資源簡介

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人教A版高中數學新課標教材必修（第一冊）
三角函數教學研究與分析
contents
目 錄
CONTENT
01
本章的學習目標
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03
學生遇到的困難及解決辦法
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05
本章的課程目標、地位及作用
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02
本章內容的前后聯系
學生遇到的困難及解決辦法
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04
本章教學建議
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06
如何貫徹大單元教學
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三角函數是一類最典型的周期函數。本單元的學習，可以幫助學生在用銳角三角函數刻畫直角三角形中邊角關系的基礎上，借助單位圓建立一般三角函數的概念，體會引入弧度制的必要性；用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數的周期性、奇偶性（對稱性）、單調性和最大（小）值等性質；探索和研究三角函數之間的一些恒等關系；利用三角函數構建數學模型，解決實際問題。
內容包括：角與弧度、三角函數概念和性質、同角三角函數的基本關系式、三角恒等變換、三角函數應用。
課程標準
三角函數是學生在高中階段系統學習的最后一個基本初等函數，在高考中歷來是重點熱點之一；在高中數學課程中把“函數概念與性質、冪函數、指數函數、對數函數 、三角函數、函數應用”視為一個整體；幫助學生從整體上把握三角函數的概念、性質和應用，理解“三角函數”與“函數概念與性質”及“冪函數、指數函數 對數函數”等內容的聯系，掌握利用三角函數構建數學模型的方法和技能，通過三角函數的概念、性質和應用等內容的學習，提升數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算和數學建模等核心素養。
三角函數的內容非常豐富，經過多輪課程改革，不斷削支強干，其研究的內容、過程和方法都越來越簡潔、清晰，但構建教材結構體系的指導思想仍然是一脈相承的：根據數學知識發生發展過程的內在邏輯，體現研究一個數學對象的“基本套路”，使教材具有內容的連貫性、邏輯的嚴謹性；同時，要發揮核心概念及其蘊含的數學思想和方法的紐帶作用，使教材具有思想的一致性．具體按照如下線索展開：背景、任意角和弧度制——概念——基本性質(直接由定義推出的性質，要素的關系)——圖象與性質——三角恒等變換(圓的幾何性質的解析表示)——函數y—Asin()——應用(注重多樣性，撤去單位圓這個“腳手架”)．
結構體系
地位作用
本章的地位與作用
本章的學習目標
同角三角函數
的基本關系
角與弧度
了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性。
三角函數的
概念與性質
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（４）三角恒等變換
經歷推導兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義。
能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，
二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系。
能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括推導出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶）。
（５）三角函數應用
會用三角函數解決簡單的實際問題，體會可以利用三角
函數構建刻畫事物周期變化的數學模型。
本章的學習目標
本章內容的與前后知識的橫縱聯系
數學外部的基礎
學生每天都能接觸到周期性現象，這是日常生活中積累的對“周而復始”現象的認識經驗．物理中已經學習過圓周運動、簡諧振動、交變電流等，地理中學習的季節輪替、潮汐變化等，生物中學習的各種動植物的生長規律等．總之，相關學科中積累的關于周期性變化規律的知識都可以成為三角函數的認知基礎．
本章內容的與前后知識的橫縱聯系
在平面幾何中學習的圓的性質、相似形的有關知識，初中對圓的研究，從中心對稱圖形、軸對稱圖形、旋轉對稱圖形等多角度展開，將這些研究中得出的定性結果用三角函數概念表達出來，就可以直接得到三角函數的性質．同時，平面幾何中的相關知識及其蘊含的思想方法也能給證明三角函數的性質提供思路，例如兩角差余弦公式的證明．
平面幾何方面
在函數一般概念，冪函數、指數函數、對數函數的學習中積累的數學思想、數學活動經驗都是本單元的認知基礎：從函數的一般概念、表示與性質等學習中，了解了研究函數的一般路徑、方法；通過冪、指、對函數的學習，基本掌握了研究一類函數的結構、內容、過程與方法．特別重要的是，在這些學習中養成的一般性思考問題的習慣，例如如何構建一類函數的研究路徑，抽象一類函數概念的內容、途徑與方法，如何從函數定義出發研究函數性質，如何利用函數概念和性質建立數學模型解決實際問題等等．
函數主題方面
數學內部的基礎
探究能力缺乏,學習理念較為模糊. 受初中三角函數學習思維的影響,一些學生誤認為高中三角函數和初中三角函數學習方式一樣,僅需要掌握公式即可. 殊不知, 高中三角函數更加注重實踐和探究能力的培養,那種不知變通、機械做題的方式已不能適應高中三角函數學習的要求.
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忽視了基本概念的學習. 在高中三角函數學習中,理應具備嚴密的邏輯思維,但是極大部分學生忽視了基本概念的學習,致使對三角函數的幾何意義和方程式理解僅停留在表面上,對于正弦和余弦曲線的畫法相互混淆.
對三角函數公式的變形理解不到位. 三角函數公式是三角函數學習中最為關鍵的部分,但是三角函數公式變式較多,理應對三角函數變形的規則和技巧熟練掌握,但是在具體學習中,學生往往在三角函數公式的變式中存在著較大障礙,不能達到觸類旁通的效果
三角函數數形結合的能力欠缺. 初中學習函數時只要通過限制點的方式就能畫出圖形,但在高中三角函數圖形繪畫中,除了兼顧單調性、凹凸性和周期性等基本性質之外,在計算函數值時往往較為煩瑣,數形結合的能力較為欠缺.
綜合遷移能力缺乏. 雖然經過初中、高中階段的學習,大部分學生已經具備了將單一知識點聯系成為有機整體的能力, 但三角函數公式繁多且較為相似,由于學生綜合遷移能力較為缺乏,致使學生在解決具體問題時困難較大
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學生現狀剖析
已學的多項式函數、冪函數、指數函數和對數函數等，它們的對應關系都是代數運算規律的反映，但三角函數不以“代數運算”為媒介，是幾何量(角與有向線段)之間的直接對應，不是通過對口進行代數運算得到函數值，這是一個復雜、不良結構情境，學生不習慣于這樣的對應關系，是主要的學習難點．因此，在“對應關系”的認識上必須采取措施破除定勢，幫助學生搞清三角函數的“三要素”，特別是要在落實“給定一個角，如何得到對應的函數值”的操作過程的基礎上再給定義． ．三角函數的性質，核心是周期性，由此引發豐富多彩的內容：豐富的對稱性；以單位圓為媒介而建立起各三角函數之間的豐富關聯，例如由定義直接推出同角三角函數之間的關系；結合單位圓上點的運動及其坐標的變化規律(非常直觀)，推出各種各樣的三角公式、恒等變換公式等，這是其他函數所沒有的．研究三角函數性質的方法也有特殊性，即利用三角函數的定義，將圓的幾何性質轉化為三角函數值之間的關系，這就是通過幾何直觀研究函數性質，如單位圓關于原點成中心對稱、關于坐標軸成軸對稱、關于y=±z成軸對稱，轉化為三角函數之間的關系，就是誘導公式．因此，研究三角函數性質時所使用的數形結合，與通過觀察函數圖象而得出性質所體現的數形結合，有較大的不同．
總之，“正弦函數、余弦函數的基本性質是圓的幾何性質的直接反映”，這種研究方法是學生不熟悉的，有的學生甚至會認為這樣得到的不是函數性質．三角函數概念與性質的學習中，與單位圓建立了非常緊密的聯系，有利于學生理解三角函數的本質，但同時也帶來不利影響．現實中的周期性現象并一定以角為自變量，因此在用三角函數解決實際問題時，需要有更復雜的分析與轉化工作．
學生遇到的困難預判及解決辦法
教學建議
把握內容的主要變化
但是在實際生活中，由于三角函數模型常常具有一般性，需要采用從特殊到一般的研究策略，對誘導公式中涉及特殊角與任意角α的和（或差）的三角函數進行一般化處理，變為任意角α與β的和（或差）的三角函數計算問題，由和角公式自然就會生成二倍角公式. 一方面，通過擴充把運算算理一般化，打通公式之間的邏輯關系；另一方面，為一般類型的三角函數圖象和性質的研究提供算法保障. 然后，再進一步提出函數y = A sin(ωx + φ) 的圖象和性質的研究. 基于換元法，函數 y = A sin(ωx + φ) 的性質已經可以解決，自然引出：函數 y = A sin(ωx + φ) 的圖象能否通過變換由三角函數 y = sin x （或 y = cos x） 得出？最后，再舉例說明三角函數在科學與生活中的基本應用. 在知識學習中遵循循序漸進的原則，滲透了由特殊到一般的思想，體現了知識生成、發展與應用的完整過程.
第5.1節
預備知識
第5.2節
三角函數的概念
定義
三角函數之間的基本關系
（第5.3節的誘導公式）
定義和運算
三角函數的
圖象與性質
如何貫徹大單元教學
以一條邏輯線索統領三角函數教學
如何貫徹大單元教學
以一個單位圓引出三角函數的學習內容
P193 例5
P201 例2
如何貫徹大單元教學
以一種整體換元方法貫穿典型例題教學
P205 例3（2）
P206 例5
P221例5
P222例6
P225 例8（2）
P237 例1
三角函數可以用來刻畫現實世界中的許多變化與現象，如潮汐變化、物體做勻速圓周運動的位置變化、物體做簡諧運動的位移變化、交變電流變化乃至月亮圓缺現象等. 新教材形象地呈現兩個齒輪的旋轉示意圖，提出旋轉方向不同，需要擴充角，也建構了擴充的基本線索：角度 + 旋轉的方向.
在利用單位圓探究三角函數的基本運算和性質后，新教材回應了前面的章引言，用古代筒車作為數學模型來研究勻速圓周運動，通過提出問題、優化變量、分析模型，建立模型中盛水筒 M 距離水面的高度 H與時間 t 的函數關系式 H = r sin(ωt + φ) + h . 利用函數y = sin x 的性質研究方法，可以研究該模型的基本性質，提出“如何用變換的方法研究函數 y = A sin(ωx + φ) 的圖象”的問題. 通過展示現實生活中摩天輪的模型，引導學生明白如果做相似研究 （游客距離地面的高度 H關于轉動時間 t 的關系），可以利用本章學習的知識進行探究.
如何貫徹大單元教學
以一類函數建模驅動素養教學

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