資源簡介

冪的運算中的幾種思維火花
冪的運算法則，課本上學過的有：
（1）同底數冪相乘，底數不變，指數相加：.
（2）積的乘方，每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘 ： .
（3）冪的乘方，底數不變，指數相乘： .
（4）同底數冪相除，底數不變，指數相減： .
這些法則都是在有理數運算的基礎上討論的，法則中的底數字母可以代表數字，也可以是代數式，而指數字母目前只代表正整數. 這些法則運用時還要注意幾種數學思想的提煉，這樣才會靈活處理各種問題.
（1） 數字到字母的遷移思維
[例1] 計算 .
（分析）問題還是同底數冪的乘法，只不過指數不是具體的數字，變成代數式了，我們仍然可以運用法則，指數相加時要注意合并同類項.
[解] 原式==.
（注）事實上我們所學的冪的運算法則中，指數都可以擴展為字母或代數式.
[例2 ] 計算 .
（分析）看作冪，看作乘方指數，指數相乘時，要注意有括號的作用：2=.
[解] 原式==.
（2） 整體思維
[例3]計算 .
（分析）如果想到，這樣就可以把看作一個整體，作為底數，進行同底數冪的乘法.
[解] 原式==.
（注）法則中的底數都可以是數字、字母、代數式，要注意觀察其特點，靈活運用法則進行運算.
[例4]計算 .
（分析）被除式和除式分別是積的乘方，但是兩個積相同，我們還是把看作一個整體，先進行同底數冪的除法，再進行積的乘方.
[解] 原式=.
（注）該題有兩種思路，可以分別試算一下，然后再選擇一種簡便方法.
（3） 逆向思維
[例5] 計算 .
（分析）指數太大，直接乘方計算無法進行。若倒退一步，把看作，再用結合律計算，這時再倒退一步=，這樣計算起來會非常簡便了.
[解] 原式===.
（注）數字太大的計算問題，一般都會有簡便方法，不要直來直去，要知道有時“退一步海闊天空”啊！
[例6] 已知 ，求的值.
（分析）所求與已知相離太遠, 倒退著聯想=，這樣已知數正好利用上.
[解] ===100.
（注）我們所學過的幾個冪的運算法則都可以逆用，適當后退，為了更好的前進.
（4） 有限到無限的遞推思維
[例7 ]計算 .
（分析）多個同底數冪相乘，我們還可以應用法則：底數不變，所有的指數相加.
[解] 原式=.
（注）法則都可以拓展應用，處理復雜問題時要注意理解選用.
冪的運算法則也可以逆用喲
學習同底數冪的乘法，冪的乘方，積的乘方及同底數冪的除法的運算法則，同學們不僅要熟練掌握這些法則進行有關的冪的運算，還要會逆用這些法則來解決一些問題.
1、 同底數冪的乘法法則的逆用
同底數冪的乘法法則為：am·an=am+n（m，n為正整數），將其逆用為am+n=am·an（m，n為正整數）.
例1 已知3m=9，3n=27，求3m+n+1的值.
分析：根據同底數冪的乘法法則的逆用，可得3m+n+1=3m·3n·3，然后將3m=9，3n=27代入計算即可.
解：3m+n+1=3m·3n·3=9×27×3=729.
評注：根據本題的已知條件，也可以直接求出m，n的值代入計算.
二、冪的乘方法則的逆用
冪的乘方的運算法則為(am)n=amn(m,n為正整數),將其逆用為amn=(am)n(m,n為正整數).
例2 已知ab=9,求a3b-a2b的值.
分析:根據已知條件ab=9,可以逆用冪的運算法則將a3b化為(ab)3,a2b化為(ab)2,然后將ab=9代入計算.
解: a3b-a2b=(ab)3-(ab)2=93-92=9×92-92=92(9-1)=81×8=648.
評注:根據已知條件不易直接求到a,b的值,此時可求到逆用冪的運算法則進行變形計算.
三、積的乘方運算法則的逆用
積的乘方的運算法則為(ab)n=an·bn(n為正整數),將其逆用為(ab)n=an·bn(n為正整數).
例3 已知am=16,bm=81,求(a2b)m的值.
分析:根據已知條件不容易直接求到a,b,m的值,此時可逆用積的乘方運算法則,將(a2b)m變為a2m·bm,然后將已知條件代入求值.
解: (a2b)m=(a2)m·bm=(am)2·bm=162×81=20736.
評注:當已知條件是冪的形式,所求式子是積的乘方的形式時,可思考逆用積的乘方運算法則進行代入求值.
四、同底數冪的除法法則的逆用
同底數冪的除法的運算法則為am÷an=am-n（a≠0，m>n,m,n為正整數,且m>n）,將其逆用為am-n=am÷an（a≠0，m>n,m,n為正整數,且m>n）.
例4 已知am=64,an=16,求a3m-4n的值.
分析:根據已知條件不易求到a,m,n的值,觀察a3m-4n的指數是差的形式,此時可思考逆用同底數冪的除法的法則,得到a3m-4n=a3m÷a4n,然后再逆用冪的乘方法則,得到a3m÷a4n=(am)3÷(an)4,最后將已知條件代入即可.
解: a3m-4n=a3m÷a4n=(am)3÷(an)4=643÷164=(26)3÷(24)4=218÷216=22=4.
評注:當待求值的是冪的形式,且指數為差的形式,此時可想到逆用冪的運算法則進行變形求值.
整式探究規律題大聚會
整式這部分內容知識點瑣碎，概念性強，題型多為填空題和選擇題，有時還設計了開放探索型試題，這類規律探究問題很值得同學們注意，它考查了同學們實際應用與創新的能力，下面將整式中的規律問題歸納如下，供同學們學習時參考.
一、探究等式中的規律
例1（重慶綦江）觀察下列等式：
；
；
；
…………
則第（是正整數）個等式為________.
分析：在對這些式子進行規律探索的時候，要找出哪些數是不變的，哪些數是隨式子差的變化而逐步變化的．然后就可以用n來表示這些逐步變化的數．
解：由所給的等式可看出等式左邊后面的每個底數比前面的每個底數多1，等式右邊第一個數不變，第二個數后面的數比前面的數多2，由此可得第（是正整數）個等式為
.
評注：解答規律問題的關鍵是能根據題意找出相應的一般形式，然后求出相應的值.學過字母表示法后，凡按某種規律列的數、式或圖形的變化規律等問題，都可嘗試用式子表示，這類題目在中考中經常出現.
二、探究表格中的規律
例2（臺州市）將正整數1，2，3，…從小到大按下面規律排列．若第4行第2列的數為32，則① ；②第行第列的數為 （用，表示）．
　　 　　　 第列 第列 第列 … 第列
第行 1 …
第行 …
第行 …
… … … … … …
分析：（1）從表中反映出第列數，由第4行第2列的數為32，求出第4行第2列的數的代數式，解的方程即可.（2）按照排列規律求出第行第列的數.
解：（1）第4行第2列的數的代數式為，由題意得，，.
（2）.或.
評注：解答此類題目的一般方法是：從特殊情形入手，觀察和分析所給表格的規律，然后歸納和總結出一般性的結論.
三、探究圖形中的規律
例3（廣東省中山）用同樣規格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚，按下圖的方式鋪地板，則第（3）個圖形中有黑色瓷磚______塊，第n個圖形中需要黑色瓷磚__________塊（用含n的代數式表示）.
分析：觀察第⑴個圖形有黑色瓷磚4塊；第⑵個圖形有黑色瓷磚4＋3＝7（塊），第⑶個圖形中有黑色瓷磚4＋3＋3＝10（塊），…，依次規律可得第（）個圖形中有黑色瓷磚4＋3（）＝（塊）.
解：10，（）.
評注：解答此類問題要仔細觀察每個圖形及變化規律，根據規律歸納總結出結論。
四、探究火柴棒擺圖規律
例7（婁底市）王婧同學用火柴棒擺成如下的三個“中”字形圖案，依此規
律，第n個“中”字形圖案需 根火柴棒.
分析：解答探索規律問題時，要仔細觀察題設條件，從簡單情形入手，從而猜想、歸納、概括出一般規律、然后根據規律公式解答問題.
解：如（1）“中”字形圖案用火柴棒9根，即；如（2）“中”字形圖案用火柴棒15根，即；如（3）“中”字形圖案用火柴棒21根，即；按排列規律依此類推，第n個“中”字形圖案需6n+3根火柴棒. （或9+6（n-1））
點評：本題要求學生能經過觀察、歸納、猜想、驗證的探究規律過程，學生在觀察出圖形之間內在規律的前提下，準確的找出其中變化與沒有變化的數量關
總之，探索規律的關鍵：1.注意觀察已知的對應數值的變化，從中發現數量關系，即得到規律.
2. 探索規律的方法：
（1）從具體的實際問題出發，常用列表的方式，展現各數量的特點及其之間的變化規律；
（2）由此及彼，合理聯想，大膽猜想；
（3）總結歸納，得出結論；
（4）驗證結論.
練習
1. 觀察下列數表：
第　　第　　第　　第
一　　二　　三　　四
列　　列　　列　　列
第一行　　　　　1　　　2　　3　　　4
第二行　　　　　2　　　3　　4　　　5
第三行　　　　　3　　　4　　5　　　6
第四行　　　　　4　　　5　　6　　　7
……　　　　　…　　　…　…　　　…
請猜想第n行第n列上的數是 。
2.觀察下列等式：
則第n個等式可以表示為 。
3．（山西省）下列圖案是晉商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗紙上所貼的剪紙，則第個圖中所貼剪紙“○”的個數為 ．
4.用同樣大小的黑色棋子按圖所示的方式擺圖形，按照這樣的規律擺下去，則第n個圖形需棋子 枚（用含n的代數式表示）.
答案：1. ； 2. . 3. 4. .
（1）
（2）
（3）
……
（1）
（2）
（3）
……
……
第1個圖
第2個圖
第3個圖
…
2 / 9整式的運算復習指導
一、知識結構圖：
二、有關的運算法則：
（一）冪的運算性質：
（1）am an=_______（m，n都是正整數）；
（2）am÷an=________（a≠0，m，n都是正整數，且m>n），特別地：a0=1（a≠0），a-p=（a≠0，p是正整數）；
（3）（am）n=______（m，n都是正整數）；
（4）（ab）n=________（n是正整數）
（5）平方差公式：（a+b）（a-b）=_________．
（6）完全平方公式：（a±b）2=__________．
點評：能夠熟練掌握公式進行運算.
答案：（1）am+n；（2）am-n；（3）amn
（4）an bn ；（5）（a+b）（a-b）=a2-b2;(6) （a±b）2=a2±2ab+ b2;
（二）整式的乘法法則：
（1）單項式相乘法則：把單項式的系數與相同的字母分別相乘、對于只在一個單項式中含有的字母則連同它的次數作為積的一個因式；
（2）多項式相乘，把一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，可以參考單項式的乘法法則，把所得到的積相加減，有同類項的要合并同類項；
（3）運算技巧的運用：整體求值、聯系待定系數法求未知的系數、次數和其中含有的字母的值；
三、考點例析：
（一）考查基本運算法則、公式等：
例1、計算： .
答案：；
點評：運用多項式相乘的法則即可；應注意符號、及其合并同類項，把結果變為簡略的形式；
例2、下列運算中正確的是（ ）
A．；B．；C．； D．
答案：D；
點評：對照相應的公式即可看出正確的答案來；
例3、下列式子中是完全平方式的是（ ）
A． B．； C．； D． ；
答案：D．
點評：對照完全平方公式：可以看出：；
而其它三個選項都是錯誤的；
（二）同類項的概念
例4、 若單項式2am+2nbn-2m+2與a5b7是同類項，求nm的值．
【點評】考查同類項的概念，由同類項定義可得 ( http: / / www. / ) 解出即可；求出：
所以：
（三）整式的化簡與運算
例5、先化簡，再求值：
， 其中．
解：
．
當時，原式．
點評：在化簡的過程中，可以適當的運用乘法公式、運算法則進行簡便運算；
（四）定義新運算：
例6、在實數范圍內定義運算“☆”，其規則為：，
則方程 ( http: / / www. / )的解為 ．17．
點評：兩次運用題目中的新運算公式：（1）；
（2），所以：，求出：；
例7、對于任意的兩個實數對和，規定：當時，有；運算“”為：；運算“”為：．設、都是實數，若，則．
點評：兩次運用題目中的新運算公式，不難求出問題的答案來：
（1）由：得出： ( http: / / www. / )，
所以：（2）
（五）整體思想的運用：
例8、計算：
分析：這里的底數為：、，而這兩個式子恰為相反數，我們可以把看做一個字母：利用負數的偶次方是正數的原則變化：、兩項的底數為，所以有：
解：原式===；
點評：底數是多項式且以固定的形式（或者某一形式的相反數）時出現，這類冪的乘積運算問題，可以把固定的形式看做一個整體，常常變化次數是偶次的冪的底數為它的相反數，這樣變化不出現“-”，便于運算；應注意變為同底數的冪的一般方法的靈活運用；
（六）巧妙變化冪的底數、指數
例9、已知：，，求的值；
點評：根據現有的知識水平，很難求出、的值來，所以我們可以把：、中的分別看作一個整體，通過整體變換進行求值，則有：
；
例10、 計算：；
分析：顯然：-0.125與8的乘積是“-1”，而(-1) 高次方值容易得出答案來：①（-1）的偶次方是1；②(-1)的奇次方是（-1）；所以變化為：；則有
原式===(-1) =-;
點評：一些互為倒數或者是互為負倒數的兩個數的冪的乘積問題，可以變化次數較高的冪是兩個同底數的冪的乘積，其中一個冪的次數恰為其倒數（或者負倒數）的次數，逆向運用積的乘方公式，即可簡化運算；
2 / 4整式運算考點匯總
《整式的運算》這一章是七年級下冊數學的重點，也是各級考試的必考內容.在各級考試中，對整式的運算的考查，形式靈活，重點突出，下面就本章的考點歸類匯總，以期對同學們的復習有所幫助.
一、整式的有關概念
例1　　單項式 的系數是_____,次數是______．
析解：單項式的次數是指所有字母的指數的和，但π是大家都知道的數.這一點要特別注意.所以的系數是，次數是2+5=7.
評注：對于整式的有關概念要有所了解，尤其是單項式和多項式的系數、次數.
二、整式的加減運算
例2　　已知一個多項式與的和等于，則這個多項式是（ ）
A． B． C． D．
析解：求一個加數，可以用和減另一個加數.由題意列式得（）=，故選A．
評注：本題考查整式的加減，在根據題意列式時注意哪一個是整體，適時填加括號，在進行計算時要先去掉括號然后合并同類項.
三、冪的運算
例3　　計算_________.
析解：首先看清楚冪的運算的類型，此題是積的乘方，根據其法則，先把每一個因式分別乘方，然后再把所得的冪相乘．.
評注：冪的運算法則較多，在運算時分清楚類型，在理解的基礎上掌握.特別注意每一步運算的依據，切忌張冠李戴.
四、整式的乘法運算
例4　　 ， 其中．
析解：本題主要考查單項式乘多項式法則和平方差公式的應用，先將所求的代數式進行化簡后，直接代入計算即可，特別要注意后面的符號不能出錯．
原式=x2+2x－（x2－1）= x2+2x－x2+1 =2x+1，
當時，原式=2×（）+1=0.
評注：單項式與多項式相乘以及多項式與多項式相乘，要注意運算法則，不要漏乘項為1或-1的項.
五、乘法公式
例5 　先化簡，再求值：，其中.
析解：先運用乘法公式對原式進行化簡，然后代入求值．原式．
當時，原式.
評注 ：在運用乘法公式時要注意公式的特征，看清公式中的a,b再進行計算.
例6　　已知，求的值．
析解：先用整式乘法和乘法公式計算,去括號、合并同類項后，再將已知條件整體代入計算.
．
當時，原式．
評注：對于較復雜的題目，在計算時要細心、謹慎，不要因為馬虎而出錯．
六、整式的除法運算
例7 計算： .
析解：此算式在整體上是單項式除以單項式，但前半部分是冪的乘方，應該先進行計算.
.
評注：在進行運算時如果是多種運算，注意看清楚運算的順序.
七、整式的混合運算
例8 先化簡，再求值：[(a+b)(a－b)+ (a＋b)2－2a2]÷（2a），其中a=2009，b = －．
析解：對于混合運算，先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號的，先算括號里的．
原式=(a2－b2+ a2+2ab+b2－2a2)÷（2a）=（2ab）÷（2a）=b．
當a=3，b=－時，原式=－．
評注：把多項式除以單項式轉化為單項式除以單項式的過程，各項的符號是易出錯的地方．
八、整式中的規律探究
例9 王婧同學用火柴棒擺成如下的三個“中”字形圖案，依此規
律，第n個“中”字形圖案需 根火柴棒.
分析：解答探索規律問題時，要仔細觀察題設條件，從簡單情形入手，從而猜想、歸納、概括出一般規律、然后根據規律公式解答問題.
解：如（1）“中”字形圖案用火柴棒9根，即；如（2）“中”字形圖案用火柴棒15根，即；如（3）“中”字形圖案用火柴棒21根，即；按排列規律依此類推，第n個“中”字形圖案需6n+3根火柴棒. （或9+6（n-1））
評注：本題要求同學們能經過觀察、歸納、猜想、驗證的探究規律過程，在觀察出圖形之間內在規律的前提下，準確的找出其中變化與沒有變化的數量關系．
整式的乘除考向分析
整式的乘除是進行代數恒等變形的一種重要手段，是今后學習分式、方程、函數等知識的基礎，也是中考的必考知識點．現將近年有關考向分析如下，供同學們參考．
一、冪的運算
例1　下列各式運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
析解：此題主要考查冪的運算性質及合并同類項知識．選項A是兩個式子的和，使我們想到，如果是同類項，可以進行合并，但顯然不是同類項，因此不能合并，更不能用同底數冪的乘法進行運算；選項C是積的乘方與冪的乘方運算的綜合應用，，而不是；選項D是同底數冪的除法，根據法則知，而不是；選項B是同底數冪的乘法，根據法則，故B是正確的；所以結果應選B．
點評：冪的運算是進行整式的乘除運算的基礎，運算中應熟練掌握有關的四條運算法則．這類題在中考中大都以選擇、填空題出現，難度一般不大，常與整式的加減中的同類項合并結合在一起考查．
二、整式的乘法運算
例2（1）　計算的結果是（ ）
A． B． C． D．
（2）（南昌市）計算的結果為（ ）
A． B． C． D．
析解：（1）考查了單項式的乘法運算，根據法則知=（）=，故應選A．
（2）考查了多項式的乘法運算，根據法則知
=
==，故應選B．
點評：單項式乘以單項式，只要把它們的系數相乘，相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式中出現的字母，則連同它的指數一起作為積的一個因式．單項式與多項式相乘及多項式與多項式相乘，都是采用轉化方式，化為單項式乘以單項式．注意計算中符號的確定．
三、整式的除法運算
例3　　（1）化簡（ ）
A． B． C． D．
（2）化簡．
析解：（1）此題考查了乘除法的混合運算，應按照從左到右的順序依次進行．==，故應選C．
（2）此題“+”前面是乘法運算，后面是多項式除以單項式的運算．
=
點評：單項式除以單項式是把它們的系數相除，所得結果作為商的系數，把同底數冪分別相除，所得結果作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，連同它的指數作為商的一個因式．多項式除以單項式是采用轉化思想，化為單項式與單項式相除，再把它們的商相加．
四、乘法公式
例4　　先化簡，再求值：其中．
分析：可以用平方差公式對進行運算，再利用完全平方差公式對展開，再利用合并同類項知識進行合并，最后代入求值．
解：=
==
當時，原式=．
點評：在進行整式的運算中，凡是能運用乘法公式計算的應優先考慮用乘法公式，這樣會較解題過程簡便，不易出錯．
5 / 5如何進行多項式除以多項式的運算
多項式除以多項式，一般可用豎式計算，方法與算術中的多位數除法相似，現舉例說明如下：
例1 計算
規范解法
∴
解法步驟說明：
（1）先把被除式與除式分別按字母的降冪排列好．
（2）將被除式的第一項除以除式的第一項，得，這就是商的第一項．
（3）以商的第一項與除式相乘，得，寫在的下面．
（4）從減去，得差，寫在下面，就是被除式去掉后的一部分．
（5）再用的第一項除以除式的第一項，得，這是商的第二項，寫在第一項的后面，寫成代數和的形式．
（6）以商式的第二項5與除式相乘，得，寫在上述的差的下面．
（7）相減得差0，表示恰好能除盡．
（8）寫出運算結果，
例2 計算．
規范解法
∴
……………………………余．
注 ①遇到被除式或除式中缺項，用0補位或空出；②余式的次數應低于除式的次數．
另外，以上兩例還可用分離系數法求解．如例2．
∴
……………………………余．
8．什么是綜合除法？
由前面的問題4我們知道兩個多項式相除可以用豎式進行，但當除式為一次式，而且它的首項系數為1時，情況比較特殊．
如：計算．
因為除法只對系數進行，和無關，于是算式（1）就可以簡化成算式（2）．
還可以再簡化．方框中的數2、6、21和余式首項系數重復，可以不寫．再注意到，因除式的首項系數是1，所以余式的首項系數6、21與商式的系數重復，也可以省略．如果再把代數和中的“＋”號省略，除式的首項系數也省略，算式（2）就簡化成了算式（3）的形式：
將算式（3）改寫成比較好看的形式得算式（4），再將算式（4）中的除數－3換成它的相反數3，減法就化為了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三個數是商式的系數，末尾一個數是余數．
多項式相除的這種算法，叫做綜合除法，它適合于除式為一次式，而且一次項系數為1．
例1 用綜合除法求除以的商式和余式．
規范解法
∴ 商式，余式＝10．
例2 用綜合除法證明能被整除．
規范證法 這里，所以綜合除法中的除數應是－3．（注意被除式按降冪排列，缺項補0．）
因余數是0，所以能被整除．
當除式為一次式，而一次項系數不是1時，需要把它變成1以后才能用綜合除法．
例3 求除以的商式和余數．
規范解法 把除以2，化為，用綜合除法．
但是，商式，這是因為除式除以2，被除式沒變，商式擴大了2倍，應當除以2才是所求的商式；余數沒有變．
∴ 商式，余數．
為什么余數不變呢？我們用下面的方法驗證一下．
用除以，得商式，余數為，即
∴
．
即 除以的商式，余數仍為．
2 / 4關于(a+b)2的推廣
對于公式(a+b)2＝a2+2ab+b2，可以從兩方面推廣：一是從指數推廣；一是從項數推廣．
我們知道，
(a+b)2＝a2+2ab+b2． ①
　　由多項式的乘法，可以得到
(a+b)3＝(a+b)2(a+b)
＝(a2+2ab+b2)(a+b)
＝a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3
＝a3+3a2b+3ab2+b3． ②
　　從展開式①，②中，可以看出如下規律：
　　項數與次數
　　項數比次數多1；
　　展開式中的字母a按降冪排列，第一項的字母a的指數就是二項式的次數；而字母b則按升冪排列，末項b的指數也是二項式的次數；
　　 各項中a，b指數的和都等于二項式的次數．
　　系數
　　首末兩項的系數都是1；
　　②式中第二項的系數是①式中第一、二項系數的和；
　　②式中第三項的系數是①式中第二、三項系數的和．
　　上述規律，從下面的表中可以很清楚地展示出來．
　　 按上述規律，
(a+b)4
　　展開式各項的系數為
1 4 6 4 1
　　再結合項數與次數的規律，可得
(a+b) 4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． ③
　　由多項式的乘法驗證，③的結果是對的．
　　事實上，由③可以推出(a+b)5展開式各項的系數，等等．當二項式的次數不大時，我們利用項數與次數以及系數的規律可以將展開式寫出來．例如
(a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
　　如果你有興趣，不妨按照上述規律寫出(a+b)6的展開式．
　　上述二項式展開式的系數表在我國宋朝數學家楊輝著《詳解九章算法》(1261年)一書中用過．楊輝在注釋中提到，賈憲也用過上述辦法．因此，我們稱上述系數表為楊輝三角或賈憲三角．
　　下面看一看(a+b)2項數推廣的情形．
　　我們用語言表述公式
(a+b)2＝a2+2ab+b2 ①
　　為：兩數和的平方，等于這兩個數的平方和，加上這兩個數積的2倍．
　　我們曾用多項式的乘法計算，得
(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac． ②
　　上式同樣可用語言表述為：三數和的平方，等于這三個數的平方和，加上這三個數中每兩個數的積的2倍．下面，我們用多項式的乘法計算四數和的平方．
　　(a+b+c+d)2＝[(a+b)+(c+d)]2
　　＝(a+b)2+2(a+b)(c+d)+(c+d)2
　　＝a2+2ab+b2+2ac+2ad+2bc+2bd+c2+2cd+d2
　　＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd． ③
　　同樣，上式用語言表述為：四數和的平方，等于這四個數的平方和，加上這四個數中每兩個數的積的2倍．
　　同學們如有興趣，可利用公式②，③計算下列各題：
　　1．(a+2b-c)2．
　　2．(2x-y+3z)2．
　　3．(a+b-c-d)2．
　　4．(x-2y-z+2w)2．
2 / 2《同底數冪的乘法》備課資料
（參考例題）
一、參考例題
［例1］計算：
(1)(－a)2·(－a)3 (2)a5·a2·a
分析：(1)中的兩個冪的底數都是－a; (2)中三個冪的底數都是a.根據同底數冪的乘法的運算性質：底數不變，指數相加.
解：(1)(－a)2·(－a)3
=(－a)2+3=(－a)5
=－a5.
(2)a5·a2·a=a5+2+1=a8
評注：(2)中的“a”的指數為1，而不是0.
［例2］計算：
(1)a3·(－a)4
(2)－b2·(－b)2·(－b)3
分析：底數的符號不同，要把它們的底數化成同底的形式再運算，運算過程中要注意符號.
解：(1)a3·(－a)4=a3·a4=a3+4=a7;
(2)－b2·(－b)2·(－b)3
=－b2·b2·(－b3)
=b2·b2·b3=b7.
評注：(1)中的(－a)4必須先化為a4,才可運用同底數冪的乘法性質計算；(2)中－b2和(－b)2不相同，－b2表示b2的相反數，底數為b,而不是－b,(－b)2表示－b的平方，它的底數是－b,且(－b)2=(+b)2,所以(－b)2=b2,而(－b)3=－b3.
［例3］計算：
(1)(2a+b)2n+1·(2a+b)3·(2a+b)m－1
(2)(x－y)2(y－x)3
分析：分別把(2a+b),(x－y)看成一個整體，(1)是三個同底數冪相乘；(2)中底不相同，可把(x－y)2化為(y－x)2或把(y－x)3化為－(x－y)3,使底相同后運算.
解：(1)(2a+b)2n+1·(2a+b)3·(2a+b)m－1
=(2a+b)2n+1+3+m－1
=(2a+b)2n+m+3
(2)解法一：(x－y)2·(y－x)3
=(y－x)2·(y－x)3
=(y－x)5
解法二：(x－y)2·(y－x)3
=－(x－y)2(x－y)3
=－(x－y)5
評注：(2)中的兩個冪必須化為同底再運算，采用兩種化同底的方法運算得到的結果是相同的.
［例4］計算：
(1)x3·x3 (2)a6+a6 (3)a·a4
分析：運用冪的運算性質進行運算時，常會出現如下錯誤：am·an=amn,am+an=am+n.例如(1)易錯解為x3·x3=x9;(2)易錯解為a6+a6=a12;(3)易錯解為a·a4=a4,而(1)中3和3應相加；(2)是合并同類項；(3)也是易忽略的地方，把a的指數1看成0.
解：(1)x3·x3=x3+3=x6;(2)a6+a6=2a6;(3)a·a4=a1+4=a5
二、在同底數冪的乘法常用的幾種恒等變形.
(a－b)=－(b－a)
(a－b)2=(b－a)2
(a－b)3=－(b－a)3
(a－b)2n－1=－(b－a)2n－1(n為正整數)
(a－b)2n=(b－a)2n(n為正整數)
2 / 2●備課資料
有趣的“3x+1問題”
現有兩個代數式：3x+1 ①
x ②
如果隨意給出一個正整數x,那么我們都可以根據代數式①或②求出一個對應值.我們約定：若正整數x為奇數，我們就根據①式求出對應值；若正整數x為偶數，我們就根據②式求出對應值.例如，根據這種規則，若取正整數x為18(偶數)，則由②式求得對應值為9；而9是奇數，由①式求得對應值為28；同樣正整數28(偶數)對應14……我們感興趣的是，從某一個正整數出發，不斷地這樣對應下去，會是一個什么樣的結果呢？也許這是一個非常吸引人的數學游戲.
下面我們以正整數18為例，不斷地做下去，如a所示，最后竟出現了一個循環：4，2，1，4，2，1…
再取一個奇數試試看，比如取x為21，如b所示，結果是一樣的——仍然是一個同樣的循環.
大家可以隨意再取一些正整數試一試，結果一定同樣奇妙——最后總是落入4，2，1的“黑洞”，有人把這個游戲稱為“3x+1問題”.
是不是從所有的正整數出發，最后都落入4，2，1的“黑洞”中呢？有人借助計算機試遍了從1到7×10的所有正整數，結果都是成立的.
遺憾的是，這個結論至今還沒有人給出數學證明(因為“驗證”得再多，也是有限多個，不可能把正整數全部“驗證”完畢).這種現象是否可以推廣到整數范圍？大家不妨取幾個負整數或0再試一試.
1 / 1整式的加減法
問題1： 已知-5am+1b2n-1c與a2m-1b2cp+1是同類項，求m，n和p的值，并寫出這兩個同類項．
問題2： 如圖所示，由三個邊長分別為a，b，c的正方體粘合成的模型，要在它的表面涂上油漆，試用代數式表示這個模型的表面積。
問題3： 如圖是由火柴棒拼出的一列圖形，第n個圖形由n個正方形組成。用n表示第n個圖形中火柴棒的根數。
參考答案
問題1：分析： 根據同類項的定義可列出三個方程，分別求出m，n和p．
答案：因為-5am+1b2n-1c和a2m-1b2cp+1是同類項，所以
m+1=2m-1，2n-1=2，p+1=1．
分別解這三個方程．得m=2. n= . p=0．
-5am+1b2n-1c=-5a3b2c，a2m-1b2cp+1=a3b2c．
問題2： 5a+4b+b-a+5c+c-b=4a+4b+6c
問題3： 3n+1
2 / 2

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