資源簡介

(共22張PPT)
人教A版數(shù)學(xué)教材中“不等式”
內(nèi)容的研究
內(nèi)容結(jié)構(gòu)
地位作用
01
課標(biāo)要求
目標(biāo)分析
02
比較研究
教學(xué)建議
04
CONTENTS
05
學(xué)生反饋難點(diǎn)突破
03
停頓
06
目錄
內(nèi)容結(jié)構(gòu)、地位作用
停頓
不等
關(guān)系
相等
關(guān)系
不等式
方程
不等式
的性質(zhì)
一元一次不等式
一元二次不等式
基本
不等式
等式
的性質(zhì)
一元一次方程
一元二次方程
函數(shù)
一元一次函數(shù)
一元二次函數(shù)
2019人教A版第一冊的第二章“二次函數(shù)、方程和不等式”包含了兩個內(nèi)容：
“相等關(guān)系與不等關(guān)系”和“從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程、一元二次不等式”.兩者都是學(xué)習(xí)高中課程的預(yù)備知識.具體結(jié)構(gòu)如下：
課標(biāo)要求、目標(biāo)分析
停頓
不等關(guān)系
與不等式
不等式性質(zhì)
比較大小
等式性質(zhì)
應(yīng)用
基本不等式
一元二次不等式
證明與
應(yīng)用
求解與
應(yīng)用
基本不等式的單元目標(biāo)和目標(biāo)解析
1、目標(biāo)
（1）理解基本不等式 ,發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).
（2）結(jié)合具體實(shí)例，用基本不等式解決簡單的求最大值，最小值的問題，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)
建模素養(yǎng).
2、目標(biāo)解析
達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志是：
（1）知道基本不等式的內(nèi)容，明確不等式就是“兩個正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；
會利用不等式的性質(zhì)證明基本不等式，能說明基本不等式的幾何意義.
（2）結(jié)合具體實(shí)例，明確基本不等式的使用條件和注意事項(xiàng)，即“一正，二定，三相等”；能用基本不等式模型識別和理解實(shí)際問題，能用基本不等式求最大值或最小值；在解決具體問題的過程中，體會基本不等式的作用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算’數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).
一元二次不等式的單元目標(biāo)和目標(biāo)解析
1、目標(biāo)
（1）歷經(jīng)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.
（2）借助二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的整體性.
（3）能夠借助二次函數(shù)，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解決一些實(shí)際應(yīng)用問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
2、目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志：
（1）通過從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程，體會一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義，能說出一元二次不等式的定義.
（2）能類比“一次函數(shù)與一次方程、一次不等式”的研究經(jīng)驗(yàn)，得到二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系，體會運(yùn)動變化、特殊與一般，以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，體會數(shù)學(xué)的整體性.
（3）能通過具體實(shí)例的歸納與概括得到用函數(shù)方法求一元二次不等式解集的基本過程；能利用一元二次不等式解決一些實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算.
學(xué)生反饋、難點(diǎn)突破
基本不等式是一個十分抽象的知識點(diǎn)，是整章內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn).教學(xué)中，學(xué)生對于基本不等式的學(xué)習(xí)障礙主要源自 幾何意義.基于此，基本不等式導(dǎo)學(xué)案的設(shè)計(jì)尤為重要.下面以基本不等式 為例，談?wù)劺脤?dǎo)學(xué)案引領(lǐng)學(xué)生閱讀的思考和做法.
停頓
閱讀活動一：不等式 的探究
第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客，我們把“風(fēng)車”的造型抽象成圖2，它由哪些圖形組成的？
你能通過弦圖找到相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？
問題1-1 在圖2中，設(shè)直角三角形的兩個直角邊分別為a,b,則大正方形ABCD的面積S1 = ；四個直角三角形的面積和S2= ；小正方形EFGH的面積S3 = .
圖2
問題1-2 比較S1 ，S2 大小，寫出由此得到的不等式.
問題1-3 S3 可能是0嗎？什么情況為0？
問題1-4 上述例子說明：當(dāng)a>0,b>0時，有a2+b2≥2ab,那么當(dāng)a，b時結(jié)論是否成立？
如何理解當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立？
問題1-5 你能給出a2+b2≥2ab的證明嗎？
問題2-1 在a2+b2≥2ab a>0,b>0，用 分別替換 a,b
可得到什么結(jié)論？新不等式成立的條件是什么？
閱讀活動二：基本不等式 的獲取
閱讀活動三：基本不等式 的證明
問題3-1 能否利用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)出不等式
問題3-2 你能想到幾種證明方法？
問題4-1 如圖，AB是圓O的直徑，AC=a，CB=b ，過點(diǎn)C作CD AB交圓
O與點(diǎn)D，連AD，BD，比較OD，CD的大小，據(jù)此你得到一個怎樣的不等式？
問題4-2 如果點(diǎn)D是動點(diǎn)，有哪些特殊情況？
問題4-3 你還能用其他圖形解釋基本不等式嗎？
A
B
C
D
a
b
O
閱讀活動四：基本不等式幾何解釋
E
F
D
C
B
A
G

比較研究、教學(xué)建議
停頓
比較是為了取他人之長改自身不足，選取2019A,B版新教材進(jìn)行比較，是期望每個版本的教材取其他版本的精華之處，由此來讓一線老師對教科書有更深一步的了解，能讓自己的課堂教學(xué)跟上新一輪課程改革的腳步，并讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)盡量更多的融入到教學(xué)中.
下面將從兩個版本的教材“不等式”部分的內(nèi)容結(jié)構(gòu)、概念引入、習(xí)題部分展開分析，為各位老師的教學(xué)實(shí)踐提供一些參考性建議.
4.1 內(nèi)容結(jié)構(gòu)
停頓
停頓
不等關(guān)系
與不等式
兩個實(shí)數(shù)大小
基本事實(shí)
不等式性質(zhì)
等式性質(zhì)
基本不等式
算數(shù)平均數(shù)
幾何平均數(shù)
一元二次
不等式
一元二次不等式的求解方法
人教A版教材中不等式內(nèi)容的課程結(jié)構(gòu)圖
不等關(guān)系
與不等式
兩個實(shí)數(shù)大小
基本事實(shí)
歸納初中的三
個不等式性質(zhì)
不等式性質(zhì)
作差法
綜合法
不等式性質(zhì)
的推論
反證法
分析法
不等式的解集
不等式組的解集
絕對值
不等式
距離公式
中點(diǎn)坐標(biāo)公式
一元二次
不等式
一元二次不等式求解方法
算數(shù)平均值
幾何平均值
基本
不等式
人教B版教材中不等式內(nèi)容的課程結(jié)構(gòu)圖
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兩個版本教材一元二次不等式的概念具體表達(dá)如下：
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人教A版教材中一元二次不等式的概念
一般地，我們把只含一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是
其中a,b,c均為常數(shù)，a≠0
人教B版教材中一元二次不等式的概念
一般地，形如 的不等式稱為一元二次不等式，其中a,b,c均為常數(shù)，a≠0，
一元二次不等式中的不等號也可以是“<”“”“”等.
從數(shù)學(xué)語言上看，人教B版教材的描述更準(zhǔn)確，利用率更高 .
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4.3 習(xí)題部分
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人教A版 人教B版
例題（大） 11 14
例題（小） 13 21
4.3.1 例題部分
從上表可以明顯看出，無論是按照大題還是小題，人教B版教材始終處于領(lǐng)先優(yōu)勢，而且從小題看最為明顯.
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4.3.2 習(xí)題部分
從上表可以看出，人教B版的習(xí)題以113的總數(shù)量遠(yuǎn)高于人教A版教材86的總題量.通過閱讀材料可知，人教B版教材中的練習(xí)題在不等式及其性質(zhì)和一元二次不等式的解法這兩節(jié)分布較多，說明人教B版教材注重對基本概念性質(zhì)和基本解法的練習(xí).
練習(xí)題 習(xí)題 復(fù)習(xí)題 總量
人教A版 35 35 16 86
人教B版 59 30 24 113
思考與建議
1、把一元二次不等式的求解放在基本不等式之前，將區(qū)間的表示方法提前到集合的表示方法內(nèi)容之中.
人教A版可以將區(qū)間的概念放在集合的表示方法處，在求一元二次不等式的解集時最后結(jié)果都需要用集合表示，提前引入?yún)^(qū)間的表示讓表達(dá)更簡潔.例如 用區(qū)間 表達(dá)更簡潔.
2、對一元二次不等式的概念進(jìn)行優(yōu)化，讓學(xué)生通過單個概念學(xué)習(xí)到多個數(shù)學(xué)知識.
要將教材充分利用，通過對概念進(jìn)行優(yōu)化使其達(dá)到更多的效果，將一元二次不等式優(yōu)化到“一般地， 我們把只含一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.
其形式為 其中a,b,c均為常數(shù)，a≠0，
一元二次不等式中的不等號也可以“”“”“”等.
使所有一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做一元二次不等式的解集.
停頓
3、優(yōu)化例習(xí)題安排，增加部分習(xí)題背景.
4、適當(dāng)增加對實(shí)際應(yīng)用問題和拓展應(yīng)用問題，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和創(chuàng)新思維能力.
5、準(zhǔn)確理解《課標(biāo)》，掌握好教學(xué)要求.
6、教師教學(xué)可以參考多個版本教材，設(shè)計(jì)最適合學(xué)生的教學(xué)方案，最后努力實(shí)現(xiàn)《學(xué)記尚書》中所記載的”既知教之所興，又知教之所由廢“.
停頓

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