有一個未知數（元），并且未知數的指數是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是是常數且，據此求解即可．
【解答】解：∵是關于x的一元一次方程，
∴，，
解得：．
∴，
故答案為：．
【考點】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數，且未知數的指數是1，一次項系數不是0，這是這類題目考查的重點．
題型02 解一元一次方程
【例2】（2021·廣西桂林·中考真題）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
【答案】x =3．
【分析】先把方程化移項，合并同類項，系數化1法即可．
【解答】解：4 x﹣1＝2x+5，
移項得：4 x﹣2x＝5+1
合并同類項得：2 x=6，
∴系數化1得：x =3．
【考點】本題考查了一元一次方程的解法移項、合并同類項、系數化1．掌握解一元一次方程常用的方法要根據方程的特點靈活選用合適的方法
【變式2-1】（2023·內蒙古包頭·校考一模）若的值與互為相反數，則x的值為（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根據互為相反數的兩數之和為0，列出方程進行求解即可．
【解答】解：由題意，得：，
解得：；
故選A．
【考點】本題考查解一元一次方程．熟練掌握互為相反數的兩數之和為0，是解題的關鍵．
【變式2-2】（2023·河北秦皇島·一模）如果單項式與是同類項，那么關于x的方程的解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據同類項的定義得出，，，代入方程，解得即可．
【解答】單項式與是同類項，
，，
方程為，
解得，
故選：B．
【考點】本題考查同類項和解一元一次方程，所含字母相同并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項，解題的關鍵是熟知同類項的定義．
【變式2-3】（2019·山東濟南·中考真題）代數式與代數式的和為4，則 ．
【答案】﹣1.
【分析】根據題意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】根據題意得：，
去分母得：，
移項合并得：，
解得：，
故答案為﹣1.
【考點】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
【變式2-4】（2023 揚州市三模）規定一種新的運算：，求的解是 ．
【答案】
【分析】已知等式利用題中的新定義化簡，計算即可求出解．
【解答】解：根據題中的新定義化簡得：，
去分母得：，
去括號得：，
移項合并得：，
解得：．
故答案為：．
【考點】本題主要考查了解一元一次方程，以及有理數的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．
【變式2-5】（2023·四川成都·二模）若實數a，b，c滿足，且，則 ．
【答案】2
【分析】先根據等式的性質得：，，，再代入到等式中，得到關于k的一元一次方程，解這個方程即可．
【解答】解：由得：，，，
代入到等式中，得：
，
解得：．
故答案為：2．
【考點】本題考查了等式的基本性質、代入消元法及一元一次方程的解法，熟練掌握等式的基本性質是本題的關鍵．
【變式2-6】（2021·山東煙臺·中考真題）幻方歷史悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方．將數字1~9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對角線上的數字之和都是15，則a的值為 ．
【答案】2
【分析】設處第一行第一列、第三列第三行、對角線上的未知量，用三數之和為15就可以求出a．
【解答】解：如圖，把部分未知的格子設上相應的量
第一行第一列：6+b+8=15，得到b=1
第三列第三行：8+3+f=15，得到f=4
∵f=4
∵對角線上6+c+f=15
∴6+4+c=15，得到c=5
∵c=5
另外一條對角線上8+c+a=15
∴8+5+a=15，得到a=2
故答案為：2．
【考點】本題考查有理數的加法和一元一次方程的綜合題，找出式子之間的關系是解題的關鍵．
題型03 一元一次方程的特殊解題技巧
【類型一】分母含小數的一元一次方程
技巧1 巧化分母為1
【例3】解方程：
【解答】解：
．
【變式3-1】解方程：．
【解答】解：原方程可化為，
去分母，得 ，
去括號，得 ，
移項，得 ，
合并同類項，得 ，
系數化為1，得 ．
【考點】本題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的方法和步驟是解題關鍵．
技巧2 巧化同分母
【例4】解方程：．
【解答】解：
化為同分母，得，
去分母，得．
解得．
技巧3 巧約分去分母
【例5】解方程：
【解答】解：解：
．
【變式5-1】解方程：
【解答】解：，
整理，得 ，
去括號，得 ，
移項、合并同類項，得 ，
系數化為1，得 ；
【類型二】分子、分母為整數的一元一次方程
技巧1 巧用拆分法
【例6】解方程：
【解答】解：
將原式拆分為：- =-
解得．
【變式6-1】解方程：．
【答案】
【解答】解：
將原式拆分為： -- + =2-
解得．
【變式6-2】解方程：．
【解答】解：拆項，得；
整理得：，
解得：．
【變式6-3】解方程：．
解：，
，
，
，
，
，
．
技巧2 巧用對消法
【例7】解方程：．
技巧3 巧通分
【例8】解方程：．
【解答】解：方程兩邊分別通分后相加，得．
化簡，得．
解得．
【類型三】含括號的一元一次方程
技巧1 利用倒數關系去括號
【例9】解方程：
解：
．
【變式9-1】解方程：解方程
【解答】解：
去括號得：x﹣1﹣3﹣x＝2，
移項，合并同類項得：﹣x＝6，
系數化為1得：x＝﹣8．
技巧2 整體合并去括號
【例10】解方程：；
【解答】解：
移項，合并同類項得：
解得：；
【變式10-1】解方程：．
【解答】解：去括號，得：，
移項，得：
合并同類項，得：，
系數化為1，得：．
技巧3 整體合并去分母
【例11】解方程：．
【解答】解：移項，得
合并同類項，得
系數化為1，得：．
【變式11-1】解方程：．
【解答】解：移項，得
合并同類項，得
系數化為1，得：．
技巧4 由外向內去括號
【例12】解方程：解方程：．
【解答】解：
去中括號，得，
去小括號，得，
移項，得，
系數化為1，得．
技巧5 由內向外去括號
【例13】解方程：．
【解答】解：
去小括號，得
去中括號，得
移項，合并同類項，得
系數化為1，得．
【變式13-1】解方程：．
【解答】解：去括號得：
去括號得：
移項得：
合并同類項得：
解得：．
【考點】本題考查了解一元一次方程，熟記解一元一次方程的步驟，能正確的去括號，移項是解題的關鍵．
題型04 錯看或錯解一元一次方程問題
【例14】（2022·貴州黔西·中考真題）小明解方程的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得①
去括號，得②
移項，得③
合并同類項，得④
以上解題步驟中，開始出錯的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的一般步驟進行檢查，即可得出答案．
【解答】解：方程兩邊同乘6，得①
∴開始出錯的一步是①，
故選：A．
【考點】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟以及注意事項是解決問題的關鍵．
【變式14-1】（2023·浙江杭州·一模）以下是圓圓解方程的解答過程．
解：兩邊同乘以3，得，
移項，合并同類項，得，
兩邊同除以2，得，
圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．
【答案】圓圓的解答過程有錯誤，方程的解為．
【分析】由去分母后沒有及時添加括號；可得圓圓的解答過程有錯誤，再去分母正確的解方程即可．
【解答】解：圓圓的解答過程有錯誤，去分母后沒有及時添加括號；
正解：
兩邊同乘以3，得，
∴，
移項，合并同類項，得，
兩邊同除以2，得．
【考點】本題考查的是一元一次方程的解法，熟練的掌握一元一次方程的解法與步驟是解本題的關鍵．
【變式14-2】（2023·湖南長沙·校考二模）下面是小穎同學解一元一次方程的過程，請認真閱讀并解答問題．
解方程： 解：去分母，得……第一步 去括號，得……第二步 移項，得……第三步 合并同類項，得，……第四步 方程兩邊同除以－1，得．……第五步
(1)以上求解過程中，第三步的依據是_________．
A．等式的基本性質 B．不等式的基本性質 C．分式的基本性質 D．乘法分配律
(2)從第_________步開始出現錯誤；
(3)該方程正確的解為____________
【答案】(1)A
(2)一
(3)
【分析】（1）根據移項的變形依據回答即可；
（2）根據去分母漏乘沒有分母的項回答即可；
（3）寫出正確的解題過程，即可得到答案．
【解答】（1）解：移項的依據是等式的基本性質，
故選：A
（2）從第一步開始出現錯誤，方程右邊的1沒有乘以6，
故答案為：一
（3）
解：去分母，得……第一步
去括號，得……第二步
移項，得……第三步
合并同類項，得，……第四步
方程兩邊同除以－1，得．……第五步
故答案為：
【考點】此題考查了一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵．
【變式14-3】（2022·浙江杭州·中考真題）計算：．圓圓在做作業時，發現題中有一個數字被墨水污染了．
(1)如果被污染的數字是，請計算．
(2)如果計算結果等于6，求被污染的數字．
【答案】(1)-9
(2)3
【分析】（1）根據有理數混合運算法則計算即可；
（2）設被污染的數字為x，由題意，得，解方程即可；
【解答】（1）解： ；
（2）設被污染的數字為x，
由題意，得，解得，
所以被污染的數字是3．
【考點】本題主要考查有理數的混合運算、一元一次方程的應用，掌握相關運算法則和步驟是接替的關鍵．
【變式14-4】在做解方程練習時，有一個方程“yy+■”，題中■處不清晰，李明問老師，老師只是說：“■是一個有理數，該方程的解與當x＝2時整式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4的值相同．”依據老師的分析，請你幫李明找到“■”這個有理數，并求出方程的解．
【答案】“■”這個有理數為，方程的解為：y＝1
【分析】利用“該方程的解與當x＝2時整式5（x 1） 2（x 2） 4的值相同”求出方程的解；再將方程的解代入yy+■中求得■．
【解答】解：當x＝2時，整式5（x 1） 2（x 2） 4＝5×（2 1） 2×（2 2） 4＝1．
∵方程的解與當x＝2時整式5（x 1） 2（x 2） 4的值相同，
∴方程的解為：y＝1．
當y＝1時，yy+■．
∴1+■
解得：■＝．
答：“■”這個有理數為，方程的解為：y＝1．
【考點】本題主要考查了一元一次方程的解，求代數式的值．利用方程的解的意義，將方程的解去替換未知數的值是解題的關鍵．
考點三 二元一次方程（組）
題型01 二元一次方程（組）的概念
【例1】（2023·江蘇無錫·中考真題）下列4組數中，不是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將選項中的的值分別代入方程的左邊，進而即可求解．
【解答】解：A、當時，，則是二元一次方程的解，不合題意；
B、當時，，則是二元一次方程的解 ，不合題意；
C、 當時，，則是二元一次方程的解，不合題意；
D、當時，，則不是二元一次方程的解，符合題意；
故選：D．
【考點】本題考查了二元一次方程的解的定義，熟練掌握二元一次方程的解的定義是解題的關鍵．
【變式1-1】（2023·江蘇無錫·校聯考一模）若二元一次方程組的解為，則 ．
【答案】
【分析】把、的值代入方程組，再將兩式相加即可求出的值．
【解答】解：將代入方程組，
得：，
得：，
，
故答案為：．
【考點】本題考查二元一次方程組的解，解題的關鍵是觀察兩方程的系數，從而求出的值．
【變式1-2】（2023 蚌埠市二模）若方程是關于x，y的二元一次方程，則m的值為 ．
【答案】1
【分析】根據二元一次方程的定義求解，只需要令x，y的次數為1，并且系數不為零，即可求出m的值．
【解答】∵是關于x，y的二元一次方程，
∴可列式得，
解得．
故答案為1．
【考點】此題主要考查二元一次方程的定義，解題的關鍵是根據其定義列式求解．
題型02 解二元一次方程組
【例2】（2023·江蘇連云港·中考真題）解方程組
【答案】
【分析】方程組運用加減消元法求解即可．
【解答】解：
①+②得，
解得，
將代入①得，
解得．
∴原方程組的解為
【考點】本題主要考查了解二元一次方程組，方法主要有：代入消元法和加減消元法．
【變式2-1】（2022·山東淄博·中考真題）解方程組：
【答案】
【分析】整理方程組得，繼而根據加減消元法解二元一次方程組即可求解．
【解答】解：整理方程組得，
得，y=1，
把y=1代入①得，解得x=5，
∴方程組的解為.
【考點】本題考查了解二元一次方程組，正確的計算是解題的關鍵．
題型03 二元一次方程組特殊解法
類型一 引入參數法
解題技巧：當方程組中出現x/a=y/b的形式時，常考慮先用參數分別表示出x，y的值，然后將x，y的值代入另一個方程求出參數的值，最后將參數的值回代就能求出方程組的解.
【例3】用代入法解方程組：
【答案】
【分析】采用先換元，再代入即可作答．
【解答】解：由①，得，
設，則，，
將，代入方程②，
得，
解這個方程得，
即，，
所以原方程組的解是
【考點】本題考查了利用換元法和代入法解二元一次方程組的知識，掌握換元法，準確換元，是解答本題的關鍵．
【變式3-1】用代入法解方程組：
【解答】解：由①，得，
設，則，，
將，代入方程②，
得，
解這個方程得，
即，，
所以原方程組的解是
類型二 特殊消元法-方程組中兩未知數系數之差的絕對值相等
解題技巧：觀察方程組1和2的系數特點，數值都比較大.如果用常規的代入法或加減法來解，不僅計算量大，而且容易出現計算錯誤.根據方程組中的兩個未知數的對應系數之差的絕對值相等，先化簡，再用代入法或加減法求解，更為簡便.
【例4】解方程組：．
【答案】
【分析】根據方程組中的兩個未知數的對應系數之差的絕對值相等，先化簡，再用代入法或加減法即可求解.
【解答】解：②①，得③，
由③，得④，
把④代入方程①，得，
解這個方程，得，
把代入方程③，得，
所以原方程組的解為．
【考點】本題主要考查數值較大的二元一次方程組的解法，找出方程組中對應數值的關系是解題的關鍵．
【變式4-1】閱讀下列解方程組的方法，然后解決問題．
解方程：
解：①-②，即③
③×16，得④
②-④，得．
把，代入③，得．解得．
所以原方程組的解為：
(1)請仿照上面的方法解方程組：；
(2)請猜想關于x，y的方程組的解，并利用方程組的解加以驗證
【答案】(1)
(2)，驗證見解析
【分析】（1）仿照題干的方法求解即可；
（2）根據題干和（1）中的結果直接猜測即可．
【解答】（1），
由①②，得，即③，
③，得④，
②④得，
把代入③，得
，
∴，
原方程組的解是．
（2）根據題干和（1）的結果，
猜測方程組的解是．
驗證：將代入方程，
左邊，
所以左邊=右邊．
將代入方程，
同理可得左邊=右邊，
∴此方程組的解是．
【考點】本題考查了解二元一次方程組：利用代入法或加減消元法把二元一次方程轉化為一元一次方程求解，理解題干的方法是解題的關鍵．
類型三 特殊消元法-方程組中兩未知數系數之和的絕對值相等
解題技巧：當兩式相加時，x和y的系數相等，化簡即可得到x+y=a;當兩式相減時，x和y的系數互為相反數，化簡即可得到-x+y=b.由此達到化簡方程組的目的.
【例5】解方程組：．
【解答】解：②①，化簡得③，
由③，得④，
把④代入方程①，得，
解這個方程，得，
把代入方程③，得，
所以原方程組的解為．
【考點】本題主要考查數值較大的二元一次方程組的解法，找出方程組中對應數值的關系是解題的關鍵．
【變式5-1】感悟思想：
有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：
已知實數x，y滿足①，②，求和的值．
思考：本題常規思路是將①②聯立成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數式得到答案，有的問題用常規思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值．
如①-②可得①+②×2可得．
這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．
體會思想：
(1)已知二元一次方程組，則______，______．
(2)解方程組：
(3)某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？
【答案】(1)-1，5
(2)
(3)30元
【分析】（1）把兩個方程相加可求，相減可求；
（2）把3個方程相加得，分別減三個方程可求解；
（3）設未知數列出方程組，用整體思想求解即可．
【解答】（1）解：
①+②得，解得，
①-②得，
故答案為：-1，5．
（2）解：，
①+②+③得，，即④，
④-①得，，
④-②得，，
④-③得，，
方程組的解為．
（3）解：設購買1支鉛筆a元，1塊橡皮b元，1本日記本c元,
根據題意列方程組得，．
①×2-②得，，則；
答：購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元．
【考點】本題考查了利用整體思想解方程組，解題關鍵是熟練利用整體思想，通過整體運算求解．
類型四 換元法
【例6】解方程組：．
【答案】．
【分析】設，，把原方程組轉化為二元一次方程組，求解后，再解分式方程即可．
【解答】解：設，，
則原方程組化為：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
即，解得：，
經檢驗是原方程組的解，
所以原方程組的解是．
【考點】本題考查了換元法解方程組，解題關鍵是抓住方程組的特征，巧妙換元，熟練的解二元一次方程組和分式方程，注意：分式方程要檢驗．
【變式6-1】閱讀材料：善于思考的李同學在解方程組時，采用了一種“整體換元”的解法．
解：把，成一個整體，設，，原方程組可化為
解得：．∴，∴原方程組的解為．
(1)若方程組的解是，則方程組的解是__________．
(2)仿照李同學的方法，用“整體換元”法解方程組．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意所給材料可得出，再解出這個方程組即可．
（2）根據題意所給材料可令，則原方程組可化為，解出m，n，代入，再解出關于x，y的方程組即可．
解得：，∴，解這個二元一次方程組即可．
【解答】（1）∵方程組的解是，
∴，
解得： ；
（2）對于，令，
則原方程組可化為，
解得：，
∴，
解得：．
【考點】本題考查二元一次方程組的特殊解法—“整體換元法”．讀懂題干，理解題意，掌握“整體換元法”的步驟是解題關鍵．
【變式6-2】數學方法：
解方程組：，若設，，則原方程組可化為，解方程組得，所以，解方程組得，我們把某個式子看成一個整體，用一個字母去替代它，這種解方程組的方法叫做換元法．
(1)直接填空：已知關于x，y的二元一次方程組，的解為，那么關于m、n的二元一次方程組的解為： ．
(2)知識遷移：請用這種方法解方程組．
(3)拓展應用：已知關于x，y的二元一次方程組的解為，
求關于x，y的方程組的解．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）設，，即可得，解方程組即可求解；
（2）設，，則原方程組可化為，解方程組即可求解；
（3）設，，則原方程組可化為，，根據的解為，可得，即有，則問題得解．
【解答】（1）設，，則原方程組可化為，
∵的解為，
∴，
解得，
故答案為：；
（2）設，，則原方程組可化為，
解得，
即有，
解得，
即：方程組的解為；
（3）設，，則原方程組可化為，
化簡，得，
∵關于x，y的二元一次方程組的解為，
∴，即有，
解得：，
故方程組的解為：．
【考點】本題考查了用換元法解二元一次方程組的知識，緊密結合題目給出的示例，合理換元是解答本題的關鍵．
類型五 同解交換法
解題技巧：先將兩個方程組中不含字母a、b的兩個方程聯立,求得方程組的解,然后由“方程組的解適合每一個方程”得到關于a、b 的二元一次方程組,進而確定a、b的值.
【例7】（2020·廣東·中考真題）已知關于，的方程組與的解相同．
（1）求，的值；
（2）若一個三角形的一條邊的長為，另外兩條邊的長是關于的方程的解．試判斷該三角形的形狀，并說明理由．
【答案】（1）； （2）等腰直角三角形，理由見解析
【分析】（1）關于x，y的方程組與的解相同．實際就是方程組
的解，可求出方程組的解，進而確定a、b的值；
（2）將a、b的值代入關于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根據方程的兩個解與為邊長，判斷三角形的形狀．
【解答】解：由題意列方程組：
解得
將，分別代入和
解得，
∴，
（2）
解得
這個三角形是等腰直角三角形
理由如下：∵
∴該三角形是等腰直角三角形．
【考點】本題考查一次方程組、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正確答案的關鍵．
【變式7-1】若關于x，y的二元一次方程組，和有相同的解．
(1)求這兩個方程組的解；
(2)求代數式的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】根據題意可得，再利用加減消元法解答，即可求解；
（2）把代入和，可得關于a，b的方程組，解出即可求解．
【解答】（1）解：根據題意得：，
由①+②得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴這兩個方程組的解為；
（2）把代入和，得：
，解得：．
∴．
【考點】本題主要考查了同解方程組，解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關鍵．
類型六 主元法
解題技巧：本題不能直接求出x，y，z的值，這時可以把其中一個未知數當成一個常數，然后用含這個未知數的式子去表示另外兩個未知數.
【例8】已知（x，y，z均不為0），求的值．
【答案】
【分析】本題不能直接求出x，y，z的值，這時可以把其中一個未知數當成一個常數，然后用含這個未知數的式子去表示另外兩個未知數．
【解答】解：將原方程組變形，得
解得
所以
【考點】本題不是考查學生直接解方程的能力，而是讓學生理清三個未知數之間的關系，所以未知數之間的轉換就是關鍵
【變式8-1】（2023·浙江·模擬預測）實數滿足．則 ．
【答案】
【分析】由得：，，由得：，從而得到，即可求解．
【解答】解：，
由得：，
∴，
由得：，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
【考點】本題主要考查了求代數式的值，三元一次方程組，根據題意得到，是解題的關鍵．
題型04 錯看或錯解二元一次方程組問題
【例9】在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的，得到的解為，乙看錯了方程組中的b，得到的解為．則原方程組的解（　 ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把甲得到的解帶入第二個方程，把乙得到的解帶入第一個方程，然后求解得a，b，再對求解即可.
【解答】把甲得到的解帶入第二個方程，得；把乙得到的解帶入第一個方程，得；
則得到方程，解得，故選擇B.
【考點】本題考查二元一次方程的解法，解題的關鍵是把甲得到的解帶入第二個方程，把乙得到的解帶入第一個方程.
【變式9-1】（2023·廣西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程組的過程，請認真閱讀并完成相應任務．
解：
第一步：由①得， ③；
第二步：將③代入②，得
第三步：解得
第四步：將代入③，解得；
第五步：所以原方程組的解為
任務一：小亮解方程組用的方法是________消元法．（填“代入”或“加減”）；
任務二：小亮解方程組的過程，從第________步開始出現錯誤，錯誤的原因是________．
任務三：請寫出方程組正確的解答過程．
【答案】任務一：代入；任務二：二，整體代入未添加括號（言之成理即可）；任務三：過程見解析．
【分析】根據二元一次方程的解法分別以各個任務進行判斷整理即可得到答案．
【解答】解：根據題意可得，小亮用的方法是代入消元；
但是從第二步開始錯誤，錯誤的原因：整體代入未添加括號；
正確的解答過程：由①得 ③
將③代入②得
解得，代入③，解得
∴原方程組的解為：
【考點】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加減消元是解題的關鍵．
【變式9-2】（2021·浙江嘉興·二模）解方程組：．
小海同學的解題過程如下：
解：由②，得③……（1）
把③代入①，得：……（2）
解得：……（3）
把代入③，得……（4）
∴此方程組的解為……（5）
判斷小海同學的解題過程是否正確，若不正確，請指出錯誤的步驟序號，并給出正確的解題過程．
【答案】不正確，錯誤的步驟是（1），（2），（3），正確結果為
【分析】第（1）步，移項沒有變號，第（2）步沒有用乘法分配律，去括號也錯誤了，第（3）步移項后計算錯誤，寫出正確的解答過程即可．
【解答】解：錯誤的是（1），（2），（3），
正確的解答過程：
由②得：y＝5﹣x③
把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，
解得：，
把代入③得：，
∴此方程組的解為．
【考點】本題考查了二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元方程轉化為一元方程是解題的關鍵．
題型05 構造二元一次方程組求解
【例10】（2022·貴州黔東南·中考真題）若，則的值是 ．
【答案】9
【分析】根據非負數之和為0，每一項都為0，分別算出x，y的值，即可
【解答】∵
∴
解得：
故答案為：9
【考點】本題考查非負數之和為零，解二元一次方程組；根據非負數之和為零，每一項都為0，算出x，y的值是解題關鍵
【變式10-1】（2019·江蘇宿遷·中考真題）下面3個天平左盤中“△”“□”分別表示兩種質量不同的物體，則第三個天平右盤中砝碼的質量為 ．
【答案】10
【分析】設“△”的質量為，“□”的質量為，由題意列出方程：，解得：，得出第三個天平右盤中砝碼的質量.
【解答】解：設“△”的質量為，“□”的質量為，
由題意得：，
解得：，
∴第三個天平右盤中砝碼的質量；
故答案為10．
【考點】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程組的解法；設出未知數，根據題意列出方程組是解題的關鍵．
【變式10-2】（2022·湖南長沙·校考一模）如果單項式與是同類項，那么的值為 ．
【答案】5
【分析】根據同類項的定義（所含字母相同，相同字母的指數相同）列出方程組，求出x，y的值，再代入代數式計算即可．
【解答】解：根據題意得：，
解得：，
∴．
故答案為：5．
【考點】本題主要考查了同類項的定義和解二元一次方程組，根據同類項的定義列出關于x、y方程組，是解題的關鍵．
【變式10-3】請你根據下圖中所給的內容，完成下列各小題．
我們定義一個關于非零常數a，b的新運算，規定：．例如：．
(1)如果，，求y的值；
(2)，，求x，y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，得出方程組，解答即可；
（2）根據題意，得出方程組，解答即可．
【解答】（1）解：根據題意，得，
把代入，
得，
解得；
（2）解∶根據題意，得，
解得．
【考點】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，要熟練掌握，注意代入消元法和加減消元法的應用．理解新定義是解題的關鍵．
題型06 解三元一次方程組
【例11】（2023·上海長寧·二模）已知拋物線經過點，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把點代入拋物線，解三元一次方程組即可求解．
【解答】解：∵拋物線經過點，
∴，解得，，
∴，
故選：．
【考點】本題主要考查二次函數與三元一次方程組的綜合，掌握二次函數的代入法，解三元一次方程組的方法是解題的關鍵．
【變式11-1】已知方程組的解滿足x＋y＝3，則k的值為(　　)．
A．10 B．8 C．2 D．－8
【答案】B
【解答】試題解析：由題意可得，
2×①-②得y=k-，
②-③得x=-2，
代入③得y=5，
則k-=5，
解得k=8．
故選B.
【變式11-2】（2022·四川眉山·校考一模）已知：，，．求代數式a＋b＋c的值．
【答案】6
【分析】先將每個等式求倒數，然后組成方程組，用(①+②+③)÷2得
，然后用④分別減①②③求解即可．
【解答】解：∵，，，
∴，，，
∴，
(①+②+③)÷2得：
，
④-①得，解得c=3，
④-②，解得b=2，
④-③，解得a=1，
∴a＋b＋c=1+2+3=6．
【考點】本題考查解分式方程，求代數式的值，掌握倒數法解方程組是解題關鍵．
考點四 一次方程（組）的應用
用方程解決實際問題的步驟：
審：理解并找出實際問題中的等量關系;
設：用代數式表示實際問題中的基礎數據;
列：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程;
解：求解方程;
驗：考慮求出的解是否具有實際意義;
答：實際問題的答案.
與一次方程（組）有關應用題的常見類型：
題型01 利用一元一次方程解決實際問題
類型一 配套問題
【例1】（2022 濱州市二模）某車間有26名工人，每人每天可以生產800個螺釘或1000個螺母，1個螺釘需要配2個螺母，為使每天生產的螺釘和螺母剛好配套．設安排x名工人生產螺釘，則下面所列方程正確的是（ ）
A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x
【答案】C
【分析】此題等量關系為：2×螺釘總數=螺母總數，據此設未知數列出方程即可．
【解答】解：設安排x名工人生產螺釘，則（26-x）人生產螺母，由題意得
1000（26-x）=2×800x，
故C答案正確
故選C
【變式1-1】（2023哈爾濱市三模）某車間有27名工人，生產某種由一個螺栓套兩個螺母組成的產品，每人每天生產螺母64個或螺栓22個．若分配x名工人生產螺栓，其它工人生產螺母，恰好使每天生產的螺栓和螺母配套，則下面所列方程中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】設分配x名工人生產螺栓，則分配（27x）名工人生產螺母，根據生產螺母數是生產螺栓數量的2倍，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．
【解答】解：設分配x名工人生產螺栓，則分配（27x）名工人生產螺母，
依題意，得：2×22x=64（27x）．
故選：C．
【考點】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
【變式1-2】（2023西安尊德中學二模）制作一張方桌要用1個桌面和4條桌腿，若1m3木材可制作20個桌面或400條桌腿，現有12m3木材，要使生產出來的桌面和桌腿恰好都配成方桌，求應安排多少木材用來制作桌面．
【答案】應安排10 m3木材用來生產桌面．
【分析】設應安排xm3木材用來生產桌面，則應安排m3木材用來生產桌腿．“1m3木材可制作20個桌面，或者制作400條桌腿”求出桌面數與桌腿數．根據一張桌子要用一個桌面和4條桌腿配套，利用桌面數×4=桌腿數建立方程求出其解即可．
【解答】解：設用xm3木材制作桌面，則用m3木材制作桌腿，
根據題意得，
整理得：，
解得：．
答：應安排10m3木材用來生產桌面．
【考點】本題考查了一元一次方程的應用，一元一次方程的解法的運用，解答時根據“1m3木材可制作20個桌面，或者制作400條桌腿”求出桌面總數與桌腿總數，掌握利用桌面數×4=桌腿數建立方程是解題的關鍵．
類型二 工程問題
【例2】（2022·遼寧阜新·一模）某工程甲單獨完成要25天，乙單獨完成要20天．若乙先單獨干10天，剩下的由甲單獨完成，設甲、乙一共用天完成，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設甲、乙一共用x天完成，根據題意，列出方程，即可求解．
【解答】解：設甲、乙一共用x天完成，根據題意得：
．
故選：C．
【考點】本題主要考查了一元一次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．
【變式2-1】（2023·福建泉州·福建省泉州第一中學校考模擬預測）某工人在規定的時間內做完一批零件，若每小時做個就可以超額完成個，若每小時做個就可以提前完成，則這批零件一共有多少個？設這批零件一共有個，則根據題意得到的正確方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據工作總量等于工作效率乘以工作時間，設這批零件一共有個，則每小時做個就可以超額完成個，工作總量為：，工作時間為：，再根據每小時做個就可以提前完成，列出方程，即可．
【解答】設這批零件一共有個，
∴，
∴．
故選：D．
【考點】本題考查一元一次方程的知識，解題的關鍵是掌握工作總量等于工作效率乘以工作時間，列出方程．
【變式2-2】（2023·安徽合肥·二模）整理一批圖書，如果由一個人單獨做要用，現先安排一部分人用整理，隨后又增加5人和他們一起又做了，恰好完成整理工作，假設每個人的工作效率相同，那么一共安排整理的人員有多少？
【答案】8
【分析】安排整理的人員有x人，則隨后有人，根據題意可得等量關系：開始x人2小時的工作量后來人3小時的工作量，把相關數值代入即可求解．
【解答】解：設先安排整理的人員是人．
由題意得：
解得：
答：一共安排整理的人員有8人．
【考點】本題主要考查了一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程．此題用到的公式是：工作效率×工作時間=工作量．
類型三 增長率問題
【例3】（2022·安徽合肥·模擬預測）一種商品，先提價20%，再降價10%，這時的價格是2160元．則該商品原來的價格是（ ）
A．2400元 B．2200元 C．2000元 D．1800元
【答案】C
【分析】設原來的價格為x元，根據題意，得（1+20%）×x×(1-10%)=2160，解一元一次方程即可．
【解答】設原來的價格為x元，根據題意，得
（1+20%）×x×(1-10%)=2160，
解得x=2000，
故選C．
【考點】本題考查了一元一次方程的應用，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
【變式3-1】（2023蚌埠高新區模擬）受季節影響，某商品每件售價按原價降低a%再降價8元后的售價是100元，那么該商品每件的原售價可表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設該商品每件的原售價為x元． 然后根據“某商品每件售價按原價降低a%再降價8元后的售價是100元”列方程求解即可．
【解答】解：設該商品每件的原售價為x元．
由題意可得：，解得： ．
答：該商品每件原售價可表示為．
故選B．
【考點】本題主要考查了一元一次方程的應用，舍出未知數、找準等量關系、列出一元一次方程是解答本題的關鍵．
類型四 銷售利潤問題
【例4】（2023寧波市一模）互聯網“微商”經營已成為大眾創業新途徑，某微信平臺上一件商品標價為200元，按標價的五折銷售，仍可獲利20元，則這件商品的進價為（ ）
A．120元 B．100元 C．80元 D．60元
【答案】C
【解答】解：設該商品的進價為x元/件，
依題意得：（x+20）÷=200，
解得：x=80．
∴該商品的進價為80元/件．
故選：C．
【變式4-1】（2023巴東縣模擬）一商店在某一時間以每件120元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利20%，另一件虧損20%，在這次買賣中，這家商店（　　）
A．不盈不虧 B．盈利20元 C．虧損10元 D．虧損30元
【答案】C
【解答】分析：設兩件衣服的進價分別為x、y元，根據利潤=銷售收入-進價，即可分別得出關于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再用240-兩件衣服的進價后即可找出結論．
解答：設兩件衣服的進價分別為x、y元，
根據題意得：120-x=20%x，y-120=20%y，
解得：x=100，y=150，
∴120+120-100-150=-10（元）．
故選C．
考點：本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
【變式4-2】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考三模）某種商品進價為200元，標價為300元．現打折銷售，要使利潤率為．則需打幾折？
【答案】需打折
【分析】設需要打折，根據利潤率為，列出方程進行求解即可．
【解答】解：設需要打折，由題意，得：，
解得：；
∴需打折．
【考點】本題考查一元一次方程的應用．找準等量關系，正確的列出方程，是解題的關鍵．
類型五 比賽積分問題
【例5】（2023·湖南長沙·長沙麓山國際實驗學校校考模擬預測）全國青少年校園足球聯賽，是國內歷史最久遠、覆蓋范圍最廣的中學足球賽事，在小組賽中，每小組有個隊，小組內進行單循環賽（兩支球隊間只比賽一場），已知勝一場積分，平一場積分，負一場積分，小組賽結束后，積分前兩名（相同積分比較凈勝球）可以進入下一輪比賽如表是某次小組賽的積分表：
排名 球隊 積分
甲
乙
丙
丁
如果本小組比賽中只有一場戰平，根據此表，可以推斷丁隊的積分是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析比賽規則可知：勝一場兩隊共積分，平一場兩隊共積分，設丁隊的積分是分，根據本小組比賽中只有一場戰平及甲、乙、丙三隊的積分，可列出關于的一元一次方程，解之即可求出結論．
【解答】解：設丁隊的積分是分，
根據題意得：，
解得：，
丁隊的積分是分．
故選：D．
【考點】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
【變式5-1】（2022·河北石家莊·校考模擬預測）在全國足球甲級A組的前輪比賽中，某隊保持不敗，共積累分．按比賽規則，勝一場得分，平一場得分，那么該隊勝的場數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設該隊勝的場數是x，根據“某隊保持不敗，共積累分．按比賽規則，勝一場得分，平一場得分”列出方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：設該隊勝的場數是x，
則
解得，
即該隊勝的場數是6，
故選：C
【考點】此題考查了一元一次方程的應用，讀懂題意，正確列出方程是解題的關鍵．
【變式5-2】（2022·陜西西安·西安市西光中學校考二模）為有效落實雙減工作，切實做到減負提質，很多學校高度重視學生的體育鍛煉，并不定期舉行體育比賽．已知在一次足球比賽中，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，某隊在已賽的11場比賽中保持連續不敗，共得25分，求該隊獲勝的場數．
【答案】7場
【分析】設該隊獲勝x場，則平場，利用總得分 獲勝場次數 打平場次數，即可得出一元一次方程，解方程即可求得答案．
【解答】設該隊獲勝x場，則平場，
依題意得：，解得：．
答：該隊獲勝7場．
【考點】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
類型六 方案選擇問題
【例6】（2023·陜西西安·高新一中校考三模）、兩家旅行社推出家庭旅游優惠活動，兩家旅行社的票價均為每人元，但優惠的辦法不同，旅行社的優惠辦法是：全家有一人購全票，其余的人半價優惠；旅行社的優惠辦法是：全家每人均按折票價優惠．請問當家庭的人數是多少時，兩家旅行社的費用相同？
【答案】
【分析】設家庭的人數是人，旅行社的費用為元，旅行社的費用為元，根據“兩家旅行社的費用相同”，可建立關于的一元一次方程，求解即可．
【解答】解：設家庭的人數是人時，兩家旅行社的費用相同，
依題意，得：，
解得：．
答：當家庭的人數是人時，兩家旅行社的費用相同．
【考點】本題考查一元一次方程的應用．理解題意，找到等量關系是解題的關鍵．
【變式6-1】（2023懷遠縣二模）現需運送一批貨物，有甲、乙兩種型號貨車可供選擇．兩種型號貨車出租價格如表：
起步價/元 限定里程/km 超限定里程（元/km）
甲 108 80 3
乙 180 100 2
租用甲種型號貨車在限定里程80km內，只需付起步價108元，超過限定里程的部分按3元/km收費，租用乙種型號貨車在限定里程100km內，只需支付起步價180元，超過限定里程的部分按2元/km收費，設里程為x千米．
（1）當x＞100時，用x分別表示租用甲、乙兩種型號貨車的費用；
（2）當里程為多少千米時，租用兩種型號的貨車費用相等？
【答案】（1）租用甲種型號貨車費用為（3x-132）元，租用乙種型號貨車費用為：（2x-20）元；（2）112km
【分析】（1）行駛里程，根據甲車內，付起步價元，超過的部分按元/，列出代數式；再根據乙車內，付起步價元，超過的部分按元/，列出代數式即可
（2）當時，甲車租金元，乙車租金元，不相等；當時，結合題意列方程，解方程即可；當時，結合（1）所列的代數式，列出方程，解方程即可
【解答】（1）根據題意可得：
租用甲種型號貨車費用為：元，
租用乙種型號貨車費用為：元；
（2）當時，甲貨車租金元，乙貨車租金元，不相等；
當時，則有，
解得
因為，舍去，
當時，則有，
解得
所以當里程為時，租用兩種型號的車費用相等
【考點】本題考查了一元一次方程的應用，列代數式等知識，讀懂題意正確列出代數式，再結合題意找出等量關系列出一元一次方程是解題關鍵．
類型七 數字問題
【例7】（2023·山東濱州·一模）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方（如圖1），將9個數填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個橫行、每個豎列、每條對角線上的三個數字之和都相等，就得到一個廣義的三階幻方．圖2的方格中填寫了一些數字和字母，若能構成一個廣義的三階幻方，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【分析】根據三階幻方中的數字列方程求解即可．
【解答】解：由題意知，，
解得，
，
即，
解得，
∴
故選：A．
【考點】本題主要考查一元一次方程的知識以及零指數冪，熟練根據三階幻方列方程求解是解題的關鍵．
【變式7-1】（2022·浙江杭州·杭州綠城育華學校校考模擬預測）一個兩位數的個位數字與十位數字都是，如果將個位數字與十位數字分別加和，所得的新數比原數大，則可列的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根據題意分別表示出原來的兩位數和新的兩位數，再根據所得的新數比原數大得出方程．
【解答】解：由題意得：原來的兩位數可表示為，新的兩位數可表示為，
則可列的方程是，
故選：D．
類型八 日歷問題
【例8】（2023增城區一模）在一張掛歷上，任意圈出同一列上的三個數的和不可能是(　)
A．4 B．33 C．51 D．27
【答案】A
【分析】因為掛歷上同一列的數都相對于前一個數相差7，所以設第一個數為x，則第二個數、第三個數分別為x+7、x+14，求出三數之和，發現其和為3的倍數，對照四選項即可求解．
【解答】設圈出的第一個數為x，則第二數為x+7，第三個數為x+14，
∴三個數的和為：x+（x+7）+（x+14）=3（x+7）
∴三個數的和為3的倍數
由四個選項可知只有A不是3的倍數，
故選A．
【考點】本題考查的知識點是列代數式，解題關鍵是找出三數的關系，然后根據三數之和與選項對照求解．
【變式8-1】將連續的偶數2，4，6，8，…排成下圖所示，若將十字框上下左右移動，可框住五個數，這五個數的和可能等于（ ）
A．123 B．115 C．240 D．400
【答案】C
【分析】設十字框最中間的數為x，表示出其余數字，根據之和為選項中的數字求出x的值，x的值符合題意即可．
【解答】設十字框最中間的數為x，其他數為x- 10，x+ 10，x -2， x + 2
根據題意得：x- 10+x+ 10+x -2+ x + 2+x=5 x
A．當5 x = 123時，x = 24.6，不符合題意；
B．當5 x = 115時，x = 23，不符合題意；
C．當5 x = 240時，x = 48，由于48位于第四列，第五行，故240正確，符合題意；
D．當5 x = 400時，x = 80，由于80位于第五列，第八行，故400不正確，不符合題意．
故選：C．
【考點】此題考查了一元一次方程的應用，找出題中的等量關系是解本題的關鍵．
【變式8-2】（2023·河北廊坊·校考三模）2023年4月的日歷上圈出了相鄰的三個數、、，并求出了它們的和為36，這三個數在日歷中的排布不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】日歷中的每個數都是整數且上下相鄰是7，左右相鄰相差是1．根據題意可列方程求解，然后判斷即可．
【解答】解：A．設最小的數是．，．故本選項不符合題意．
B．設最小的數是．，，故本選項符合題意．
C．設最小的數是．，，故本選項不符合題意．
D．設最小的數是．，，本選項不符合題意．
故選：B．
【考點】本題考查的是一元一次方程的應用．解題的關鍵在于掌握日歷中的每個數都是整數且上下相鄰是7，左右相鄰相差是1．
類型九 幾何問題
【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中學校考一模）如圖，在數軸上，點、分別表示數、，且、互為相反數，若，則點表示的數為（ ）

A．8 B．4 C．0 D．
【答案】D
【分析】由的長度結合、表示的數互為相反數，即可得出，表示的數
【解答】解：∵，兩點對應的數互為相反數，
∴設表示的數為，則表示的數為，
∵
∴，
解得：，
∴點表示的數為，
故選：D．
【考點】本題考查了絕對值，相反數的應用，關鍵是能根據題意得出方程．
【變式9-1】（2023·廣西南寧·一模）學習《設計制作長方體形狀的包裝紙盒》后，小寧從長方形硬紙片上截去兩個矩形（圖中陰影部分），再沿虛線折成一個無蓋的長方體紙盒．紙片長為，寬為，，則該紙盒的容積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，則，列出關于x的方程并求解，再計算該紙盒的容積．
【解答】解：設，則，
，
解得：，
所以，
則長方體的底面寬為：，
所以該紙盒的容積為：
故選：D
【考點】此題主要考查了展開圖折疊成幾何體及一元一次方程應用，解題的關鍵是正確題意，然后根據題目的數量關系列出代數式解決問題．
【變式9-2】如圖，把一塊長為的長方形硬紙板的四角剪去四個邊長為的小正方形，然后把紙板沿虛線折起，做成一個無蓋長方體紙盒，若紙盒的體積是，則長方形硬紙板的寬為多少？
【答案】
【分析】設長方形硬紙板的寬為，根據紙盒的體積是可列出方程，求解即可．
【解答】解：設長方形硬紙板的寬為，根據題意，
得，
解得：；
答：長方形硬紙板的寬為．
【考點】本題考查了一元一次方程的應用，正確理解題意、找準相等關系是解題的關鍵．
類型十 和差倍分問題
【例10】（2020·湖南張家界·中考真題）《孫子算經》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車：若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？設共有x人，可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設有x人，根據車的輛數不變，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．
【解答】解：設有x人，根據車的輛數不變列出等量關系，
每3人共乘一車，最終剩余2輛車，則車輛數為：，
每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，則車輛數為：，
∴列出方程為：．
故選：B．
【考點】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
【變式10-1】（2022·江蘇蘇州·一模）我國古代著作《增刪算法統宗》中記載了一首古算詩：“林下牧童鬧如簇，不知人數不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齊足．”其大意是：牧童們在樹下拿著竹竿高興地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若設牧童有x人，根據題意可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設牧童有x人，根據“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”列一元一次方程即可求解．
【解答】解：設牧童有x人，根據題意得，
，
故選A．
【考點】本題考查了一元一次方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵．
【變式10-2】（2022·江蘇宿遷·二模）我國明代數學讀本《算法統宗》中有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩，還剩4兩；若每人9兩，還差8兩．問銀子共有幾兩？設銀子共有x兩，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設共有銀子兩，根據分銀子的人數不變，即可得出關于的一元一次方程，此題得解．
【解答】解：設共有銀子兩，
依題意得：．
故選：D．
【考點】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
【變式10-3】（2022·廣東·中考真題）《九章算術》是我國古代的數學專著，幾名學生要湊錢購買1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學生人數和該書單價各是多少？
【答案】學生人數為7人，該書的單價為53元．
【分析】設學生人數為x人，然后根據題意可得，進而問題可求解．
【解答】解：設學生人數為x人，由題意得：
，
解得：，
∴該書的單價為（元），
答：學生人數為7人，該書的單價為53元．
【考點】本題主要考查一元一次方程的應用，熟練掌握一元一次方程的應用是解題的關鍵．
類型十一 行程問題
【例11】（2023·湖北荊州·一模）野鴨從南海起飛，7天飛到北海；大雁從北海起飛，9天飛到南海．現野鴨與大雁分別從南海和北海同時起飛，問經過多少天相遇？設野鴨與大雁經過x天相遇，根據題意，下面所列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設野鴨與大雁經過x天相遇，根據路程=速度×時間，結合野鴨飛過的路程+大雁飛過的路程=整段路程，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．
【解答】解：設野鴨與大雁經過x天相遇，
依題意得：，
故選：A．
【考點】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程以及數學常識，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
【變式11-1】（2023 天水市一模）船在靜水中的速度為36千米/時，水流速度為4千米/時，從甲碼頭到乙碼頭再返回甲碼頭，共用了9小時（中途不停留），設甲、乙兩碼頭的距離為千米，則下面所列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由題意可得順水中的速度為（36+4）km/h，逆水中的速度為（36-4）km/h，根據“從甲碼頭順流航行到乙碼頭，再返回甲碼頭共用9h”可得順水行駛x千米的時間+逆水行駛x千米的時間=9h，根據等量關系代入相應數據列出方程即可.
【解答】設甲、乙兩碼頭的距離為千米，
由題意得：，
故選D.
【考點】此題主要考查了一元一次方程的應用的航行問題，順水中的速度=船在靜水中的速度+水流速度，逆水中的速度=船在靜水中的速度-水流速度，關鍵是正確理解題意，抓住題目中的關鍵語句找等量關系，列出方程.
【變式11-2】（20223延邊州一模）我國元朝數學家朱世杰所著的《算學啟蒙》中記載了一道問題，大意是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里．慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？如果設快馬x天可以追上慢馬，那么根據題意可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】快馬花x天追上慢馬，此時快馬走的路程為里，由于慢馬先走12天，所以慢馬總共走的路程為里．當快馬追上慢馬時，就是說它們所走的路程相等，即可列出方程．
【解答】快馬花x天追上慢馬，此時快馬走的路程為里，慢馬走的路程為里，
由題意得：．
故答案為：A．
【考點】本題考查了一元一次方程的應用，理解題意是解題關鍵．
【變式11-3】（2022·湖南常德·中考真題）小強的爸爸平常開車從家中到小強奶奶家，勻速行駛需要4小時，某天，他們以平常的速度行駛了的路程時遇到了暴雨，立即將車速減少了20千米／小時，到達奶奶家時共用了5小時，問小強家到他奶奶家的距離是多少千米？
【答案】240千米
【分析】平常速度行駛了的路程用時為2小時，后續減速后用了3小時，用遇到暴雨前行駛路程加上遇到暴雨后行駛路程等于總路程這個等量關系列出方程求解即可．
【解答】解：設小強家到他奶奶家的距離是千米，則平時每小時行駛千米，減速后每小時行駛千米，由題可知：遇到暴雨前用時2小時，遇到暴雨后用時5-2=3小時，
則可得：，
解得：，
答：小強家到他奶奶家的距離是240千米．
【考點】本題考查了一元一次方程應用中的行程問題，直接設未知數法，找到準確的等量關系，列出方程正確求解是解題的關鍵．
【變式11-4】（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考二模）A、B兩地相距300千米，甲車從A地開往B地，乙車從B地開往A地．已知兩車同時出發，乙車的速度是甲車的1.5倍．
(1)若2小時后兩車還未相遇，此時兩車相距100千米，求甲車的速度；
(2)若乙車中途因故停留了75分鐘，從而與甲車同時到達目的地，求甲車的速度．
【答案】(1)40千米時
(2)80千米時
【分析】（1）設甲車的速度為千米時，則乙車的速度為千米時，利用路程速度時間，可得出關于的一元一次方程，解之即可得出結論；
（2）設甲車的速度為千米時，則乙車的速度為千米時，利用時間路程速度，結合乙車比甲車少用75分鐘，可得出關于的分式方程，解之經檢驗后，即可得出結論．
【解答】（1）解：設甲車的速度為千米時，則乙車的速度為千米時，
根據題意得：，
解得：．
答：甲車的速度為40千米時；
（2）解：設甲車的速度為千米時，則乙車的速度為千米時，
根據題意得：，
解得：，
經檢驗，是所列方程的解，且符合題意．
答：甲車的速度為80千米時．
【考點】本題考查了一元一次方程的應用以及分式方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元一次方程；（2）找準等量關系，正確列出分式方程．
題型02 利用二元一次方程解決實際問題
類型一 配套問題
【例12】（2023衢州市一模）一種飲料有兩種包裝，5大盒、3小盒共裝150瓶，2大盒、6小盒共裝100瓶，大盒與小盒每盒各裝多少瓶？設大盒裝x瓶，小盒裝y瓶，則可列方程組（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據“5大盒、3小盒共裝150瓶，2大盒、6小盒共裝100瓶”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，此題得解．
【解答】解：依題意，得：，
故選：D．
【考點】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
【變式12-1】工廠需要用鐵皮制作包裝盒，每張鐵皮可制作盒身15個，或制作盒底20個，一個盒身與兩個盒底配成一套包裝盒．現有40張鐵皮，設用張制作盒身，張制作盒底，恰好配套制成包裝盒，則下列方程組中符合題意的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據“共有40張鐵皮，且制作的盒底總數是盒身的2倍”，即可得出關于， 的二元一次方程組，此題得解．
【解答】解：根據共有40張鐵皮，
得：，
根據每張鐵皮可制作盒身15個，或制作盒底20個，且制作的盒底與盒身恰好配套，即制作的盒底總數是盒身的2倍，
．根據題意可列方程組，
故選： C．
【考點】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
類型二 方案選擇問題
【例13】（2022·黑龍江·中考真題）國家“雙減”政策實施后，某校開展了豐富多彩的社團活動．某班同學報名參加書法和圍棋兩個社團，班長為參加社團的同學去商場購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費360元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購買方案？（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】設設購買毛筆x支，圍棋y副，根據總價=單價×數量，即可得出關于x，y的二元一次方程，結合x，y均為正整數即可得出購買方案的數量．
【解答】解：設購買毛筆x支，圍棋y副，根據題意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，
∴y=18-x．
又∵x，y均為正整數，
∴或或或或，
∴班長有5種購買方案．
故選：A．
【考點】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系“共花費360元”，列出二元一次方程是解題的關鍵．
【變式13-1】（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）端午節前夕，某食品加工廠準備將生產的粽子裝入A、B兩種食品盒中，A種食品盒每盒裝8個粽子，B種食品盒每盒裝10個粽子，若現將200個粽子分別裝入A、B兩種食品盒中（兩種食品盒均要使用并且裝滿），則不同的分裝方式有（ ）
A．2種 B．3種 C．4種 D．5種
【答案】C
【分析】設使用A食品盒x個，使用B食品盒y個，根據題意列出方程，求解即可．
【解答】設使用A食品盒x個，使用B食品盒y個，
根據題意得，8x+10y=200，
∵x、y都為正整數，
∴解得，，，，
∴一共有4種分裝方式；
故選：C．
【考點】本題考查了二元一次方程的實際問題，解題的關鍵是明確題意列出方程．
【變式13-2】（2021·四川瀘州·中考真題）某運輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸．
（1）請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？
（2）目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完(A、B兩種貨車均滿載)，其中每輛A貨車一次運貨花費500元，每輛B貨車一次運貨花費400元．請你列出所有的運輸方案，并指出哪種運輸方案費用最少．
【答案】（1）1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨20噸和15噸；（2）共有3種租車方案，方案1：租用A型車8輛，B型車2輛；方案2：租用A型車5輛，B型車6輛；方案3：租用A型車2輛，B型車10輛；租用A型車8輛，B型車2輛最少．
【分析】（1）設1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨x噸和y噸，根據“3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸”列方程組求解可得；
（2）設貨運公司安排A貨車m輛，則安排B貨車n輛．根據“共有190噸貨物”列出二元一次方程組，結合m，n均為正整數，即可得出各運輸方案．再根據方案計算比較得出費用最小的數據．
【解答】解：（1）1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨x噸和y噸，
根據題意可得：，
解得：，
答：1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨20噸和15噸；
（2）設安排A型車m輛，B型車n輛，
依題意得：20m+15n=190，即，
又∵m，n均為正整數，
∴或或，
∴共有3種運輸方案，
方案1：安排A型車8輛，B型車2輛；
方案2：安排A型車5輛，B型車6輛；
方案3：安排A型車2輛，B型車10輛．
方案1所需費用：5008+4002=4800(元)；
方案2所需費用：5005+4006=4900(元)；
方案3所需費用：5002+40010=5000(元)；
∵4800＜4900＜5000，
∴安排A型車8輛，B型車2輛最省錢，最省錢的運輸費用為4800元．
【考點】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關系，正確列出二元一次方程；根據據總費用=500×安排A型車的輛數+400×B型車的輛數分別求出三種運輸方案的總費用．
類型三 年齡問題
【例14】（2021淮濱縣一模）甲是乙現在的年齡時，乙10歲，乙是甲現在的年齡時，甲25歲，那么（ ）
A．甲比乙大5歲 B．甲比乙大10歲
C．乙比甲大10歲 D．乙比甲大5歲
【答案】A
【分析】設甲現在的年齡是x歲，乙現在的年齡是y歲，根據已知甲是乙現在的年齡時，乙10歲．乙是甲現在的年齡時，甲25歲，可列方程求解．
【解答】解：甲現在的年齡是x歲，乙現在的年齡是y歲，由題意可得：
即
由此可得，，
∴，即甲比乙大5歲．
故選：A．
【考點】本題考查了二元一次方程組的應用，重點考查理解題意的能力，甲、乙年齡無論怎么變，年齡差是不變的．
【變式14-1】（2021·江蘇無錫·一模）一天，小民去問爺爺的年齡，爺爺說：“我若是你現在這么大，你還要40年才出生呢，你若是我現在這么大，我已經是老壽星了，125歲了，哈哈！”請你寫出小民爺爺到底是 歲．
【答案】70
【分析】設爺爺是x歲，小民是y歲，根據題意描述的關系，得出二元一次方程組，求解即可．
【解答】設爺爺現在x歲，小民現在y歲，
根據題意：，
解得：，
故答案為：70．
【考點】本題考查二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題關鍵．
【變式14-2】（2022·安徽蕪湖·校考一模）已知甲是乙現在的年齡時，乙10歲，乙是甲現在的年齡時，甲25歲，求甲、乙現在的年齡的差．
【答案】5歲．
【分析】假設甲、乙現在的年齡分別是x歲和y歲，利用年齡差不變可以列出等式構造二元一次方程組，求解即可．
【解答】解：假設甲現在的年齡是x歲，乙現在的年齡是y歲，由題意可得：
即由此可得：，
∴，即甲比乙大5歲．
【考點】本題考查二元一次方程組的實際應用中的年齡問題，理解年齡差不會隨年齡的變化而變化是解本題的關鍵．
類型四 幾何問題
【例15】（2023·河北保定·二模）張師傅要制作一個無蓋長方體玻璃魚缸，切割出來的幾塊玻璃的尺寸如圖所示（單位：dm），則其體積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設長方體底面的長和寬分別，，根據其平面展開圖的相關數據可得關于x、y的二元一次方程組，然后根據長方體的體積公式求解即可.
【解答】解：設長方體底面的長和寬分別，，
由平面圖可知，，解得；
故魚缸的體積為.
故選A.
【考點】本題考查了長方體的平面展開圖以及二元一次方程組等知識，弄清長方體的展開圖與圓長方體中長、寬、高的關系是解題的關鍵.
【變式15-1】（2021·廣東深圳·校考一模）利用兩塊完全一樣的長方體木塊測量一張桌子的高度，首先按圖①所示的方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖②所示的方式放置．測量的數據如圖，則桌子的高度等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設長方體木塊長xcm，寬ycm，桌子的高為acm，由題意列出方程組求出解即可得出結果．
【解答】解：設長方體木塊長xcm，寬ycm，桌子的高為acm，由題意，得
，
兩式相加，得 2a=150，
解得 a=75，
故選：D．
【考點】本題考查了二元一次方程組的應用．解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程中求解．
【變式15-2】（2023·西藏·中考真題）列方程（組）解應用題：如圖，巴桑家客廳的電視背景墻是由塊形狀大小相同的長方形墻磚砌成．

(1)求一塊長方形墻磚的長和寬；
(2)求電視背景墻的面積．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）首先設一塊長方形墻磚的長為，寬為，然后用的代數式分別表示出長方形的兩條長邊分別為，，寬為,進而根據長方形的性質列出方程組，解方程組即可得出答案；
（2）根據長方形的面積計算公式即可得出答案．
【解答】（1）解：設一塊長方形墻磚的長為，寬為．
依題意得：
，
解得：
，
答：一塊長方形墻磚的長為，寬為．
（2）求電視背景墻的面積為：．
答：電視背景墻的面積為．
【考點】此題主要考查了二元一次方程組的實際應用，長方形的性質，根據長方形的兩組對邊分別相等列出方程組是解答此題的關鍵．
類型五 行程問題
【例16】（2020·福建福州·校考模擬預測）甲、乙二人同時同地出發，都以不變的速度在300米環形跑道上奔跑，若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，則每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，設甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，則可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據相向而行第一次相遇時兩人的總路程為300米，同向行走第一次相遇甲比乙多走了300米，即可得到方程組．
【解答】設甲每秒跑米，乙每秒跑米
∵相向而行第一次相遇時兩人的總路程為300米，同向行走第一次相遇時，甲比乙多走了300米
∴
故選：C．
【考點】本題考查二元一次方程組的知識，解題的關鍵是理解題意，找到等量關系，列出方程組．
【變式16-1】（2023·浙江臺州·一模）作業本中有這樣一道題：“小明去郊游上午9時從家中出發，先走平路，然后登山，中午12時到達山頂，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3時到家．若他平路每小時走，登山每小時走，下山每小時走，求小明家到山頂的路程．”小李查看解答時發現答案中的方程組中有污損，，則答案中另一個方程應為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可知a表示上山所用時間，b表示下山所用時間，分別求出從家到山頂、從山頂到家所用的時間，兩者之差等于上山與下山所用時間之差，由此可列等式．
【解答】解：由題意知，表示上山的路程等于下山的路程，
a表示上山用的時間，b表示下山用的時間，
由題意知，小明從家到山頂所用時間為，
從山頂回到家所用時間為，
上山比下山多用時間為：，
，
故選：C．
【考點】本題考查列二元一次方程組，解題的關鍵是理解方程中a，b的含義．
【變式16-2】設甲、乙兩車在同一直線公路上勻速行駛，開始甲車在乙車的前面，當乙車追上甲車后，兩車停下來，把乙車的貨物轉給甲車，然后甲車繼續前行，乙車向原地返回．設x秒后兩車間的距離為y米，y關于x的函數關系如圖所示，則甲車的速度為 （ ）
A．20米/秒 B．25米/秒 C．30米/秒 D．35米/秒
【答案】A
【分析】設甲車的速度是a米/秒，乙車的速度為b米/秒，根據函數圖象反應的數量關系建立方程組求出其解即可．
【解答】解：設甲車的速度是a米/秒，乙車的速度為b米/秒，由題意，得
，
解得：，
∴甲車的速度為20米/秒，
故選A．
【考點】本題是一道運用函數圖象表示出來的行程問題，考查了追擊問題的運用，路程=速度×時間的運用，解答時認真分析函數圖象的含義是關鍵，根據條件建立方程組是難點．
【變式16-3】（2023·黑龍江哈爾濱·一模）甲、乙兩車分別從相距200千米的A、B兩地相向而行，甲乙兩車均保持勻速行駛，若甲車行駛2小時，乙車行駛3小時，兩車恰好相遇：若甲車行駛4小時，乙車行駛1小時，兩車也恰好相遇．
(1)求甲乙兩車的速度（單位：千米/小時）是多少．
(2)若甲乙兩車同時按原速度行駛了1小時，甲車發生故障不動了，為了保證乙車再經過不超過2小時與甲車相遇，乙車提高了速度，求乙車提速后的速度至少是每小時多少千米？
【答案】(1)甲車的速度為，乙車的速度為
(2)乙車提速后的速度至少是每小時60千米
【分析】（1）設甲車的速度為，乙車的速度為，根據“若甲車行駛2小時，乙車行駛3小時，兩車恰好相遇：若甲車行駛4小時，乙車行駛1小時，兩車也恰好相遇”列出方程組，即可求解；
（2）設乙車提速后的速度為，根據題意，列出不等式，即可求解．
【解答】（1）解：設甲車的速度為，乙車的速度為，
根據題意得，解得，
答：甲車的速度為，乙車的速度為；
（2）解：設乙車提速后的速度為，
根據題意得，
解得，
答：乙車提速后的速度至少是每小時60千米．
【考點】本題主要考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，明確題意，準確列出方程組或不等式是解題的關鍵．
類型六 古代問題
【例17】（2023·浙江紹興·中考真題）《九章算術》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個，小容器1個，總容量為3斛（斛：古代容是單位）；大容器1個，小容器5個，總容暴為2斛．問大容器、小容器的容量各是多少斛？設大容器的容量為斛，小容器的容量為斛，則可列方程組是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設大容器的容積為x斛，小容器的容積為y斛，根據“大容器5個，小容器1個，總容量為3斛；大容器1個，小容器5個，總容量為2斛”即可得出關于x、y的二元一次方程組．
【解答】解：設大容器的容積為x斛，小容器的容積為y斛，
根據題意得：．
故選：B．
【考點】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，根據數量關系列出關于x、y的二元一次方程組是解題的關鍵．
【變式17-1】（2023·青海西寧·中考真題）《孫子算經》中有一道題，原文是：今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余尺．問木長多少尺？設木長尺，繩長尺，根據題意列方程組得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設木長尺，繩長尺，根據用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余尺，列出二元一次方程組，即可求解．
【解答】設木長尺，繩長尺，根據題意列方程組得
故選：A．
【考點】本題考查了列二元一次方程組，根據題意列出方程組是解題的關鍵．
【變式17-2】（2023龍崗區一模）《九章算術》是我國古代數學的經典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等．交易其一，金輕十三兩．問金、銀一枚各重幾何？”．意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等．兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計）．問黃金、白銀每枚各重多少兩？設每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據題意得（　　）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據題意可得等量關系：①9枚黃金的重量=11枚白銀的重量；②（10枚白銀的重量+1枚黃金的重量）-（1枚白銀的重量+8枚黃金的重量）=13兩，根據等量關系列出方程組即可．
【解答】解：枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩
由題意得：
故選D．
【考點】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系．
【變式17-3】（2022·江蘇徐州·中考真題）《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，問禽、獸各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸與鳥共有76個頭與46只腳．問獸、鳥各有多少？
根據譯文，解決下列問題：
(1)設獸有x個，鳥有y只，可列方程組為 ；
(2)求獸、鳥各有多少．
【答案】(1)
(2)獸有8只，鳥有7只．
【分析】（1）根據“獸與鳥共有76個頭與46只腳”，即可得出關于x、y的二元一次方程組；
（2）解方程組，即可得出結論．
【解答】（1）解：∵獸與鳥共有76個頭，
∴6x+4y=76；
∵獸與鳥共有46只腳，
∴4x+2y=46．
∴可列方程組為．
故答案為：；
（2）解：原方程組可化簡為，
由②可得y=23-2x③，
將③代入①得3x+2（23-2x）=38，
解得x=8，
∴y=23-2x=23-2×8=7．
答：獸有8只，鳥有7只．
【考點】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
類型七 圖表問題
【例18】（2021·湖南邵陽·中考真題）為慶祝中國共產黨成立100周年，某校計劃舉行“學黨史·感黨恩”知識競答活動，并計劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為獎品．采購員劉老師在某文體用品購買了作為獎品的三種物品，回到學校后發現發票被弄花了，有幾個數據變得不清楚，如圖．
請根據圖所示的發票中的信息，幫助劉老師復原弄花的數據，即分別求出購置鋼筆、筆記本的數量及對應的金額．
【答案】購置鋼筆15支，金額為225元，購置筆記本34本，金額為175元
【分析】根據題意可知鋼筆和筆記本一共50個，兩種物品的金額1000-600=400元，再根據題意列二元一次方程組即可
【解答】解：設鋼筆買了x支，筆記本買了y本
根據題意可得：鋼筆和筆記本一共56-6=50個
鋼筆和筆記本兩種物品的金額一共1000-600=400元
則有
解得：
則購置筆記本金額為：35×5=175元
購置鋼筆金額為：15×15=225元
答：購置鋼筆15支，金額為225元，購置筆記本34本，金額為175元
【考點】本題考查列二元一次方程組解決實際問題，根據已知條件正確的找出等量關系是關鍵
【變式18-1】（2022宜昌市中考診斷）一批貨物要運往某地，貨主準備租用汽車運輸公司的甲、乙兩種貨車．已知過去兩次租用這兩種貨車的情況如下表：
第一次 第二次
甲種貨車輛數（輛） 2 5
乙種貨車輛數（輛） 3 6
累計運貨噸數（噸） 15.5 35
現租用該公司3輛甲種貨車及5輛乙種貨車一次剛好運完這批貨，如果按每噸付運費30元計算，問貨主應付運費多少元？
【答案】貨主應付運費735元
【分析】先設甲、乙兩種貨車載重量分別為x噸、y噸，再根據題意列出方程組求出x、y的值，然后根據運費每噸30元計算即可．
【解答】解：設甲、乙兩種貨車載重量分別為x噸、y噸
根據題意得，
解得
答：貨主應付運費735元．
【考點】本題考查二元一次方程組的應用，理解題意設出合適的未知數，列出方程是解題的關鍵．
【變式18-2】（2021·貴州貴陽·中考真題）為慶祝“中國共產黨的百年華誕”，某校請廣告公司為其制作“童心向黨”文藝活動的展板、宣傳冊和橫幅，其中制作宣傳冊的數量是展板數量的5倍，廣告公司制作每件產品所需時間和利潤如下表：
產品 展板 宣傳冊 橫幅
制作一件產品所需時間（小時） 1
制作一件產品所獲利潤（元） 20 3 10
（1）若制作三種產品共計需要25小時，所獲利潤為450元，求制作展板、宣傳冊和橫幅的數量；
（2）若廣告公司所獲利潤為700元，且三種產品均有制作．求制作三種產品總量的最小值．
【答案】（1）制作展板、宣傳冊和橫幅的數量分別是：10，50，10；（2）制作三種產品總量的最小值為75．
【分析】（1）設展板數量為x，則宣傳冊數量為5x，橫幅數量為y，根據等量關系，列出二元一次方程組，即可求解；
（2）設展板數量為x，則宣傳冊數量為5x，橫幅數量為y，可得，結合x，y取正整數，可得制作三種產品總量的最小值．
【解答】（1）解：設展板數量為x，則宣傳冊數量為5x，橫幅數量為y，
根據題意得：，解得：，
5×10=50，
答：制作展板、宣傳冊和橫幅的數量分別是：10，50，10；
（2）設展板數量為x，則宣傳冊數量為5x，橫幅數量為y，制作三種產品總量為w，
由題意得：，即：，
∴，
∴w=，
∵x，y取正整數，
∴x可取的最小整數為2，
∴w=的最小值=55，即：制作三種產品總量的最小值為75．
【考點】本題主要考查二元一次方程組以及一次函數的實際應用，根據數量關系，列出方程組以及一次函數的解析式，是解題的關鍵．
類型八 工程問題
【例19】（2022定安縣一模）為了打造環湖風光帶，現有一段長為88米的河道清淤任務，由甲、乙兩個工程隊先后接力完成．甲工程隊每天清理10米，乙工程隊每天清理8米，共用時10天，則甲乙工程隊各清理了幾天？
【答案】甲乙工程隊各用了4天，6天．
【分析】根據題意兩隊用時時間和為10天；兩隊工程量的和為88米．利用兩個等量關系列方程組，根據題意設兩個未知量，根據已知列方程組求解即可．
【解答】解：設甲乙工程隊各用了x天，y天，
則　
解得，
答：甲乙工程隊各用了4天，6天．
【考點】本題主要考查二元一次方程組的應用．列方程主要找到等量關系，二元方程即需要兩個等量關系來列方程組。這類工程問題涉及到的關系：總工程量＝工作效率×工作時間，及其變形的形式．
【變式19-1】（2021昭通市一模）計劃對河道進行改造，現有甲乙兩個工程隊參加改造施工，受條件限制，每天只能由一個工程隊施工．若甲工程隊先單獨施工天，再由乙工程隊單獨施工天，則可以完成米施工任務：若甲工程隊先單獨施工天，再由乙工程對單獨施工天，則可以完成米的施工任務．
（1）求甲、乙兩個工程隊平均每天分別能完成多少米施工任務？
（2）該河道全長米，若兩隊合作工期不能超過天，乙工程隊至少施工多少天？
【答案】（1）甲工程隊每天能完成施工任務米，乙工程隊每天能完成施工任務米；（2）乙工程隊至少施工天
【分析】（1）設甲工程隊每天施工x米，乙工程隊每天施工y米，根據等量關系列出二元一次方程組，即可求解；
（2）設乙工程隊施工a天，根據不等量關系，列出一元一次不等式，即可求解．
【解答】（1）設甲工程隊每天施工x米，乙工程隊每天施工y米，
根據題意得：，解得：，
答：甲工程隊每天能完成施工任務米，乙工程隊每天能完成施工任務米；
（2）設乙工程隊施工a天，
根據題意得：80a+50（90-a）≥6000，
解得：a≥50，
答：乙工程隊至少施工天
【考點】本題主要考查二元一次方程組與一元一次不等式的實際應用，找出等量關系和不等量關系，列出方程組和不等式，是解題的關鍵．
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第5講 一次方程（組）及其應用
目 錄
一、考情分析
二、知識建構
考點一 等式的基本性質
題型01 利用等式的性質判斷變形正誤
題型02 利用等式的性質求解
考點二 一元一次方程
題型01 判斷一元一次方程
題型02 解一元一次方程
題型03 一元一次方程的特殊解題技巧
【類型一】分母含小數的一元一次方程
技巧1 巧化分母為1
技巧2 巧化同分母
技巧3 巧約分去分母
【類型二】分子、分母為整數的一元一次方程
技巧1 巧用拆分法
技巧2 巧用對消法
技巧3 巧通分
【類型三】含括號的一元一次方程
技巧1 利用倒數關系去括號
技巧2 整體合并去括號
技巧3 整體合并去分母
技巧4 由外向內去括號
技巧5 由內向外去括號
題型04 錯看或錯解一元一次方程問題
考點三 二元一次方程（組）
題型01 二元一次方程（組）的概念
題型02 解二元一次方程組
題型03 二元一次方程組特殊解法
類型一 引入參數法
類型二 特殊消元法-方程組中兩未知數系數
之差的絕對值相等
類型三 特殊消元法-方程組中兩未知數系數
之和的絕對值相等
考點要求 新課標要求 命題預測
等式的基本性質 理解等式的基本性質 一元一次方程與二元一次方程（組）在初中數學中因為未知數的最高次數都是一次，且都是整式方程,所以統稱為“一次方程”. 中考中，對于這兩個方程的解法及其應用一直都有考察，其中對于兩個方程的解法以及注意事項是必須掌握的，而在其應用上也是中考代數部分結合型較強的一類考點. 預計2024年各地中考還將繼續考查一次方程的解法和應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握．
一元一次方程 能解一元一次方程
二元一次方程（組） 掌握消元法，能解二元一次方程組 能解簡單的三元一次方程組[選學]
一次方程（組） 的應用 利用一次方程求解實際問題
考點一 等式的基本性質
題型01 利用等式的性質判斷變形正誤
【例1】（2022青海省中考）下列說法中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【變式1-1】（2023·山西大同·校聯考模擬預測）下列等式變形正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【變式1-2】（2023滄州市二模）如果x＝y，那么根據等式的性質下列變形正確的是（ ）
A．x＋y＝0 B． C．x﹣2＝y﹣2 D．x＋7＝y﹣7
題型02 利用等式的性質求解
【例2】（2023·河北唐山·一模）有三種不同質量的物體“■”“▲”“●”，其中同一種物體的質量都相等．下列四個天平中只有一個天平沒有處于平衡狀態，則該天平是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2023·河北承德·校聯考模擬預測）能運用等式的性質說明如圖事實的是（　　）
A．如果，那么（a，b，c均不為0）
B．如果，那么（a，b，c均不為0）
C．如果，那么（a，b，c均不為0）
D．如果，那么（a，b，c均不為0）
【變式2-2】（2022·山東濱州·中考真題）在物理學中，導體中的電流Ⅰ跟導體兩端的電壓U，導體的電阻R之間有以下關系：去分母得，那么其變形的依據是（ ）
A．等式的性質1 B．等式的性質2
C．分式的基本性質 D．不等式的性質2
【變式2-3】（2023·河北滄州·校考模擬預測）已知，則的值是( )
A． B．
C． D．
【變式2-4】（2023 衡水市中考模擬）若等式根據等式的性質變形得到，則滿足的條件是（ ）
A．相等 B．互為倒數 C．互為相反數 D．無法確定
考點二 一元一次方程
一元一次方程的概念：只含有一個未知數，且未知數的次數都是1，這樣的整式方程叫一元一次方程.
一元一次方程標準形式：ax+b=0（x為未知數，a、b是常數且a≠0）
解一元一次方程的基本步驟：
題型01 判斷一元一次方程
【例1】（2020·浙江·模擬預測）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式1-1】（2021·貴州·一模）已知關于的方程是一元一次方程，則方程的解為（ ）
A．-2 B．2 C．-6 D．-1
【變式1-2】（2023 九江市一模）已知是關于的一元一次方程，則值為 ．
【變式1-3】（2023武威市一模）若方程是關于x的一元一次方程，則 ．
題型02 解一元一次方程
【例2】（2021·廣西桂林·中考真題）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
【變式2-1】（2023·內蒙古包頭·校考一模）若的值與互為相反數，則x的值為（ ）
A．1 B． C．3 D．
【變式2-2】（2023·河北秦皇島·一模）如果單項式與是同類項，那么關于x的方程的解為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2019·山東濟南·中考真題）代數式與代數式的和為4，則 ．
【變式2-4】（2023 揚州市三模）規定一種新的運算：，求的解是 ．
【變式2-5】（2023·四川成都·二模）若實數a，b，c滿足，且，則 ．
【變式2-6】（2021·山東煙臺·中考真題）幻方歷史悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方．將數字1~9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對角線上的數字之和都是15，則a的值為 ．
題型03 一元一次方程的特殊解題技巧
【類型一】分母含小數的一元一次方程
技巧1 巧化分母為1
【例3】解方程：
【變式3-1】解方程：．
技巧2 巧化同分母
【例4】解方程：．
技巧3 巧約分去分母
【例5】解方程：
【變式5-1】解方程：
【類型二】分子、分母為整數的一元一次方程
技巧1 巧用拆分法
【例6】解方程：
【變式6-1】解方程：．
【變式6-2】解方程：．
【變式6-3】解方程：．
技巧2 巧用對消法
【例7】解方程：．
技巧3 巧通分
【例8】解方程：．
【類型三】含括號的一元一次方程
技巧1 利用倒數關系去括號
【例9】解方程：
【變式9-1】解方程：解方程
技巧2 整體合并去括號
【例10】解方程：；
【變式10-1】解方程：．
技巧3 整體合并去分母
【例11】解方程：．
【變式11-1】解方程：．
技巧4 由外向內去括號
【例12】解方程：解方程：．
技巧5 由內向外去括號
【例13】解方程：．
【變式13-1】解方程：．
題型04 錯看或錯解一元一次方程問題
【例14】（2022·貴州黔西·中考真題）小明解方程的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得①
去括號，得②
移項，得③
合并同類項，得④
以上解題步驟中，開始出錯的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【變式14-1】（2023·浙江杭州·一模）以下是圓圓解方程的解答過程．
解：兩邊同乘以3，得，
移項，合并同類項，得，
兩邊同除以2，得，
圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．
【變式14-2】（2023·湖南長沙·校考二模）下面是小穎同學解一元一次方程的過程，請認真閱讀并解答問題．
解方程： 解：去分母，得……第一步 去括號，得……第二步 移項，得……第三步 合并同類項，得，……第四步 方程兩邊同除以－1，得．……第五步
(1)以上求解過程中，第三步的依據是_________．
A．等式的基本性質 B．不等式的基本性質 C．分式的基本性質 D．乘法分配律
(2)從第_________步開始出現錯誤；
(3)該方程正確的解為____________
【變式14-3】（2022·浙江杭州·中考真題）計算：．圓圓在做作業時，發現題中有一個數字被墨水污染了．
(1)如果被污染的數字是，請計算．
(2)如果計算結果等于6，求被污染的數字．
【變式14-4】在做解方程練習時，有一個方程“yy+■”，題中■處不清晰，李明問老師，老師只是說：“■是一個有理數，該方程的解與當x＝2時整式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4的值相同．”依據老師的提示，請你幫李明找到“■”這個有理數，并求出方程的解．
考點三 二元一次方程（組）
題型01 二元一次方程（組）的概念
【例1】（2023·江蘇無錫·中考真題）下列4組數中，不是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023·江蘇無錫·校聯考一模）若二元一次方程組的解為，則 ．
【變式1-2】（2023 蚌埠市二模）若方程是關于x，y的二元一次方程，則m的值為 ．
題型02 解二元一次方程組
【例2】（2023·江蘇連云港·中考真題）解方程組
【變式2-1】（2022·山東淄博·中考真題）解方程組：
題型03 二元一次方程組特殊解法
類型一 引入參數法
解題技巧：當方程組中出現x/a=y/b的形式時，常考慮先用參數分別表示出x，y的值，然后將x，y的值代入另一個方程求出參數的值，最后將參數的值回代就能求出方程組的解.
【例3】用代入法解方程組：
【變式3-1】用代入法解方程組：
類型二 特殊消元法-方程組中兩未知數系數之差的絕對值相等
解題技巧：觀察方程組1和2的系數特點，數值都比較大.如果用常規的代入法或加減法來解，不僅計算量大，而且容易出現計算錯誤.根據方程組中的兩個未知數的對應系數之差的絕對值相等，先化簡，再用代入法或加減法求解，更為簡便.
【例4】解方程組：．
【變式4-1】閱讀下列解方程組的方法，然后解決問題．
解方程：
解：①-②，即③
③×16，得④
②-④，得．
把，代入③，得．解得．
所以原方程組的解為：
(1)請仿照上面的方法解方程組：；
(2)請猜想關于x，y的方程組的解，并利用方程組的解加以驗證
類型三 特殊消元法-方程組中兩未知數系數之和的絕對值相等
解題技巧：當兩式相加時，x和y的系數相等，化簡即可得到x+y=a;當兩式相減時，x和y的系數互為相反數，化簡即可得到-x+y=b.由此達到化簡方程組的目的.
【例5】解方程組：．
【變式5-1】感悟思想：
有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：
已知實數x，y滿足①，②，求和的值．
思考：本題常規思路是將①②聯立成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數式得到答案，有的問題用常規思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值．
如①-②可得①+②×2可得．
這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．
體會思想：
(1)已知二元一次方程組，則______，______．
(2)解方程組：
(3)某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？
類型四 換元法
【例6】解方程組：．
【變式6-1】閱讀材料：善于思考的李同學在解方程組時，采用了一種“整體換元”的解法．
解：把，成一個整體，設，，原方程組可化為
解得：．∴，∴原方程組的解為．
(1)若方程組的解是，則方程組的解是__________．
(2)仿照李同學的方法，用“整體換元”法解方程組．
【變式6-2】數學方法：
解方程組：，若設，，則原方程組可化為，解方程組得，所以，解方程組得，我們把某個式子看成一個整體，用一個字母去替代它，這種解方程組的方法叫做換元法．
(1)直接填空：已知關于x，y的二元一次方程組，的解為，那么關于m、n的二元一次方程組的解為： ．
(2)知識遷移：請用這種方法解方程組．
(3)拓展應用：已知關于x，y的二元一次方程組的解為，
求關于x，y的方程組的解．
類型五 同解交換法
解題技巧：先將兩個方程組中不含字母a、b的兩個方程聯立,求得方程組的解,然后由“方程組的解適合每一個方程”得到關于a、b 的二元一次方程組,進而確定a、b的值.
【例7】（2020·廣東·中考真題）已知關于，的方程組與的解相同．
（1）求，的值；
（2）若一個三角形的一條邊的長為，另外兩條邊的長是關于的方程的解．試判斷該三角形的形狀，并說明理由．
【變式7-1】若關于x，y的二元一次方程組，和有相同的解．
(1)求這兩個方程組的解；
(2)求代數式的值．
類型六 主元法
解題技巧：本題不能直接求出x，y，z的值，這時可以把其中一個未知數當成一個常數，然后用含這個未知數的式子去表示另外兩個未知數.
【例8】已知（x，y，z均不為0），求的值．
【變式8-1】（2023·浙江·模擬預測）實數滿足．則 ．
題型04 錯看或錯解二元一次方程組問題
【例9】在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的，得到的解為，乙看錯了方程組中的b，得到的解為．則原方程組的解（　 ）
A． B． C． D．
【變式9-1】（2023·廣西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程組的過程，請認真閱讀并完成相應任務．
解：
第一步：由①得， ③；
第二步：將③代入②，得
第三步：解得
第四步：將代入③，解得；
第五步：所以原方程組的解為
任務一：小亮解方程組用的方法是________消元法．（填“代入”或“加減”）；
任務二：小亮解方程組的過程，從第________步開始出現錯誤，錯誤的原因是________．
任務三：請寫出方程組正確的解答過程．
【變式9-2】（2021·浙江嘉興·二模）解方程組：．
小海同學的解題過程如下：
解：由②，得③……（1）
把③代入①，得：……（2）
解得：……（3）
把代入③，得……（4）
∴此方程組的解為……（5）
判斷小海同學的解題過程是否正確，若不正確，請指出錯誤的步驟序號，并給出正確的解題過程．
題型05 構造二元一次方程組求解
【例10】（2022·貴州黔東南·中考真題）若，則的值是 ．
【變式10-1】（2019·江蘇宿遷·中考真題）下面3個天平左盤中“△”“□”分別表示兩種質量不同的物體，則第三個天平右盤中砝碼的質量為 ．
【變式10-2】（2022·湖南長沙·校考一模）如果單項式與是同類項，那么的值為 ．
【變式10-3】請你根據下圖中所給的內容，完成下列各小題．
我們定義一個關于非零常數a，b的新運算，規定：．例如：．
(1)如果，，求y的值；
(2)，，求x，y的值．
題型06 解三元一次方程組
【例11】（2023·上海長寧·二模）已知拋物線經過點，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式11-1】已知方程組的解滿足x＋y＝3，則k的值為(　　)．
A．10 B．8 C．2 D．－8
【變式11-2】（2022·四川眉山·校考一模）已知：，，．求代數式a＋b＋c的值．
考點四 一次方程（組）的應用
用方程解決實際問題的步驟：
審：理解并找出實際問題中的等量關系;
設：用代數式表示實際問題中的基礎數據;
列：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程;
解：求解方程;
驗：考慮求出的解是否具有實際意義;
答：實際問題的答案.
與一次方程（組）有關應用題的常見類型：
題型01 利用一元一次方程解決實際問題
類型一 配套問題
【例1】（2022 濱州市二模）某車間有26名工人，每人每天可以生產800個螺釘或1000個螺母，1個螺釘需要配2個螺母，為使每天生產的螺釘和螺母剛好配套．設安排x名工人生產螺釘，則下面所列方程正確的是（ ）A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x
【變式1-1】（2023哈爾濱市三模）某車間有27名工人，生產某種由一個螺栓套兩個螺母組成的產品，每人每天生產螺母64個或螺栓22個．若分配x名工人生產螺栓，其它工人生產螺母，恰好使每天生產的螺栓和螺母配套，則下面所列方程中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2023西安尊德中學二模）制作一張方桌要用1個桌面和4條桌腿，若1m3木材可制作20個桌面或400條桌腿，現有12m3木材，要使生產出來的桌面和桌腿恰好都配成方桌，求應安排多少木材用來制作桌面．
類型二 工程問題
【例2】（2022·遼寧阜新·一模）某工程甲單獨完成要25天，乙單獨完成要20天．若乙先單獨干10天，剩下的由甲單獨完成，設甲、乙一共用天完成，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023·福建泉州·福建省泉州第一中學校考模擬預測）某工人在規定的時間內做完一批零件，若每小時做個就可以超額完成個，若每小時做個就可以提前完成，則這批零件一共有多少個？設這批零件一共有個，則根據題意得到的正確方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2023·安徽合肥·二模）整理一批圖書，如果由一個人單獨做要用，現先安排一部分人用整理，隨后又增加5人和他們一起又做了，恰好完成整理工作，假設每個人的工作效率相同，那么一共安排整理的人員有多少？
類型三 增長率問題
【例3】（2022·安徽合肥·模擬預測）一種商品，先提價20%，再降價10%，這時的價格是2160元．則該商品原來的價格是（ ）
A．2400元 B．2200元 C．2000元 D．1800元
【變式3-1】（2023蚌埠高新區模擬）受季節影響，某商品每件售價按原價降低a%再降價8元后的售價是100元，那么該商品每件的原售價可表示為（ ）
A． B． C． D．
類型四 銷售利潤問題
【例4】（2023寧波市一模）互聯網“微商”經營已成為大眾創業新途徑，某微信平臺上一件商品標價為200元，按標價的五折銷售，仍可獲利20元，則這件商品的進價為（ ）
A．120元 B．100元 C．80元 D．60元
【變式4-1】（2023巴東縣模擬）一商店在某一時間以每件120元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利20%，另一件虧損20%，在這次買賣中，這家商店（　　）
A．不盈不虧 B．盈利20元 C．虧損10元 D．虧損30元
【變式4-2】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考三模）某種商品進價為200元，標價為300元．現打折銷售，要使利潤率為．則需打幾折？
類型五 比賽積分問題
【例5】（2023·湖南長沙·長沙麓山國際實驗學校校考模擬預測）全國青少年校園足球聯賽，是國內歷史最久遠、覆蓋范圍最廣的中學足球賽事，在小組賽中，每小組有個隊，小組內進行單循環賽（兩支球隊間只比賽一場），已知勝一場積分，平一場積分，負一場積分，小組賽結束后，積分前兩名（相同積分比較凈勝球）可以進入下一輪比賽如表是某次小組賽的積分表：
排名 球隊 積分
甲
乙
丙
丁
如果本小組比賽中只有一場戰平，根據此表，可以推斷丁隊的積分是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2022·河北石家莊·校考模擬預測）在全國足球甲級A組的前輪比賽中，某隊保持不敗，共積累分．按比賽規則，勝一場得分，平一場得分，那么該隊勝的場數是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2022·陜西西安·西安市西光中學校考二模）為有效落實雙減工作，切實做到減負提質，很多學校高度重視學生的體育鍛煉，并不定期舉行體育比賽．已知在一次足球比賽中，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，某隊在已賽的11場比賽中保持連續不敗，共得25分，求該隊獲勝的場數．
類型六 方案選擇問題
【例6】（2023·陜西西安·高新一中校考三模）、兩家旅行社推出家庭旅游優惠活動，兩家旅行社的票價均為每人元，但優惠的辦法不同，旅行社的優惠辦法是：全家有一人購全票，其余的人半價優惠；旅行社的優惠辦法是：全家每人均按折票價優惠．請問當家庭的人數是多少時，兩家旅行社的費用相同？
【變式6-1】（2023懷遠縣二模）現需運送一批貨物，有甲、乙兩種型號貨車可供選擇．兩種型號貨車出租價格如表：
起步價/元 限定里程/km 超限定里程（元/km）
甲 108 80 3
乙 180 100 2
租用甲種型號貨車在限定里程80km內，只需付起步價108元，超過限定里程的部分按3元/km收費，租用乙種型號貨車在限定里程100km內，只需支付起步價180元，超過限定里程的部分按2元/km收費，設里程為x千米．
（1）當x＞100時，用x分別表示租用甲、乙兩種型號貨車的費用；
（2）當里程為多少千米時，租用兩種型號的貨車費用相等？
類型七 數字問題
【例7】（2023·山東濱州·一模）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方（如圖1），將9個數填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個橫行、每個豎列、每條對角線上的三個數字之和都相等，就得到一個廣義的三階幻方．圖2的方格中填寫了一些數字和字母，若能構成一個廣義的三階幻方，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【變式7-1】（2022·浙江杭州·杭州綠城育華學校校考模擬預測）一個兩位數的個位數字與十位數字都是，如果將個位數字與十位數字分別加和，所得的新數比原數大，則可列的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
類型八 日歷問題
【例8】（2023增城區一模）在一張掛歷上，任意圈出同一列上的三個數的和不可能是(　)
A．4 B．33 C．51 D．27
【變式8-1】將連續的偶數2，4，6，8，…排成下圖所示，若將十字框上下左右移動，可框住五個數，這五個數的和可能等于（ ）
A．123 B．115 C．240 D．400
【變式8-2】（2023·河北廊坊·校考三模）2023年4月的日歷上圈出了相鄰的三個數、、，并求出了它們的和為36，這三個數在日歷中的排布不可能是（ ）
A． B． C． D．
類型九 幾何問題
【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中學校考一模）如圖，在數軸上，點、分別表示數、，且、互為相反數，若，則點表示的數為（ ）

A．8 B．4 C．0 D．
【變式9-1】（2023·廣西南寧·一模）學習《設計制作長方體形狀的包裝紙盒》后，小寧從長方形硬紙片上截去兩個矩形（圖中陰影部分），再沿虛線折成一個無蓋的長方體紙盒．紙片長為，寬為，，則該紙盒的容積為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-2】如圖，把一塊長為的長方形硬紙板的四角剪去四個邊長為的小正方形，然后把紙板沿虛線折起，做成一個無蓋長方體紙盒，若紙盒的體積是，則長方形硬紙板的寬為多少？
類型十 和差倍分問題
【例10】（2020·湖南張家界·中考真題）《孫子算經》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車：若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？設共有x人，可列方程（ ）A． B． C． D．
【變式10-1】（2022·江蘇蘇州·一模）我國古代著作《增刪算法統宗》中記載了一首古算詩：“林下牧童鬧如簇，不知人數不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齊足．”其大意是：牧童們在樹下拿著竹竿高興地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若設牧童有x人，根據題意可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式10-2】（2022·江蘇宿遷·二模）我國明代數學讀本《算法統宗》中有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩，還剩4兩；若每人9兩，還差8兩．問銀子共有幾兩？設銀子共有x兩，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式10-3】（2022·廣東·中考真題）《九章算術》是我國古代的數學專著，幾名學生要湊錢購買1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學生人數和該書單價各是多少？
類型十一 行程問題
【例11】（2023·湖北荊州·一模）野鴨從南海起飛，7天飛到北海；大雁從北海起飛，9天飛到南海．現野鴨與大雁分別從南海和北海同時起飛，問經過多少天相遇？設野鴨與大雁經過x天相遇，根據題意，下面所列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式11-1】（2023 天水市一模）船在靜水中的速度為36千米/時，水流速度為4千米/時，從甲碼頭到乙碼頭再返回甲碼頭，共用了9小時（中途不停留），設甲、乙兩碼頭的距離為千米，則下面所列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式11-2】（20223延邊州一模）我國元朝數學家朱世杰所著的《算學啟蒙》中記載了一道問題，大意是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里．慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？如果設快馬x天可以追上慢馬，那么根據題意可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式11-3】（2022·湖南常德·中考真題）小強的爸爸平常開車從家中到小強奶奶家，勻速行駛需要4小時，某天，他們以平常的速度行駛了的路程時遇到了暴雨，立即將車速減少了20千米／小時，到達奶奶家時共用了5小時，問小強家到他奶奶家的距離是多少千米？
【變式11-4】（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考二模）A、B兩地相距300千米，甲車從A地開往B地，乙車從B地開往A地．已知兩車同時出發，乙車的速度是甲車的1.5倍．
(1)若2小時后兩車還未相遇，此時兩車相距100千米，求甲車的速度；
(2)若乙車中途因故停留了75分鐘，從而與甲車同時到達目的地，求甲車的速度．
題型02 利用二元一次方程解決實際問題
類型一 配套問題
【例12】（2023衢州市一模）一種飲料有兩種包裝，5大盒、3小盒共裝150瓶，2大盒、6小盒共裝100瓶，大盒與小盒每盒各裝多少瓶？設大盒裝x瓶，小盒裝y瓶，則可列方程組（ ）
A． B．
C． D．
【變式12-1】工廠需要用鐵皮制作包裝盒，每張鐵皮可制作盒身15個，或制作盒底20個，一個盒身與兩個盒底配成一套包裝盒．現有40張鐵皮，設用張制作盒身，張制作盒底，恰好配套制成包裝盒，則下列方程組中符合題意的是（ ）
A． B． C． D．
類型二 方案選擇問題
【例13】（2022·黑龍江·中考真題）國家“雙減”政策實施后，某校開展了豐富多彩的社團活動．某班同學報名參加書法和圍棋兩個社團，班長為參加社團的同學去商場購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費360元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購買方案？（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【變式13-1】（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）端午節前夕，某食品加工廠準備將生產的粽子裝入A、B兩種食品盒中，A種食品盒每盒裝8個粽子，B種食品盒每盒裝10個粽子，若現將200個粽子分別裝入A、B兩種食品盒中（兩種食品盒均要使用并且裝滿），則不同的分裝方式有（ ）
A．2種 B．3種 C．4種 D．5種
【變式13-2】（2021·四川瀘州·中考真題）某運輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸．
（1）請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？
（2）目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完(A、B兩種貨車均滿載)，其中每輛A貨車一次運貨花費500元，每輛B貨車一次運貨花費400元．請你列出所有的運輸方案，并指出哪種運輸方案費用最少．
類型三 年齡問題
【例14】（2021淮濱縣一模）甲是乙現在的年齡時，乙10歲，乙是甲現在的年齡時，甲25歲，那么（ ）
A．甲比乙大5歲 B．甲比乙大10歲
C．乙比甲大10歲 D．乙比甲大5歲
【變式14-1】（2021·江蘇無錫·一模）一天，小民去問爺爺的年齡，爺爺說：“我若是你現在這么大，你還要40年才出生呢，你若是我現在這么大，我已經是老壽星了，125歲了，哈哈！”請你寫出小民爺爺到底是 歲．
【變式14-2】（2022·安徽蕪湖·校考一模）已知甲是乙現在的年齡時，乙10歲，乙是甲現在的年齡時，甲25歲，求甲、乙現在的年齡的差．
類型四 幾何問題
【例15】（2023·河北保定·二模）張師傅要制作一個無蓋長方體玻璃魚缸，切割出來的幾塊玻璃的尺寸如圖所示（單位：dm），則其體積為（ ）

A． B． C． D．
【變式15-1】（2021·廣東深圳·校考一模）利用兩塊完全一樣的長方體木塊測量一張桌子的高度，首先按圖①所示的方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖②所示的方式放置．測量的數據如圖，則桌子的高度等于（ ）
A． B． C． D．
【變式15-2】（2023·西藏·中考真題）列方程（組）解應用題：如圖，巴桑家客廳的電視背景墻是由塊形狀大小相同的長方形墻磚砌成．

(1)求一塊長方形墻磚的長和寬；
(2)求電視背景墻的面積．
類型五 行程問題
【例16】（2020·福建福州·校考模擬預測）甲、乙二人同時同地出發，都以不變的速度在300米環形跑道上奔跑，若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，則每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，設甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，則可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式16-1】（2023·浙江臺州·一模）作業本中有這樣一道題：“小明去郊游上午9時從家中出發，先走平路，然后登山，中午12時到達山頂，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3時到家．若他平路每小時走，登山每小時走，下山每小時走，求小明家到山頂的路程．”小李查看解答時發現答案中的方程組中有污損，，則答案中另一個方程應為（ ）
A． B． C． D．
【變式16-2】設甲、乙兩車在同一直線公路上勻速行駛，開始甲車在乙車的前面，當乙車追上甲車后，兩車停下來，把乙車的貨物轉給甲車，然后甲車繼續前行，乙車向原地返回．設x秒后兩車間的距離為y米，y關于x的函數關系如圖所示，則甲車的速度為 （ ）
A．20米/秒 B．25米/秒 C．30米/秒 D．35米/秒
【變式16-3】（2023·黑龍江哈爾濱·一模）甲、乙兩車分別從相距200千米的A、B兩地相向而行，甲乙兩車均保持勻速行駛，若甲車行駛2小時，乙車行駛3小時，兩車恰好相遇：若甲車行駛4小時，乙車行駛1小時，兩車也恰好相遇．
(1)求甲乙兩車的速度（單位：千米/小時）是多少．
(2)若甲乙兩車同時按原速度行駛了1小時，甲車發生故障不動了，為了保證乙車再經過不超過2小時與甲車相遇，乙車提高了速度，求乙車提速后的速度至少是每小時多少千米？
類型六 古代問題
【例17】（2023·浙江紹興·中考真題）《九章算術》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個，小容器1個，總容量為3斛（斛：古代容是單位）；大容器1個，小容器5個，總容暴為2斛．問大容器、小容器的容量各是多少斛？設大容器的容量為斛，小容器的容量為斛，則可列方程組是（ ）
A． B． C． D．
【變式17-1】（2023·青海西寧·中考真題）《孫子算經》中有一道題，原文是：今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余尺．問木長多少尺？設木長尺，繩長尺，根據題意列方程組得（ ）
A． B． C． D．
【變式17-2】（2023龍崗區一模）《九章算術》是我國古代數學的經典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等．交易其一，金輕十三兩．問金、銀一枚各重幾何？”．意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等．兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計）．問黃金、白銀每枚各重多少兩？設每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據題意得（　　）
A．B．
C．D．
【變式17-3】（2022·江蘇徐州·中考真題）《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，問禽、獸各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸與鳥共有76個頭與46只腳．問獸、鳥各有多少？
根據譯文，解決下列問題：
(1)設獸有x個，鳥有y只，可列方程組為 ；
(2)求獸、鳥各有多少．
類型七 圖表問題
【例18】（2021·湖南邵陽·中考真題）為慶祝中國共產黨成立100周年，某校計劃舉行“學黨史·感黨恩”知識競答活動，并計劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為獎品．采購員劉老師在某文體用品購買了作為獎品的三種物品，回到學校后發現發票被弄花了，有幾個數據變得不清楚，如圖．
請根據圖所示的發票中的信息，幫助劉老師復原弄花的數據，即分別求出購置鋼筆、筆記本的數量及對應的金額．
【變式18-1】（2022宜昌市中考診斷）一批貨物要運往某地，貨主準備租用汽車運輸公司的甲、乙兩種貨車．已知過去兩次租用這兩種貨車的情況如下表：
第一次 第二次
甲種貨車輛數（輛） 2 5
乙種貨車輛數（輛） 3 6
累計運貨噸數（噸） 15.5 35
現租用該公司3輛甲種貨車及5輛乙種貨車一次剛好運完這批貨，如果按每噸付運費30元計算，問貨主應付運費多少元？
【變式18-2】（2021·貴州貴陽·中考真題）為慶祝“中國共產黨的百年華誕”，某校請廣告公司為其制作“童心向黨”文藝活動的展板、宣傳冊和橫幅，其中制作宣傳冊的數量是展板數量的5倍，廣告公司制作每件產品所需時間和利潤如下表：
產品 展板 宣傳冊 橫幅
制作一件產品所需時間（小時） 1
制作一件產品所獲利潤（元） 20 3 10
（1）若制作三種產品共計需要25小時，所獲利潤為450元，求制作展板、宣傳冊和橫幅的數量；
（2）若廣告公司所獲利潤為700元，且三種產品均有制作．求制作三種產品總量的最小值．
類型八 工程問題
【例19】（2022定安縣一模）為了打造環湖風光帶，現有一段長為88米的河道清淤任務，由甲、乙兩個工程隊先后接力完成．甲工程隊每天清理10米，乙工程隊每天清理8米，共用時10天，則甲乙工程隊各清理了幾天？
【變式19-1】（2021昭通市一模）計劃對河道進行改造，現有甲乙兩個工程隊參加改造施工，受條件限制，每天只能由一個工程隊施工．若甲工程隊先單獨施工天，再由乙工程隊單獨施工天，則可以完成米施工任務：若甲工程隊先單獨施工天，再由乙工程對單獨施工天，則可以完成米的施工任務．
（1）求甲、乙兩個工程隊平均每天分別能完成多少米施工任務？
（2）該河道全長米，若兩隊合作工期不能超過天，乙工程隊至少施工多少天？
21世紀教育網(www.21cnjy.com)概念：表示相等關系的式子，叫做等式】
等式的基本性質
1)如果a=b,則a±c=b±c
2)如果a=b,則ac=bc；如果a=b,則a/c=a/c(c≠0)
題型01利用等式的性質判斷變形正誤
★性質
題型02利用等式的性質求解
3)如果a=b,則b=a(對稱性)】
4)如果a=b,b=c,則a=c(傳遞性)
題型01判斷一元一次方程
題型02解一元一次方程」
題型03一元一次方程的特殊解題技巧
【類型一】分母含小數的一元一次方程
技巧1巧化分母為
技巧2巧化同分母
技巧3巧約分去分母
概念：只含有一個未知數，且未知數的次數都是1，這樣的整式方程叫一元一次方程，
【類型二】分子、分母為整數的一元一次方程
一元一次方程
一元一次方程標準形式：ax+b=0(x為未知數，a、b是常數且a≠0)
技巧1巧用拆分法
技巧2巧用對消法
★解一元一次方程的基本步驟及注意事項
技巧3巧通分
【類型三】含括號的一元一次方程
技巧1利用倒數關系去括號
技巧2整體合并去括號
技巧3整體合并去分母
技巧4由外向內去括號
技巧5由內向外去括號
題型04錯看或錯解一元一次方程問題
概念：含有兩個未知數，并且未知數的項的次數都是
1,像這樣的方程叫做二元一次方程.
般形試：ax+by+c=0(a≠0，b≠0)
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的
一次方程（組）及其應用
值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解
二元一次方程（組）相關概念
概念：把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一
題型01二元一次方程（組）的概念
起，叫做二元一次方程組.
題型02解二元一次方程組
題型03二元一次方程組特殊解法
ax+by=C1
類型一引入參數法
類型二特殊消元法-方程組中兩未知數系數之差的絕對值相等
一般形式：
a2X+b2Y=C2
(a1b2和a2b1不同時為0)
類型三特殊消元法-方程組中兩未知數系數之和的絕對值相等
二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個
類型四換元法
類型五同解交換法
方程的公共解，叫做二元一次方程組的解，
二元一次方程（組）
類型六主元法
代入消元法
題型04錯看或錯解二元一次方程組問題
題型05構造二元一次方程組求解
★二元一次方程（組）解法
加減消元法
題型06解三元一次方程組
、換元法
定義：方程組含有三個不同的未知數每個方程中含有未知數的
項的次數都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元
三元一次方程組[選學]
一次方程組.
基本步驟：1)變形，2)求解，3)回代4)求解，5)寫解
題型01利用一元一次方程解決實際問題
類型一配套問題
類型二工程問題
類型三增長率問題
類型四銷售利潤問題
類型五比賽積分問題
類型六方案選擇問題
類型七數字問題
類型八日歷問題
用方程解決實際問題的步驟：審、設、列、解、驗、答
類型九幾何問題
一次方程（組）的應用
類型十和差倍分問題
★與一次方程（組）有關應用題的常見類型(11種解題方法)
類型十一行程問題
題型02利用二元一次方程解決實際問題
類型一配套問題
類型二方案選擇問題
類型三年齡問題
類型四幾何問題
類型五行程問題
類型六古代問題
類型七圖表問題
類型八工程問題

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