資源簡介

2024屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 ★★高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點(diǎn)突破（學(xué)生版）
目 錄 TOC \o "1-3" \h \z \u
第一章 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 6
理解數(shù)學(xué)抽象，多得分 6
2022高考三類“比大小”問題的出題背景及應(yīng)用舉例 7
以“雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)”類型的函數(shù)為背景的函數(shù)綜合題命題研究 12
從2015屆到2024屆:深圳外國語學(xué)校高三第一次月考?jí)狠S題的源與流 23
2道函數(shù)不等式題的命制——聽教育專家黃厚忠先生專題報(bào)告后而命制 29
2024屆江蘇鎮(zhèn)江高三期初考試導(dǎo)數(shù)壓軸題及其姊妹題的命制 32
對(duì)兩地2024屆高三10月聯(lián)考導(dǎo)數(shù)壓軸題參考解答的商榷 34
Hadamard不等式及其特例——對(duì)數(shù)均值不等式 38
一道“對(duì)數(shù)均值不等式”及其變形、延申的原創(chuàng)小題 44
2023函數(shù)模考題精選精練 47
2023導(dǎo)數(shù)模考題精選精練 48
第二章 三角函數(shù)與解三角形 52
理解邏輯推理，快得分 52
以“笛卡爾葉形線”為背景的高考原創(chuàng)題 54
一道三角函數(shù)填空題的命制——聽吳莉娜專題報(bào)告受啟發(fā)而命制 56
用外接圓與橢圓定義直觀求解兩類三角形周長、面積范圍 58
2024屆常州高三期中數(shù)學(xué)壓軸題的出題思路及不同解法對(duì)比 61
構(gòu)造出來的高考題 65
2023三角函數(shù)與解三角形模考題精選精練 70
第三章 數(shù)列 72
高考原創(chuàng)小題的命制與解析——音程計(jì)算、藥物留存模型 72
無錫市2024屆高三期中數(shù)列壓軸題的命制與推廣 73
有趣的迭代——2023上海高考數(shù)學(xué)函數(shù)切線壓軸題的源與流 76
2023數(shù)列模考題精選精練 81
第四章 立體幾何 84
理解數(shù)學(xué)建模，好得分 84
2023立體幾何模考題精選精練 86
第五章 解析幾何 91
理解數(shù)學(xué)運(yùn)算，少失分 91
從高二月考到2024屆高三期初——齊次化表達(dá)，二次曲線不同 92
短文精粹：曲線方程中的“且”與“或” 95
曲線系與等軸雙曲線 96
以“貝塞爾曲線”為背景的高考原創(chuàng)題 98
省常中2024屆高二周練4橢圓壓軸題的推廣及“副產(chǎn)品” 101
2024屆如皋高三8月診斷測(cè)試解析幾何壓軸題的源與流 104
2023解析幾何模考題精選精練 107
第六章 計(jì)數(shù)原理、統(tǒng)計(jì)與概率 113
一道考察類比思想的原創(chuàng)小題 113
2023計(jì)數(shù)原理、統(tǒng)計(jì)概率模考題精選精練 114
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
理解數(shù)學(xué)抽象，多得分
抽象方法包括：性質(zhì)抽象、關(guān)系抽象、等置抽象、無限抽象，以及強(qiáng)抽象和弱抽象。
數(shù)學(xué)考試中，涉及最多的是“關(guān)系抽象”、“強(qiáng)抽象和弱抽象”。
數(shù)學(xué)關(guān)系抽象是指根據(jù)認(rèn)識(shí)目的，從研究對(duì)象中抽取或建構(gòu)若干構(gòu)成要素之間的數(shù)量關(guān)系或空間位置關(guān)系，而舍棄其他無關(guān)特征或物理現(xiàn)實(shí)意義的抽象方法。
關(guān)系抽象在處理問題過程中是經(jīng)常用到的，有時(shí)解題的關(guān)鍵就在于一個(gè)關(guān)系的抽取或建構(gòu)。如求值（2sin 80°—sin 20°）／cos 20°，若僅從直觀上抽取80°＝4*20°這個(gè)倍數(shù)關(guān)系，問題將難以解決，而若從特殊角出發(fā)，建構(gòu)80°角與20°角的如下關(guān)系：80°＝60°＋20°，問題便可迎刃而解。
弱抽象和強(qiáng)抽象也是數(shù)學(xué)中常用的抽象方法。
先來看下面兩組例子，一組是：
數(shù)→式.
正比例函數(shù)→一次函數(shù)→代數(shù)函數(shù)→函數(shù).
全等三角形→相似三角形.
另一組是：
三角形→等腰三角形→等邊三角形.
四邊形→平行四邊形→矩形→正方形.
兩組例子給出的是兩種不同的抽象方式：弱抽象和強(qiáng)抽象。
強(qiáng)抽象，可以看成“從一般到特殊的過程”；強(qiáng)抽象，可以看成“從特殊到一般的過程”。
譬如：試比較1001^2001與2001！的大小。這道題可以直接證明，但是通過考慮它的一般情況來證明更為簡便。首先，通過觀察1001^2001與2001!的結(jié)構(gòu)和聯(lián)系，可以發(fā)現(xiàn)，1001＝(2001+1)/2，所以問題轉(zhuǎn)化為比較[(2001＋1)/2]^2001與2001!的大小。將2001抽象成n，將其一般化，即比較[(n+1)/2]^n與n!的大小，聯(lián)想不等式[(1+2+3+···+n)/n]^n>n!以及1+2+3+..+n=n(n+1)/2，即得所需結(jié)果。
在解決問題中，觀察條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)和聯(lián)系是非常重要的。
類似的，2022全國高考1卷第7題。
（2022全國高考1卷第7題）設(shè)，則（ ）
A. B. C. D.
分析：設(shè),,
將0.1抽象成，,,
,,則；問題迎刃而解。
2022高考三類“比大小”問題的出題背景及應(yīng)用舉例
第1類 出題背景1
變形得：
注：該不等式也可運(yùn)用“移項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)”的高中方法證明。
第2類 出題背景2
若
【運(yùn)用案例1】
（2022·新高考Ⅰ卷T7）設(shè)，則（ ）
A. B. C. D.
令，得：，可得：
令，得：，即：可得：
設(shè),
將0.1抽象成，,，則問題迎刃而 解。
【運(yùn)用案例2】
（南京市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知，，，則的大小關(guān)系為（ ）
B. C. D.
令，得：，所以，
由“若
”得：
所以，
故：.
【運(yùn)用案例3】
（2022·全國甲（文）T12） 已知，則（ ）
B. C. D.
由“若
”得：
，則，則
同理，
，則
故，
【變式】（2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅預(yù)賽第3題）已知，，，則的大小關(guān)系是__________________
參考答案：（提示：，因?yàn)椋裕?br/>第3類 出題背景3
【運(yùn)用案例】
（2022·全國甲（理）T12） 已知，則（ ）
B. C. D.
分析：因?yàn)?因?yàn)楫?dāng)，所以,即,所以；
結(jié)合“”,令即可判斷：
故，
【類題訓(xùn)練】
1.已知, 則
A. B. C. D.
2.若a＝sin1＋tan1，b＝2，c＝ln4＋，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜c＜a
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷，即可得解；
【詳解】解：令，則，則在定義域上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即，令，，則，因?yàn)椋裕睿瑒t，即在上單調(diào)遞減，所以，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，即，即，即，綜上可得；
故選：A
3.
4.設(shè)，，，，則
A． B． C． D．
答案：B
以“雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)”類型的函數(shù)為背景的函數(shù)綜合題命題研究
【什么是“雙曲函數(shù)”？】
雙曲函數(shù)是一種非初等函數(shù)，它可以用一些基本的數(shù)學(xué)函數(shù)來表示，如：利用指數(shù)函數(shù)的組合。
一種常見的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)，記作sinh(x)，定義為：
另一種常見的雙曲函數(shù)是雙曲余弦函數(shù)，記作cosh(x)，定義為：
雙曲正切函數(shù)tanh(x)定義為：
雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式類似，例如：
可以驗(yàn)證，上述公式與使用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算的結(jié)果是一致的。
【“雙曲函數(shù)”的圖像特征】
雙曲函數(shù)的圖像特征如下：
1.對(duì)稱性：雙曲正弦函數(shù)、雙曲正切函數(shù)均是以原點(diǎn)為中心的對(duì)稱曲線。雙曲余弦函數(shù)是關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱曲線。
2.雙曲正切函數(shù)的漸近線：雙曲正切函數(shù)有兩條漸近線，分別為和。
3.單調(diào)性：雙曲正弦函數(shù)、雙曲正切函數(shù)均是嚴(yán)格單調(diào)遞增曲線；其中，雙曲正切函數(shù)的圖像被限制在兩水平漸近線和之間。
【以“雙曲函數(shù)”為背景的函數(shù)綜合題】
【案例1】
教育部在2022年全國2卷第22題中，命制了以雙曲函數(shù)為背景的試題：
已知函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍。
答案：
【命制思路簡析】
引理：當(dāng)時(shí)，
證明方法1：構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并研究單調(diào)性，即可完成證明。
證明方法2：，故單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，故在下凸。
函數(shù)在處的切線方程為：
故，當(dāng)時(shí)，
對(duì)于“引理”中的不等式——“當(dāng)時(shí)，”，
令，則（）(*)
對(duì)(*)式兩邊，同時(shí)乘以，得：（）
即：（）
引入?yún)?shù)，將替換成，可得：
是使得恒成立的一個(gè)取值。
據(jù)此命制第（2）問，讓考生探究“當(dāng)時(shí)，，的取值范圍”。
【案例2】
（常州市前黃高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試題）
設(shè)函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【與“雙曲函數(shù)”的關(guān)聯(lián)】
，在上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)。
【答案】D
【分析】先判斷出利用奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，從而利用奇偶性、單調(diào)性解不等式即可得解.
【詳解】因?yàn)椋涠x域?yàn)椋?br/>所以，故為奇函數(shù)，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以在上單調(diào)遞增，
故由得，即，
所以，解得.
故選：D.
【案例3】
（江蘇省連云港市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(一)數(shù)學(xué)試題）
已知函數(shù)，若對(duì)任意，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【與“雙曲函數(shù)”的關(guān)聯(lián)】
由雙曲余弦函數(shù)與余弦函數(shù)組合而成。
【案例4】
（廣東省深圳外國語學(xué)校2024屆高三上學(xué)期第一次月考（入學(xué)考試）數(shù)學(xué)試題）
（多選題）已知函數(shù)和分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（ ）
A.
B. 在定義域上單調(diào)遞增
C. 的導(dǎo)函數(shù)
D.
【與“雙曲函數(shù)”的關(guān)聯(lián)】
圖像，分別與雙曲正弦、雙曲余弦函數(shù)圖像類似。
【答案】BD
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得，結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解,
【詳解】由得，由于函數(shù)和分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以，因此，
對(duì)于A, ,故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，由于函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，故B正確，
對(duì)于C，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
而，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以D正確，
故選：BD
【案例5】
（靖江中學(xué)、華羅庚中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試題）
若函數(shù)在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)滿足，則稱函數(shù)為“局部奇函數(shù)”.知函數(shù)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【與“雙曲函數(shù)”的關(guān)聯(lián)】
題目中蘊(yùn)含的圖像，與雙曲余弦函數(shù)圖像類似。
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得有解，即有解，利用換元法討論二次函數(shù)在給定區(qū)間有解即可.
【詳解】根據(jù)“局部奇函數(shù)”定義知：有解，
即方程有解，
則即有解；
設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
方程等價(jià)于在時(shí)有解，
在時(shí)有解；
在上單調(diào)遞增，
，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選D.
【什么是“反雙曲函數(shù)”？】
反雙曲函數(shù)是雙曲函數(shù)的反函數(shù)，記為（arsinh、arcosh、artanh等等）。
例如，反雙曲正弦函數(shù)記作y=arsinhx，定義為 ；
反雙曲余弦函數(shù)記作y=arcoshx，定義為 ；
反雙曲正切函數(shù)記作y=artanhx，定義為 。
與反三角函數(shù)不同之處是它的前綴是ar，意即area（面積），而不是arc（弧）。
【“反雙曲函數(shù)”的圖像特征】
反雙曲函數(shù)的圖像特征如下：
1.反雙曲正弦的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在原點(diǎn)處切線的斜率為1。
2.反雙曲余弦的圖像，有頂點(diǎn)，且在該點(diǎn)處切線為x=1。
3.反雙曲正切和反雙曲余切的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有漸近線。
【“雙曲函數(shù)”、“反雙曲函數(shù)”類型的函數(shù)】
下面展示“雙曲函數(shù)”、“反雙曲函數(shù)”類型的函數(shù)：
上圖為（）、（）圖像，它們關(guān)于對(duì)稱。
上圖為（）、（）圖像，它們關(guān)于對(duì)稱。
上圖為（）、（）圖像，它們關(guān)于對(duì)稱。
上圖為（）、（）圖像，它們關(guān)于對(duì)稱。
【以“雙曲函數(shù)”、“反雙曲函數(shù)”類型的函數(shù)為背景的函數(shù)綜合題】
【案例6】
（常州市前黃高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試題）
已知指數(shù)函數(shù)滿足，定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)．
（1）求m，n的值；
（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【與“雙曲函數(shù)”的關(guān)聯(lián)】
由于在上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，
所以，在上單調(diào)遞減且為奇函數(shù)。
【答案】（1）；
（2）
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念及奇偶性的定義計(jì)算即可；
（2）由（1）求得函數(shù)解析式，判定其單調(diào)性解不等式即可.
【小問1詳解】
由題意可設(shè)，由，解得，
所以，
則．
又因?yàn)樵赗上是奇函數(shù)，
所以，，
所以，即，
驗(yàn)證成立，
綜上所述：；
【小問2詳解】
由（1）知，
易知在R上為減函數(shù)，
又是奇函數(shù)，從而不等式
等價(jià)于，
∴對(duì)任意的恒成立，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
所以.
【案例7】
（揚(yáng)州中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）
已知函數(shù)為奇函數(shù).
（1）求的值；
（2）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求的取值范圍.
【與“雙曲函數(shù)”的關(guān)聯(lián)】
在上單調(diào)遞減且為奇函數(shù)。
【答案】（1）1 （2）
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
（2）首先利用根據(jù)題意得到，利用單調(diào)性定義得到是上的減函數(shù)，再利用單調(diào)性求解即可.
【小問1詳解】
因定義域?yàn)椋?br/>又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，得
當(dāng)時(shí)，， 所以，所以
【小問2詳解】
可化為，
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以
又由（1）知，
設(shè)，且，則，
因?yàn)椋裕?br/>所以，即故是上的減函數(shù)，
所以（*）可化為.因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得成立，
所以，解得.所以的取值范圍為
【案例8】
(2022·江蘇新高考基地學(xué)校第一次大聯(lián)考期中)
已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式f(2x－1)＋f(2x)＞4的解集為
B． C． D．(，＋)
【與“反雙曲函數(shù)”的關(guān)聯(lián)】
函數(shù)在單調(diào)遞減且為奇函數(shù)。
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，設(shè)分析函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，據(jù)此可得，解可得的取值范圍，即可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，設(shè)，則有，解可得，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由，即函數(shù)為奇函數(shù)，設(shè)，則，，在上為減函數(shù)，而在上為增函數(shù)，故在區(qū)間上為減函數(shù)，
解可得：，即不等式的解集為．故選：A
【作者寄語兼本文總結(jié)】
題目一旦被解決，就會(huì)被人發(fā)現(xiàn)其套路。這個(gè)“套路”就是規(guī)律。所以，我們做完一道題，不要忙著去做下一題。題海無邊，如果不去總結(jié)規(guī)律，當(dāng)你做到類似題時(shí)，它認(rèn)識(shí)你，你不認(rèn)識(shí)它，這是多么尷尬的事呀！如果我們能夠做到及時(shí)總結(jié)規(guī)律。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，海量的題目突然歸結(jié)成一類一類的題型。你把握這些題型的解題規(guī)律，你就具備了解題高手的能力！
在人工智能的新時(shí)代，學(xué)會(huì)“發(fā)現(xiàn)”規(guī)律比你“知道”規(guī)律更重要！同學(xué)們，你也去試著思考題目之間的聯(lián)系，去發(fā)現(xiàn)、總結(jié)題目背后的規(guī)律吧！
——?jiǎng)⑹Y巍
從2015屆到2024屆:深圳外國語學(xué)校高三第一次月考?jí)狠S題的源與流
【試題呈現(xiàn)】
（江蘇省南京市、鹽城市2015屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題導(dǎo)數(shù)壓軸題）
已知函數(shù)，其中為常數(shù).
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若，求證：有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；
（3）若為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值.
注：該題被常州市第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)組選做2024屆高三周練試題。
【簡要答案】（1）x－y＝0；（2）略；（3）4
【往年試題今又現(xiàn)】
（深圳外國語學(xué)校2024屆高三第一次月考試題導(dǎo)數(shù)壓軸題）
設(shè)函數(shù).
（1）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，試求正整數(shù)的最大值.
【答案】（1）；（2）2.
【試題的源】
《劉蔣巍：基于常見函數(shù)圖像構(gòu)造出的導(dǎo)數(shù)題——以廣東、湘豫、深圳等地2024屆高三聯(lián)考題為例》一文中提到：以常見函數(shù)圖像與直線組合出題。
如：以與直線組合出題。
【命制過程3步驟】
【第1步：研究函數(shù)圖像性質(zhì)】
令
當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增
，故，下凸。
因此，在遞增且下凸。
同理，可證：在遞減且下凸。
【第2步：構(gòu)造過定點(diǎn)的直線，并調(diào)整參數(shù)，研究直線與函數(shù)圖像的位置關(guān)系】
構(gòu)造過定點(diǎn)的直線
令
令，則
因此，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
故，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
故，函數(shù)圖像在直線上方時(shí)，整數(shù)的最大值為3
即如下命題：
（命題）當(dāng)時(shí)，使得不等式恒成立的整數(shù)的最大值為3
該命題還可弱化為：
（條件弱化后的命題）當(dāng)時(shí)，使得不等式恒成立的整數(shù)的最大值為3
【第3步：變換參數(shù)，恒等變形，生成新問題】
變換參數(shù)，令為不同的形式，通過恒等變形，可以生成無數(shù)道“本質(zhì)相同，形式不同”的新問題。
【案例1：南京市、鹽城市2015屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題導(dǎo)數(shù)壓軸題】
如，令（為整數(shù)），則，
恒等變形為：
即：，兩邊同時(shí)除以，得：
由“整數(shù)的最大值為3”，可知“整數(shù)的最大值為3”，即：整數(shù)的最大值為4.
據(jù)此生成，新問題：
已知函數(shù)，其中為常數(shù).
（3）若為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值.
【簡要答案】的最大值為4
【案例2：深圳外國語學(xué)校2024屆高三第一次月考試題導(dǎo)數(shù)壓軸題】
再如，令（為整數(shù)），則
即：，即：
由“整數(shù)的最大值為3”，可知“整數(shù)的最大值為3”，即：整數(shù)的最大值為2.
據(jù)此生成，新問題：
設(shè)函數(shù).
（2）若，，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，試求正整數(shù)的最大值.
【答案】正整數(shù)的最大值為2.
【分析】當(dāng)時(shí)，，
不等式變形為：，
這就是上面研究過的問題。
【試題的流】
一定是以與直線組合，才能出題么？
當(dāng)然不一定！你可以取你喜歡的函數(shù)以及直線組合，這就形成了“試題的流”。
試一試吧！
附：
2019年9月，中數(shù)參雜志社舉辦的刊網(wǎng)微研，主題為《新課程教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力》，由馬小為（《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》雜志主編）策劃，鄭花青（南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué)副校長）主講，楊妮（《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》雜志編輯）主持。當(dāng)時(shí)，胡云飛（江蘇省溧陽市高中數(shù)學(xué)研訓(xùn)員，溧陽市教師發(fā)展中心副主任）、陳小波（深圳市羅湖區(qū)教育科學(xué)研究院中學(xué)教研中心主任）、趙銀倉（廣東省特級(jí)教師，東莞市名師工作室主持人）以及劉蔣巍（《高中生提出問題能力培養(yǎng)策略之“GESPGT”模式》版權(quán)作品著作權(quán)人）作為嘉賓，參與了對(duì)話研討。劉蔣巍認(rèn)為，學(xué)生學(xué)會(huì)提問、學(xué)會(huì)思考，并習(xí)得幸福的能力，尤為重要；并在這次對(duì)話之后，劉蔣巍撰寫了《素養(yǎng)導(dǎo)向下高中生提出問題能力培養(yǎng)策略》。以下是：摘錄的核心要點(diǎn)。
素養(yǎng)導(dǎo)向下高中生提出問題能力培養(yǎng)策略
文/劉蔣巍
一．素養(yǎng)導(dǎo)向下高中生提出問題能力培養(yǎng)策略之“GESPGT”模式
①關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)（Focus on math learning goals）。如果數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)不清晰，問題就會(huì)層出不窮，甚至離學(xué)習(xí)目標(biāo)萬里。譬如：“這個(gè)現(xiàn)實(shí)問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)最值問題是什么？”與“這個(gè)現(xiàn)實(shí)問題中蘊(yùn)含哪些數(shù)學(xué)問題？”前者更專注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)，在教學(xué)實(shí)踐中更可行。
②核實(shí)已有經(jīng)驗(yàn)（Verify existing experience）。譬如:曾經(jīng)遇到過類似問題嗎？還有哪些概念和現(xiàn)在的這個(gè)概念相關(guān)的？相關(guān)概念的數(shù)據(jù)或之間的關(guān)系都已知了嗎？如果未知，可以求解或證明嗎？
③方案選擇（Scheme selection）。我們能就此問題做些什么？我們還能想到哪些可行性方案？假設(shè)這個(gè)解題的障礙已經(jīng)解決了，問題就簡化成什么問題？我們會(huì)克服這個(gè)障礙嗎？之前哪道問題的解決方法可以借鑒到這道問題？學(xué)習(xí)小組中誰的方法可以借鑒？
④路徑選擇與優(yōu)化（Path selection and optimization）。如果把我們選擇的方案轉(zhuǎn)化為具體的解題路徑，這個(gè)路徑是怎樣的？如何優(yōu)化呢？
⑤一般化思考（Generalized thinking）。是否存在更一般化的問題？一般化問題的解決與特殊情境下問題的解決具有相似的解題路徑嗎？又有哪些區(qū)別呢？
⑥數(shù)學(xué)命題轉(zhuǎn)換（Mathematical proposition transformation）。如果把已經(jīng)解決的問題的條件和結(jié)論，寫成一個(gè)數(shù)學(xué)命題。它的逆命題、否命題依然成立嗎？為什么？可以證明嗎？
二．高中生數(shù)學(xué)發(fā)散思維訓(xùn)練之“數(shù)學(xué)問題生成七字訣”
數(shù)學(xué)發(fā)散思維的訓(xùn)練也有利于數(shù)學(xué)提問能力的培養(yǎng)。高中生數(shù)學(xué)發(fā)散思維訓(xùn)練之“數(shù)學(xué)問題生成七字訣”：
①“參”字訣：引入?yún)?shù)，可以將問題由具體變?yōu)槌橄蟆⒂伞肮潭ǖ摹弊優(yōu)椤白兓摹保纬尚聠栴}。
②“組”字訣：將多個(gè)問題進(jìn)行重新組合，形成新問題。
③“換”字訣：通過代換數(shù)、字母或算式，提出新的問題。
④“形”字訣：圖形、圖像、圖表、實(shí)際場(chǎng)景，均為“形”。將題目中“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“形”的問題。
⑤“算”字訣：高中有函數(shù)運(yùn)算、向量運(yùn)算、矩陣運(yùn)算。將題目中已有的運(yùn)算進(jìn)行變化，形成新的問題。
⑥“動(dòng)”字訣：即“由靜化動(dòng)，動(dòng)態(tài)生成”，通過平移變換、伸縮變換、旋轉(zhuǎn)變換等手段，將靜態(tài)問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)問題。
⑦“逆”字訣：從一個(gè)最終要求解的問題或一個(gè)最終要證明的結(jié)論開始，逆向思考，生長生成問題的條件。從而，形成新的問題。
總之，高中生提出問題能力培養(yǎng)策略之“GESPGT”模式、數(shù)學(xué)發(fā)散思維訓(xùn)練之“數(shù)學(xué)問題生成七字訣”是經(jīng)過一線教學(xué)實(shí)踐總結(jié)提煉而成的實(shí)戰(zhàn)策略，能夠激發(fā)學(xué)生的好奇和困惑，長期堅(jiān)持運(yùn)用能夠提升高中生提出問題能力。
2道函數(shù)不等式題的命制——聽教育專家黃厚忠先生專題報(bào)告后而命制
2023年4月14日，鎮(zhèn)江市教育科學(xué)研究院高中部部長、高中數(shù)學(xué)教研員、鎮(zhèn)江市學(xué)科帶頭人、鎮(zhèn)江市政協(xié)常委、市農(nóng)工黨教育支部主任黃厚忠先生，在“江蘇省2023年高中數(shù)學(xué)新高考研討活動(dòng)”中作專題報(bào)告。
在專家報(bào)告環(huán)節(jié)，黃厚忠先生指出：“基本初等函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù)、分式函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)為主）、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，這四種函數(shù)相互間組合運(yùn)算、疊加、復(fù)合，衍生出多種新函數(shù)，探討這些新函數(shù)的性質(zhì)。”同時(shí)，黃厚忠先生也提到：“有些高考題，命題者出題意圖是讓學(xué)生用導(dǎo)數(shù)處理。實(shí)際上，也可以用不等式處理。”
筆者在學(xué)習(xí)教育專家黃厚忠先生專題報(bào)告后，研讀教材，命制了2道函數(shù)不等式題。下面將試題命制過程及參考解答呈現(xiàn)給大家。請(qǐng)批評(píng)指正。
問題1【命制過程】
【命題背景】
函數(shù)在為增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，
基于此背景，命制如下問題1
【問題1】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，
（1）當(dāng)時(shí)，求證：
（2）判斷數(shù)列的單調(diào)性，并證明
（3）求證：
問題1【參考解答】
證明略。
故，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列。
注：也可構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用不等式（）證明.
由（2）知：，即：
當(dāng)時(shí)，,,故（）
即：當(dāng)時(shí)，；用替換得：（），
即：（），亦即：（）
故，
綜上，
問題2【命制過程】
【教材題源】
（蘇教版必修1教材第134頁“思考運(yùn)用”第7題）已知函數(shù)，對(duì)于任意的，試比較與的大小.
【命題背景1】
，，
當(dāng)時(shí)，，則；則在是上凸函數(shù)
當(dāng)或時(shí)，，則，
則在是下凸函數(shù)。
取“”段函數(shù)圖像，則
據(jù)此，命制第（1）問。
【命題背景2】（上凸函數(shù)的“切線不等式”）若是區(qū)間上的可微上凸函數(shù)，則經(jīng)過點(diǎn)的切線一定在曲線的上方，即成立不等式
又若為嚴(yán)格上凸函數(shù)，則上述不等式成立等號(hào)的充分必要條件是.
簡證：將上述不等式的右邊移項(xiàng)到左邊，應(yīng)用拉格朗日中值定理有：
其中.
又是區(qū)間上的可微上凸函數(shù)，
則在上為減函數(shù)；則，
又，則
即：
若為嚴(yán)格上凸函數(shù)，則在上嚴(yán)格單調(diào)減少。
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。
由上述定理，可知：經(jīng)過點(diǎn)的切線一定在曲線的上方。即：
據(jù)此，命制第（2）問。
【問題2】給出定義：若函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間I上也可導(dǎo)，則稱在區(qū)間I上存在二階導(dǎo)函數(shù).記，若在區(qū)間I上恒成立，則稱在區(qū)間I上為上凸函數(shù)；若在區(qū)間I上恒成立，則稱在區(qū)間I上為下凸函數(shù).
對(duì)于任意，其中，，若在區(qū)間I上為上凸函數(shù)，則有;若在區(qū)間I上為下凸函數(shù),
則有.
已知，且，
則______(填“>”、“<”或“=”);
若在上恒成立，則的最小值為________
問題2【參考答案】
；（2）的最小值為：
【總結(jié)】
教師要研究命題的背景——試題的“源”，據(jù)此，我們可取種種具體的函數(shù)，乃至抽象函數(shù)，源源不斷地產(chǎn)生相應(yīng)的函數(shù)不等式題。
2022全國新高考Ⅰ卷作文提示語：對(duì)于初學(xué)者而言，應(yīng)該從本手開始，本手的功夫扎實(shí)了，棋力才會(huì)提高。一些初學(xué)者熱衷于追求妙手，而忽視更為常用的本手。本手是基礎(chǔ)，妙手是創(chuàng)造。一般來說，對(duì)本手理解深刻，才可能出現(xiàn)妙手；否則，難免下出俗手，水平也不易提升。
對(duì)于教師而言，你未必需要自己下出“妙手”；你需要的是“把握基本，參透變化”。知曉“試題的變化”，會(huì)訓(xùn)練學(xué)生，讓學(xué)生練好“本手”，創(chuàng)造出“妙手”！
課堂的基本在于“預(yù)設(shè)”，課堂的創(chuàng)造在于“生成”！
2024屆江蘇鎮(zhèn)江高三期初考試導(dǎo)數(shù)壓軸題及其姊妹題的命制
【試題呈現(xiàn)】
（江蘇省鎮(zhèn)江市2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期高三期初試卷第22題）
（12分）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)于任意的，關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【參考答案】
（1）單調(diào)增區(qū)間為：；單調(diào)減區(qū)間為：和
（2）
【出題背景1——凸函數(shù)不等式】
若是區(qū)間I上的可微下凸函數(shù)，則經(jīng)過點(diǎn)()的切線一定在曲線的下方，即：成立不等式：，
如：，,則在R上為可微下凸函數(shù)；于是有：；即：，
將替換為，得：
引入?yún)?shù)，進(jìn)一步放縮得：，其中
同時(shí)注意到“在上，等號(hào)可以取得”。（理由：，且，因此存在，使得）
【出題背景2——同構(gòu)】
為了讓問題更加隱蔽，將不等式恒等變形，并將中間放縮步驟隱藏，得：
這樣，就需要考生能夠變形以及放縮，得到：
再對(duì)比題設(shè)條件：“關(guān)于x的不等式恒成立”，發(fā)現(xiàn)相同的結(jié)構(gòu)：，進(jìn)而得出最終結(jié)果。
【題目變式——姊妹題】
（江蘇省鎮(zhèn)江市2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期高三期初試卷第22題的“姊妹題”）
（12分）已知函數(shù)（）．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)于任意的，關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【參考答案】
（1）單調(diào)增區(qū)間為：；單調(diào)減區(qū)間為：
（2）
注：該題由劉蔣巍命制，可作為2024屆鎮(zhèn)江期初考試第22題的“姊妹題”。
【姊妹題的命制思路】
2024屆鎮(zhèn)江期初考試第22題的“姊妹題”命制過程如下：
，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減
注意到：，則在為上凸函數(shù)，則（）
即：（），用替換，得：（）
即：（）
注意到：時(shí)，，
則：當(dāng)時(shí)，
引入不小于1的參數(shù)，則
為了讓考生找到相同的結(jié)構(gòu)（引入“同構(gòu)”考點(diǎn)），將改成形式，變形，得：
進(jìn)一步變形，得：
于是，得到如下新問題：
已知函數(shù)（）．
若對(duì)于任意的，關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
對(duì)兩地2024屆高三10月聯(lián)考導(dǎo)數(shù)壓軸題參考解答的商榷
【試題呈現(xiàn)】
（常州市聯(lián)盟學(xué)校2023—2024學(xué)年度高三第一學(xué)期10月學(xué)情調(diào)研）
已知函數(shù).
（3）當(dāng)時(shí)，判斷在零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．
（安徽省徽師聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）
已知函數(shù).
（3）當(dāng)時(shí)，判斷在零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.
（類題1——2023蘇大考前指導(dǎo)卷第2問）已知函數(shù)
（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上有唯一零點(diǎn)。
【出題背景】2023蘇大考前指導(dǎo)卷21題（2）出題背景（函數(shù)的凸性），構(gòu)造函數(shù)，判斷其在（0，+∞）單增，且為下凸函數(shù)，在x=0處的切線為y=x，故g(x)函數(shù)圖像與y=ax圖像在（0，+∞）有唯一交點(diǎn)，因此，在（0，+∞）有唯一零點(diǎn)。
【出題背景】
（下凸函數(shù)的“切線不等式”）若是區(qū)間上的可微凸函數(shù)，則經(jīng)過點(diǎn)的切線一定在曲線的下方，即成立不等式
又若為嚴(yán)格凸函數(shù)，則上述不等式成立等號(hào)的充分必要條件是.
簡證：將上述不等式的右邊移項(xiàng)到左邊，應(yīng)用拉格朗日中值定理有：
其中.
又是區(qū)間上的可微凸函數(shù)，
則在上為增函數(shù)；則，
又，則
即：
若為嚴(yán)格凸函數(shù)，則在上嚴(yán)格單調(diào)增加。
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。
【試題參考解答及商榷之處】
【參考解答】
常州市聯(lián)盟學(xué)校、安徽省徽師聯(lián)盟對(duì)于第22題導(dǎo)數(shù)壓軸題分別給出了如下解答：
（常州市聯(lián)盟學(xué)校2023—2024學(xué)年度高三第一學(xué)期10月學(xué)情調(diào)研）已知函數(shù).
（3）當(dāng)時(shí)，判斷在零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．
【參考答案】令，即可得；
構(gòu)造函數(shù)，，易知在上恒成立，
即在上單調(diào)遞增，如圖中實(shí)曲線所示：
又函數(shù)恒過，且，
易知，所以函數(shù)在處的切線方程為；
又，所以（圖中虛線）在范圍內(nèi)恒在（圖中實(shí)直線）的上方；
所以由圖易知與在范圍內(nèi)僅有一個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn). …………12分
（安徽省徽師聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）
已知函數(shù).
（3）當(dāng)時(shí)，判斷在零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.
【參考答案】令，即可得；構(gòu)造函數(shù)，，易知在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，如下圖中實(shí)曲線所示：
又函數(shù)恒過，且，易知，
所以函數(shù)在處的切線方程為；又，所以（圖中虛線）在范圍內(nèi)恒在（圖中實(shí)直線）的上方；所以由圖易知與在范圍內(nèi)僅有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)。
【值得商榷之處】
在商榷之前，我們先看一個(gè)引理及相關(guān)的命題：
引理：（上凸函數(shù)的“切線不等式”）若是區(qū)間上的可微上凸函數(shù)，則經(jīng)過點(diǎn)的切線一定在曲線的上方，即成立不等式
又若為嚴(yán)格上凸函數(shù)，則上述不等式成立等號(hào)的充分必要條件是.
簡證：將上述不等式的右邊移項(xiàng)到左邊，應(yīng)用拉格朗日中值定理有：
其中.
又是區(qū)間上的可微上凸函數(shù)，
則在上為減函數(shù)；則，
又，則
即：
若為嚴(yán)格上凸函數(shù)，則在上嚴(yán)格單調(diào)減少。
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。
相關(guān)命題：給出定義：若函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間I上也可導(dǎo)，則稱在區(qū)間I上存在二階導(dǎo)函數(shù).記，若在區(qū)間I上恒成立，則稱在區(qū)間I上為上凸函數(shù)；若在區(qū)間I上恒成立，則稱在區(qū)間I上為下凸函數(shù).
對(duì)于任意，其中，，若在區(qū)間I上為上凸函數(shù)，則有;若在區(qū)間I上為下凸函數(shù),
則有.
已知，且，
則______(填“>”、“<”或“=”);
若在上恒成立，則的最小值為________
參考答案：（1）；（2）的最小值為：
【命題背景】
，，
當(dāng)時(shí)，，則；則在是上凸函數(shù)
當(dāng)或時(shí)，，則，
則在是下凸函數(shù)。
取“”段函數(shù)圖像，則
據(jù)此，命制第（1）問。
由上述引理，可知：經(jīng)過點(diǎn)的切線一定在曲線的上方。即：
據(jù)此，命制第（2）問。
由上面的引理及相關(guān)命題，值得商榷之處不言而喻了——在局部區(qū)域，函數(shù)圖像在切線的上方還是下方，函數(shù)的局部凹凸性（局部區(qū)域，上凸還是下凸）的判定是關(guān)鍵點(diǎn)。譬如：在是上凸函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)的切線在曲線的上方。
而函數(shù)，在（0，+∞）單增，且為下凸函數(shù)，x=0處的切線y=x在曲線的下方。
這兩地區(qū)上述的參考解答都沒有說清楚這一點(diǎn)。希望參考解答能夠更加完善，并沒有針對(duì)誰的意思。拋磚引玉，僅供參考。
Hadamard不等式及其特例——對(duì)數(shù)均值不等式
（指數(shù)均值不等式）：（）
其對(duì)數(shù)形式：（），
又等價(jià)于：（）
引申：當(dāng)時(shí)，，
則，
即：，不難發(fā)現(xiàn)調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的。
★關(guān)于（）類型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題是怎么出的呢？ 設(shè)，（）是函數(shù)（）圖像上任意兩點(diǎn)，記直線AB的斜率為，則
；而函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，
又由引理：
所以恒成立.（*）——一般性的結(jié)論。
注：引理證明：構(gòu)造函數(shù)（），顯然，
所以，即：，（）
不妨設(shè)，令，則，即：
★案例：設(shè)函數(shù)，若的兩個(gè)極值點(diǎn)和，記過點(diǎn)，的直線的斜率為，問：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。
分析：，，令，，因?yàn)榈膬蓚€(gè)極值點(diǎn)和，所以方程在上有兩個(gè)相異實(shí)根，則且，得：
易得：，
若，則，又因?yàn)椋裕埽∷圆淮嬖诜蠗l件的實(shí)數(shù).
“副產(chǎn)品”：
★試題改編
將問題改編，生成如下問題：
（2021年湖北省八市高三（3月）聯(lián)考第21題）已知函數(shù)f(x)=x-2alnx-,(a∈R).
（1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
（2)若x1、x2為函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：
注：2021年湖北省八市高三（3月）聯(lián)考
★常州高級(jí)中學(xué)高二單元考試題
分析：我們看第（3）問，屬于“（）類型函數(shù)”
設(shè)，，記直線AB的斜率為，
因?yàn)椋瑸榱泓c(diǎn)，所以，此題中，
而函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，
又由引理：
所以，，即：
又，所以，，，即
單元考只是個(gè)特例，你讀懂了嗎？
應(yīng)用：已知函數(shù)
若函數(shù)的圖像與軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：
應(yīng)用（*）式結(jié)論：
將，，代入到中，得：
這一結(jié)論，你會(huì)玩了嗎？試一試吧！
試一試
已知函數(shù)
如果函數(shù)的圖像交軸于，（）兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，證明：
要求：請(qǐng)寫出完整解題過程哦！
問題5：已知函數(shù)
（1）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，
（2）若函數(shù)的圖像與軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：
分析：（1）將，，代入到中，得：，即：，
所以
（2）將，，代入到中，得：
問題6：設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，
分析： ，從而
引申：當(dāng)時(shí)，
拓展：當(dāng)然，本題還可以使用拉格朗日中值定理求解。
，其中
問題7：設(shè)函數(shù)，若的兩個(gè)極值點(diǎn)和，記過點(diǎn)，的直線的斜率為，問：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。
分析：，，令，，因?yàn)榈膬蓚€(gè)極值點(diǎn)和，所以方程在上有兩個(gè)相異實(shí)根，則且，得：
易得：，
若，則，又因?yàn)椋裕埽∷圆淮嬖诜蠗l件的實(shí)數(shù).
問題8：已知函數(shù)（），若，且，證明：
分析：，因?yàn)椋?br/>又因?yàn)椋?br/>☆常見的對(duì)數(shù)不等式：，（）；
，（）；
，（）；
，（）.
構(gòu)造函數(shù)（），顯然，
所以，即：，（）
不妨設(shè)，令，則，即：
問題9：已知函數(shù)（）
若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：
分析：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，
所以 ，則，，
所以，，即
問題10：已知函數(shù)（）
記函數(shù)的圖像為曲線C，設(shè)點(diǎn)，是曲線C上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作軸的垂線交曲線C于點(diǎn)N。試問：曲線C在點(diǎn)N處的切線是否平行于直線AB？并說明理由。
答案：不平行。請(qǐng)讀者自作。
一道“對(duì)數(shù)均值不等式”及其變形、延申的原創(chuàng)小題
【試題呈現(xiàn)】
【多選題】“（）”被稱為“對(duì)數(shù)均值不等式”。
變形為：“（）（變形1）”。
當(dāng)時(shí)，令，并適當(dāng)放縮，可得不等式：，
令不等式中的分別取并累加，可得：
可以通過類似上述“變形”、“放縮”、“代換”的方法得到的新的不等式有（ ）
A.
B.
C.
D.
出題背景
【試出題背景】“對(duì)數(shù)均值不等式”及其變形、延申
參考解答
【試題參考解答】BCD
“（）（變形1）”可變形為：
（）（變形2），令，得：
（）（變形3），故A錯(cuò)誤。
將變形3中換成可得：
（）（變形4）
對(duì)“變形4”用基本不等式，放縮得：
，故B正確。
令，得：，故C正確。
令上述不等式中分別取并累加可得：
即：，故D正確。
D選項(xiàng)，還可以用于估算真數(shù)為正整數(shù)的對(duì)數(shù)的范圍。
題外話
有老師說：“劉老師，你命制的這三道題，考到原題的可能性不大。”
是的，有多少老師能命中高考原題呢？
我在2017年，"用對(duì)數(shù)均值不等式(Hadamard積分不等式特例)推導(dǎo)調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的"這一過程中(寫入《江蘇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》2018年出版)，其中一個(gè)部分就是2022年全國高考2卷數(shù)學(xué)壓軸題最后一問。(可以算是:命中高中壓軸題最后一問原題吧！提示:把不等式，k取1~n，累加一下看看呢)。可我當(dāng)初也想不到5年后會(huì)在高考中考到。
教育部在2022年全國2卷第22題中，命制了以雙曲函數(shù)為背景的試題：
已知函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍。
設(shè)，證明
教學(xué)的意義，就是為了高考么？
這題所涉及的數(shù)學(xué)思想，對(duì)高考，甚至對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)都是有意義的。
2023函數(shù)模考題精選精練
1.（2022-2023·徐州新沂市第三中學(xué)·一模）函數(shù)的部分圖象大致是( ).
A．B．
C．D．
2.（2022-2023·南通海安高級(jí)中學(xué)·一模）已知p：，q：，則p是q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3.（2022-2023·南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、連云港、宿遷、鹽城·二模）7．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則最小值為（ ）
A． B． C． D．
4.（2022-2023·南師大附中江寧分校、南京中華中學(xué)·一模）15．設(shè)函數(shù) ，則使得 成立的的取值范圍是_____.
5.（2022-2023·南通·一模）函數(shù)的定義域均為，且，關(guān)于對(duì)稱，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
6.（2022-2023·南通海安高級(jí)中學(xué)·一模）14．定義在上的函數(shù)，滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則__________.
7.（2022-2023·南京第十二中學(xué)·一模）15．已知函數(shù)，若方程f（x）＝m（m∈R）恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解a，b，c（a＜b＜c），則（a＋b）c的取值范圍是____．
2023導(dǎo)數(shù)模考題精選精練
1.（2022-2023·南京江浦高中·一模）8．設(shè)是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，滿足，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
2.（2022-2023·南京第十二中學(xué)·一模）8．已知，則（ ）
A． B． C． D．
3.（多選題）（2022-2023·南通·一模）12．過平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線兩條互相垂直的切線、，切點(diǎn)為、、不重合，設(shè)直線、分別與y軸交于點(diǎn)A、B，則（ ）
A．、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值 B．直線的斜率為定值
C．線段AB的長度為定值 D．面積的取值范圍為
4.（多選題）（2022-2023·南師大附中江寧分校、南京中華中學(xué)·一模）10．定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對(duì)稱中心．已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，則下列說法中正確的有（ ）
A．， B．函數(shù)既有極大值又有極小值
C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) D．過可以作三條直線與圖像相切
5.（多選題）（2022-2023·徐州新沂市第三中學(xué)·一模）12．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
6.（多選題）（2022-2023·南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、連云港、宿遷、鹽城·二模）12．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
7.（2022-2023·南京、鹽城市·一模）22．已知，函數(shù)，.
(1)若，求證：僅有1個(gè)零點(diǎn)；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
8.（2022-2023·南通海安高級(jí)中學(xué)·一模）22．已知函數(shù)且.
(1)設(shè)，討論的單調(diào)性；
(2)若且存在三個(gè)零點(diǎn).
1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
2）設(shè)，求證：.
9.（2022-2023·揚(yáng)州中學(xué)·一模）22．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)設(shè)，若，且對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
10.（2022-2023·南京師大附中·一模）22．已知函數(shù)，其中．
（1）設(shè)函數(shù)，證明：
①有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)；
②記是的唯一極小值點(diǎn)，則；
（2）若，直線與曲線相切，且有無窮多個(gè)切點(diǎn)，求所有符合上述條件的直線的方程．
11.（2022-2023·南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、連云港、宿遷、鹽城·二模）22．已知函數(shù)．
(1)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
第二章 三角函數(shù)與解三角形
理解邏輯推理，快得分
數(shù)學(xué)推理是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、進(jìn)行思考的基本能力。一般地，可從以下兩個(gè)方面入手培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。
1.加強(qiáng)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程教學(xué)，提高合情推理能力
通過適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，盡可能使學(xué)生親自體驗(yàn)概念的形成過程；精心設(shè)計(jì)和組織教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生參與公式、定理、法則、性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)、探索、推導(dǎo)過程；盡量暴露解題的思考過程，尤其是解題中思路受阻及產(chǎn)生錯(cuò)誤后是如何調(diào)整思維方式的，幫助學(xué)生掌握探索的方法與解題的規(guī)律，培養(yǎng)和發(fā)展自我調(diào)控的能力.
2.有目的、有計(jì)劃、有步驟地進(jìn)行演繹推理的訓(xùn)練，提高演繹推理的能力
（1）結(jié)合具體數(shù)學(xué)內(nèi)容，介紹或講授一些必要的邏輯知識(shí)．
一般來說，學(xué)生經(jīng)過幾年的學(xué)習(xí)，可以獲得一定的邏輯訓(xùn)練.但是因?yàn)樵诮滩暮徒虒W(xué)中，只對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容本身進(jìn)行解釋，而對(duì)其中的邏輯成分很少解釋，學(xué)生在沒理解邏輯成分的情況下去學(xué)習(xí)推理往往只是不自覺地使用邏輯法則，有時(shí)還會(huì)發(fā)生邏輯錯(cuò)誤，這當(dāng)然是不利于其邏輯思維和推理能力的發(fā)展，為了幫助學(xué)生更自覺地使用邏輯規(guī)則，避免邏輯錯(cuò)誤，提高思維和推理能力，有必要學(xué)習(xí)關(guān)于邏輯的初步知識(shí)。
（2）向?qū)W生明確“運(yùn)算也是推理”的思想，有意識(shí)地在運(yùn)算中培養(yǎng)學(xué)生“說理”的習(xí)慣和能力.
明確“運(yùn)算也是推理”的思想是十分重要的。因?yàn)樵谥袑W(xué)代數(shù)，尤其是初中代數(shù)中，含有較多的具有算法性質(zhì)的內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，往往只是記憶運(yùn)算的步驟，而忽視對(duì)運(yùn)算依據(jù)的理解和掌握，這就不利于運(yùn)算的準(zhǔn)確性，也不利于推理能力的培養(yǎng)。當(dāng)然，這也不是說要掌握所有數(shù)、式運(yùn)算的依據(jù)，這在中學(xué)數(shù)學(xué)中也是做不到的，但是，要強(qiáng)調(diào)把計(jì)算步驟與依據(jù)結(jié)合起來，盡可能做到“數(shù)學(xué)地記憶”，培養(yǎng)學(xué)生“說理”的習(xí)慣和能力，從中提高推理能力。
（3）向?qū)W生明確“化歸也是推理”的思想
在數(shù)學(xué)問題中，給出的條件有時(shí)會(huì)在量、形關(guān)系上顯得較為雜亂，無從下手。這時(shí)，需要根據(jù)待解問題的表現(xiàn)形式，對(duì)所給的量、形關(guān)系做和諧統(tǒng)一的化歸。即化歸應(yīng)朝著使待解問題在表現(xiàn)形式上趨于和諧，在量、形、關(guān)系方面趨于統(tǒng)一的方向進(jìn)行，使問題的條件與結(jié)論表現(xiàn)得更勻稱和恰當(dāng)。
【例題】在Δ ABC中，A＝2C，求證：b/3＜a—c＜b/2．
分析 條件是角的關(guān)系，結(jié)論是邊的關(guān)系，由統(tǒng)一性原則及正弦定理，將結(jié)論與條件統(tǒng)一起來，轉(zhuǎn)化為sin B/3 （1）在Δ ABC中，A＝2C，求證 sin 3C＜3sin 2C—3sin C．
（2）在Δ ABC中，A＝2C，求證2sin 2C—2sin C＜sin 3C．
對(duì)于問題（1），繼續(xù)將結(jié)論統(tǒng)一為關(guān)于同角C的同名三角函數(shù)的不等式：
sin 3C<3sin 2C—3sin C，
等價(jià)于3sin C—4（sinC）^3<6sinCcos C—3sinC
等價(jià)于—4(sinC)^2—6cos C+6<0
等價(jià)于2（cosC）^2—3cos C+1<0
等價(jià)于(2cos C—1)(cos C—1)<0
等價(jià)于2cos C—1>0
等價(jià)于cosC>1/2.
問題（1）隨之就化歸為：在ΔABC中，A＝2C，求證cosC＞1/2．這是一個(gè)很簡單的問題．同樣可證問題（2）．
分析上述解題過程，如何將元素統(tǒng)一，以及將條件與結(jié)論在表現(xiàn)形式上的統(tǒng)一是問題解決的關(guān)鍵，化歸正是朝著這個(gè)方向進(jìn)行的。
其實(shí)，回顧、反思中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，很多內(nèi)容都是遵循統(tǒng)一性原則的：如不同底的對(duì)數(shù)式運(yùn)算常通過換底公式統(tǒng)一為同底數(shù)的對(duì)數(shù)來運(yùn)算；多變?cè)膯栴}通過消元變?yōu)橐粋€(gè)變?cè)膯栴}；三角誘導(dǎo)公式的重要作用就是實(shí)現(xiàn)三角式的和諧統(tǒng)一，等等。
類似的，2022全國1卷第18題。
（2022·新高考Ⅰ卷T18）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
求的最小值．
分析 條件是角的關(guān)系，結(jié)論是邊的關(guān)系，由統(tǒng)一性原則及正弦定理，將結(jié)論與條件統(tǒng)一起來，轉(zhuǎn)化為以，進(jìn)一步將角統(tǒng)一起來。由化成，即：，得，即有，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于單變?cè)狟的代數(shù)式，從而，問題就化歸為如下表現(xiàn)形式上較統(tǒng)一的問題：
【問題3】在Δ ABC中，求的最小值.
對(duì)于問題3，繼續(xù)將其統(tǒng)一為關(guān)于同角B的同名三角函數(shù)式：
等價(jià)于“求的最小值“
問題3隨之就化歸為：在Δ ABC中，求的最小值．這是一個(gè)很簡單的問題．
以“笛卡爾葉形線”為背景的高考原創(chuàng)題
【試題呈現(xiàn)】“三角換元思想”是三角函數(shù)中的基本思想。運(yùn)用三角換元法可以處理曲線中的最值問題。譬如：已知，求的最大值。我們令，，則，這樣我們就把原問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題。已知是曲線上的點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A. 2 B.8 C. 18 D. 36
原創(chuàng)題 該題由劉蔣巍命制
出題背景：笛卡爾葉形線
1638年，笛卡爾根據(jù)他所研究的一簇花瓣和葉形曲線特征，提出了笛卡爾葉形線方程：
從笛卡爾坐標(biāo)系的創(chuàng)立開始，笛卡爾葉形線方程隱藏的美就逐漸綻開了含苞待放的花蕾雛形。
（笛卡爾葉形線的對(duì)稱美）笛卡爾葉形線的斜漸近線與切線的平行對(duì)偶美，具有奇特的育人優(yōu)勢(shì)，以美育激起以美育德的魅力，以美育德和以美育人。
于是，筆者對(duì)該素材，產(chǎn)生了興趣！
令，，代入方程，得：
上式中的、具有輪換性。
實(shí)際上，笛卡爾葉形線的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo) 的橫縱坐標(biāo)都具有輪換對(duì)稱美。
二元函數(shù)，則有
，，
過頂點(diǎn)A的切線斜率為，
故，過點(diǎn)A的切線方程為：，法線方程為
漸近線平行于切線。
令，得到，曲線：。這就是本題的出題背景。
解題方法：
其中，
令，則
在上單調(diào)遞增
故，，
一道三角函數(shù)填空題的命制——聽吳莉娜專題報(bào)告受啟發(fā)而命制
2023年4月14日，江蘇省常州高級(jí)中學(xué)吳莉娜老師在“江蘇省2023年高中數(shù)學(xué)新高考研討活動(dòng)”中作專題報(bào)告。
在專家報(bào)告環(huán)節(jié)，吳莉娜老師指出：“教材是高考數(shù)學(xué)試題的源頭。教材是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的載體，又是教學(xué)的依據(jù)。因此在教學(xué)中應(yīng)充分發(fā)揮教材作為試題的根本來源的功能，每年均有一定數(shù)量的試題是以教材習(xí)題為素材的變式題，通過變形、延伸與拓展來命制高考題。”
筆者在學(xué)習(xí)吳莉娜報(bào)告后，研讀教材，命制了一道三角函數(shù)填空題。下面將試題命制過程及參考解答呈現(xiàn)給大家。請(qǐng)批評(píng)指正。
【命制過程】
（蘇教版必修2第79頁探究拓展第19題部分）
由倍角公式，可知可以表示為的二次多項(xiàng)式.對(duì)于，我們有
可見可以表示為的三次多項(xiàng)式.
筆者思考：恒成立，即：恒成立，亦即對(duì)于恒成立，將“4”令為參數(shù)“”，求參數(shù)的值.
于是有如下問題：
問題1：已知對(duì)于總有成立，則
顯然，這就是2008年江蘇高考卷第18題的命制思路。如此命制，已落入俗套。
參考上述問題1的命制方法——“演繹法+代換法”，命制新問題。
【新問題的命制過程】
公式的演繹過程：
用“代換法”過程：
由此可見，是方程的根.
將方程左側(cè)多項(xiàng)式展開，整理得：
令，則，，
此時(shí)，
于是，得到以下新問題：
【新問題】 已知，若、、是方程的根，則______________
【參考答案】
用外接圓與橢圓定義直觀求解兩類三角形周長、面積范圍
【一般性的命題（一）】
銳角三角形ABC中，，，角A、B、C所對(duì)邊分別為、、，其中為定值。
求證：（1）；
【命題（一）問題（1）命題分析】
邊、角，均為已知定值。要保證三角形ABC為銳角三角形。可以先畫出角A，在邊AB上，取點(diǎn)、，使得、（取直角三角形ABC為臨界狀態(tài)，來進(jìn)一步研究）。
若B點(diǎn)在段（不包含A與）或的延長線上，此時(shí)，三角形ABC為鈍角三角形。（不符合題意）
要保證三角形ABC為銳角三角形，則B點(diǎn)在段。將視為三角形ABC的高，AB視為三角形ABC的底。
當(dāng)點(diǎn)B在段運(yùn)動(dòng)時(shí)，從到，三角形ABC的面積逐漸變大。
因此，，只需用邊、角表示出即可。
于是，有：，亦即：
【命題（一）問題（2）命題分析】
邊、角，均為已知定值。且由（1）的命題分析，可知：要保證三角形ABC為銳角三角形，則B點(diǎn)在段。
什么時(shí)候最小，什么時(shí)候最大呢？可以運(yùn)用橢圓的定義去轉(zhuǎn)化。
【用橢圓定義轉(zhuǎn)化求解】以A、C為焦點(diǎn)，繪制一個(gè)經(jīng)過點(diǎn)B的橢圓，作線段AC的垂直平分線，交該橢圓于D點(diǎn)。運(yùn)用橢圓的第一定義以及三角形中“大角對(duì)大邊”的性質(zhì)，可知：
【直觀角度，迅速求解】從直觀角度看，點(diǎn)D從運(yùn)動(dòng)到，AD是逐漸變大的。因此，當(dāng)點(diǎn)B在段運(yùn)動(dòng)時(shí)，從到，三角形ABC的周長也逐漸變大。
【注】當(dāng)然，也可以不用“橢圓的第一定義”轉(zhuǎn)化，直接用三角形中“大角對(duì)大邊”的性質(zhì)去比較判斷。結(jié)論也是一樣的。
于是，有：
【一般性的命題（二）】
銳角三角形ABC中，，，角A、B、C所對(duì)邊分別為、、，其中為定值。
求證：（1）；
（2）
【命題（二）問題（1）命題分析】
注意到：定邊所對(duì)角為定值，屬于“定弦定角”，故構(gòu)造三角形ABC的外接圓。還是找臨界狀態(tài)，一個(gè)“臨界狀態(tài)”是或時(shí)；另一個(gè)“臨界狀態(tài)”是點(diǎn)A到邊BC距離最遠(yuǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上。
若A點(diǎn)在優(yōu)弧段（不包含B、C、、），此時(shí)三角形ABC為鈍角三角形。（不符合題意）
若A點(diǎn)在或處，此時(shí)或。（不符合題意）
要保證三角形ABC為銳角三角形，則A點(diǎn)在劣弧段。當(dāng)點(diǎn)A從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，點(diǎn)A到邊BC距離越來越大；當(dāng)點(diǎn)A從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，點(diǎn)A到邊BC距離越來越小。底邊BC不變，則三角形ABC的面積隨著點(diǎn)A到邊BC距離的增大而增大，減小而減小。
故，
于是，有：
【命題（二）問題（2）命題分析】
【用橢圓定義轉(zhuǎn)化求解】以B、C為焦點(diǎn)，繪制一個(gè)經(jīng)過點(diǎn)A的橢圓，作線段BC的垂直平分線，交該橢圓于D點(diǎn)。運(yùn)用橢圓的第一定義以及三角形中“大角對(duì)大邊”的性質(zhì)，可知：
【直觀角度，迅速求解】從直觀角度看，點(diǎn)D從運(yùn)動(dòng)到，CD是逐漸變大的。因此，當(dāng)點(diǎn)A從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，三角形ABC的周長越來越大；當(dāng)點(diǎn)A從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，三角形ABC的周長越來越小。當(dāng)點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上（即時(shí)），三角形ABC的周長最大。
故，
于是，有：
2024屆常州高三期中數(shù)學(xué)壓軸題的出題思路及不同解法對(duì)比
【試題呈現(xiàn)】
（常州市教育學(xué)會(huì)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題第22題）
已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．
（1）求函數(shù)的解析式，并直接寫出函數(shù)的解析式；
（2）若在內(nèi)恰有2023個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)與正整數(shù)的值．
【參考答案】(1) ，
．
（2）
其中第2問至少有2種解法。
下文先講一下【出題思路】，再做【解法對(duì)比】。
【出題思路——改編手法】
【試題的源】
（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）理數(shù)試題第20題）
已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期為π,圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為.將函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將所得到的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象．
(1)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式；
(2)是否存在x0∈,使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某種順序成等差數(shù)列？若存在,請(qǐng)確定x0的個(gè)數(shù)；若不存在,說明理由；
(3)求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)n,使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有2 013個(gè)零點(diǎn)．
【參考答案】(1) f(x)＝cos 2x, g(x)＝sin x; (2)存在;
或
【改編手法】
2024屆常州高三期中數(shù)學(xué)壓軸題是基于2013年福建高考理科數(shù)學(xué)第20題改編的。改編的手法是改編數(shù)據(jù)、平移的方向等，進(jìn)而構(gòu)造出類似的函數(shù)。
2013年福建高考理科數(shù)學(xué)第20題第3問：；
令...
2024屆常州高三期中數(shù)學(xué)壓軸題的函數(shù)：
令，即：...
不難發(fā)現(xiàn)：這兩個(gè)考試中最后一問研究的函數(shù)是極其類似的。
【符合“年代感”的表述】
（2013年福建高考最后一問）求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)n,使得F(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有2 013個(gè)零點(diǎn)．
（2024屆常州高三期中最后一問）若F(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有2023個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)與正整數(shù)的值．
【分析異同】從上面改編手法中，可以看出這兩題極其相似。如果F(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不變。這兩題的答案就是一模一樣！如此改編，難免有“抄襲之嫌”，怎么辦呢？把“2013個(gè)零點(diǎn)”改為“2023個(gè)零點(diǎn)”，這樣答案有所不同。
于是，命制了“2024屆常州高三期中數(shù)學(xué)壓軸題”。
【第2問解法對(duì)比】
【兩種解法】
第2問有兩種方法：
方法1：解方程，換元，得到（其中，），進(jìn)而研究二次函數(shù)的零點(diǎn)分布。
方法2，用分離系數(shù)法得出（其中，），而后研究函數(shù)與的交點(diǎn)情況；
這兩種方法均可將原問題轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題。（從簡單開始考慮）
【解答呈現(xiàn)】
令，即：
記，則只需研究,也即在給定區(qū)間上的零點(diǎn)情況。下面的過程與2013年福建高考最后一問類似。
（解法1：通過代換，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上的問題）
現(xiàn)研究函數(shù)在.
設(shè)則函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，
又，，
當(dāng)b＞1（即：）時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)(另一個(gè)零點(diǎn)＞1，舍去)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，且；
當(dāng)（即：）時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)(另一個(gè)零點(diǎn)＜-1，舍去)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，且；
當(dāng)(即：-1＜＜1）時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)，在和分別有兩個(gè)零點(diǎn).
由正弦函數(shù)的周期性，可知當(dāng)a≠±1時(shí)，函數(shù)在內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)，從而不存在正整數(shù)n滿足題意.
當(dāng)b=1()時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)=1；
當(dāng)()時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)=-1，另一個(gè)零點(diǎn)，
從而當(dāng)a=1或a=-1時(shí)，函數(shù)在有3個(gè)零點(diǎn).
由周期性，，
所以依題意得時(shí)，即：時(shí)，.
（由于正整數(shù)n,所以當(dāng)時(shí)，即：時(shí)，能夠取到2022個(gè)或2024個(gè)或2025個(gè)交點(diǎn)，而取不到2023個(gè)交點(diǎn)。）
綜上，
（解法2：分離參數(shù)，借助函數(shù)圖像，找零點(diǎn)）
依題意，，令，
當(dāng)，即時(shí)，，從而不是方程的解，所以方程等價(jià)于關(guān)于的方程
現(xiàn)研究時(shí)，方程的解的情況。
則問題轉(zhuǎn)化為：研究直線的交點(diǎn)情況。
的變化情況如下表：
由圖可知：當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)無交點(diǎn)，在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)。（也即：當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)無交點(diǎn)，在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)。）
當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)無交點(diǎn)。（也即：當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)無交點(diǎn)。）
當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)。（也即：當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)。）
從而不存在正整數(shù)n,使得直線y=a與曲線y=h(x)在（0，n）內(nèi)恰有2023個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)內(nèi)有3個(gè)交點(diǎn)
由周期性，，
所以依題意得時(shí)，即：時(shí)，.
（由于正整數(shù)n,所以當(dāng)時(shí)，即：時(shí)，能夠取到2022個(gè)或2024個(gè)或2025個(gè)交點(diǎn)，而取不到2023個(gè)交點(diǎn)。）
綜上，
【解法對(duì)比】
“通過代換，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上的問題”還是“分離參數(shù)，借助函數(shù)圖像，找零點(diǎn)”？
哪個(gè)方法最簡便？哪個(gè)方法最自然？因人而異。
【感言】
平時(shí)，遇到三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合的壓軸題，有不少學(xué)生都會(huì)畏懼，從簡單的開始考慮，以形助數(shù)。
按照江蘇省常州高級(jí)中學(xué)老師的話，這叫做——【簡中求道】吧！
構(gòu)造出來的高考題
新高考數(shù)學(xué)命題的思維包括：
①構(gòu)造:構(gòu)造某種結(jié)構(gòu)。譬如:輔助函數(shù)、幾何圖形等。
②放縮:運(yùn)用超越不等式(指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、三角不等式等)、基本不等式等進(jìn)行放縮，構(gòu)造出相應(yīng)的命題。
③高觀點(diǎn):微積分、高等幾何觀點(diǎn)。以“微積分、高等幾何觀點(diǎn)”為背景，構(gòu)造出背景深刻的高考題。
一．構(gòu)造某種結(jié)構(gòu)，譬如:輔助函數(shù)、幾何圖形等。
（構(gòu)造函數(shù)）已知，，且，，若，則（ ）
B． C． D．3
提示：構(gòu)造函數(shù)
類似題：（2020復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)，，若則 _______．
（構(gòu)造幾何圖形）已知，則的最小值為________
提示：令，，構(gòu)造成“最短路徑”問題
（構(gòu)造函數(shù)）設(shè)都是實(shí)數(shù)，且，求參數(shù)的一切取值，使方程組有唯一解。
分析：利用是關(guān)于的偶函數(shù)，也是關(guān)于的偶函數(shù)。因此，方程組若有解，則必有解；
又該方程組有唯一解，于是，得：，推知：；
，則解為：
構(gòu)造三角形
（余弦定理的逆命題）對(duì)于正實(shí)數(shù)，，，及，若有，則對(duì)應(yīng)的線段可以構(gòu)成一個(gè)三角形，且邊的對(duì)角大小為．
證明：因?yàn)椋?
又由等式，得：，
即：，，
故，以三正數(shù)為邊長可構(gòu)造出一個(gè)三角形.
由余弦定理，，代入已知等式，得：
因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，
所以，，即：邊的對(duì)角大小為
2.學(xué)以致用
設(shè)正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋b＝，b＋c＝，c＋a＝．求a＋b＋c．
分析：將代數(shù)式“a＋b＝”兩邊平方，得：，即：，亦即：；同理得：；
于是，可構(gòu)造三角形通過余弦定理、三角形面積公式求解。
解答：由條件得：；
；
；
由余弦定理，可構(gòu)造如下幾何模型：
平面上共端點(diǎn)P的線段、、兩兩夾角為，且，，，
于是，，，.
從而，三角形為直角三角形，其面積為6，
則，即：
所以，
；因此，
二．運(yùn)用超越不等式(指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、三角不等式等)、基本不等式等進(jìn)行放縮，構(gòu)造出相應(yīng)的命題。
（指數(shù)均值不等式）：（）
其對(duì)數(shù)形式：（），
又等價(jià)于：（）
引申：當(dāng)時(shí)，，
則，
即：，不難發(fā)現(xiàn)調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的。
（構(gòu)造對(duì)數(shù)平均值不等式）設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，
分析： ，從而
引申：當(dāng)時(shí)，
拓展：當(dāng)然，本題還可以使用拉格朗日中值定理求解。
，其中
（以“基本不等式”、“收斂數(shù)列——單調(diào)有界數(shù)列”為命題背景）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：．
（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值．
命制思路簡析：
①正項(xiàng)數(shù)列為大于1的有界數(shù)列，且為等比數(shù)列，求證：為常數(shù)列.
②，求證：
三．以“微積分、高等幾何觀點(diǎn)”為背景，構(gòu)造出背景深刻的高考題。
十八世紀(jì)早期，英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了公式…＋＋…，（其中，，n！＝1×2×3×…×n0！＝1），現(xiàn)用上述公式求的值，下列選項(xiàng)中與該值最接近的是（ ）
sin30° B． sin33° C． sin36° D． sin39°
提示：
（以“泰勒公式”等微積分知識(shí)為命題背景）若時(shí)，恒成立，求的最大值.
命題背景：的泰勒展開式為
當(dāng)時(shí)，
則，，即：，
（以“極點(diǎn)極線”等高等幾何知識(shí)為命題背景）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F．設(shè)過點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,．
設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）．
命制思路簡析：
前兩問比較簡單，這里從略。對(duì)于第（3）問，由高等幾何知識(shí)知：點(diǎn)T（）關(guān)于橢圓的極線方程為：，此直線恒過軸上一定點(diǎn)，從而直線MN必過定點(diǎn)。（令橢圓方程為：，，則直線MN必過定點(diǎn)）
2023三角函數(shù)與解三角形模考題精選精練
1.（2022-2023·南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、連云港、宿遷、鹽城·二模）6．記函數(shù)的最小正周期為T．若，且，則（ ）
A． B． C． D．
2.（多選題）（2022-2023·蘇錫常鎮(zhèn)·一模）11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，總能得到的圖象
B．若，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍為
C．若在區(qū)間上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則
D．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則
3.（2022-2023·南通·一模）20．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
(1)若，證明：；
(2)若，證明：.
4.（2022-2023·蘇錫常鎮(zhèn)·一模）18．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.
(1)若，求的值；
(2)若，，求的面積.
5.（2022-2023·南通海安高級(jí)中學(xué)·一模）17．△ABC中，D是線段BC上的點(diǎn)，，的面積是面積的2倍．
(1)求；
(2)若，，求DC和AB的長．
6.（2022-2023·南京師大附中·一模）17．已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)的表達(dá)式；
(2)把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向下平移一個(gè)單位，再向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若，求函數(shù)的值域．
第三章 數(shù)列
高考原創(chuàng)小題的命制與解析——音程計(jì)算、藥物留存模型
在《中學(xué)課程輔導(dǎo)(教師通訊)》2017年第3期封面文章《如何評(píng)價(jià)升學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷的命制》一文中提到：高水平的試題拼湊在一起，未必是高水平的試卷。試卷設(shè)計(jì)需體現(xiàn)升學(xué)考試性質(zhì)的要求。升學(xué)考試不是數(shù)學(xué)競賽，升學(xué)考試要求考生“人人有得，各展其能”。每一位考生都有分可得且能得到他應(yīng)得的分?jǐn)?shù)。[1]
基于此，筆者命制了2道基礎(chǔ)小題。
【試題1呈現(xiàn)】（2023高考數(shù)學(xué)考前原創(chuàng)熱身卷）【填空題】在樂器制作中需要精準(zhǔn)地計(jì)算、測(cè)試、調(diào)整樂器的音準(zhǔn)。這就涉及對(duì)音程的精確度量。精確度量音程的單位是音分（cents），它是英國數(shù)學(xué)家亞歷山大 艾利斯提出的。音分是度量不同樂音頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對(duì)數(shù)標(biāo)度單位。一個(gè)八度音程為1 200音分，它們的頻率值構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列。八度音程冠音與根音的頻率比為2,因此1 200個(gè)音構(gòu)成一個(gè)公比為的等比數(shù)列。若已知音M的頻率為m，音分值為k,音N的頻率為n，音分值為，且，則音程
【試題2呈現(xiàn)】（2023高考數(shù)學(xué)考前原創(chuàng)熱身卷）【多選題】某學(xué)生在排球比賽中扭傷了膝蓋，醫(yī)生要求他每8小時(shí)服用劑量為440 mg的藥片，連續(xù)服用10天。如果該學(xué)生的腎臟在8小時(shí)后能夠過濾掉體內(nèi)含藥量的60%.我們通過構(gòu)建函數(shù)模型來預(yù)測(cè)未來幾天后體內(nèi)藥物的存留量。用表示第1次服藥后體內(nèi)的藥量（為初始值440 ，單位mg），表示第2次服藥后體內(nèi)的藥量，表示第n次服藥后體內(nèi)的藥量。則下列說法正確的有（ ）
A.這是一個(gè)在正整數(shù)上取值的指數(shù)函數(shù)類的模型
B.體內(nèi)含藥量從第三天（經(jīng)歷48小時(shí)）起始終保持在730mg以上
C.
D.體內(nèi)含藥量在前兩天增速緩慢，在第三天后增速變大
出題背景
【試題1出題背景】數(shù)學(xué)與音樂——音分的意義與計(jì)算音程的音分
【試題2出題背景】數(shù)學(xué)與人體健康——體內(nèi)藥物的存留量
參考解答
【試題1參考解答】
由題意知：，又，則，則
【試題2參考解答】ABC
由題意知：，
...
通過計(jì)算，可得：
由通項(xiàng)公式可見，這是一個(gè)在正整數(shù)上取值的指數(shù)函數(shù)類的模型，且為遞增數(shù)列。
，，當(dāng)n越來越大時(shí)，數(shù)列中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)越來越接近固定值，故。體內(nèi)含藥量在經(jīng)歷前兩天迅速增長后，從第三天（經(jīng)歷48小時(shí)）起始終保持在730mg以上。故選ABC。
無錫市2024屆高三期中數(shù)列壓軸題的命制與推廣
【試題呈現(xiàn)】
（無錫市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)解答題第21題）
各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，且對(duì)一切都成立．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，將插入的個(gè)數(shù)之和記為，其中．求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）
【命制研究】
思考1：遞推式是如何構(gòu)造的？如何命制這樣的試題？
構(gòu)造一個(gè)首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，且其前n項(xiàng)和；
則；；
；；
則，即：
于是有了如下一般性命題：數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，且且，對(duì)一切都成立．則
無錫市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)解答題第21題是上述一般性命題的特例，取，并將“公比為且”這一限制條件強(qiáng)化為“各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列”，生成如下問題：
各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，且對(duì)一切都成立．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
解法有很多，解法1是某位老師給出的一種解法：由，可得，進(jìn)而可得，再利用退一相減法可得；
解法1：由，
得，
所以，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以；
解法2：由各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和記為，且，可得；所以，；依據(jù)此思路可以繼續(xù)做下去，得到正確答案。
思考2：如何構(gòu)造出一個(gè)考察“錯(cuò)位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和”的問題？
錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)是“等差 等比”的類型。在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，將插入的個(gè)數(shù)之和記為，其中．則數(shù)列就是“等差 等比”的類型。其中，
數(shù)列的前項(xiàng)和
只需求
無論是求還是，都是很常見的問題，也是大部分學(xué)生平時(shí)都已經(jīng)解決的典型問題。
第（2）問解答：由已知在和之間插入個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，
所以，
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則，
，
所以，
所以.
于是有了以下的推廣命題：
【推廣命題】
數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，且且，對(duì)一切都成立．
則（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式為：；
（2）在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，將插入的個(gè)數(shù)之和記為，其中．則數(shù)列的前項(xiàng)和為
第（2）問分析：
由錯(cuò)位相減法，得：
有趣的迭代——2023上海高考數(shù)學(xué)函數(shù)切線壓軸題的源與流
【試題的源——牛頓迭代】
方程的根可解釋為：曲線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。設(shè)是根的某個(gè)近似值，曲線在點(diǎn)處的切線（如圖1）與軸的交點(diǎn)是，將作為新的近似值。
注意到切線方程為：
求得的值，
給定在區(qū)間上單調(diào)遞增的下凸函數(shù)，且，
設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)是，由圖1可知：；
2023上海高考數(shù)學(xué)第21題，另辟蹊徑，將令為上凸函數(shù)，并換了一種迭代方式。2023上海高考數(shù)學(xué)第21題第（3）問實(shí)則是方程解的個(gè)數(shù)問題（本質(zhì)同下文中“試題的流”變式問題2）。
【試題呈現(xiàn)】
（2023上海高考數(shù)學(xué)第21題）已知函數(shù)，過函數(shù)上的點(diǎn)作切線交軸于，，過函數(shù)上的點(diǎn)作切線交軸于，以此類推，直至?xí)r停止操作，得到數(shù)列，，
（1）若正整數(shù)，證明
（2）若正整數(shù)，試比較與大小
（3）若正整數(shù)，是否存在使得依次成等差數(shù)列？若存在，求出的所有取值，若不存在，試說明理由。
【思路簡析】
易得在處的切線方程為：
令得：，即：
引理：當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），證明略。由引理可知，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）
（3）思路：“從簡單開始試”，難的問題就變得容易了。
由（1）知：，，
若成等差數(shù)列，則，即：，亦即：
令，則
故在單調(diào)遞增。
又，
故存在唯一解，此時(shí)成等差數(shù)列。
同時(shí)，，停止操作，運(yùn)算結(jié)束。
故，
另一方面，若，由（1）知：；；;......;
若存在使得依次成等差數(shù)列，則
公差，
故，因此為等比數(shù)列。又因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，
所以為常數(shù)列。與（2）中結(jié)論“”矛盾！
綜上所述，
【試題的流】
（變式問題1）方程（，其中為常數(shù)）最多有幾個(gè)解？
令，則原方程可化為：
令，得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故為的極小值。而，；
故方程最多2個(gè)解。
（圖為：圖像）
（變式問題2）若方程（其中為常數(shù)）有個(gè)解，求的所有取值。
解題思路：由變式問題1可知，令，只需，則方程最多2個(gè)解。的取值為3.
下面附幾個(gè)有趣的迭代問題，供大家思考：
有趣的迭代1：【一道無窮分?jǐn)?shù)、牛頓迭代問題】
難度級(jí)別：高考難度
（2023年4月8日劉蔣巍老師命制的高考數(shù)學(xué)考前原創(chuàng)題）由黃金分割的定義可以導(dǎo)出分式方程
變形得：
將等號(hào)右邊的用代替，得：
以此類推，有：
這是個(gè)無窮分?jǐn)?shù)。
已知，且，，，則與的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D. 無法比較大小
說明：該題由劉蔣巍命制。命制時(shí)間：2023.4.8
出題背景：無窮分?jǐn)?shù)+牛頓切線法
類比“無窮分?jǐn)?shù)”迭代過程，可得
在利用切線法逐步逼近的過程中，近似值越來越接近正確值，體現(xiàn)一種單調(diào)趨勢(shì)，同時(shí)這些值總是大于正確值；即數(shù)列是遞減數(shù)列，并且總是大于。
解題方法：；利用部分分式法得
=
有趣的迭代2：【2道牛頓迭代背景問題】
難度級(jí)別：問題1屬于“非數(shù)考研難度”，問題2屬于“數(shù)學(xué)類難度”
（問題1）已知函數(shù)在區(qū)間上具有2階導(dǎo)數(shù)，，，，設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)是，從點(diǎn)作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，再過點(diǎn)作切線的平行線與軸的交點(diǎn)是，證明：
證明 由題意得點(diǎn)處的切線方程為
令，得
因?yàn)椋詥握{(diào)遞增。
又因?yàn)椋?
又因?yàn)椋?br/>又因?yàn)椋趨^(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理有：
，
所以，
.
因?yàn)椋詥握{(diào)遞增，所以。則，即，所以
由題意得點(diǎn)處的切線方程為：
令，得
又因?yàn)椋趨^(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理有：
，
所以，
同理得：。則，即，所以
（問題2）已知函數(shù)在區(qū)間上具有2階導(dǎo)數(shù)，，，，設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)是，從作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，再過點(diǎn)作切線的平行線與軸的交點(diǎn)是，依次重復(fù)上述過程得到點(diǎn)，證明：（）.
提示：可由數(shù)學(xué)歸納法證得，證明過程從略。
拓展閱讀：
[1]劉蔣巍.一道考研數(shù)學(xué)題的命題研究[J].高等數(shù)學(xué)研究,2018,21(05):41-42.
2023數(shù)列模考題精選精練
1.（2022-2023·蘇錫常鎮(zhèn)·一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，若對(duì)任意正整數(shù)n，，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2.（多選題）（2022-2023·南通海安高級(jí)中學(xué)·一模）10．已知是等比數(shù)列，公比為，若存在無窮多個(gè)不同的，滿足，則下列選項(xiàng)之中，可能成立有（ ）
A． B． C． D．
3.（多選題）（2022-2023·南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、連云港、宿遷、鹽城·二模）10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為， ，若，則k可能為（ ）
A．4 B．8 C．9 D．12
4.（2022-2023·南通海安高級(jí)中學(xué)·一模）15．某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項(xiàng)為，若序列的所有項(xiàng)都是2，且，，則__________．
5.（2022-2023·南京、鹽城市·一模）17．在數(shù)列中，若，則稱數(shù)列為“泛等差數(shù)列”，常數(shù)d稱為“泛差”.已知數(shù)列是一個(gè)“泛等差數(shù)列”，數(shù)列滿足.
(1)若數(shù)列的“泛差”，且，，成等差數(shù)列，求；
(2)若數(shù)列的“泛差”，且，求數(shù)列的通項(xiàng).
6.（2022-2023·南通海安高級(jí)中學(xué)·一模）18．已知數(shù)列滿足，且
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和（用具體數(shù)值作答）.
7.（2022-2023·南通·一模）18．在數(shù)列中，.
(1)求的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，證明：.
8.（2022-2023·蘇錫常鎮(zhèn)·一模）17．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.
9.（2022-2023·揚(yáng)州中學(xué)·一模）17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，設(shè)，求.
10.（2022-2023·南師大附中江寧分校、南京中華中學(xué)·一模）18．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，對(duì)任意的自然數(shù)，恒有.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若集合，，，，將集合中的所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，計(jì)數(shù)列的前項(xiàng)和為．求的值．
11.（2022-2023·南京師大附中·一模）18．已知數(shù)列，滿足，且是公差為1的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列.
（1）求，的通項(xiàng)公式；
（2）求的前n項(xiàng)和.
12.（2022-2023·南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、連云港、宿遷、鹽城·二模）18．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且 ，， ．
(1)求；
(2)在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間依次插入，得到數(shù)列 ，求的前100項(xiàng)和.
立體幾何
理解數(shù)學(xué)建模，好得分
所謂模型是一種結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)是通過對(duì)原型的形式化或模擬與抽象得到的。所謂數(shù)學(xué)模型就是研究者依據(jù)研究目的，將所研究的客觀事物的過程和現(xiàn)象的主要特征、主要關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括或近似地表達(dá)出來的一種結(jié)構(gòu)。
數(shù)學(xué)模型方法是借用數(shù)學(xué)模型來研究原型的功能特征及其內(nèi)在規(guī)律，并應(yīng)用于實(shí)際的一種方法。
譬如：錐體體積的模型：，其中P為參數(shù)。
一道椎體、柱體最值問題的命制
教材習(xí)題 求函數(shù)的最大值。
試題修改 對(duì)教材習(xí)題進(jìn)行處理，將符號(hào)語言轉(zhuǎn)換成圖像語言。可以有兩種處理方向：處理成側(cè)棱長為1，高線長未知的正四棱錐的體積；處理成母線長為1，高線長未知的圓錐的體積。為使得處理的情況具有一般性，將“側(cè)棱長為1”、“母線長為1”均改為“長為”.
（1）按處理方向處理，形成1稿.
1稿 已知一正四棱錐的高為,側(cè)棱長為，記，求其體積的最大值及此時(shí)的長。
提示：，
2稿 現(xiàn)要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部分形狀為正四棱錐，其側(cè)棱長為，其底面正方形的中心為,下部分形狀為正四棱柱，其底面正方形的中心為,要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的倍，求倉庫容積最大時(shí)的長.
2稿分析：記，則；注意到，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；
，. 2016年江蘇高考第17題為2稿的特例（高考題為的情況，,）
按處理方向處理，形成問題變式.
變式 現(xiàn)要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部分形狀是頂點(diǎn)為,底面圓圓心為的圓錐，其母線長為，下部分形狀是底面圓面積與上部分圓錐的底面圓面積相等的圓柱，其下底面圓圓心為，要求圓柱的高是圓錐的高的倍，求倉庫容積最大時(shí)的長.
注：該例[2]為筆者文章“例談高中數(shù)學(xué)教材試題的衍生——以江蘇高考數(shù)學(xué)試題命制為例[J]. 文理導(dǎo)航(中旬),2017,(02)”節(jié)選。
類似的，有全國1卷第8題、全國乙卷第9題。
（2022·新高考Ⅰ卷T8） 已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
（2022·全國乙（理）T9） 已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2023立體幾何模考題精選精練
1.（2022-2023·南通·一模）在三棱錐中，平面BCD，，則已知三棱錐外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2.（2022-2023·蘇錫常鎮(zhèn)·一模）已知正四面體的棱長為1，點(diǎn)O為底面的中心，球О與該正四面體的其余三個(gè)面都有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)非該正四面體的頂點(diǎn)，則球O的半徑為（ ）
A． B． C． D．
3.（多選題）（2022-2023·南通海安高級(jí)中學(xué)·一模）如圖的六面體中，CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，則（ ）
CD⊥平面ABC B．AC與BE所成角的大小為
C． D．該六面體外接球的表面積為3π
4.（多選題）（2022-2023·蘇錫常鎮(zhèn)·一模）12．正方體的棱長為3，E，F(xiàn)分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則（ ）
A．與垂直
B．與一定是異面直線
C．存在點(diǎn)E，F(xiàn)，使得三棱錐的體積為
D．當(dāng)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所得截面的周長為
5.（多選題）（2022-2023·南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、連云港、宿遷、鹽城·二模）11．如圖，正三棱錐A-PBC和正三棱錐D-PBC的側(cè)棱長均為，BC 2．若將正三棱錐A-PBC繞BC旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A，P分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，且，B，C，D四點(diǎn)共面，點(diǎn)，D分別位于BC兩側(cè)，則（ ）
A．
B．平面BDC
C．多面體的外接球的表面積為
D．點(diǎn)A，P旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長相等
6.（2022-2023·南通海安高級(jí)中學(xué)·一模）如圖，四棱錐，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）設(shè)二面角為60°，，，求直線與平面所成角的正弦值.
7.（2022-2023·南通·一模）如圖，在三棱錐中，為等腰直角三角形，，，為正三角形，D為AC的中點(diǎn)..
(1)證明：平面平面；
(2)若二面角的平面角為銳角，且三棱錐的體積為，求二面角的正弦值.
8.（2022-2023·宿遷沭陽高中·模擬）如圖，四棱錐的底面為矩形，平面平面，是邊長為2等邊三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合）．
(1)證明：；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成的角最大？
9.（2022-2023·蘇錫常鎮(zhèn)·一模）19．在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，E是的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)點(diǎn)P在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.
10.（2022-2023·南通海安高級(jí)中學(xué)·一模）如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．
(1)證明：平面AEC；
(2)設(shè)二面角為60°，，，求三棱錐的體積．
11.（2022-2023·南京師大附中·一模）20．如圖，在四棱錐中，側(cè)棱矩形，且，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接
(1)證明：；
(2)若，平面與平面所成二面角的大小為，求的值．
12.（2022-2023·南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、連云港、宿遷、鹽城·二模）19．如圖，在圓臺(tái)中，分別為上、下底面直徑，且，， 為異于的一條母線．
(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
第五章 解析幾何
理解數(shù)學(xué)運(yùn)算，少失分
在初等數(shù)學(xué)中，運(yùn)算對(duì)象主要有數(shù)、式、向量、幾何圖形等。相應(yīng)的運(yùn)算主要有：
初等代數(shù)運(yùn)算——加法、減法、乘法、除法、乘方、開方.
初等超越運(yùn)算——指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算、三角和反三角運(yùn)算等.
幾何運(yùn)算——平移、旋轉(zhuǎn)、反射、位似、相似等.
平面直角坐標(biāo)系下，平移變換
把平面上任一點(diǎn)P（x，y），變?yōu)镻＇（x＋α，y＋β）.
（2022·新高考Ⅰ卷T21） 已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．
（1）求l的斜率；
（2）若，求的面積．
分析 易得：雙曲線，即:
不妨通過平移變換簡化運(yùn)算。以為新的原點(diǎn)，作坐標(biāo)平移變換
則在UV平面中，A為原點(diǎn)，而雙曲線方程為：
展開得：
設(shè)直線l方程為：，則齊次方程
為過原點(diǎn)A的直線AP、AQ
因?yàn)橹本€的斜率之和為0，
所以l的斜率
第2問，可以由夾角公式求解，這里從略。
從高二月考到2024屆高三期初——齊次化表達(dá)，二次曲線不同
（2022年9月江蘇省華羅庚中學(xué)高二數(shù)學(xué)試卷）
已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱，且圓與軸相切于原點(diǎn)．
（1）求圓的方程；
（2）過原點(diǎn)的兩條直線與圓分別交于兩點(diǎn)，直線的斜率之積為 ，為垂足，是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】（1）
（2）存在；P（2，0）
【齊次化表達(dá)】
第（2）問，齊次化方法解答：
由（1）得：圓的方程為
因?yàn)檫^原點(diǎn)的兩條直線與圓分別交于兩點(diǎn)，則直線AB不經(jīng)過原點(diǎn)O
設(shè)直線AB方程為：
由得：，
兩邊同時(shí)除以，得：
又直線的斜率之積為 ，所以
則，解得：
則直線AB方程為：，它過定點(diǎn)
又為垂足，則D點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上
此時(shí)，為定值2
故存在點(diǎn)P（2，0），使得|DP|為定值2．
【變式問題】
（江蘇省泰州中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期初調(diào)研數(shù)學(xué)試題）
已知橢圓的左右頂點(diǎn)為A、B，直線l：.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓G過點(diǎn)O、B交直線l于M、N兩點(diǎn)，直線AM、AN分別交橢圓于P、Q.
（1）記直線AM，AN的斜率分別為、，求的值；
（2）證明直線PQ過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】（1）
（2）
【平移齊次化表達(dá)，二次曲線不同】
第（2）問，平移齊次化方法解答：
由（1）得：，即：
以為新原點(diǎn)，建立新的直角坐標(biāo)系，
，則可以寫成:，即：
化簡得：
設(shè)直線方程為：
由得：
兩邊同時(shí)除以，得：
由，得：（坐標(biāo)平移前后，直線的傾斜程度不變，即斜率不變）
則：
解得：
則直線方程為：，它過定點(diǎn)
故，直線方程過定點(diǎn)，
即：直線PQ過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)坐標(biāo)為
【舉一反三】
過點(diǎn)M（1，0）的直線與：交于A，B兩點(diǎn)，問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得x軸平分∠ANB 若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
平移齊次化方法解答：
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為：
以為新原點(diǎn)，建立新的直角坐標(biāo)系，
則可以寫成:
化簡得：（*）
設(shè)直線方程為：，代入（*）式，得：
兩邊同時(shí)除以，得：
因?yàn)閤軸平分∠ANB，所以，
根據(jù)“坐標(biāo)平移前后，直線的傾斜程度不變，即斜率不變”，得：
則：，
若，則直線方程為：，由橢圓的對(duì)稱性，得：此時(shí)，x軸平分∠ANB
若，則（**）
又直線AB過點(diǎn)M（1，0），即：直線過點(diǎn)，
則,代入（**），得：，
即：
化簡得：，解得：
當(dāng)N（，0）時(shí)，能使x軸平分∠ANB
短文精粹：曲線方程中的“且”與“或”
在高一邏輯用語章節(jié)，我們學(xué)過邏輯關(guān)系“且”與“或”。舉個(gè)例子，“劉老師是男人，且是女人”，錯(cuò)誤；“劉老師是男人或女人”，正確！在曲線方程中，也有這樣的例子。我們一起來看！
引例：直線方程組，這兩條直線沒有交點(diǎn)（或者說交點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處）。將等式兩邊分別相乘，得：，方程無解。
由此可見，像上面那樣，將“等式兩邊分別相乘”的操作，是“且”的關(guān)系。
若我們將等式兩邊移項(xiàng)，讓等式一邊等于0，然后將兩式分別相乘。即：
，方程的解為：或，這是一個(gè)“或”的關(guān)系。
交軌法，體現(xiàn)一種“且”的關(guān)系。如，，，，
兩邊分別相乘，得：，即：（）
曲線系中，將兩直線方程相乘，得，體現(xiàn)一種或的關(guān)系。如，，，，
兩邊分別相乘，得：，
即：
亦即：
這表示兩條直線。
另一方面，方程表示經(jīng)過M、A、B三點(diǎn)的二次曲線。
當(dāng)時(shí)，
即：，該曲線表示經(jīng)過M、A、B三點(diǎn)的圓。
曲線系與等軸雙曲線
【命題】
A、B、C是等軸雙曲線上不同的三點(diǎn)，則的垂心H在雙曲線上。
下面是特殊情形
【應(yīng)用舉例】
（2022-2023·南京、鹽城市·一模）21．已知雙曲線：的離心率為，直線：與雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程
(2)設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)為，直線平行于，且交雙曲線C于M，N兩點(diǎn)，求證：的垂心在雙曲線C上.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由離心率為可得，再聯(lián)立直線與雙曲線利用判別式可得的方程；
（2）設(shè)方程，及的坐標(biāo)，由過A引的垂線交C于另一點(diǎn)H，可得點(diǎn)H為.再證即可.
【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即，
所以雙曲線的方程為，
聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消去得，
即，
因?yàn)榕c雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以，
解得,
故雙曲線的方程為.
（2）設(shè)，，則滿足
消去得，
所以，，
如圖所示，過A引的垂線交C于另一點(diǎn)H，
則AH的方程為.
代入得，即（舍去）或.
所以點(diǎn)H為.
所以
，
所以，
故為的垂心，得證.
以“貝塞爾曲線”為背景的高考原創(chuàng)題
【試題呈現(xiàn)】貝塞爾曲線是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線。法國數(shù)學(xué)家卡斯特里奧對(duì)貝塞爾曲線進(jìn)行了圖形化應(yīng)用的嘗試，提出了de Casteljau算法。下面我們用de Casteljau算法的遞推思想來繪制一條二次貝塞爾曲線:
第1步，如圖，在平面內(nèi)任選3個(gè)不共線的點(diǎn)，記為A, B, C,其中A, C分別為起始點(diǎn)和終止點(diǎn)，B為控制點(diǎn)，連接 AB,BC；
第2步，在線段AB上任選一點(diǎn)D,計(jì)算線段AD與AB長度的比值，記為;
第3步，在線段BC上找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E,使得BE與BC的比值也等于;
第4步，連接DE,在線段DE上找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)F,使得DF與DE的比值也等于;
第5步，令點(diǎn)D在線段AB上從起點(diǎn)A移動(dòng)到終點(diǎn)B，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)F的軌跡即由點(diǎn)A , B, C定義的二次貝塞爾曲線。
若,,,請(qǐng)用含的式子表示點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明F點(diǎn)軌跡的一般方程為。
“逆向思考”是一種數(shù)學(xué)思維方式。由問題（1）可知：二次貝塞爾曲線是拋物線。即：在平面內(nèi)任選3個(gè)不共線的點(diǎn),,，D在線段AB上，E在線段BC上，F(xiàn)在線段DE上，且滿足，則點(diǎn)的軌跡為拋物線。對(duì)此進(jìn)行逆向思考，得到如下命題：
過拋物線上不同的三點(diǎn),,的三條切線分別兩兩交于D，B，E，則有相應(yīng)成比例的結(jié)論。請(qǐng)證明該結(jié)論。
原創(chuàng)題 該題由劉蔣巍命制
【出題背景】貝塞爾曲線與拋物線的三切線定理
二次貝塞爾曲線的遞推畫法，見【試題呈現(xiàn)】部分。
由此可見，二次貝塞爾曲線是拋物線。反之，已知拋物線上三點(diǎn)的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)論。這個(gè)結(jié)論就是“拋物線三切線定理”。
根據(jù)二次貝塞爾曲線的遞推畫法，筆者思考并畫出了如下三次貝塞爾曲線。
筆者根據(jù)“二次貝塞爾曲線是拋物線”與“拋物線三切線定理”，命制了【試題呈現(xiàn)】部分的解析幾何題。但筆者始終感覺不太滿意，尤其第二問，似乎落入俗套——拋物線三切線定理。于是,筆者想命制三次函數(shù)(三次貝塞爾曲線中的一種，如下圖)，但試著求解軌跡方程之后，又變成純計(jì)算了。感慨：命題實(shí)在不容易！于是只能“作罷”！突然想到一位大師曾經(jīng)說的話——命題，是一門遺憾的藝術(shù)。
于是，筆者將《貝塞爾曲線幾何畫板圖像追蹤F點(diǎn)(二次貝塞爾曲線)、S點(diǎn)（三次貝塞爾曲線）——2023.04.10劉蔣巍命題素材》（幾何畫板文件）共享在江蘇各大高中數(shù)學(xué)群里以及命題人交流群里，方便大家研究。也希望能夠拋磚引玉，激發(fā)大家思考，從而命制出更優(yōu)質(zhì)的試題。
【解題思路】
第1問解法較多。筆者設(shè)計(jì)“用含的式子表示點(diǎn)的坐標(biāo)”，既是體現(xiàn)人文關(guān)懷，也是對(duì)“證明F點(diǎn)軌跡的一般方程為”，一種證法的暗示。
第2問，培養(yǎng)學(xué)生“逆向思考”的能力。同時(shí)又是“拋物線三切線定理”。這個(gè)定理的證明很常見。這里不再贅述。
請(qǐng)讀者自做。
省常中2024屆高二周練4橢圓壓軸題的推廣及“副產(chǎn)品”
【試題呈現(xiàn)】
（江蘇省常州高級(jí)中學(xué)2023~2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)周練4）直線與橢圓C:交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且橢圓C離心率為，長軸長為4.
求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
若OA，OB的斜率分別為，，，求證：為定值；
已知點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣eS最大時(shí)，求的最大值.
【命題推廣及“副產(chǎn)品”】
（推廣）直線與橢圓C:交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).
一般性結(jié)論（1）：若OA，OB的斜率分別為、，，求證：為定值；
一般性結(jié)論（2）：的面積S最大值為，此時(shí)，若點(diǎn)，則的最大值為.
“副產(chǎn)品”：一般性結(jié)論（3）：若OA，OB的斜率分別為、，的面積S最大值為，此時(shí)，為定值.
【推廣及“副產(chǎn)品”的證明】
（證明）
令，則橢圓C:變換為：
一般性結(jié)論（1）的證明
若OA，OB的斜率分別為、，，則，即：
則直線關(guān)于直線對(duì)稱。
由于圓也是軸對(duì)稱圖形，也關(guān)于直線對(duì)稱；兩條坐標(biāo)軸也關(guān)于對(duì)稱。
由上述圖形的對(duì)稱性以及平面幾何知識(shí)可知：
即：，，即：為定值.即為一般性結(jié)論1.
圖為：結(jié)論1證明示意圖
一般性結(jié)論（2）~（3）的證明
圖為：結(jié)論2~3證明示意圖
又
所以
則的面積S最大值為
此時(shí)，若點(diǎn)，則
又
所以，.即為一般性結(jié)論2.
此時(shí)，，，即：，，
即：為定值.即為一般性結(jié)論3.
【作者寄語兼本文總結(jié)】
在這個(gè)AI時(shí)代，我們的學(xué)生一定要學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)提問。做完一道試題之后，一定要問一問自己:存在一般性的問題么？怎么解決？一般性的結(jié)論是什么？惟其如此，才能真正成為AI新時(shí)代下需要的人才，在AI時(shí)代立于不敗之地！
——?jiǎng)⑹Y巍
2024屆如皋高三8月診斷測(cè)試解析幾何壓軸題的源與流
【試題呈現(xiàn)】
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓與拋物線交于點(diǎn)M，N（異于原點(diǎn)O），MN恰為該圓的直徑，過點(diǎn)E（0，2）作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P．
（1）求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值；
（2）若F是拋物線C的焦點(diǎn)，證明：．
【試題的源】
【第1問出題背景——極點(diǎn)極線】當(dāng)點(diǎn)E在拋物線上方時(shí)，點(diǎn)E關(guān)于拋物線的極線與拋物線相離，該極線為經(jīng)過點(diǎn)E的弦在兩端點(diǎn)處切線交點(diǎn)P的軌跡；且該極線與以E為中心的弦所在直線平行。
在本題中，易得：拋物線的方程為x2=y
點(diǎn)E（0，2）關(guān)于拋物線的極線方程為：,即：
因此，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值。
【第2問出題背景——拋物線的等角性質(zhì)】已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過拋物線外部一點(diǎn)P (把含拋物線焦點(diǎn)的區(qū)域稱為該拋物線的內(nèi)部)作拋物線的兩條切線 PA、PB,切點(diǎn)為A、B.則：
① 過P作直線PK平行于拋物線的對(duì)稱軸且交AB于點(diǎn)K, 則∠APF=∠MPK;
②∠PFA=∠PFB.
簡證思路：由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知 AF' 、BF" 均平行于拋物線的對(duì)稱軸，
則直線F'F" 為拋物線的準(zhǔn)線。
由對(duì)稱性可知PF'=PF=PF",......（接下來，可用平面幾何知識(shí)證明，請(qǐng)讀者自己完成證明）
根據(jù)該試題的“源”，我們可取種種具體的拋物線，甚至圓錐曲線，源源不斷地產(chǎn)生相應(yīng)的試題。
【試題參考解答】
（1）由對(duì)稱性可知交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，(-1，1)，
代入拋物線方程可得2p=1，所以拋物線的方程為x2=y，
設(shè)A，B，
所以，
所以直線AB的方程為，即，
因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)C(0，2)，
所以，所以①.
因?yàn)椋灾本€PA的斜率為，直線PB的斜率為，
直線PA的方程為，
即，
同理直線PB的方程為，
聯(lián)立兩直線方程，可得P
由①可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值-2.
（2），，
注意到兩角都在內(nèi)，
可知要證， 即證，
，，
所以，
又，所以，
同理式得證.
【試題的流】
【試題的延申1】當(dāng)點(diǎn)E在圓錐曲線(橢圓，雙曲線，拋物線)內(nèi)部時(shí)，點(diǎn)E關(guān)于圓錐曲線的極線與該圓錐曲線相離，該極線為經(jīng)過點(diǎn)E的弦在兩端點(diǎn)處切線交點(diǎn)P的軌跡；且該極線與以E為中心

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