資源簡介

高考數學必背公式整理
(衡水中學高三數學學科組)
一、集合
1.元素a 屬于(不屬于)集合A 記為a ∈A(a A).
2.AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC).
3.A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C).
4.若Vx∈A 有 x ∈B, 則有ACB(或 B≥A).
5.若A∈B,3x∈B, 且xA, 則有AGB,
6.ASB.BCA=A=R
7.空集是任何集合的子集，即OA(A 為任意集合);空集是任意非空 集合的真子集.
8.含有n個元素的集合有2"個子集，有2”-1個真子集，有2"-2個 非空真子集.
9.A∩B={x|x ∈A, 且x ∈B}.
10.AUB={x|x ∈A, 或 x ∈B}.
11.AUA=A,AUO=A;A∩A=A,A∩O=0.
12.AUB=A B∈A,A∩B=A AB.
13.CA={x|x ∈U, 且 x A}.
14.C(A∩B)=(CA)U(C B);
C(AUB)=(CA)∩(C B).
二、數列
1.數列的通項公式與前n 項和的關系
(n≥=21)),.
2.等差數列
(1)定義：a+i-a =d(n∈N”,d 為常數).
(2)通項公式：a =a +(n-1)d.
(3)等差中項：a,A,b 成等差數列 2A=或A= (4)性質：m+n=k+l→am+an=ax+a (m,n,k,l∈N*).
3.等比數列
(1)定義：非零常數).
(2)通項公式：a=a q-l.
(3)等比中項：a,G,b成等比數列 G =ab.
(4)性質：m+n=k+l→aa=a a (m,n,k,l∈N*).
(
5)前
n
項
)( q (q)1 .
4.常用求和公式
三、基 本 初 等 函 數
1.指數
(1)根式
dāy=aoeN·且D>D;/F-1a 于 (于)01的 (的)偶 (奇)),
(2)分數指數冪
正分數指數冪：a = √a”(a>0,m,n∈N^, 且n>1);
負分數指數1,m∈N*,且n>1).
(3)有理數指數冪的運算性質
a'a =a+(a>0,r,s∈Q);
(a') =a*(a>0,r,s∈Q);
(ab)'=a'b'(a>0,b>0,r∈Q).
有理數指數冪的運算性質同樣適用于無理數指數冪a(a>0,
α是無理數).
2.對數
(1)基本性質
①負數和零沒有對數；
②loga=1,log,1=0(a>0,a≠1).
(2)常用對數logwN 記為lgN; 自然對數log.N 記為InN. (3)運算性質
設M>0,N>0,a>0,a≠1, 則有
①log。(M·N)=log。M+log,N;
③log。M"=nlog,M(n∈R).
(4)公式
對數恒等式：a^=N(N>0,a>0, 且a≠1).
換底公5且a≠lk>0,且c≠1,b>0)。
特別地：a≠1,b≠1).
四 、三 角 函 數
1.角度和弧度的換算
2.弧度制下扇形的弧長和面積公式
(1)弧長公式：l=la|r;
(2)扇形面積公：
其中，l 為弧長，r 為圓的半徑，a 為圓心角的弧度數.
3.同角三角函數的基本關系
平方關系：sin a+cos a=1.
4.三角函數的誘導公式 sin(k·360°+a)=sina cos(k·360°+a)=cosa tan(k·360°+a)=tana sin(90°±a)=cosa cos(90°±a)= 干sina tan(90°±a)= 干cota sin(一a)=—sina cos(一a)=cosa tan ( 一a)=—tana sin(180°±a)= 干sina cos(180°±a)=-cosa tan(180°±a)=±tana
五、三 角 恒 等 變 換
1.兩角和與差的三角函數、倍角公式
(1)兩角和與差的三角函數
sin(n+B)=singcosβ±cosasinβ
cos(a±β)=cosacosβ 干sinasing
(2)倍角公式
sin2a=2sinacosa
cos2a=cos a-sin a=2cos a-1=1-2sin a
2.積化和差與和差化積公式
(1)積化和差公式
2sinacosβ=sin(a+β)+sin(a—β)
2cosasing=sin(a+β)-sin(a-β)
2cosacosβ=cos(a+β)+cos(a-β)
2sinasinβ=cos(a-β)-cos(a+β)
(2)和差化積公式
3.半角公式
cos ≌=±√
4.輔助角公式
(
其中φ滿足
)asina+bcosa=√a +b^sin(a+g)(ab≠0),
六、解三角形
1.正弦定理
=2R(R 為△ABC外接圓的半徑)
2.余弦定理
a =b +c -2bccosA;
b =c +a -2cacosB;
c =a +b -2abcosC.
推論：cc
3.三角形面積公式
三角a,b,c 所對的邊).
3 (r 為三角形內切圓半徑).
七、不等式
1.不等式的性質
(1)a>b=bb,b>c→a>c;
(3)a>b→a+c>b+c; (4)a+b>c→a>c-b;
(5)a>b,c>d→a+c>b+d; (6)a>b,c>0→ac>bc;
(7)a>b>0,c>d>0→ac>bd;(8)a>b>0→a >b” (n∈N,n≥2);
(9)a>b>0→Va>Vb(n∈N,n≥2).
2.不等式及其解法
(1)一元二次不等式及其解法
△=b -4ac △>0 △=0 △<0
ax +bx+c>0 (a>0)的解集 {x|xxz} (x ax +bx+c<0 (a>0)的解集 {x|xi(2)一元高次不等式的解法
一元高次不等式(x-x ) (x-x )…(x-x )>0(<0) ( 其中x
(3)分式不等式的解法
(4)絕對值不等式的解法
lf(x)||f(x)|>g(x)=f(x)>g(x) 或f(x)<-g(x).
③|f(x)|>|g(x)|=[f(x)] >[g(x)].
④形如|x-a|+|x-b|(1)a +b ≥2ab. 其 中a,b∈R, 當且僅當a=b 時等號成立. (2)基本不等式：
其中a;b>0, 當且僅當a=b 時等號成立.
其中，a,b>0, 當且僅當a=b 時等號成立.
(4)4ab≤(a+b) ≤2(a +b ).
其中，a,b∈R, 當且僅當a=b 時等號成立.
(5)a +b b+bc+ca.
“ 其中，a,b,c∈R, 當且僅當a=b=c 時等號成立.
(6) =2,當且僅當|a|=|b| 時等號成立.
4.利用基本不等式求最值
已知x,y>0, 則
(1)若x+y=s (和為定值),則當x=y 時，積xy 取得最大值
(2)若xy=p (積為定值),則當x=y 時，和x+y 取得最小值2 √p
(x+y≥2 √xy=2√p).
八、立體幾何
1.空間幾何體的側面積公式
(1)S 正棱柱制=Ch
(3)S =2π (4)S圓錐側=πrl
(5)Sm臺m=π(r+r')l
2.空間幾何體的表面積公式
(1)S 圓柱=2πr(r+l) (2)S 圓錐=πr(r+l)
(3)S圓臺=π(r' +r +r'l+rl) (4)S=4πR
3.空間幾何體的體積公式
(1)V柱體= Sh
(3) √SS+S')h (4)Vm 生=πt h
4.平面的基本性質
公理1 :A∈l,B∈l, 且 A∈a,B∈a→lCa.
公理2;A,B,C∈a,A,B,C∈β,且A,B,C 三點不共線→ α與β重合. 公理3:P∈a, 且P∈β→a∩β=l, 且 P∈l.
5.空間兩直線平行的判定
6.空間兩直線垂直的判定
(3)三垂線定理及其逆定理
7.空間兩直線異面的判定方法
(1)反證法；
(2)平面外一點與平面內一點的連線，與平面內不過該點的直線是 異面直線.
8.直線與平面平行的判定
9.直線與平面平行的性質
10.平面與平面平行的判定
11.平面與平面平行的性質
12.直線與平面垂直的判定
13.直線與平面垂直的性質
(
14.平面與平面垂直的判定
(2)二面角的平面角θ=90°
15.平面與平面垂直的性質
九、直線、圓與方程
1.直線與方程
(1)直線方程
①點斜式：y-yo=k(x-x );
②斜截式：y=kx+b;
⑤一般式：Ax+By+C=0( A,B 不同時為0).
(2)直線的斜率公式
經過兩點P (x ,y ),P (x ,yz)(x ≠x )的直線的斜率公式：k
(3)兩條直線的位置關系
①l(y=k x+b ) 與l (y=k x+b ) 平行：k =k 且 b ≠b ; ②l (y=k x+b ) 與l (y=k x+b ) 垂直：k k =-1;
③L(A x+B y+C =0) 與l(Ax+B y+C=0) 平行：
④l(A x+B y+C=0) 與l (A x+B y+C =0) 垂直：A A +
B B =0.
(4)距離公式
①兩點P (x ,y ),P ( x ,y )間的距離：
|P P |=√(xz-x ) +(y -y ) . 特別地，原點O(0,0) 與
任意一點 P(x,y)的距離|OP |= √x +y .
②點P(zo,yo)到直線Ax+By+C=0 的距離：
③兩平行直線l:Ax+By+C =0 和l :Ax+By+C =0 間的距離：
2.圓與方程
(1)圓與方程
①圓的標準方程：(x-a) +(y-b) =r , 圓心為(a,b),半徑
為r.
②圓的一般方程：x +y +Dx+Ey+F=0, 其中D +E -4F >0,圓心 ),半徑
(2)直線與圓的位置關系
設直線l:Ax+By+C=0, 圓C:(x-a) +(y-b) =r , 圓心到
直線的距
d>r 直線與圓相離；
d=r 直線與圓相切；
d(3)過圓上一點的切線方程
①與圓 x +y =r 相切于點(zo,yo)的切線方程：z x+ yoy
=r .
②與圓(x-a) +(y-b) =r 相切于點(x ,yo)的切線方程：
(z -a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r .
(4)圓與圓的位置關系
設兩圓C:(x-a ) +(y-b ) =r+,C :(x-a ) +(y-b ) =
r2,圓心距d=√(a -a ) +(b -b ) , 則
|d|>r+ r 兩圓相離；
|d|=r+r 兩圓外切；
n-rz|<|d||d|=|rn-rz| 兩圓內切；
|d|<|r -rz| 兩圓內含.
(5)直線被圓所截弦的問題
設直線與圓相交于兩點A(x ,y ),B(x ,yz), 則弦AB 的長：
① |AB| = √ 1+k |x -x | =
√(1+k )[(x +x ) -4x x ](k 為直線 AB 的斜
率).
②|AB| =2 √F-d (d 為弦心距，r為圓的半徑).
3.空間直角坐標系
(1)空間兩點間的距離公式
①空間中的任意一點 P(x,y,z)與原點的距離：
|OP|=√x +y +z.
②空間中任意兩點P (xj,y ,z ),P (x ,Yz,za )間的距離：
|P P |=√(x -x ) +(y -yz) +(x -xz) .
(2)空間線段的中點坐標
(
則線
段
)在空間直角坐標系中，若A(x ,y ,z ),B(xz,y ,zz),
AB 的中點坐標是：
十、圓錐曲線與方程
1.橢圓的標準方程及幾何性質
焦點：(±c,0)或(0,±c)
2.雙曲線的標準方程及幾何性質
標準方程：
焦點：(±c,0)或(0,±c)
漸近線：.
3.拋物線的標準方程及幾何性質
標準方程：y =2px(p>0)
焦半徑： |
準線方程：
4.直線截圓錐曲線的弦長
設弦AB的端點坐標為A(x ,y ),B(x ,y ), 直線AB的斜率為 k,則 |AB|=√(1+k)[(x +xz) -4zyx ].
十一、平 面 向 量
1.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小、方向.
(2)向量的表示
字母表示：AB,a
坐標表示：a=(x ,y ).
(3)向量的模：向量的模即向量的大小，記作|a|.
若 a=(x ,y ), 則 |a|=√x{+yǐ.
(4)特殊的向量：
①零向量：a=0 |a|=0.
②單位向量：a 為單位向量 |a|=1.
③相等向量：長度相等且方向相同的向量.
設a=(xi,y ),b=(x ,y ), 則a=b=x =x ,y =yz.
2.向量的運算
(1)向量的加減法
幾何運算：三角形法則或平行四邊形法則.
坐標運算：設a=(x ,y ),b=(xz,yz),則
a±b=(x ±xz,y ±y ).
(2)實數與向量的積
定義：Aa是一個向量，滿足λ>0時， λa 與a 同向；λ<0時， λa與a 反向；λ=0時，λa=0.|λa|=|a||a|.
坐標運算：Aa=λ(x ,yi)=(λx ,dy ).
(3)向量的數量積
定義：a·b=|a||b|cos0, 其中0是a 與b 的夾角，O≤Q≤π. 坐標運算：a·b=x x +y y .
3.重要公式
(1)平面向量基本定理：α=λ e +λge ,e ,e 不共線.
(2)距離公式：設A(x ,y ),B(xz,y ), 則AB=(x -x ,y -y),
|AB|=√(xz-x ) +(y -y ) .
(3)非零向量平行的充要條件：a//b a=λb z1yz-x yi=0. (4)非零向量垂直的充要條件：a⊥b a·b=0 x x +y y =0.
(5)夾角
十二、導數及其應用
1.幾種常見函數的導數
(1)c′=0(c為常數) (2)(x")'=nx- (n∈Q, 且n≠0)
(3)(sinx)'=cosx (4)(cosx)'=-sinx
(5)(e )'=e (6)(a )'=alna(a>0, 且a≠1)
2.導數運算法則
(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
3.復合函數的導數
若函數u=g(x) 在 x 處可導，y=f(u) 在u 處可導，則復合函數y= f[g(x)] 在x 處可導，且y' =y'·u
4.定積分的基本性質
十三、統計與概率
1.統計
(1)方差與標準差
(2)離散型隨機變量的均值(或數字期望)與方差
①離散型隨機變量的均值：
E(X)=x p +x p +…+x;P;+…+xp.
性質：E(aX+b)=aE(X)+b(a,b 是常數);
若X 服從兩點分布，則 E(X)=p;
若 X 服從二項分布，即 X~B(n,p), 則 E(X)=np.
②離散型隨機變量的方差：
i ·
性質：D(aX+b)=a D(X)(a,b 是常數);
若X 服從兩點分布，則D(X)=p(1-p);
若X 服從二項分布，則 X～B(n,p), 則D(X)=np(1-
p).
2.概率
(1)概率的加法公式
如果事件A與事件B 互斥，則 P(AUB)=P(A)+P(B). 若事件A 與事件B 為對立事件，則P(A)=1-P(B).
(2)古典概型的概率公式
(3)幾何概型的概率公式
構成事件A 的區域長度(面積或體積)
P(A)= 試驗的全部結果所構成的區域長度(面積或體積) · (4)條件概率
設 A,B 為兩個事件，則 A發生的條件下B 發生的概率：
如果 B 和C 是兩個互斥事件，則
P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A).
(5)P(A A A …A )=P(A )P(A )…P(A 。). 其中事件A ,A ,…,
A。相互獨立.
特別地，如果事件A 與事件B 相互獨立，則有
P(AB)=P(A)P(B).
(6)①兩點分布(0-1分布);P(X=0)=1-p;P(X=1)=p.
其中m=min{M,n}, 且n≤N,M≤N,m,M,N∈N*.
③二項分布：P(X=k)=Cp*(1-p)*-*,k=0,1,2,…,n.
十四、常用邏輯用語
p q pAq pVq 7p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真

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