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1.3 線段的垂直平分線
第一章 三角形的證明
第1課時 線段的垂直平分線的性質與判定
如圖，畫一條線段 AB ，然后對折 AB，使 A， B 兩點重合，設折痕與 AB 的交點為 O.
你發現了什么
我們把垂直且平分一條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線.
A(B)
B
O
A
B
線段垂直平分線的性質
1
如圖，點 P 是線段 AB 垂直平分線上的一點，AB 和 PC 相等嗎 改變點 P 的位置，結論還成立嗎
A
P
B
C
線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.
你能證明這一結論嗎？
已知：如圖，直線 l⊥AB，垂足為 C，AC = CB，
點 P 在 l 上.
求證：PA = PB．
證明：∵ l⊥AB，
P
A
B
l
C
驗證結論
∴ PA = PB．
∴△PCA≌△PCB (SAS)．
又 AC = CB，PC = PC，
∴∠PCA =∠PCB．
線段垂直平分線的性質定理：
歸納總結
線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.
例1 如圖，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足為 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周長為 35 cm，則 BC 的長為 (　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
C
典例精析
解析：∵△DBC 的周長為 BC＋BD＋CD＝35 cm，又 DE 垂直平分 AB，
∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.
∵ AC＝AD＋DC＝20 cm，
∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故選 C.
方法歸納：利用線段垂直平分線的性質，實現線段之間的相互轉化，從而求出未知線段的長．
練一練： 1. 如圖①所示，直線 CD 是線段 AB 的垂直平分線，點 P 為直線 CD 上的一點，且 PA = 5，則線段 PB 的長為 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 如圖②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，邊 AB 的垂直平分線交 AB 于點 D，交邊 AC 于點 E，△BCE 的周長等于 18 cm，則 AC 的長是 .
B
10 cm
P
A
B
C
D
圖①
A
B
C
D
E
圖②
它是真命題嗎？你能證明嗎？
線段垂直平分線的判定
定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.
2
到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.
逆命題
想一想：如果 PA = PB，那么點 P 是否在線段 AB 的垂直平分線上呢？
記得要分點 P 在線段 AB 上及線段 AB 外兩種情況來討論
① 當點 P 在線段 AB 上時，
∵ PA = PB，
∴ 點 P 為線段 AB 的中點，
顯然此時點 P 在線段 AB 的垂直平分線上；
② 當點 P 在線段 AB 外時，如右圖所示.
∵ PA = PB，
∴△PAB 是等腰三角形.
過頂點 P 作 PC⊥AB，垂足為點 C.
∴ 底邊 AB 上的高 PC 也是底邊 AB 上的中線.
即 PC⊥AB，且 AC = BC.
∴ 直線 PC 是線段 AB 的垂直平分線，
此時點 P 也在線段 AB 的垂直平分線上.
線段垂直平分線的性質定理的逆定理：
應用格式：
∵ PA = PB，
∴ 點 P 在 AB 的垂直平分線上．
P
A
B
作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.
到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.
歸納總結
例2 已知：如圖，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 內一點，且 OB = OC.
求證：直線 AO 垂直平分線段 BC.
證明：∵ AB = AC，
你還有其他證明方法嗎？
C
A
B
O
∴ 直線 AO 是線段 BC 的垂直平分線
(兩點確定一條直線).
同理，點 O 在線段 BC 的垂直平分線.
∴ A 在線段 BC 的垂直平分線上 (到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上).
證明：延長 AO 交 BC 于點 D.
∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO (SSS).
∴∠BAO ＝ ∠CAO.
∵ AB＝AC，
∴ AO⊥BC.
∵ OB＝OC，OD＝OD，
∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL).
∴ BD＝CD.
∴ 直線 AO 垂直平分線段 BC.
C
A
B
O
D
試一試：已知：如圖，點 E 是∠AOB 的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為 C，D，連接 CD.
求證：OE 是 CD 的垂直平分線.
A
B
O
E
D
C
證明：
∵ OE 平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ DE = CE (角平分線上的點到角的兩邊的距離相等).
∴ OE 是 CD 的垂直平分線.
線段的垂直平分線的性質和判定
性質
到線段的兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上
內容
判定
內容
作用
線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等
作用
見垂直平分線，得線段相等
判斷一個點是否在線段的垂直平分線上
1. 如圖所示，AC = AD，BC = BD，則下列說法正確的是
　 (　　)
A. AB 垂直平分 CD
B. CD 垂直平分 AB
C.AB 與 CD 互相垂直平分
D.CD 平分∠ACB
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
3. 如圖，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分線交 AC于 E，連接 BE，AB + BC = 16 cm，則△BCE 的周長是 cm.
A
B
C
D
E
16
2. 已知線段 AB，在平面上找到三個點 D、E、F，使
DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，這樣的點的組合共有
　　　種.
無數
4. 已知：如圖，點 C，D 是線段 AB 外的兩點，且
AC = BC，AD = BD，AB 與 CD 相交于點 O.
求證：AO = BO.
證明：∵ AC = BC，AD = BD，
∴
點 C 和點 D 在線段 AB 的垂直平分線上.
∴ CD 為線段 AB 的垂直平分線.
又 ∵ AB 與 CD 相交于點 O，
∴
AO = BO.

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