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第03講：反比例函數
考點一 反比例函數的定義與基本解析式
例1 下列函數中，y是x的反比例函數的是（　　）
A． B． C． D．
練1 若（xy﹣2）（x2y2+1）＝0，則y與x之間的函數關系式為　 　．
例2 函數y＝（m+1）x是y關于x的反比例函數，則m＝　 　．
練2 若函數y＝（m﹣2）x|m|﹣3是反比例函數，則m＝　 　；使分式有意義的x的取值范圍是　 　．
考點二 反比例函數的圖像和性質
例1 如圖所示，y＝mx+m與y＝（m＜0）在同一坐標系中的圖象可能是圖中的（　　）
A． B． C． D．
練1 一次函數y＝kx+b和反比例函數y＝的部分圖象在同一坐標系中可能為（　　）
A． B． C． D．
練2 已知反比例函數圖象A，B，C對應各自反比例函數系數k1，k2，k3；則k1，k2，k3的大小關系　 　．
考點三 反比例函數圖像的增減性
例1 已知函數中，在每個象限內，y隨x的增大而增大，那么它和函數y＝kx（k≠0）在同一直角坐標平面內的大致圖象是（　　）
A． B． C． D．
練1 一次函數y＝kx+b與反比例函數y＝的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（　　）
A．它們的函數值y隨著x的增大而增大? B．它們的函數值y隨著x的增大而減小?
C．k＜0? D．它們的自變量x的取值為全體實數
例2 如圖，一次函數y1＝x﹣1與反比例函數的圖象交于點A（2，1）、B（﹣1，﹣2），則使y1＞y2的x的取值范圍是　 　．
練2 如圖，一次函數與反比例的圖象相交于A、B兩點，則圖中使反比例函數的值小于一次函數的值的x的取值范圍是　 　．
考點四 反比例函數的對稱性
例1 對于反比例函數y＝的圖象的對稱性敘述錯誤的是（　　）
A．關于原點中心對稱 B．關于直線y＝x對稱 C．關于直線y＝﹣x對稱 D．關于x軸對稱
練1 關于雙曲線的對稱性敘述錯誤的是（　　）
A. 關于原點對稱 B．關于直線y＝x對稱 C．關于x軸對稱 D．關于直線y＝﹣x對稱
例2 如圖，雙曲線y＝與直線y＝mx相交于A、B兩點，B點坐標為（﹣2，﹣3），則A點坐標為（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
練2 如圖，直線 y＝kx（k＞0）與雙曲線 y＝交于 A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，則 5x1y2﹣ 8x2y1 的值為 ．
例3 如圖1，點P（﹣2a，a）是反比例函數y＝與⊙O的一個交點，圖中陰影部分的面積為10π，則該反比例函數的表達式為（　　）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
練3 如圖2，⊙O的半徑為3，雙曲線的關系式為和，則陰影部分的面積為　 　．
圖1 圖2 圖3
練4 如圖3，A、B是反比例函數y＝的圖象上關于原點O對稱的任意兩點，過點A作AC⊥x軸于點C，連接BC，則△ABC的面積為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
考點五 反比例函數“K”的幾何意義
例1 如圖 5，A、B 兩點在雙曲線 y＝上，分別經過 A、B 兩點向坐標軸作垂線段，已知 S 陰影＝1.7，則 S1+S2 等于（ ）
A．4 B．4.2 C．4.6 D．5
圖5 圖6
練1 如圖 2，矩形 OABC的頂點 A在 y軸上，C在 x軸上，雙曲線 y＝與 AB交于點 D，與
BC交于點 E，DF⊥x軸于點 F，EG⊥y軸于點 G，交 DF于點 H．若矩形 OGHF和矩形 HDBE的
面積分別是1和2，則 k的值為（ ）
A． B． C． D．
例2 如圖1，在第一象限內，點P（2，3），M（a，2）是雙曲線y＝（k≠0）上的兩點，PA⊥x軸于點A，MB⊥x軸于點B，PA與OM交于點C，則△OAC的面積為（　　）
A． B． C．2 D．
圖1 圖2
練2 如圖2，在坐標系中，過x軸正半軸上任意一點P作y軸的平行線，分別交函數y＝（x＞0）、y＝﹣（x＞0）的圖象于點A、點B．若C是y軸上任意一點，則△ABC的面積為（　　）
A．9 B．6 C． D．3
例3 如圖3，過x軸正半軸上的任意一點P，作y軸的平行線，分別與反比例函數y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）的圖象交于B、A兩點．若點C是y軸上任意一點，則△ABC的面積為（　　）
A．3 B．6 C．9 D．
圖3 圖4
練3 如圖4，平行于x軸的直線與函數y＝（k1＞0，x＞0）和y＝（k2＞0，x＞0）的圖象分別相交于A，B兩點．點A在點B的右側，C為x軸上的一個動點，若△ABC的面積為4，則k1﹣k2的值為　　．
考點六 截平面圖形
例1 如圖1，點A在函數y＝（x＞0）的圖象上，點B在函數y＝（x＞0）的圖象上，且AB∥x軸，BC⊥x軸于點C，則四邊形ABCO的面積為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
練1 如圖2，兩個反比例函數y＝和y＝（其中k1＞k2＞0）在第一象限內的圖象依次是C1和C2，設點P在C1上，PC⊥x軸于點C，交C2于點A，PD⊥y軸于點D，交C2于點B，下列說法正確的是（　　）
①△ODB與△OCA的面積相等；
②四邊形PAOB的面積始終等于矩形OCPD面積的一半，且為k1﹣k2；
③PA與PB始終相等；④當點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點
A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④
圖1 圖2 圖3
練2 如圖3，矩形ABCD的頂點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，頂點B、C在x軸上，對角線DB的延長線交y軸于點E，連接CE，若△BCE的面積是6，則k的值為（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
例2 如圖，在△AOB中，∠ABO＝90°，＝2，反比例函數y＝在第一象限的圖象分別交OA、AB于點C、D，且S△BOD＝2，則C的坐標為（　　）
A．（2，4） B．（，2）
C．（1，2） D．（，）
練3 如圖，兩個反比例函數y＝和y＝在第一象限內的圖象分別是C1和C2，設點P在C1上，PA⊥x軸于點A，交C2于點B，則△POB的面積為（　　）
A．1 B．2
C．4 D．無法計算
考點七 待定系數法求反比例函數的解析式
例1 如圖，A、C為x軸上兩點，以AC為對角線構造矩形ABCD，反比例函數y＝（x＞0）經過點D，已知點B坐標為（0，﹣4），點P坐標為（3，0）．提示：已知A（x1，y1）、B（x2，y2），點M（x，y）為線段AB的中點，則有x＝，y＝.求反比例函數解析式；
練1 如圖1，在平面直角坐標系中，點O為原點，點A的坐標為（﹣6，0），正方形OBCD的頂點B在x軸的負半軸上，點C在第二象限．現將正方形OBCD繞點O順時針旋轉角α得到正方形OEFG．
（1）若α＝45°，當AE取得最小值時，求過正方形OEFG的頂點G的反比例函數解析式．
例1. 已知函數y＝y1+y2，y1與x成正比例，y2與x成反比例，且當x＝1時，y＝4；當x＝2時，y＝5． y與x之間的函數關系式　 　，當x＝4時，求y＝　 　．
例2. 對于反比例函數y＝，下列說法不正確的是（　　）
A．這個函數的圖象分布在第一、三象限 B．這個函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
C．點（1，4）在這個函數圖象上 D．當x＞0時，y隨x的增大而增大
例3. 對于反比例函數y＝，下列說法不正確的是（　　）
A．這個函數的圖象分布在第一、三象限 B．該函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
C．點（1，4）在這個函數圖象上 D．當x＞0時，y隨x的增大而增大
例4. 如圖，已知雙曲線y＝（k＜0）經過直角三角形OAB斜邊OA的中點D，且與直角邊AB相交于點C．若點A的坐標為（﹣6，4），則△AOC的面積為（　　）
A．12 B．9
C．6 D．4
例5. 如圖，過原點的直線與反比例函數y＝（k＞0）的圖象交于A、B兩點，點A在第一象限，點C在x軸正半軸上，連接AC交反比例函數圖象于點D，AE為∠BAC的平分線，過點B作AE的垂線，垂足為E，連接DE，若AC＝3DC，△ADE的面積為12，則k的值為（　　）
A．4 B．9
C．8 D．10
【A類】
1.下列函數中，y 是 x 的反比例函數的是（ ）
A．y＝3x B．3xy＝1 C．y＝1+ D．y＝
2.如圖，在同一平面直角坐標系中，反比例函數 y＝﹣與一次函數 y＝kx﹣3（k 為常數，且 k≠0）的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．設 A（﹣2，y1） ，B（1，y2） ， C（2，y3）是雙曲線 上的三點，則（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【B 類】
1.如圖所示，點 P（4a，a）是反比例函數 y＝（k＞0）與⊙O 的一個交點，圖中陰影部分的面積為 17π，則 k 的值為（ ）
A．4 B．16 C． D．
若y＝kx（k＞0）與雙曲線的交點為（x1，y1）、（x2，y2），則 2x1y2﹣5x2y1的值為 ．
【C 類】
1.已知 a 滿足以下三個條件：①a 是整數；②關于 x 的一元二次方程 ax2+4x﹣2＝0 有兩個不相等的實數根；③反比例函數的圖象在第二、四象限．
（1）求 a 的值．（2）求一元二次方程 ax2+4x﹣2＝0 的根．
1．如圖，設直線y＝kx（k＜0）與雙曲線y＝﹣相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則5x1y2﹣3x2y1的值為　 　．
2．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的頂點A、C的坐標分別是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，則函數y＝（k＞0，x＞0）的圖象經過點B，則k的值為（　　）
A． B．9 C． D．
3．如圖，在平行四邊形OABC中，OA＝2，∠AOC＝45°，點C在y軸上，點D是BC的中點，反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點A、D．
（1）求k的值；（2）求點D的坐標．

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