資源簡介

應用geogebra探究平面曲線
——以卡西尼卵形線為例
已知平面內兩定點A,B的坐標分別為?????????,????,????????,????，
點P為該平面上一動點
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問題1 若|????????|+|????????|=???????? ,則點P的軌跡是什么圖形？
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問題2 若|????????|?|????????|=???????? ,則點P的軌跡是什么圖形？
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問題4 若|????????|?|????????|=???? ,則點P的軌跡是什么圖形？
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問題驅動，探索新知
問題3 若|????????||????????|=???? ,則點P的軌跡是什么圖形？
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問題4 已知平面內兩定點A,B的坐標分別為?????????,????,
????????,????，點P為該平面上一動點，若|????????|?|????????|=???? ,
則點P的軌跡是什么圖形？
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活動：請大家寫出軌跡方程，并利用GGB模擬其圖象.
問題驅動，探索新知
17世紀80年代，法國天文學家卡西尼在研究土星及其
衛星的運行規律時提出了這個問題.
深入研究后，卡西尼發現，平面內與兩個定點????????,????????的距離之積為常數的點的軌跡是卵形線，故叫做卡西尼卵形線，
并把這兩個定點叫做卡西尼卵形線的焦點，
兩焦點間的距離叫做卡西尼卵形線的焦距.
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卡西尼卵形線的定義
如今，卡西尼卵形線在天文學、航空航天、電磁學等領域有廣泛且重要的應用.在數學中，卵形線也是解析幾何研究的一類重要曲線.
我們發現，剛剛繪制的卵形線具有對稱性，不妨令經過卵形線兩焦點????????,????????的直線為????軸，線段????????????????的垂直平分線為????軸，建立平面直角坐標系????????????.
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設P是卵形線上任意一點，卵形線的焦距為????????????>????，那么焦點????????,????????的坐標分別為?????,????和????,????，設點P與焦點的距離之積等于????????(????>????).
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請同學們寫出卵形線的方程并化簡整理.
合理建系，建立方程
卡西尼卵形線的方程
坐標軸是卡西尼卵形線的對稱軸
原點是卡西尼卵形線的對稱中心
活動探究
活動1 令 |????????|?|????????|=????????，利用GGB模擬其軌跡圖象.
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已知平面內兩定點的坐標分別為?????????????,????，????????????,????，
點P為該平面上一動點
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活動2 令 |????????|?|????????|=????????，利用GGB模擬其軌跡圖象.
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活動3 令 |????????|?|????????|=????????，利用GGB模擬其軌跡圖象.
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請同學們將探究結果，填入表格.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}????
2
2
2
????
5
2
3
形態
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
2
2
2
2
形態
活動探究
我們發現，卡西尼卵形線有多種形態，
那卡西尼卵形線究竟有多少種形態呢？
而卡西尼卵形線的形態與哪些變量有關？
思考辨形
卡西尼卵形線的離心率????????
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}????=????????
0????=1
????>1
形態
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
形態
我們發現：當0?
初步辨形
如何進一步對0選擇什么量研究比較好？
考慮縱坐標的最值
來研究分類標準
思考辨形
當0c，由圖易知
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}????
????????=????????
????????形態
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
形態
深入辨形
(2023屆廣州一模第12題)平面內到兩個定點距離之積為常數的點的
軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼研究土星及其衛星的
運行規律時發現的.已知平面直角坐標系????????????中，?????????,????,????????,????，
動點P滿足|????????|?|????????|=5，則下列結論正確的是( )
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課堂檢測，深化理解
曲線的
幾何特征
曲線的
方程
曲線的
幾何性質
曲線的
應用拓展
總結歸納，提煉升華
通過本節課的探究，請同學們總結解析幾何中平面曲線的研究思路.
課后思考，應用遷移
類比圓的半徑，我們把卡西尼卵形線上任意一點與中心（原點）的距離稱為卡西尼卵形線的卵半徑.將卡西尼卵形線上任意一點與焦點的距離稱為卡西尼卵形線的卵焦半徑.以卡西尼卵形線上任意一點????????,????與兩個焦點?????????????,????,????????????,????為頂點的三角形叫做焦點三角形.若點????滿足?????????????????，稱這樣的點為卡西尼卵形線的穩定點.
請同學們繼續探究卡西尼卵形線的有界性、范圍、卵半徑、卵焦半徑、穩定點及焦點三角形面積最大值等問題.
(結合函數、方程、不等式、幾何作圖軟件）

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