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第一、二章 三角形的初步知識和特殊三角形
1.三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.
2.三角形的角平分線、中線、高線都是線段；三條角平分線和中線分別交于三角形內部一點；銳角三角形的三條高線交于三角形內部一點，直角三角形的三條高線交于直角頂點，鈍角三角形的三條高線所在直線交于三角形外部一點.
3.三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分.
如圖：AD是三角形ABC的中線，則S△ABD＝S△ACD＝S△ABC
4.★★★三角形的三邊關系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊；任意兩邊之差小于第三邊.
兩邊之差＜第三邊＜兩邊之和
5.★三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.
6.★★★三角形全等的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，看清楚所用的三個條件，
絕對不能用SSA來判定. 直角三角形還可以用斜邊直角邊相等來判定，即HL.
（注意：在直角三角形較多的圖形中，往往要用同角或等角的余角相等來證明某兩個角相等）
注意：像這種△ABC≌△DEF，兩個三角形已經用全等符號（≌）表示，說明對應點已經寫在了對應位置上，我們在找對應邊和對應角時可以根據它們的字母順序來找，如邊AC是△ABC的第1和3個字母，那么它的對應邊應該是△DEF的第1和3個字母，即DF. 這種方法有利于在一些復雜圖形中找對應邊和角.
7.★★★垂直平分線（中垂線）的性質和角平分線的性質.
①垂直平分線（中垂線）的性質：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.
幾何語言：
∵AD⊥BC，BD＝CD（注意：兩個條件才能表示AD是BC的中垂線）
∴AB＝AC（注意：結論不要跳步和張冠李戴，關鍵是理解哪兩條線段是點到點的距離）
②角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
幾何語言：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC（注意：三個條件，不要漏掉后面兩個垂直，
那是表示點到兩邊的距離）
∴DE＝DF（注意：結論不要跳步和張冠李戴，關鍵是理解哪兩條線段是點到兩邊的距離）
③記憶方法：垂直平分線是點到點的距離相等. 角平分線是點到線的距離相等.
④應用：如圖，找一個點使得它到A、B、C三點距離相等，作線段AB、BC、AC中任意兩條的中垂線，它們的交點即為所要作的點. （只有一個點滿足條件）如圖，找一個點使得它到l1、l2、l3三條線的距離相等，作∠BAC、∠BCA、∠ABC中任意兩個角的角平分線，它們的交點（一個）即為所要作的點.
還可以作三個外角的角平分線，交點有三個. 所以滿足條件的點總共有4個.
8.在同一個三角形中，等邊對等角. 在同一個三角形中，等角對等邊. （注意條件）
9.等腰三角形三線合一的三線是指：底邊上的中線、底邊上的高線、頂角的平分線. （注意不能籠統的說中線、高線、角平分線三線合一，一定要加上它們的條件）
10.在描述某個軸對稱圖形的對稱軸對稱軸時，注意對稱軸是直線，如：等腰三角形的對稱軸是底邊上的中線所在直線或底邊上的高線所在直線或頂角的平分線所在直線.
11.★★★注意需要分類討論的幾種情況.
①已知等腰三角形一個角的度數，求另外兩個角時，要注意討論已知角是頂角還是底角，底角的度數一定小于90度.
②已知等腰三角形兩條邊的長度，求周長時，要注意討論哪一條邊作為腰，哪一條邊作為底，同時注意所討論的情況能否組成三角形.
③已知直角三角形的兩條邊的長度，求斜邊、斜邊上中線、第三邊、第三邊上的中線時，要注意討論已知的兩邊都是直角邊和其中一條邊是斜邊這兩種情況，同時一定要弄清楚求的是什么（很多同學所求的并不是所問的）.
④已知等腰三角形一腰上的高和底邊夾角的度數，求頂角或底角度數時，畫圖要注意分銳角和鈍角兩種情況討論.
⑤已知兩個定點和一個動點構成等腰三角形時，要討論三條邊兩兩相等3種情況. （注意并不是指3個答案，有時一種情況可能會有兩個答案）
如圖：已知定點O、A，動點P在x軸上，當△POA為等腰三角形時，求點P的坐標.
首先判斷這樣的點P有幾個，我們可以作兩個圓和一條中垂線（以O為圓心，OA長為半徑作圓；以A為圓心，OA長為半徑作圓；作OA的中垂線），看它們與x軸有幾個交點. 如圖可知，共四種情況.
注意：每種情況都畫出相應的圖形，有利于在圖形上分析計算.
⑥已知兩個定點和一個動點構成直角三角形時，要討論三個角分別是直角3種情況. （注意并不是指3個答案，有時一種情況可能會有兩個答案）
例如，當△ABC為直角三角形時，應分∠ABC為直角時，∠ACB為直角時，∠BAC為直角時，這三種情況討論.
注意：每種情況都畫出相應的圖形，有利于在圖形上分析計算.
12.★★★直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
★★在直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半.
★★直角三角形斜邊上的高線＝. （可用等面積法證明）
13.★★★勾股定理：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
★勾股定理的逆定理：如果一個三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形. （注意使用該定理證明一個三角形是直角三角形時的書寫格式）
14.★★記住一些規律性的結論（注意結論成立的條件，絕不能亂套用結論）.
如圖①，BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，則∠BOC＝90°＋∠A
BP和CP分別是∠ABC和∠ACB的外角的平分線，則∠BPC＝90°－∠A
如圖②，BE是∠ABC的平分線，CE是∠ACB的外角的平分線，則∠E＝∠A
如圖③，AB＝AC，AD＝AE，則∠CDE＝∠BAD
如圖④，BA＝BE，CA＝CD，則∠DAE＝(180°－∠BAC)
15.常用輔助線的添法.
①已知角平分線，可嘗試作角平分線上點到角兩邊的垂線段.
②已知垂直平分線，可嘗試連結垂直平分線上的點與線段兩個端點.
③已知中線，可嘗試倍長中線來構造全等三角形.
例如：如圖，AD是△ABC的中線，可延長AD至E使得ED＝AD，連結BE，則△ACD≌△EBD.
④當已知或求證中涉及到線段a、b、c有下列情況時：a＋b＝c，如直接證不出來，可采用截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補短法：延長較短線段和較長線段相等，這兩種方法放在一起叫截長補短法. 通過線段的截長補短，構造全等把分散的條件集中起來.
⑤★★圍繞等腰直角三角形，作如圖的基本圖形，
記住該圖形的一些結論：
如△ABD≌△CAE，BD＋CE＝DE
在證明∠ABD＝∠CAE或∠BAD＝∠ACE時，
注意利用同角的余角相等來證.
16.★★★作圖，請翻閱課本36頁至38頁.特別是例3.
17.★★★把一個命題改寫成“如果……那么……”的形式或寫出它的逆命題.
例如：命題：等腰三角形的兩個底角相等.
逆命題：有兩個角相等的三角形是等腰三角形.
（逆命題中千萬不能寫“兩個底角”）
命題：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
逆命題：一邊上的中線等于這邊一半的三角形是直角三角形.
（逆命題中千萬不能寫“斜邊上”）
命題：內錯角相等，兩直線平行.
改寫成“如果……那么……”的形式：如果兩條直線被第三條直線所截構成的內錯角相等，那么這兩條直線平行. （一般情況下，“如果”后面的主語和“那么”后面的主語一致，“那么”后面往往緊跟著“這”這個字！）
18.求兩條線段和或差的最值.
①如圖，點P為直線l上一動點，作出AP＋BP的值最小時點P的位置.
作點A關于直線l的對稱點A1，再連結A1B，A1B與直線l的交點就是使AP＋BP的值最小時的點P，此時AP＋BP的最小值就是A1B的長度. 要求A1B的長度可構造如圖的直角三角形求解.
②如圖，點P為直線l上一動點，作出|AP－BP|的值最大時點P的位置.
連結BA并延長，與直線l所交的點就是使|AP－BP|的值最大時的點P，此時該最大值就是AB的長度.
③如圖1，已知直角△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2，BC＝1，當AC在滑動時，求點B到點O的最大值.
如圖2，取AC的中點P，連結BP、OP、BO，BP＝＝，OP＝AC＝1，由三角形三邊關系可知，BP＋OP＞BO，即BO＜＋1.
如圖3，當BP和OP與BO重合時，BO＝BP＋OP＝＋1，此時BO的長度最大，故最大值為＋1.
第三章 一元一次不等式
1.★★★不等式的基本性質：
①不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個數，不等號的方向不變．
②不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變．
③不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．（注意什么時候要改變不等號的方向）
2. ★★★會把用文字描述的不等關系用不等式表示.（注意看清題目，正確使用不等號！）
3.在數軸上表示不等式的解時，取到等號的用實心圓，取不到等號的用空心圓.學會在數軸上找不等式組的解.
4.★★★解不等式時的注意點：
如：－＜1
①去分母得：2(x－1)－(3x－5)＜4
②去括號得：2x－2－3x＋5＜4
③移項得：2x－3x＜4＋2－5
④合并同類項得：－x＜1
⑤兩邊同除以－1得：x＞1
5.★解不等式組時記得寫出最終的解，防止解完兩個不等式后就結束了.
6.★★對于含參數（如不等式中含有字母a）的不等式（組），求參數的取值范圍時，注意利用數軸分析，同時學會用特殊值法解題.
第四章 圖形與坐標
1.確定平面內物體位置的兩種方法.
①用有序數對來確定.需要兩個數據.
②用方向和距離（方位）來確定. 需要兩個數據.
2.★★★掌握各象限內及x軸，y軸上點的坐標的特點：
第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）
x軸上的點縱坐標為0，表示為（x，0）；y軸上的點橫坐標為0，表示為（0，y）
3.一個點到x軸的距離是該點縱坐標的絕對值；一個點到y軸的距離是該點橫坐標的絕對值.
4.★★★關于x軸對稱的兩點：橫坐標相同，縱坐標互為相反數．
關于y軸對稱的兩點：縱坐標相同，橫坐標互為相反數．
5.點的平移：向左平移，是向x軸正方向，x坐標會增大，所以x坐標加上平移的距離.
向右平移，是向x軸負方向，x坐標會減少，所以x坐標減去平移的距離.
向上平移，是向y軸正方向，y坐標會增大，所以y坐標加上平移的距離.
向下平移，是向y軸負方向，y坐標會減少，所以y坐標減去平移的距離.
第五章 一次函數
1.一次函數：形如y＝kx＋b (k≠0，k，b為常數)的函數．注意自變量x上的指數為1.
當b＝0時，y＝kx，y叫x的正比例函數．
2.★★★求函數與x軸和y軸的交點坐標.
當x＝0時，y＝b，則函數于y軸的交點坐標為（0，b）；
當y＝0時，x＝－，則函數于x軸的交點坐標為（－，0）.
3.若直線y＝k1x＋b1和直線y＝k2x＋b2平行，則k1＝k2；
若直線y＝k1x＋b1和直線y＝k2x＋b2垂直，則k1 k2＝－1；
要求直線y＝k1x＋b1和直線y＝k2x＋b2交點坐標，只需解方程組或k1x＋b1＝k2x＋b2.
4.★★★一次函數y＝kx＋b的圖象與k，b的關系.
①當k大于0時，從左到右，圖象上升，y隨x的增大而增大.
當k小于0時，從左到右，圖象下降，y隨x的增大而減小.
②b是圖象與y軸的交點所表示的數字，所以b大于0時，圖象與y軸的交點在y軸正半軸上，b小于0時，圖象與y軸的交點在y軸負半軸上.
5.會用待定系數法求一次函數的表達式.
求一次函數的表達式時，只需知道圖象上的兩個點的坐標，把坐標代入一次函數表達式，列出二元一次方程組，求出k，b的值即可.
6. 如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線l：y＝－x＋m與x、y軸的正半軸分別相交于點A、B，過點C（－4，－4）畫平行于y軸的直線交直線AB于點D，CD＝10．
（1）求點D的坐標和直線l的解析式；
（2）求證：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如圖2，將直線l沿y軸負方向平移，當平移適當的距離時，直線l與x、y軸分別相交于點A′、B′，在直線CD上存在點P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．
（共4種情況，每種各畫一個圖）
7.模型建立：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．
求證：△BEC≌△CDA．
模型應用：
（1）已知直線l1：y＝x＋4與y軸交與A點，將直線l1繞著A點順時針旋轉45°至l2，如圖2，求l2的函數解析式．
（2）如圖3，矩形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為（8，6），A、C分別在坐標軸上，P是線段BC上動點，設PC＝m，已知點D在第一象限，且是直線y＝2x－6上的一點，若△APD是不以A為直角頂點的等腰Rt△，請直接寫出點D的坐標．（每種情況各畫一個圖）
第二種：當PO＝PA時，作AC⊥x軸，設PO＝PA＝t，
則PC＝xA－t，AC＝yA，由PA2＝PC2＋AC2列出方程，
解出 t 即可知P點的坐標.
第三種：當OP＝OA時，只需求出
OA的長度即可知P點的坐標.
第四種：當AO＝AP時，作AC⊥x軸，由等腰三角形三線合一可知OP＝2OC＝2xA.
第一種：當OP＝OA時，只需求出
OA的長度即可知P點的坐標.
①
②
③
④
圖1
圖2
圖3
①去分母時不要漏乘，同時記得分子要加上括號.
去分母時要每一項都乘以4，千萬不要忘記1也要乘以4，同時分母去掉后記得3x－5加上括號.
②去括號時，注意符號.
③移項時，注意改變符號.
④合并同類項時，注意符號.
⑤兩邊除以負數時，記得不等號要改變方向.
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