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高中物理《選擇性必修1》機(jī)械振動(dòng)方程初相探秘
一、分歧形成：
高中物理選擇性必修1的《機(jī)械振動(dòng)》的新課程教學(xué)實(shí)施中,要求學(xué)生會(huì)處理質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程有關(guān)的題目。而《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)該要求是“通過(guò)實(shí)驗(yàn),認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征;能用公式和圖像描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。”但在用公式表述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的過(guò)程中,一線教師存在困惑也存有一些分歧。
第一個(gè)分歧是：振動(dòng)方程式x=Asin(ωt+φ)中,方程A前面能否出現(xiàn)負(fù)號(hào)？目前有兩種觀點(diǎn)：一種觀點(diǎn)是嚴(yán)格比照教材振動(dòng)方程式,A為振幅,表述質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的最大距離,為位移最大值的絕對(duì)值,不能為負(fù)。而另一種觀點(diǎn)是振動(dòng)方程反映了質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移大小和方向,負(fù)號(hào)說(shuō)明了初始時(shí)刻位移的方向與所設(shè)正方向相反,故可以添加負(fù)號(hào)。
第二分歧是：初相位的取值范圍究竟是[0,2π]、[-2π,0]、[-π,π]還是[-,] 初相位為零的位置取質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)軌跡的何處； 初相位是否要講參考位置 其參考位置是否與位移的參考位置相同,一定為平衡位置
第三個(gè)分歧是：方程式究竟寫(xiě)成正弦式、余弦式，還是兩種均可；正余弦式的原因僅來(lái)自于數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)變換,還是源自不同的物理意義
位移是一個(gè)過(guò)程量,對(duì)應(yīng)一段時(shí)間,在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中,質(zhì)點(diǎn)某時(shí)刻的位移指的是由平衡位置指向該時(shí)刻位置的位移,質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程反映了質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻相對(duì)平衡位置的位置變化。在確定振動(dòng)的正方向之后,上述三個(gè)分歧的產(chǎn)生可以歸結(jié)為一個(gè)共同原因,那就是初相位參考位置的選取問(wèn)題。
二、分歧探索
下面以周期T=0.4s、振幅A=8cm、t=0時(shí)刻處于P0位置(位移為4cm)且向正方向振動(dòng)的彈簧振子模型為例,設(shè)向右運(yùn)動(dòng)為正方向,其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示,用不同的方法進(jìn)行闡釋。
圖1彈簧振子模型
（一）以平衡位置0點(diǎn)為初相位參考點(diǎn)
由簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程x=Asin(ωt+φ)可知,當(dāng)振子t=0時(shí)刻處于平衡位置O點(diǎn)且向正方向振動(dòng)時(shí),其初相位φ=0,振動(dòng)方程為y=Asinωt(當(dāng)然該振動(dòng)方程也可以寫(xiě)成余弦形式,但初相位φ=0的前提下只能寫(xiě)成正弦形式)。圖1中,t=0時(shí)刻處于平衡位置O點(diǎn)且向正方向振動(dòng)的方程為y=8sin5πt(cm)以此振動(dòng)為參考,此時(shí)處于P0位置且向正方向振動(dòng)的振子比位于0點(diǎn)且向正方振動(dòng)的振子超前了了的相位,如圖2所示,故其振動(dòng)方程應(yīng)為
y=8sin5πt+ （cm）
也可認(rèn)為t=0時(shí)刻,處于P0位置且向正方向振動(dòng)的振子,比位于O點(diǎn)且向正方向振動(dòng)的振子振動(dòng)滯后了的相位,如圖3所示,故其振動(dòng)方程也可以寫(xiě)為：
中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
(
147
)
y=8sin5πt-cm
圖2振動(dòng)超前
圖3振動(dòng)滯后
類比上述分析可知,若以振子t=0時(shí)刻處于平衡位置O點(diǎn)且向負(fù)方向的振動(dòng)為初相位參考點(diǎn),令其初相位為零,則其振動(dòng)方程只能寫(xiě)為:
y=-8sin5πt（cm）
當(dāng)t=0時(shí)刻,處于P0位置且向正方向振動(dòng)的振子,比位于O點(diǎn)且向負(fù)方向振動(dòng)的振子振動(dòng)超前了的相位,如圖4所示,故其振動(dòng)方程應(yīng)為:
y=-8sin5πt+（cm）
也可認(rèn)為t=0時(shí)刻,處于P0位置且向正方向振動(dòng)的振子,比位于O點(diǎn)且向負(fù)方向振動(dòng)的振子振動(dòng)滯后了的相位,如圖5所示,故其振動(dòng)方程也可以寫(xiě)為:
y=-8sin5πt-（cm）
圖4振動(dòng)超前
圖5振動(dòng)滯后
（二）以位移最大處為初相位參考點(diǎn)
由簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程x=Acos(ωt+φ)可知,當(dāng)振子t=0時(shí)刻處于位移正向最大的M點(diǎn)時(shí),其初相位φ=0,振動(dòng)方程為y=Acosωt.圖1中,t=0時(shí)刻處于位移正向最大的M點(diǎn)的振動(dòng)方程為:
y=8cos5πt（cm）
以此振動(dòng)為參考,t=0時(shí)刻,處于P0位置且向正方向振動(dòng)的振子,比位于M點(diǎn)振動(dòng)的振子振動(dòng)超前了的相位,如圖6所示,故其振動(dòng)方程應(yīng)為:
y=8cos5πt+（cm）
也可認(rèn)為t=0時(shí)刻,處于P0位置且向正方向振動(dòng)的振子,比位于M點(diǎn)振動(dòng)的振子振動(dòng)滯后了的相位,如圖7所示,故其振動(dòng)方程也可以寫(xiě)為:
y=8cos5πt-（cm）
圖6振動(dòng)超前
圖7振動(dòng)滯后
類比上述分析可知,若以振子t=0時(shí)刻處于位移負(fù)向最大的M′點(diǎn)為初相位參考點(diǎn),令其初相位為零,則其振動(dòng)方程只能為:
y=-8cos5πt（cm）
在t=0時(shí)刻,處于P0位置且向正方向振動(dòng)的振子,比位于M′點(diǎn)振動(dòng)的振子振動(dòng)超前了的相位,如圖8所示,故其振動(dòng)方程應(yīng)為:
y=-8cos5πt+ （cm）
圖8振動(dòng)超前
也可認(rèn)為t=0時(shí)刻,處于P0位置且向正方向振動(dòng)的振子,比位于M′點(diǎn)振動(dòng)的振子振動(dòng)滯后了的相位,如圖9所示,故其振動(dòng)方程也可以寫(xiě)為:
y=-8cos5πt-（cm）
圖9振動(dòng)滯后
三、分析推演：
以上分析可知：選取不同的點(diǎn)作為初相位參考位置,振動(dòng)方程也不同,對(duì)應(yīng)的初相位各不相同,從數(shù)學(xué)三角函數(shù)換算的角度可以看出這些方程也是等價(jià)的。以平衡位置且向正方向振動(dòng)為初相位的參考點(diǎn),方程形式為正弦式,A取正值;以平衡位置且向負(fù)方向振動(dòng)為初相位的參考點(diǎn),方程形式為正弦式,A取負(fù)值;以位移正向最大的M點(diǎn)為初相位的參考點(diǎn),方程形式為余弦式,A取正值;以位移負(fù)向最大的M′點(diǎn)為初相位的參考點(diǎn),方程形式為余弦式,A取負(fù)值。每種參考位置下初相位有兩個(gè)取值,初相位正負(fù)號(hào)的物理意義代表超前滯后參考位置,且二者絕對(duì)值之和為2π。即初相位參考點(diǎn)的選擇決定了A的正負(fù)、正余弦的形式、初相位的大小和正負(fù)。
四、結(jié)論歸納：
對(duì)初相位,實(shí)質(zhì)上講的是實(shí)際位置與參考位置零時(shí)刻的相位差,參考位置的選擇具有任意性,在振動(dòng)方程的書(shū)寫(xiě)中可以選平衡位置向正方向振動(dòng)、平衡位置向負(fù)方向振動(dòng)、正向位移最大、負(fù)向位移最大4個(gè)位置作為參考位置。
對(duì)同一參考位置而言,振子實(shí)際位置的初相位有正負(fù)之分,其物理意義為正值代表超前參考位置、負(fù)值代表滯后參考位置。初相位的取值范圍為[0,2π]、[-2π,0]、[-π,π]均可,甚至可以縮小到[-,]。
參考位置的選擇決定了振動(dòng)方程的正余弦形式和A的正負(fù),正余弦形式不僅僅是簡(jiǎn)單的三角函數(shù)變換。以平衡位置向正方向振動(dòng)為參考,方程為正弦形式且A取正值;以正向位移最大為參考,方程為余弦形式且A取正值;以平衡位置向負(fù)方向振動(dòng)為參考,方程為正弦形式且A取負(fù)值;以負(fù)向位移最大為參考,方程為余弦形式且A取負(fù)值。
我們把物體離開(kāi)平衡位置的最大位移(或角位移)的絕對(duì)值叫振幅。顯然振幅不能取負(fù)值,故此處的負(fù)號(hào)是獨(dú)立于A之外的符號(hào),其物理意義為位移的方向與所設(shè)正方向相反,并不是振幅有正負(fù)之分。有教師嚴(yán)格比對(duì)振動(dòng)方程x=Asin(ωt+φ)和x=Acos(ωt+φ),講A不能取負(fù)值從而否認(rèn)平衡位置向負(fù)方向振動(dòng)、負(fù)向位移最大兩種參考位置下的振動(dòng)方程是不正確的。
五、教學(xué)建議：
從高中物理教學(xué)的角度講,當(dāng)然沒(méi)必要寫(xiě)出上述的那么多的方程,只需要引導(dǎo)學(xué)生建立一個(gè)最簡(jiǎn)方程即可。高中學(xué)生在高中數(shù)學(xué)中已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)相關(guān)知識(shí),故上述幾個(gè)方法中的圖像平移法思維路徑最為簡(jiǎn)單。從表達(dá)式最簡(jiǎn)角度講,一種為A前面不出現(xiàn)負(fù)值且初相位絕對(duì)值最小,建議初相位范圍取[-π,π];另一種為單純考慮初相位絕對(duì)值最小,A前面可出現(xiàn)負(fù)值，故初相位也可取[-,]。

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