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第04講：圖形的相似
考點一 相似圖形
例1 下列說法正確的是（　?。?br/>A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的菱形都相似
C．邊數相同的正多邊形相似 D．所有的矩形都相似
練1 下列結論①兩個全等三角形是相似三角形；②所有正方形都相似；③任意兩個等腰三角形都相似；④所有菱形都相似；⑤兩個等腰直角三角形相似．其中結論正確的有（　?。?br/>A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
練2 如圖，指出下列各組圖中，一定相似的是那幾組？
（1）兩個腰長不相等的等腰三角形（2）兩個半徑不相等的圓（3）兩個面積相等的矩形
（4）兩個邊長不相等的正方形（5）兩個對應角都為120°的六邊形（6）兩個全等的三角形。
考點二 比例的性質與比例尺
例1 下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A．，b=3，c=2， B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，，， D．a=2，b=3，c=4，d=1
練1 已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足，且，請你探索△ABC的形狀．
例2 湖南地圖出版社首發的豎版《中華人民共和國地圖》，將南海諸島與中國大陸按同比例尺1：6700000表示出來，使讀者能夠全面、直觀地認識我國版圖，若在這種地圖上量得我國南北的圖上距離是82.09厘米，則我國南北的實際距離大約是　 　千米（結果精確到1千米）．
練2 在比例尺為1：40000的地圖上，某條道路的長為7cm，則該道路的實際長度是　 　km．
考點三 平行線分線段成比例
例1定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．
圖1有哪些線段成比例：
圖2有哪些線段成比例：
練1 （1）已知：如圖1，， AB=3，DE=2，EF=4，求BC．
（2）已知：如圖2，，AB=3，BC=5，DF=12，求DE和EF的長．
圖1 圖2
考點四 黃金分割比
例1 在一般認為，如果一個人的肚臍以上的高度與肚臍以下的高度符合黃金分割，則這個人好看．如圖，是一個參加空姐選拔活動的選手情況，那么她應該穿多高的鞋子好看？（精確到1cm）（參考數據：黃金分割數：，）
練1 電視節目主持人在主持節目時，站在舞臺的黃金分割點處最自然得體，若舞臺AB長為20m，試計算主持人應走到離A點 m．
考點五 多邊形相似中的計算與證明
例1 已知：四邊形ABCD相似于A′B′C′D′。
∠α= 。（2）求x，y的長度。
練1 如圖，四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，求x、y，∠α的值．
例2 在AB＝20m，AD＝30m的矩形花壇四周修筑小路．
（1）如果四周的小路的寬均相等，都是x，如圖1，那么小路四周所圍成的矩形A1B1C1D1和矩形ABCD相似嗎？請說明理由；
（2）如果相對著的兩條小路的寬均相等，寬度分別為x、y，如圖2，試問小路的寬x與y的比值為多少時，能使得小路四周所圍成的矩形A1B1C1D1和矩形ABCD相似？請說明理由．
練2 如圖，G是正方形ABCD對角線AC上一點，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分別為點E，F．求證：四邊形AFGE與四邊形ABCD相似．
例1.下列說法正確的是（　?。?br/>A．兩個等腰三角形一定相似 B．兩個等邊三角形一定相似
C．兩個矩形一定相似 D．兩個直角三角形一定相似
例2.黃金分割數是一個很奇妙的數，大量應用于藝術、建筑和統計決策等方面，請你估算﹣1的值（　?。?br/>A．在1.1和1.2之間 B．在1.2和1.3之間
C．在1.3和1.4之間 D．在1.4和1.5之間
例3.若＝，則的值是（　?。?br/>A． B． C． D．
例4.彼此相似的矩形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如圖所示的方式放置．點A1，A2，A3，…，和點C1，C2，C3，…，分別在直線y＝kx+b（k＞0）和x軸上，已知點B1、B2的坐標分別為（1，2），（3，4），則Bn的坐標是（　　）
A．（2n﹣1，2n） B．（2n﹣，2n）
C．（2n﹣1﹣，2n﹣1） D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）
例5.已知C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC）設AC＝mAB，BC＝nAB，線段a是線段AC是BC的比例中項，若a＝kAB，則下列格式：①m2＝n；②mn＝k2；③m3＝k2；④n3＝k4，其中正確的有（　?。?br/>A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【A類】
1．下列圖形一定相似的是（　　）
A．兩個菱形 B．兩個矩形 C．兩個正方形 D．兩個四邊形
2．在一比例尺為1：36000000地圖上，量出南寧到北京的直線距離為5.7厘米．南寧到北京的實地距離為（　?。?br/>A．5700千米 B．3600千米 C．2052千米 D．2150千米
3．已知a，b，c為△ABC的三邊，且，則k的值為（　?。?br/>A．1 B．或﹣1 C．﹣2 D．1或﹣2
【B類】
4．已知＝＝，且3x+4z﹣2y＝40，則x的值為　 ?。?br/>【C類】
1．三角形中，頂角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．
（1）在圖1中，用尺規作AB的垂直平分線交AC于D，并連接BD（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）△BCD是不是黃金三角形？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由；
（3）設，試求k的值；
（4）如圖2，在△A1B1C1中，已知A1B1＝A1C1，∠A1＝108°，且A1B1＝AB，請直接寫出的值．
1．下列圖形一定是相似圖形的是（　　）
A．兩個矩形 B．兩個周長相等的直角三角形 C．兩個正方形 D．兩個等腰三角形
2．若（k≠0），則y＝kx+k﹣2一定經過第　 　象限．
3．2018年10月24日上午9時港珠澳大橋正式通車．在一幅比例尺為1：1000000的地圖上，量得港珠澳大橋長5.5厘米，大橋的實際長度是（　?。?br/>A．55米 B．10千米 C．5.5千米 D．55千米
實數a，n，m，b滿足，這四個數在數軸上對應的點分別為A，N，M，B（如圖），若，，則稱m為a，b的“大黃金數”，n為a，b的“小黃金數”，當時，a，b的大黃金數與小黃金數之差 ．
5．甲、乙是兩個形狀相同，大小不相同的五棱柱．像這樣，兩個形狀相同，大小不一定相同的幾何體稱為相似體．兩個相似體的一切對應線段之比都等于相似比（即有a：a′＝b：b′＝c：c′＝k）．
解答下列問題：（1）下列幾何體中，一定屬于相似體的是　 　
A．兩個正方體 B．兩個圓錐體 C．兩個圓柱體 D．兩個長方體
（2）請歸納出相似體的三條主要性質：
①相似體一切對應線段（或?。╅L的比等于　 　；②相似體表面積的比等于　 ??；
③相似體體積的比等于　 ?。?br/>（3）據新華社報道：一頭特殊的體內帶有抗瘋牛病基因體細胞的克隆牛犢，于2006年5月25日在山東省萊陽農學院自然誕生．這頭轉基因體細胞克隆牛出生時體重55kg，身高95cm．假定在完全正常發育的條件下，不同時期的這頭牛的身體是相似體，經過若干月后，這頭小牛的身高為1.5m時，它的體重將是多少？（精確到個位，不考慮不同時期牛的身體平均密度的變化）

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