資源簡介

2024中考數(shù)學一輪復習 (全國通用版)
C2024中考數(shù)學精講與精練（全國通用版）
第十三講 全等三角形
考點1：全等三角形的概念和性質(zhì)
1.全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做全等三角形。完全重合即形狀相同，大小相等。
2.全等三角形的性質(zhì)：（下表圖中AM,AM’為中線，AD,AD’為角平分線，AH,AH’為高）
文字語言 圖形語言 符號語言
全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；
全等三角形的周長相等， 面積相等；
全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線都相等．
考點2：全等三角形的判定方法
文字語言 圖形語言 符號語言 簡記
有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 SSS
有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 SAS
有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等． ASA
有兩角和它們所對的任意一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 AAS
有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 HL
考點3：常考的全等模型
1.幾何變換中的全等模型
（1）平移全等模型，如下圖：
（2）翻折全等模型，如下圖：
（3）旋轉(zhuǎn)全等模型，如下圖：
2.一線三等角全等模型
3.三垂直全等模型，如圖：
4.手拉手全等模型
（1）等腰三角形中的手拉手全等模型
如圖1，△ABC與△ADE均為等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，連接BD、CE，則△ABD≌△ACE.
圖1 圖2 圖3
（2）等邊三角形中的手拉手全等模型
如圖2，△ABC與△CDE均為等邊三角形，點B、C、E三點共線，連接AE、BD，則△BCD≌△ACE.
（3）一般三角形中的手拉手全等模型
如圖3，在任意△ABC中，以AB為邊作等邊△ADB，以AC為邊作等邊△ACE，連接DC、BE，則△ADC≌△ACE.
全等三角形是平面幾何的基本工具，是后續(xù)學習的基礎(chǔ)，也是中考必考考點之一。掌握必要的常見全等模型是非常必要的，可以幫我們快速解決平面幾何相關(guān)證明和計算問題。
例題1．（2023·四川甘孜·中考真題）如圖，與相交于點，，只添加一個條件，能判定的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題目給出的條件結(jié)合全等三角形的判定定理分別分析即可．
【詳解】解：A、不能證明△，故此選項不合題意；
B、由可得，，可利用證明，故此選項符合題意；
C、不能證明，故此選項不合題意；
D、不能證明，故此選項不合題意；
故選：B．
【感悟】本題考查了全等三角形的判定方法，熟記判定，牢記模型是解此題的關(guān)鍵，．
例題2．（2023·北京·中考真題）如圖，點A、B、C在同一條線上，點B在點A，C之間，點D，E在直線AC同側(cè)，，，，連接DE，設(shè)，，，給出下面三個結(jié)論：①；②；③；
上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】如圖，過作于，則四邊形是矩形，則，由，可得，進而可判斷①的正誤；由，可得，，，，則，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，進而可判斷②的正誤；由勾股定理得，即，則，進而可判斷③的正誤．
【詳解】解：如圖，過作于，則四邊形是矩形，

∴，
∵，
∴，①正確，故符合要求；
∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正確，故符合要求；
由勾股定理得，即，
∴，③正確，故符合要求；
故選：D．
【感悟】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
例題3．（2023·安徽合肥·模擬預測）如圖，在四邊形中，，，為邊上的點，為等邊三角形，，，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作于點，于點，解直角，得出，證明，得出，再求出，，然后利用正切函數(shù)定義即可求解．
【詳解】如圖，作于點，于點，

∵，，
∴，
∴．
∵為等邊三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
故選：．
【感悟】此題考查了解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義等知識，準確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵．
例題4．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點均在坐標軸上，已知點，，，，連接，則所在直線的表達式是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如圖所示，過點C作軸于D，證明得到，進而求出，由此利用待定系數(shù)法求出對應(yīng)的函數(shù)解析式即可．
【詳解】解：如圖所示，過點C作軸于D，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線所在直線的表達式為，
∴，即，
∴直線所在直線的表達式為，
故選A．

【感悟】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，求正比例函數(shù)解析式，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
例題5．（2023·廣西欽州·模擬預測）如圖，已知四邊形為正方形，，為對角線上一點，連接，過點作，交的延長線于點，以，為鄰邊作矩形，連接．下列結(jié)論結(jié)論正確的是（ ）
A．矩形是正方形 B． C． D．
【答案】A
【分析】過作于點，過作于點，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，從而可得四邊形為正方形，由矩形的性質(zhì)可知，，然后根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可求解．
【詳解】過作于點，過作于點，如圖所示：

∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴四邊形為正方形，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
又，
在和中
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故正確；
∴，故錯誤；
當時，點與點重合，
∴不一定等于， 故錯誤，
不能得出與全等，不一定等于，故錯誤；
故選：．
【感悟】此題考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
例題6．（2023·江蘇徐州·模擬預測）等邊邊長為6，是中點，在上運動，連接，在下方作等邊，則周長的最小值為 ．
【答案】/
【分析】連接，由條件可以得出，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以證明，從而可以得出，作點關(guān)于的對稱點，連接，，則，依據(jù)當，，在同一直線上時，的最小值等于線段長，可得的周長最小．
【詳解】解：如圖，連接，
、都是等邊三角形，
，，，
，
，
，
，
如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接，，則，，
當，，在同一直線上時，的最小值等于線段長，且時，的周長最小，
，
．
周長：．
故答案為：．
【感悟】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．
例題7．（2023·四川甘孜·中考真題）如圖，在中，，點在邊上，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．
(1)求證：；
(2)若時，求的長；
(3)點在上運動時，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析(2)(3)存在，
【分析】（1）由即可證明；
（2）證明（），勾股定理得到，在 中，勾股定理即可求解；
（3）證明，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意，可知，，．
．
即．
．
（2）在中，，
．
．
，
，．
．
．
在中，．
（3）由（2）可知，．
當最小時，有的值最小，此時．
為等腰直角三角形，
．
．
即的最小值為．
【感悟】本題主要考查了圖形的幾何變換，涉及到等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
例題8．（2023·福建南平·二模）在等腰三角形中，，是由繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)角得到，且點A的對應(yīng)點D恰好落在直線上，如圖1．
(1)判斷直線與直線的位置關(guān)系，并證明；
(2)當時，求的大小；
(3)如圖2，點F為線段的中點，點G在線段上且，當點E在線段上時，求證：．
【答案】(1)，證明見解析(2)(3)證明見解析
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊對等角的性質(zhì)，得到，即可證明；
（2）設(shè)，則，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出的值，即可得到答案；
（3）連接CF、CG，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明，得，，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得的，從而得出，再證明，得到，即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：，證明如下：
證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，
，
，
，
；
（2）解：設(shè)，則，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，即；
（3）解：證明：如圖3，連接、，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，，
，
，
，，
，
，，
，點F為線段的中點，
，
，
，
，
在和Rt中，
，
，
，
．
【感悟】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識．解題關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．
例題9．（2022·青海·中考真題）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.
圖1 圖2
(1)問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；
(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.
【答案】(1)見解析(2)；
【分析】（1）先判斷出∠BAD=∠CAE，進而利用SAS判斷出△BAD≌△CAE，即可得出結(jié)論；
（2）同（1）的方法判斷出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵和是頂角相等的等腰三角形，
∴，，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
【感悟】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出△ACD≌△BCE是解本題的關(guān)鍵．
例題10．（2023·遼寧阜新·二模）如圖1，已知和均為等腰直角三角形，，，，點D在線段上，點F為中點，點M為中點，點N為中點．

(1)如圖1， ______，和之間的數(shù)量關(guān)系是______；
(2)如圖2，繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，點G為中點，求證：四邊形為正方形；
(3)如圖3，若，，在將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)過程中，直線，交于點H，直接寫出面積的最小值．
【答案】(1)(2)見解析(3)4
【分析】（1）連接，延長交于點G，證明，得出，，推出，即，則，根據(jù)三角形的中位線定理得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，則，即可得出結(jié)論；
（2）連接，相交于點H，交于點P，通過證，得出，，根據(jù)三角形的中位線定理得出，則四邊形為菱形，用和（1）相同的方法證明，即可求證四邊形為正方形；
（3）根據(jù)題意可得點D在以點C為圓心，長為半徑的圓上運動，則當與直線相切時，面積最小，通過證明四邊形為正方形，得出，，求出，最后根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）解：連接，延長交于點G，
∵和均為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵點F為中點，點M為中點，點N為中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
故答案為：；

（2）證明：連接，相交于點H，交于點P，
∵和均為等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∵點F為中點，點M為中點，點N為中點，點G為中點，
∴，，
∴，則四邊形為菱形，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為正方形；

（3）解：根據(jù)題意可得：點D在以點C為圓心，長為半徑的圓上運動，
令點H到直線距離為h，
∴，
∵由圖可知，當與直線相切時，最小，則h最小，
∴當與直線相切時，面積最小，
由（2）可知，，，
∴，
∵與直線相切，
∴，
∵，，，
∴四邊形為矩形，
∴四邊形為正方形，則，，
∵，為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．

【感悟】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造全等三角形，靈活運用三角形的中位線定理．
例題11．（2022·安徽滁州·一模）感知：數(shù)學課上，老師給出了一個模型：如圖1，點A在直線上，且，像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．
應(yīng)用：
(1)如圖2，中，，直線經(jīng)過點C，過A作于點D，過B作于點E．求證：．
(2)如圖3，在中，D是上一點，
，求點C到邊的距離．
(3)如圖4，在中，E為邊上的一點，F(xiàn)為邊上的一點．若
，求 的值．
【答案】(1)見解析(2)(3)
【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)得出，可證明；
（2）過點D作于點F，過點C作于，交的延長線于點E，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，則可得出答案；
（3）過點D作交的延長線于點M，證明，由相似三角形的性質(zhì)可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：過點D作于點F，過點C作于，交的延長線于點E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即點C到的距離為；
（3）過點D作交的延長線于點M，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【感悟】本題是綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
全等三角形的基本知識雖然很重要，但是更重要的是要掌握常見的幾何模型，比較重要的有平移全等型、翻折全等型、旋轉(zhuǎn)全等型，這三個是基礎(chǔ)型，其它的幾個：一線三直角模型、一線三等角模型，其中一線三直角模型是一線三等角模型的特殊情況。幾何模型切記不要死記硬背！理解這幾種模型之間的關(guān)系，是靈活使用模型幫助我么解決問題的關(guān)鍵！ 例如，我們常說的手拉手模型其實本質(zhì)上就是旋轉(zhuǎn)模型與相似的復合。
選擇題
1．（2023·浙江金華·校聯(lián)考三模）如圖，已知，，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用三角形的內(nèi)角和定理求出，利用全等三角形的性質(zhì)即可得到的度數(shù)．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故選：C
2．（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖，，點E在上，B，F(xiàn)，C，D四點在同一條直線上．若，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，則，由于，則，則，由此即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四個選項中只有C選項符合題意，
故選C．
3．（2023·天津東麗·統(tǒng)考二模）如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點的對應(yīng)點恰好落在邊上，點的對應(yīng)點為點，連接，下列結(jié)論一定正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，進而得出是兩個頂角相等的等腰三角形，即可求解．
【詳解】解：∵將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點的對應(yīng)點恰好落在邊上，
∴
∴，，，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
故選：D．
4．（2023·天津·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點的對應(yīng)點恰好落在邊上，的對應(yīng)點為．則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由旋轉(zhuǎn)可知，由全等的性質(zhì)可知，故選項A正確；由全等可知，結(jié)合，可得，故選項B不正確；根據(jù)等邊對等角可知，所以，由全等可知，即可證明，可得出，故選項C不正確；由三角形外角的性質(zhì)可得，所以，即，由全等可知，可證明，故選項D不正確．
【詳解】解：∵由旋轉(zhuǎn)可知：，
∴，故選項A正確；
∵，
∴，
又∵，
∴，故選項B不正確；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，故選項C不正確；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故選項D不正確；
故選：A．
5．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）如圖，，A的對應(yīng)頂點是B，C的對應(yīng)頂點是D，若，，，則的長為（ ）

A．3 B．7 C．8 D．以上都不對
【答案】B
【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵，A的對應(yīng)頂點是B，C的對應(yīng)頂點是D，
∴，
∵
∴.
故選：B．
6．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）如圖，四邊形為菱形，，交的延長線于點，交于點，且．則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論是（　　）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，通過證明即可；通過證明，即可求證；通過證明，即可求證；連接連接交于，設(shè)，根據(jù)三角形面積之間的關(guān)系，即可求證．
【詳解】解：四邊形為菱形，
，，
，
；故①正確；
，，
，
∴，
，故②正確；
∵，
，，
，
，
；故③正確；
連接交于，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，
，
，故④正確；
故選：D．
7．（2023·廣東深圳·深圳市東湖中學校考模擬預測）如圖，在邊長為6的等邊中，點E在邊上自A向C運動，點F在邊上自C向B運動，且運動速度相同，連接交于點P，連接，在運動過程中，點P的運動路徑長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過點A作于A，作于，連接，交于，證明，得，再證明，可得，確定點的運動路徑是以點為圓心，以為半徑的弧，再由弧長公式求解即可．
【詳解】解：如圖，過點A作于A，作于，連接，交于，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
是的垂直平分線，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
點的運動路徑是以點為圓心，以為半徑的弧，
點P的運動路徑長為．
故選：A．
8．（2023·廣東清遠·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長為4正方形中，點E在以B為圓心的弧上，射線交于F，連接，若，則（　　）．

A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】如圖，連接，過點B作于點H，根據(jù)圓的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可定，再結(jié)合正方形的性質(zhì)可得；再證可得，即；然后再根據(jù)勾股定理列方程即可解答．
【詳解】解：如圖，連接，過點B作于點H，

∵點E在以B為圓心的弧上，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴或（舍去）．
故選：B．
9．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考二模）如圖，正方形的對角線相交于點O，點E在邊上，點F在上，過點E作，垂足為點G，若，，，則的長為（ ）

A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】證明，可得，再利用等腰直角三角形即可解決問題．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故選：B．
10．（2023下·安徽·九年級專題練習）如圖，正方形的邊長是4，動點E、F分別從點A、C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿、向終點B、D移動，當點E到達點B時，運動停止，過點B作直線的垂線，垂足為G，連接，則長的最小值為（　　）

A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】設(shè)交與點O，證明．連接，取中點M，連接，，則，為定長，利用兩點之間線段最短解決問題即可．
【詳解】解：如圖，連接，設(shè)交與點O，
∵四邊形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
取中點M，連接，，則，為定長，
∵，
∴，
∴，
如圖，過點M作于點N，則，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴當A，M，G三點共線時，，
故選：B．

11．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，點E在正方形的外部，，連接交于點F，的平分線交于點G，．若，則等于（ ）

A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】作于H，連接，設(shè)，由題先證明，得到，，再結(jié)合可求出，再利用勾股定理構(gòu)造方程即可解答．
【詳解】解：如圖，作于H，連接，設(shè)，

∵，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，，,
∵，
即，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故選：D．
12．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，，G是的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，且EG＝2，連接，將線段繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段長的最小值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】連接，將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接，作于H，利用證明得，再說明得，求出的長，再利用三角形三邊關(guān)系可得答案．
【詳解】解：連接，將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接，作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值為，
故選A．
13．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考一模）如圖，點為線段上一點，以和為邊在線段同側(cè)作等邊和等邊，連接與交于點，連接與相交于點、與相交于點，連接，（1）繞點順時針旋轉(zhuǎn)與重合 （2）繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與重合 （3） （4） （5）平分．以上結(jié)論錯誤的個數(shù)為( )個．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】證明，可判斷（1）；進而可證得，可判斷（2）；根據(jù)全等的性質(zhì)即可判斷（3）；過點分別作，的垂線，垂足分別為，，由可得，即可判斷（5）；結(jié)合（5）的結(jié)論說明，再在上截取，連接，可得為等邊三角形，進而易得，可得，即可判斷（4）．
【詳解】解：和均為等邊三角形，
，，，
，
，
繞點順時針旋轉(zhuǎn)與重合，
故（1）正確；
，
，
，
，
，
，
繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與重合，
故（2）正確；
，，
，
故（3）正確；
過點分別作，的垂線，垂足分別為，，
，
，
平分，
故（5）正確；
，
，
，
，
又，
，
平分，
，
在上截取，連接，
為等邊三角形，
，，
，
又，
，
，
，
故（4）正確；
綜上所述，錯誤的有0個，
故選：D．
14．（2022上·福建漳州·八年級福建省漳州第一中學校考階段練習）已知如圖，在中，，，直角的頂點是邊的中點，兩邊，分別交，于點，，當在內(nèi)繞頂點旋轉(zhuǎn)（點不與，重合）時，給出以下5個結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．上述結(jié)論始終正確的有( )
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】A
【分析】①證明得，當點E不是的中點時，，由此判斷①；
②由全等三角形性質(zhì)得，，，則為等腰直角三角形，判斷②；
③由，得，進而得，可判斷③；
④根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，，根據(jù)隨著點E的變化而變化，只有當點E為的中點時，，從而判斷④；
⑤當不是的平分線時，，此時，由此判斷⑤．
【詳解】①∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵點P為BC的中點，
∴，，
∵是直角，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（ASA），
∴，
當點E不是的中點時，，
故①錯誤；
②∵，，
∴為等腰直角三角形，
故②正確；
③∵，
∴，
∴，
∴，
故③正確；
④根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，，
所以，隨著點E的變化而變化，只有當點E為的中點時，，
故④錯誤；
⑤∵，AB＝AC，
∴，
當不是的平分線時，，
此時，
故⑤錯誤；
故②③正確，
故選：A．
15．（2021上·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期中）把△ABC和△ADE如圖放置，B，D，E正好在一條直線上，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．則下列結(jié)論：①△BAD≌△CAE；②BE＝CE＋DE；③∠BEC＝∠BAC；④若∠ACE＋∠CAE＋∠ADE＝90°，則∠AEC＝135°．其中正確的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根據(jù)題目條件使用SAS即可得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BD=CE，，．使用等價代換思想可得BE=CE+DE；結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和已知條件可得．
【詳解】解：∵，
∴，即．
又∵AB=AC，AD=AE，
∴，故①正確．
∴BD=CE．
∵BE=BD+DE，
∴BE=CE+DE，故②正確．
∵，
∴．
又∵，，
∴，故③正確．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵AD=AE，
∴．
∴．
又∵，，
∴．
∴，故④正確．
故選：D．
16．（2023·河南三門峽·統(tǒng)考二模）如圖，，，，，點D為的中點，點E在的延長線上，將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)度得到，當是直角三角形時，的長為 ．

【答案】或
【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．根據(jù)勾股定理可求出，先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，從而得到．再分情況討論：①當時；②當時，利用勾股定理分別求解，即可得到答案．利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：，，，
由勾股定理得：，
，
，
繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，
點D為的中點，
，
①當時，

，
，
；
②當時，

在中，，
在中，，
綜上可知，的長為5或．
故答案為：5或．
17．（2023·浙江·模擬預測）如圖，已知，，，，繞著斜邊AB的中點D旋轉(zhuǎn)，DE、DF分別交AC、BC所在的直線于點P、Q．當為等腰三角形時，AP的長為 ．

【答案】或或
【分析】分類討論：①當，由，，則，過作與，于，利用三角形的中位線的性質(zhì)得到 ， ， ，可得到與的長，然后利用等腰三角形的性質(zhì)得到 ，易得 ，又，利用三角形全等的性質(zhì)得到，則 ，即，則，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到：：，代值計算可得，從而求得；②當，則點在點，易證，然后根據(jù)三角形相似的相似比即可得到，從而求得；②當，則，而，得到，即，易證，然后根據(jù)三角形相似的相似比即可求得．
【詳解】解：①當，
，，，
則，
過作與，于，如圖，

為的中點，
， ， ，
， ，
，
而，
，
又，
，
而，
，即，
，
：：，即： ：，
，
；
②當，則點在點，如圖，

，
而，
，
，
：：，即： ：，
，
；
③當，則，
而，
，即，如圖，

，
：：，即：：，
．
故答案為或或．
18．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，點B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若，則的長為 ．

【答案】3
【分析】利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：由全等三角形的性質(zhì)得：，
∴，
故答案為：3．
19．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖，已知A點的坐標是，則B點的坐標是 ．

【答案】
【分析】如圖，延長正六邊形的邊與x軸交于點E，過A作軸于N，連接，證明可得三點共線，可得關(guān)于O對稱，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，延長正六邊形的邊與x軸交于點E，過A作軸于N，連接，

三個正六邊形，O為原點，
同理：
三點共線，
關(guān)于O對稱，
故答案為：．
20．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如圖，直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，射線于點A，若點C是射線上的一個動點，點D是x軸上的一個動點，且以C，D，A為頂點的三角形與全等，則的長為 ．

【答案】2或/或2
【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式可求出A點和B點坐標，從而求出的兩條直角邊，并運用勾股定理求出．根據(jù)已知可得，分別從或時，即當時，，或時，，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵直線與x軸和y軸分別交與A、B兩點，
當時，即，
解得：．
當時，，
∴．
∴．
∴．
∵，點C在射線上，
∴，即．
∵，
∴．
若以C、D、A為頂點的三角形與全等，則或，即或．
如圖1所示，

當時，；
如圖2所示，

當時，．
綜上所述，的長為2或．
故答案為：2或．
21．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）若三個邊長為1的正方形按如圖的方式放在內(nèi)，其中為中的直角，兩點都是正方形的頂點，點在邊上，點在線段上，則斜邊的長為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)余角的性質(zhì)得到，證明，得到，由勾股定理可得，求得，得到，求得，于是得到答案．
【詳解】解：如圖，
，
，
，
，
在與中，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
22．（2023·遼寧·模擬預測）如圖，在中，，以為邊作正方形（點A，C，D，E按逆時針方向排列），和的延長線相交于點F，點P從點B出發(fā)沿向點F運動，到達點F時停止，點Q在線段上運動，且始終滿足，連接，，，當?shù)拿娣e為5時，的長是 ．

【答案】或
【分析】分兩種情況：①當點在線段上運動時，過點作，交延長線于點，先證出，再證出，利用三角形的面積公式求解即可得；②當點在線段上運動時，過點作于點，連接，先求出，是等腰直角三角形，再設(shè)，則，從而分別求出的長，然后根據(jù)建立方程，解方程即可得．
【詳解】解：①如圖，當點在線段上運動時，過點作，交延長線于點，
∵四邊形是正方形，，
，
，
∵在中，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
的面積為5，
，
解得或（不符合題意，舍去），
，
又，
；
②如圖，當點在線段上運動時，過點作于點，連接，
∵四邊形是正方形，
，，
，
，是等腰直角三角形，
，
設(shè)，則，，
，
又，
，
，
整理為，
即或，
解方程得：或（舍去），
解方程得：（此時點在上，不符合題設(shè)，舍去）或（舍去），
綜上，的長是或，
故答案為：或．
23．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，與相交于點G，若，則的長為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意證明，，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
．
故答案為：．
24．（2023·廣東河源·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形中，點E、F分別在邊上，且，交于M點，交于N點．下列結(jié)論：①； ②若F是的中點，則；③連接，則為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號是 （把你認為所有正確的都填上）．
【答案】①③/③①
【分析】將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，可得，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，在中，由勾股定理，即可證明①；
過A作，交延長線于G，由（1）同理可得，，設(shè)，
則可表示出設(shè)，在中，由勾股定理可得，設(shè)，則，即可證明②；
根據(jù)條件可證明，進而證明，即可證明③．
【詳解】解：①將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，
∵，
∴，
∵繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
而，
在中，，
∴，故①正確；
②過A作，交延長線于G，如圖：
由（1）同理可得，，
∴，
設(shè)，
∵F是的中點，
則，
在中，，
∴，
解得，
設(shè)，則，
∴，
在中，，
∴，故②不正確；
③∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，故③正確，
故答案為：①③．
25．（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點P在邊上，連接，將繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接．若，，，則 ．

【答案】2
【分析】過點作于點F，則，可證，于是．設(shè)，，，解得，于是．
【詳解】解：過點作于點F，則，
∵，
∴．
又，
∴.
∴．
設(shè)，矩形中，，
，
，，解得，
∴．
故答案為：2

26．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）“倍長中線法”是解決幾何問題的重要方法．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，具體做法是：如圖，是的中線，延長到，使，連接，構(gòu)造出和．求證：．

【答案】見解析
【分析】由是的中線，可得，再由，，即可證明．
【詳解】證明：如圖所示：
，
是的中線，
，
在和中，
，
．
27．（2021·江蘇泰州·校考一模）已知點O是四邊形ABCD內(nèi)一點，AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α．
（1）如圖1，α=60°，探究線段AD與OB的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）如圖2，α=120°，探究線段AD與OB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）結(jié)合上面的活動經(jīng)驗探究，請直接寫出如圖3中線段AD與OB的數(shù)量關(guān)系為　　　　　　（直接寫出答案）
【答案】（1）AD=OB，證明見解析；（2）AD=OB，證明見解析；（3）AD=2sinOB．
【分析】（1）如圖1，連接AC，根據(jù)已知條件得到△ABC與△COD是等邊三角形，求得∠ACD=∠BCO，推出△ACD≌△BCO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，連接AC，過B作BF⊥AC于F，根據(jù)已知條件得到∠ACB∽△DCO=30°，推出△ACD∽△BCO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，由三角函數(shù)的定義得到
，于是得到結(jié)論；
（3）如圖3，連接AC，過B作BF⊥AC于F，根據(jù)已知條件得到∠ACB=∠DCO，推出
△ACD∽△BCO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，由三角函數(shù)的定義得到結(jié)論；
【詳解】解：（1）AD=OB，
如圖1，連接AC，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=60°，
∴△ABC與△COD是等邊三角形，
∴∠ACB=∠DCO=60°，
∴∠ACD=∠BCO，
在△ACD與△BCO中，
，
∴△ACD≌△BCO，
∴AD=OB；
（2）AD=OB；
如圖2，連接AC，過B作BF⊥AC于F，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=120°，
∴∠ACB=∠DCO=30°，
∴∠ACD=∠BCO，
∴△ACD∽△BCO，
∴ ，
∵∠CFB=90°，
∴=2sin60°=，
∴AD=OB；
（3）如圖3，連接AC，過B作BF⊥AC于F，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α，
∴∠ACB=∠DCO= ，
∴∠ACD=∠BCO，
同理可得：△ACD∽△BCO，
∴，
∵∠CFB=90°，
∴，
∴AD=2sinOB．
28．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）在中，，，D是邊上的中點，E是直線右側(cè)的一點，且，連接，過點D作的垂線交射線于點F．
(1)點C到的距離為______；
(2)如圖1，當點E在的外部時．
①求證：；
②如圖2，連接，當時，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系；
(3)若，請直接寫出的長．
【答案】(1)
(2)①見解析，②
(3)或
【分析】（1）連，直接求的長即可；
（2）①設(shè)交于點，證明即可；
②延長和交于點，連接，根據(jù)手拉手模型證明，，可得，，再根據(jù)等腰三角形三線合一可得．
（3）分E在上方和E在下方兩種情況，分別求得即可求出的長．
【詳解】（1）解：連接，
∵在中，，，D是邊上的中點，
∴，，
∴點C到的距離為，
故答案為：；
（2）解：①設(shè)交于點，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵過點D作的垂線交射線于點F，
∴，
∴，
∴，
∴；
②延長和交于點，連接，
∵，，，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如圖，當E在上方時，過D作于H，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如圖，當E在下方時，
同理，，，
則，
綜上，或．
29．（2023下·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學校考階段練習）如圖，在中，．
(1)如圖1，在內(nèi)取點D，連接，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，，連接，，，若，求的長；
(2)如圖2，點D為中點，點E在的延長線上，連接交于點F，，連接并延長至點G，連接，若，求證：﹔
(3)如圖3，，點D在的延長線上，連接，在上取點E，，連接，，若，當取最小值時，直接寫出的面積．
【答案】(1)；
(2)見解析；
(3)．
【分析】（1）先證明，從而得到，過E作垂直于的延長線于點F，由得到，從而得到和的值，然后在中用勾股定理求出，則即可；
（2）取中點H，連接、，由是中位線得到，由得到，，因為，則是中位線，，，從而證明，得到，因為，得到是等邊三角形，即即可；
（3）建立直角坐標系，設(shè)，則，用帶有x的表達式得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：過E作垂直于的延長線于點F，如圖3所示，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，，
∴在中，，，，
∴；
；
（2）解：取中點H，連接、，與交于點O，如圖4所示，
∵D是中點，，
∴是的中位線，是的中位線，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，，，
∵，
∴，是等腰三角形，
∵，
∴是等邊三角形，，
∴；
；
（3）解：以點為原點，為x軸，建立直角坐標系，
設(shè)，則，
∵，
∴是等邊三角形，
∴
∵，
∴，
，
∵，則當時，有最小值，即有最小值，
∴．
30．（2021下·重慶·八年級統(tǒng)考期末）在矩形中，，，點為上的點，點矩形內(nèi)部一動點，連接，；
（1）如圖一，若滿足，，，，求證：；
（2）如圖二，當點在線段上的運動，求的最小值；
（3）如圖三，若點為的中點，為矩形內(nèi)部一動點，連接，，，問是否有最小值，若有請直接寫出答案；若沒有，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析；(2) ；(3)存在最小值，理由見解析.
【分析】(1)過點P作PF⊥BC交BC于F，然后證明△PFE≌△ECD即可得到答案；
(2)作D點關(guān)于BC的對稱點，連接，當P、E、三點共線且與BD垂直時即為最小值；
(3)將三角形BPC順時針旋轉(zhuǎn)90°得到新三角形，然后可以得到，容易得出當點Q、P、、四點共線時此時有最小值.
【詳解】解：(1)如圖所示，過點P作PF⊥BC交BC于F
在直角三角形PFB中，
∴BF=PF，
∴
即BF=PF=1=EC
又∵BF+EF+EC=BC=5
∴EF=BC-BF-EC=3
∴FE=CD
∴△PFE≌△ECD
∴PE=DE
(2)如圖所示，作D點關(guān)于BC的對稱點，連接，當、、三點共線且與BD垂直時即為最小值
在矩形ABCD中，∠BCD=90°，在中，∠
∴△BCD∽
∴
∴
又∵，
∴
由對稱性可知
∴
∴的最小值為
(3)如圖所示，將三角形BPC順時針旋轉(zhuǎn)90°得到新三角形，然后過點作⊥AD交AD于N，連接Q交BC于M
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，∠=∠=90°
∴
∴
故當Q、P、、四點共線， 有最小值
∵∠=90°
∴A、B、三點共線，
∴在直角三角形中，
∴
∵點為的中點
∴
∴
∴的最小值為
22024中考數(shù)學一輪復習 (全國通用版)
2024中考數(shù)學精講與精練（全國通用版）
第十三講 全等三角形
考點1：全等三角形的概念和性質(zhì)
1.全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做全等三角形。完全重合即形狀相同，大小相等。
2.全等三角形的性質(zhì)：（下表圖中AM,AM’為中線，AD,AD’為角平分線，AH,AH’為高）
文字語言 圖形語言 符號語言
全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；
全等三角形的周長相等， 面積相等；
全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線都相等．
考點2：全等三角形的判定方法
文字語言 圖形語言 符號語言 簡記
有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 SSS
有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 SAS
有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等． ASA
有兩角和它們所對的任意一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 AAS
有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 HL
考點3：常考的全等模型
1.幾何變換中的全等模型
（1）平移全等模型，如下圖：
（2）翻折全等模型，如下圖：
（3）旋轉(zhuǎn)全等模型，如下圖：
2.一線三等角全等模型
3.三垂直全等模型，如圖：
4.手拉手全等模型
（1）等腰三角形中的手拉手全等模型
如圖，△ABC與△ADE均為等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，連接BD、CE，則△ABD≌△ACE.
（2）等邊三角形中的手拉手全等模型
如圖，△ABC與△CDE均為等邊三角形，點B、C、E三點共線，連接AE、BD，則△BCD≌△ACE.
（3）一般三角形中的手拉手全等模型
如圖，在任意△ABC中，以AB為邊作等邊△ADB，以AC為邊作等邊△ACE，連接DC、BE，則△ADC≌△ACE.
全等三角形是平面幾何的基本工具，是后續(xù)學習的基礎(chǔ)，也是中考必考考點之一。掌握必要的常見全等模型是非常必要的，可以幫我們快速解決平面幾何相關(guān)證明和計算問題。
例題1．（2023·四川甘孜·中考真題）如圖，與相交于點，，只添加一個條件，能判定的是( )
A． B． C． D．
例題2．（2023·北京·中考真題）如圖，點A、B、C在同一條線上，點B在點A，C之間，點D，E在直線AC同側(cè)，，，，連接DE，設(shè)，，，給出下面三個結(jié)論：①；②；③；
上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
例題3．（2023·安徽合肥·模擬預測）如圖，在四邊形中，，，為邊上的點，為等邊三角形，，，則的值為（　　）

A． B． C． D．
例題4．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點均在坐標軸上，已知點，，，，連接，則所在直線的表達式是（ ）
A． B． C． D．
例題5．（2023·廣西欽州·模擬預測）如圖，已知四邊形為正方形，，為對角線上一點，連接，過點作，交的延長線于點，以，為鄰邊作矩形，連接．下列結(jié)論結(jié)論正確的是（ ）
A．矩形是正方形 B． C． D．
例題6．（2023·江蘇徐州·模擬預測）等邊邊長為6，是中點，在上運動，連接，在下方作等邊，則周長的最小值為 ．
例題7．（2023·四川甘孜·中考真題）如圖，在中，，點在邊上，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．
(1)求證：；
(2)若時，求的長；
(3)點在上運動時，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在，請說明理由．
例題8．（2023·福建南平·二模）在等腰三角形中，，是由繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)角得到，且點A的對應(yīng)點D恰好落在直線上，如圖1．
(1)判斷直線與直線的位置關(guān)系，并證明；
(2)當時，求的大小；
(3)如圖2，點F為線段的中點，點G在線段上且，當點E在線段上時，求證：．
例題9．（2022·青海·中考真題）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.
圖1 圖2
(1)問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；
(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

例題10．（2023·遼寧阜新·二模）如圖1，已知和均為等腰直角三角形，，，，點D在線段上，點F為中點，點M為中點，點N為中點．
(1)如圖1， ______，和之間的數(shù)量關(guān)系是______；
(2)如圖2，繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，點G為中點，求證：四邊形為正方形；
(3)如圖3，若，，在將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)過程中，直線，交于點H，直接寫出面積的最小值．
例題11．（2022·安徽滁州·一模）感知：數(shù)學課上，老師給出了一個模型：如圖1，點A在直線上，且，像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．
應(yīng)用：
(1)如圖2，中，，直線經(jīng)過點C，過A作于點D，過B作于點E．求證：．
(2)如圖3，在中，D是上一點，，求點C到邊的距離．
(3)如圖4，在中，E為邊上的一點，F(xiàn)為邊上的一點．若，求 的值．
全等三角形的基本知識雖然很重要，但是更重要的是要掌握常見的幾何模型，比較重要的有平移全等型、翻折全等型、旋轉(zhuǎn)全等型，這三個是基礎(chǔ)型，其它的幾個：一線三直角模型、一線三等角模型，其中一線三直角模型是一線三等角模型的特殊情況。幾何模型切記不要死記硬背！理解這幾種模型之間的關(guān)系，是靈活使用模型幫助我么解決問題的關(guān)鍵！ 例如，我們常說的手拉手模型其實本質(zhì)上就是旋轉(zhuǎn)模型與相似的復合。
選擇題
1．（2023·浙江金華·三模）如圖，已知，，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
第1題 第2題 第3題
2．（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖，，點E在上，B，F(xiàn)，C，D四點在同一條直線上．若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·天津東麗·統(tǒng)考二模）如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點的對應(yīng)點恰好落在邊上，點的對應(yīng)點為點，連接，下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·天津·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點的對應(yīng)點恰好落在邊上，的對應(yīng)點為．則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
第4題 第5題
5．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）如圖，，A的對應(yīng)頂點是B，C的對應(yīng)頂點是D，若，，，則的長為（ ）
A．3 B．7 C．8 D．以上都不對
6．（2023·廣東深圳·模擬預測）如圖，四邊形為菱形，，交的延長線于點，交于點，且．則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論是（　　）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
第6題 第7題 第8題
7．（2023·廣東深圳·深圳市東湖中學校考模擬預測）如圖，在邊長為6的等邊中，點E在邊上自A向C運動，點F在邊上自C向B運動，且運動速度相同，連接交于點P，連接，在運動過程中，點P的運動路徑長為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·廣東清遠·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長為4正方形中，點E在以B為圓心的弧上，射線交于F，連接，若，則（　　）．
A．2 B． C． D．
9．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中二模）如圖，正方形的對角線相交于點O，點E在邊上，點F在上，過點E作，垂足為點G，若，，，則的長為（ ）
A．3 B． C． D．
第9題 第10題
10．（2023下·安徽·九年級專題練習）如圖，正方形的邊長是4，動點E、F分別從點A、C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿、向終點B、D移動，當點E到達點B時，運動停止，過點B作直線的垂線，垂足為G，連接，則長的最小值為（　　）
A． B． C． D．2
11．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，點E在正方形的外部，，連接交于點F，的平分線交于點G，．若，則等于（ ）
A．4 B． C． D．
第11題 第12題
12．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，，G是的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，且EG＝2，連接，將線段繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段長的最小值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
13．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考一模）如圖，點為線段上一點，以和為邊在線段同側(cè)作等邊和等邊，連接與交于點，連接與相交于點、與相交于點，連接，（1）繞點順時針旋轉(zhuǎn)與重合 （2）繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與重合 （3） （4） （5）平分．以上結(jié)論錯誤的個數(shù)為( )個．
A．3 B．2 C．1 D．0
14．（2022上·福建漳州·八年級福建省漳州第一中學校考階段練習）已知如圖，在中，，，直角的頂點是邊的中點，兩邊，分別交，于點，，當在內(nèi)繞頂點旋轉(zhuǎn)（點不與，重合）時，給出以下5個結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．上述結(jié)論始終正確的有( )
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
第14題 第15題
15．（2021上·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期中）把△ABC和△ADE如圖放置，B，D，E正好在一條直線上，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．則下列結(jié)論：①△BAD≌△CAE；②BE＝CE＋DE；③∠BEC＝∠BAC；④若∠ACE＋∠CAE＋∠ADE＝90°，則∠AEC＝135°．其中正確的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空題
16．（2023·河南三門峽·統(tǒng)考二模）如圖，，，，，點D為的中點，點E在的延長線上，將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)度得到，當是直角三角形時，的長為 ．
第16題
17．（2023·浙江·模擬預測）如圖，已知，，，，繞著斜邊AB的中點D旋轉(zhuǎn)，DE、DF分別交AC、BC所在的直線于點P、Q．當為等腰三角形時，AP的長為 ．
第17題 第18題
18．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，點B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若，則的長為 ．
19．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖，已知A點的坐標是，則B點的坐標是 ．
第19題 第20題
20．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如圖，直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，射線于點A，若點C是射線上的一個動點，點D是x軸上的一個動點，且以C，D，A為頂點的三角形與全等，則的長為 ．
21．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）若三個邊長為1的正方形按如圖的方式放在內(nèi)，其中為中的直角，兩點都是正方形的頂點，點在邊上，點在線段上，則斜邊的長為 ．
第21題
22．（2023·遼寧·模擬預測）如圖，在中，，以為邊作正方形（點A，C，D，E按逆時針方向排列），和的延長線相交于點F，點P從點B出發(fā)沿向點F運動，到達點F時停止，點Q在線段上運動，且始終滿足，連接，，，當?shù)拿娣e為5時，的長是 ．
第22題 第23題
23．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，與相交于點G，若，則的長為 ．
24．（2023·廣東河源·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形中，點E、F分別在邊上，且，交于M點，交于N點．下列結(jié)論：①； ②若F是的中點，則；③連接，則為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號是 （把你認為所有正確的都填上）．
第24題 第25題
25．（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點P在邊上，連接，將繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接．若，，，則 ．
三、解答題
26．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）“倍長中線法”是解決幾何問題的重要方法．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，具體做法是：如圖，是的中線，延長到，使，連接，構(gòu)造出和．求證：．

27．（2021·江蘇泰州·校考一模）已知點O是四邊形ABCD內(nèi)一點，AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α．
（1）如圖1，α=60°，探究線段AD與OB的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）如圖2，α=120°，探究線段AD與OB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）結(jié)合上面的活動經(jīng)驗探究，請直接寫出如圖3中線段AD與OB的數(shù)量關(guān)系為　　　　　　（直接寫出答案）
28．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）在中，，，D是邊上的中點，E是直線右側(cè)的一點，且，連接，過點D作的垂線交射線于點F．
(1)點C到的距離為______；
(2)如圖1，當點E在的外部時．
①求證：；
②如圖2，連接，當時，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系；
(3)若，請直接寫出的長．
29．（2023·重慶沙坪壩·南開中學階段練習）如圖，在中，．
(1)如圖1，在內(nèi)取點D，連接，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，，連接，，，若，求的長；
(2)如圖2，點D為中點，點E在的延長線上，連接交于點F，，連接并延長至點G，連接，若，求證：﹔
(3)如圖3，，點D在的延長線上，連接，在上取點E，，連接，，若，當取最小值時，直接寫出的面積．
30．在矩形中，，，點為上的點，點矩形內(nèi)部一動點，連接，；
（1）如圖一，若滿足，，，，求證：；
（2）如圖二，當點在線段上的運動，求的最小值；
（3）如圖三，若點為的中點，為矩形內(nèi)部一動點，連接，，，問是否有最小值，若有請直接寫出答案；若沒有，請說明理由．
2

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