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R·八年級數學下冊
16.1 二次根式
二次根式的概念
你能說出下列問題的結果嗎？
（1）16的平方根是多少？算術平方根是多少？
（2）0的平方根是多少？算術平方根是多少？
（3）﹣2有沒有平方根？有沒有算術平方根？
平方根的性質：
1.正數有兩個平方根且互為相反數；
2. 0的平方根是0；
3.負數沒有平方根；
4.非負數a的平方根表示為 .
復習回顧
你能說出下列問題的結果嗎？
（1）16的平方根是多少？算術平方根是多少？
（2）0的平方根是多少？算術平方根是多少？
（3）﹣2有沒有平方根？有沒有算術平方根？
1.正數只有一個算數平方根；
2. 0的算術平方根是0；
3.負數沒有算術平方根；
4.非負數a的算術平方根表示為 .
算術平方根的性質：
復習回顧
填一填：
（1）面積為3的正方形的邊長為_____，面積為S的正方形的邊長為_____.
（2）一個長方形圍欄，長是寬的2倍，面積為130m2，則它的寬為_____m．
（3）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t為_____．
探索新知
觀察：上面問題的結果分別是 ， ， ， .
（1）這些式子表示的意義是？
分別表示3，S，65， 的算術平方根．
（2）這些式子有什么共同特征？
①根指數都為2；
含有“ ”.
②被開方數為非負數.
二次根式的定義
一般地，我們把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號.
a叫做被開方數.
二次根式
的兩個必備特征
1.含有二次根號“ ”（根指數為 2）；
2.被開方數必須是非負數.
下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
(m<0)
6
分析：
是否含二次根號
是
被開方數是否為非負數
是
是二次根式
否
不是二次根式
否
√
√
√
√
1.要畫一個面積為18cm2的長方形，使它的長與寬之比為3∶2.它的長、寬各應取多少？
【選自教材第3頁 練習 第1題】
解：設矩形的長寬分別是3xcm、2xcm，由題意得2x×3x=18，解得x1= ， x2= (舍).
答：它的長取 cm，寬取 cm.
練習
例1 當x是怎樣的實數時， 在實數范圍內有意義？
二次根式 有意義的條件是：被開方數為非負數，即a≥0.
解：由x-2≥0，得
x≥2.
當x≥2時， 在實數范圍內有意義.
當x是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
x可以為任意實數
x≥0
x可以為任意實數
x＞0
x＞﹣1
x≤1且x≠0
要使二次根式在實數范圍內有意義，即需滿足被開方數≥0，列不等式求解即可.若二次根式為分式的分母時，應同時考慮分母不為0.
2.當a是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？
【選自教材第3頁 練習 第2題】
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
要使二次根式在實數范圍內有意義，即需滿足被開方數≥0，列不等式求解即可.若二次根式為分式的分母時，應同時考慮分母不為0.
a≥1
a≥
a≤0
a≤5
練習
二次根式的實質是表示一個非負數（或式）的算術平方根.對于任意一個二次根式 ，必須滿足以下兩條：
（1）a為被開方數，為保證其有意義，可知a≥0；
（2） 表示一個數或式的算術平方根，可知 ≥0.
二次根式的雙重非負性
二次根式的被開方數非負
二次根式的值非負
歸納小結
1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）.
A. B. C. D.
B
D
2.二次根式 中，字母x的取值范圍是（ ）.
A.a＜2 B.a≤2 C.a≥2 D.a＞2
隨堂練習
3.當x是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？
（1） ；
解：根據題意可得-x2+2x-1≥0，
∴-(x2-2x+1)≥0.
∴x2-2x+1≤0.
∴(x-1)2≤0.
∵(x-1)2≥0，
∴當x=1時， 在實數范圍內有意義.
（2） .
解：根據題意可得-x2-2x-3≥0，
∴-(x2+2x+3)≥0.
∴x2+2x+3≤0.
∴(x+1)2+2≤0.
∵(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2＞0.
∴無論x為何實數， 在實數范圍內都無意義.
被開方數是多項式時，需要對組成多項式的項進行恰當分組湊成含完全平方的形式，再進行分析討論.
3.當x是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？
4.若 +｜b-2｜+(c-1)2=0，求2a-b+3c的值.
提示：多個非負數的和為0，則可得每個非負數均為0.初中階段學過的非負數主要有絕對值、偶次冪及二次根式.
解：由題意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0, 解得a=-3,b=2,c=1.
所以2a-b+3c=-3×2-2+3×1=-5.
5.已知|3x-y-1|和 互為相反數，求x+4y的平方根．
解：由題意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根為±3.
1.若 ，則x的取值范圍是_______.
2.實數a，b在數軸上的對應點如圖所示，試化簡：
=_______.
a
b
0
x≤1
-3b
拓展提升
二次根式
定義
在有意義條件下求字母的取值范圍
雙重非負性
帶有二次根號
被開方數為非負數
被開方數≥0
分母≠0
a≥0
≥0
課堂小結
1.從教材習題中選取；
2. 相應課時訓練.
課后作業

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