資源簡介

2023-2024小升初數學知識點匯編
第一章 數與代數
一．數的意義和性質
1.數的分類
正整數 正整數 正數
自然數
整數 零
正分數（正小數）

1 負整數數 負整數 2 數 負數
負分數（負小數）
正分數（正小數）
分數（小數）

負分數（負小數） 零
純小數
按整數部分是否為0
帶小數
有限小數
3 小數的分類
無限不循環小數
按小數部分的位數是否有限
無限小數 純循環小數
循環小數 混循環小數
2.數的意義
意義
像…-3、-2、-1、0、1、2、3…這樣的數統稱為整數；整數有無限個；
整數
沒有最小的整數，也沒有最大的整數。
像 1、2、3、…這樣的數叫做正整數；像…-3、-2、-1 這樣的數叫做負
正整數和負整數 整數；最小的正整數是 1，沒有最大的正整數；最大的負整數是-1，沒
有最小的負整數。
用來表示物體個數的 0、1、2、3、4、5…叫做自然數；最小的自然數
自然數 數是 0，沒有最大的自然數；自然數都是整數；自然數可以表示個數或
次序。
像+5、125 3、π、 、1.26…這些大于 0 的數叫做正數；
4
正數和負數 5
像-8、-20、-π、 、 3.14…這些小于 0 的數叫做負數；
7
0 既不是正數也不是負數。
小數 把單位“1”平均分成 10 份、100 份、1000 份…，這樣的一份或幾份
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可以用分母是 10、100、1000、…的分數來表示，也可以用小數來表示。
表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數，也叫做百分率或
百分數
百分比。
3.數位
整數部分 小
數 小數部分
… 億級 萬級 個級
點
千 百 十 千 百 十 十 百 千 萬
數 億 萬 千 百 十 個
… 億 億 億 萬 萬 萬 分 分 分 分 …
位 位 位 位 位 位 位
位 位 位 位 位 位 位 位 位 位
計 · 十 百 千 萬
數 千 百 十 千 百 十 分 分 分 分
… 億 萬 千 百 十 個 …
單 億 億 億 萬 萬 萬 之 之 之 之
位 一 一 一 一
4.性質
性質
分數 分子和分母同乘或除以相同的數（0 除外），分數大小不變。
末尾添去 0，大小不變。
右移 1 位、2 位、3 位…擴大為原來的 10 倍、100 倍、1000 倍…。
小數
小數點移動 1 1 1
左移 1 位、2 位、3 位…縮小為原來的 、 、 。
10 100 1000
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二.數的讀寫
讀法 寫法
先把數分級，再從 從高位到低位，一
高位起，一級一級 級一級地寫，哪一
2502502500
地讀，每一級末尾 個數位上一個單 三億零二百萬三
讀作：二十五億零
整數 的 0 都不讀，每一 位也沒有，就在那 千
二百五十萬二千
級中間有 1 個 0 或 個數位上寫 0。 寫作：302003000
五百
連續幾個 0，都只讀
一個零。
整數部分按照整數 整數部分按照整
的讀法讀，小數點 數的寫法來寫，小
250.025 一百八十二點零
讀作“點”，小數 數點寫在個位右
小數 讀作：二百五十點 零七三
部分從左向右順次 下角，小數部分順
零二五 寫作：182.0073
讀出每一位數位上 次寫出每一個數
的數字。 位上的數字。
先讀分母再讀“分 1 先寫分數線，再寫
10 三分之一
之”然后讀分子， 分母，最后寫分
讀作：十分之一 1
分子和分母按照整 子，按照整數的寫 寫作： 3
分數 3 1數的讀法來讀。 法來寫。
10 二又五分之一[]
讀作：三又十分之 寫作： 2 1
5
一
先讀百分之，再讀 在原來的分子后
25%
百分號前面的數， 面 加 上 百 分 號 百分之十點五
百分數 讀作：百分之二十
讀數時按照整數的 “%”來表示。 寫作：10.5%
五
讀法來讀。
“+”讀作正，“+” 在 數 的 前 面 加
后面十幾就讀幾。 +50 “+”，“+”可以省 正三
正數
讀作：正五十 略不寫。 寫作：+3
負二分之一
“-”讀作負，“-” -20 在 數 的 前 面 加
負數 1
后面十幾就讀幾。 讀作：負二十 “-”，“-”不可以 寫作：
2
省略。
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三.數的改寫
1.四舍五入（≈）
在求近似數時，如果被舍去部分的首位數字小于 5，就直接舍去；如果被舍去部分的首位數字等于 5 或大于
5，就在保留部分的末位上加 1。
要求把小數保留到哪一位，先看這一位后一位上的數字，再按“四舍五入”法省略。
2.多位數改寫為“萬”、“億”…
（1）直接改寫：改寫為“萬”，小數點左移 4 位，后面加萬；改寫為“億”，小數點左移 8 位，后面加億；
（2）近似改寫：先四舍五入省略掉“萬”或“億”后面的尾數，再在后面加“萬”或“億”。
3.假分數、帶分數、整數互化
（1）假分數 整數、帶分數
余數
余數 零，則假分數=商
分子 分母=商 余數 分母
余數=零，則假分數=商
（2）帶分數 假分數
帶分數整數部分 帶分數分母+帶分數分子
假分數=
帶分數分母
4.小數、分數、百分數互化
（1）小數 分數
先改寫成分母是 10、100、1000…的分數，再約分；
（2）分數 小數
分子÷分母；
（3）小數 百分數
先把小數點右移兩位，再添加“%”；
（4）百分數 小數
先把小數點左移兩位，再去掉“%”；
（5）分數 百分數
先把分數化成小數，再寫成百分數；
（6）百分數 分數
先寫成分數，再約分。
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四.比較大小
比較方法 舉例
整 位數不同時，位數多的整數大； 235＞28
數 位數相同時，同一高位上的數越大，這個整數就越大。 6370＞6356
整數部分大的小數越大；
小 整數部分相同時，看小數部分，十分位上的數大的那個數 3.15＞1.2
數 就越大；十分位上相同的，百分位上的數大的那個數就越 2.56＞2.55
大…
（1）真分數或假分數，分母相同時，分子越大的分數越大； 3 2
5 5
分子相同時，分母越小的分數越大；分子或分母不同時， 3 3

先化為同分母或同分子的分數再比較。 5 7
分
（2）帶分數，先比較整數部分，整數部分大分數越大；
3 3 2 3 2 1 5數 2
整數部分相同時，比較分數部分。 5 7 6 6
（3）帶分數或假分數，先統一成帶分數或假分數，再進行 7 8

比較。 4 7
拓展：分數比較大小的方法
通分子 分子相同，分母越小，分數越大。
通分母 分母相同，分子越大，分數越大。
比倒數 倒數大的分數小。
交叉相乘法 a d
比較 和 的大小：如果 ac bd a d，說明 大，反之 大。
b c b c
基準數法 1 1與 、 等特殊數比較。
2
兩個真分數，如果分子與分母差相同，則分子和分母都大的分數比較大；
投籃法
兩個假分數，如果分子與分母差相同，則分子和分母都小的分數比較大。
作差法 差大于 0，則被減數大；不夠減，則減數大。
作商法 商大于 1，則被除數大；商小于 1，則除數大。
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五.因數、倍數、質數、合數
1.因數、倍數
如果a b c (a、b、c均為正整數且b 0)，除得的商是整數而沒有余數：
（1）我們就說 a能被 b整除，或者說 b能整除 a；
（2） a是b、c的倍數， b、c是 a的因數。
（3）倍數和因數是相互依存的。
特殊數整除性判定
除數 被除數特點 舉例
末 2 個位能否被 2、5 偶數，個位為：0、2、4、6、8
一 整除 個位為：0、5
5
位
末 4 最后兩位能否被 最后兩位為：00，08，16，20，24…
末位判斷法 二 4、25 整除 最后兩位為：00，25，50，75
25
位
末 8 最后三位能否被 最后三位為：000，008，016…
三 8、125 整除 最后三位為：000，125，250，500，625，
125
位 750，875
各數位數字和能 12345：1+2+3+4+5=15，15 能被 3整除，
3
否被 3、9 整除 所以 12345 能被 3 整除。
數字和判斷法
123453：1+2+3+4+5+3=18，18 能被 9 整
9
除，所以 123453 能被 9 整除。
2.奇數、偶數
奇數：在自然數中，不是 2 的倍數的數,如 1、3、5、7、9、11…；
偶數：在自然數中，是 2 的倍數的數,如 0、2、4、6、8、10…。
3.質數、合數
質數：只有 1 和它本身兩個因數的數。100 以內的質數有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、
37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97；
合數：除了 1 和它本身外還有別的因數的數，如 4、6、8、9、12…。
1 既不是質數也不是合數；2 是最小的質數，也是唯一的偶數質數；
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質因數：合數都可以寫成幾個質數相乘的形式，其中每個質數都叫做這個合數的質因數；
例如 15=3×5，3 和 5 叫做 15 的質因數。
分解質因數：把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數；
2
例如把 28 分解質因數： 28 2 2 7 2 7 。
4.最大公因數、最小公倍數
最大公因數：幾個數公有的因數，叫做這幾個數的公因數。其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公因
數。
例如 12 的因數有 1、2、3、4、6、12；18 的因數有 1、2、3、6、9、18；
其中，1、2、3、6 是 12 和 18 的公因數，6 是它們的最大公因數。[]
最小公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數。其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍
數。
求兩個數的最大公因數或最小公倍數：
（1）枚舉法：先分別列舉出這兩個數的因數，再從中找出它們的公因數或公倍數。
例：2 的倍數有 2、4、6、8、10、12、14、16、18…；
3 的倍數有 3、6、9、12、15、18…；
其中 6、12、18…是 2、3 的公倍數，6 是它們的最小公倍數；
例：6 的因數有 1、2、3、6；
9 的因數有 1、3、9；
其中 1、3 是 6、9 的公因數，3 是它們的最大公因數。
（2）短除法：先用這兩個數公有的質因數同時去除這兩個數，直到所得的商互質為止。
最大公因數乘半邊，最小公倍數乘半圈。
例：求 8 和 12 的最大公因數和最小公倍數。
最大公因數乘一邊：2×2=4
最小公倍數乘一圈：2×2×2×3=24
（3）特殊情況:
如果較大數是較小數的倍數，那么較大數就是這兩個數的最小公倍數；
如果兩個數是互質數，那么這兩個數的積就是它們的最小公倍數；
幾個數的公因數的個數是有限的，而幾個數的公倍數的個數是無限的。
互質：公因數只有 1 的兩個數，叫做互質數。
成互質關系的兩個數，有下列幾種情況：
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①1 和任何自然數互質；
②相鄰的兩個自然數互質；
③兩個不同的質數互質；
④當合數不是質數的倍數時，這個合數和這個質數互質；
⑤兩個合數的公因數只有 1 時，這兩個合數互質；
⑥如果幾個數中任意兩個都互質，就說這幾個數兩兩互質。
⑦如果兩個數是互質數，它們的最大公因數就是 1。
六.數的運算
1.四則運算的意義
整數 小數 分數
加法 求兩個加數的和 同整數 同整數
減法 已知和和一個加數,求另一加數 同整數 同整數
乘法 求幾個相同加數的和的簡便運算 同整數 同整數
除法 已知乘積和一因數,求另一因數 同整數 同整數
2.四則運算的方法
整數 小數 分數
相同數位對齊,從低位加起, 同分母相加減，分母不變,
加法 小數點對齊,按照整
滿十向高位進一。 分子相加減;異分母相加
數加減法計算,結果
相同數位對齊,從低位減起, 減,先通分，然后按同分母
減法 小數點對齊。
不夠向高位借一。 法則計算;結果化簡。
先按照整數乘除法計 分數乘整數，用分數的分子
從低位到高位分別用一個因
算,再看看因數中一 和整數相乘的積作分子，分
數的每一位去乘另一個因
乘法 共有幾位小數,就左 母不變；分數乘分數，用分
數,積的末位和一位數因數
起數幾位點商小數 子相乘的積作分子，分母相
末位對齊,乘積相加。
點。 乘的積作分母;化簡。
從被除數的最高位除起,除 除數是整數，先按照
數有幾位，就看被除數的前 整數除法法則去除，
幾位，如果前幾位比除數小， 商的小數點和被除數
甲數除以乙數（0 除外），
除法 就多取一位再除,除到哪一 的小數點對齊；除數
等于甲數乘乙數的倒數。
位，商就寫在哪一位的上面; 是小數，先把它變成
如果哪一位商不夠商 1，就在 整數，除數擴大相同
哪一位寫“0”占位；余數必 的倍數，然后按照除
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須比除數小。 數是整數的除法法則
進行計算。
3.四則運算的順序
(1)運算等級
第一級:加減法
第二級:乘除法
(2)運算順序
先乘除，后加減；左向右，依次算；有括號，最優先。
4.運算律和運算性質
（1）運算律
說明 字母表示
加法交換律 交換兩個加數位置和不變。 a b b a
先把前兩個數相加,再加第三個數，或者先
加法結合律 a b c a b c
后兩個數相加，再加第一個數，和不變。
乘法交換律 交換兩個因數位置積不變。 a b b a
先把前兩個數相乘，再乘第三個數，或者先
乘法結合律 a b c a (b c)
把后兩個數相乘，再乘第一個數，積不變。
兩個數的和與一個數相乘，等于這兩個數分
乘法分配律 a (b c) a b a c
別與這個數相乘，再把兩個積相加。
（2）運算性質
說明 字母表示
一個數減去兩個數的和，等于這個數依次減 a b c a b c [ ]
減法性質
去這兩個數。
一個數除以兩個數的積，等于這個數依次除 a (b c) a b c
除法性質
以這兩個數。
七.解決問題
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1.基本應用題
類型 公式
和倍 “1”=和÷（倍+1）
差倍 “1”=和÷（倍-1）
和差倍
大數=（和+差）÷2
和差
小數=（和-差）÷2
正歸一 單一量×份數=總量
歸一問題
反歸一 總量÷單一量=份數
還原問題 逆運算推導原數
基本 間距數=總長÷間距長
兩端都種：棵樹 =間距數+1
植樹問題 直線植樹 兩端都不種：棵樹=間距數-1
一端種一端不種：棵樹=間距數
環形植樹 棵樹=間距數
盈虧問題 份數=（盈+虧）÷分配差
盈虧問題 盈盈問題 份數=（大盈-小盈）÷分配差
虧虧問題 份數=（大虧-小虧）÷分配差
年齡問題 年齡差不變，轉換成和差倍問題
假設全是雞，少了幾條腿；
雞兔同籠 假設法
除以腿的差，就是兔的數。
算術平均數 數量和÷數量=算術平均數
平均數
加權平均數 （部分×權數）總和÷權數和=加權平均數
基本行程 速度×時間=路程
相遇問題 速度和×相遇時間=路程和
追及問題 速度差×追及時間=路程差
行程問題
順水速度=船速+水速
流水行船 逆水速度=船速-水速
船速=（順水速度+逆水速度）÷2
火車過橋 路程和=車長+橋長
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2.分百應用題
類型 公式
量率對應 分率=分率對應量÷單位“1”
利潤=售價－成本
利潤率=利潤÷成本×100%
利潤問題
=(售價÷成本－1)×100%
經濟問題
打八折：按定價的 80%出售
利息=本金×利率×時間
利息問題
利息稅=本金×利率×時間×稅率
溶液重量=溶質重量＋溶劑重量
濃度=溶質重量÷溶液重量×100%
濃度問題
溶液重量×濃度=溶質重量
溶質重量÷濃度=溶液重量
工程問題 工效×工時=工總“1”
3.常用單位換算
換算方法
1 千米=1000 米 1 米=10 分米 1 分米=10 厘米
長度
1 米=100 厘米 1 厘米=10 毫米
1 平方千米=100 公頃 1 公頃=10000 平方米 1 平方米=100 平方分米
面積
1 平方分米=100 平方厘米 1 平方厘米=100 平方毫米
1 立方米=1000 立方分米=1000 升 1 立方分米=1000 立方厘米
體（容）積
1 立方分米=1 升 1 立方厘米=1 毫升
重量 1 噸=1000 千克 1 千克=1000 克=1 公斤 1 斤=500 克
人民幣 1 元=10 角 1 角=10 分 1 元=100 分
1 世紀=100 年 1 年=12 月；
一三五七八十臘，三十一天永不差；四六九冬三十天，平年二月二十八；
時間 平年 365 天，閏年 366 天；
1 小時=60 分鐘 1 分鐘=60 秒 1 小時=3600 秒；
十二生肖先后順序：鼠牛虎兔龍蛇，馬羊猴雞狗豬。
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八.式與方程
1.用字母表示數
意義和作用：
（1）用字母表示數，可以把數量關系簡明的表達出來，同時也可以表示運算的結果；
（2）用字母表示常見的數量關系、運算定律和性質、幾何圖形的計算公式。
2.簡易方程
（1）方程和方程的解
方程：含有未知數的等式叫做方程。
方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。
（2）解方程（五步法）
4
步驟 說明 示例： x
1
x 9 5
3 3
去分母 “=”兩邊同乘分母的最小公倍數 4x x 9 15
去括號 括號前是減號，去括號要變號 4x x 9 15
移項 過橋要變號！“+”、“-”互變 4x x 15 9
合并同類項 含有 x的項合并，數與數合并 3x 6
系數化為 1 “=”兩邊同時除以 x的系數 x 2
3.列方程解應用題（審、設、列、解、驗、答）
步驟 說明
審 仔細讀題，分析應用題所屬類型，找等量關系
設 設未知數，一般問誰設誰，復雜題目缺誰設誰
列 列方程，根據應用題中的等量關系列方程
解 五步法解方程
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驗 檢驗答案是否滿足方程，是否符合題目實際要求
答 寫出答案
九.比和比例
1.比的意義和性質
比 比例
意義 表示兩個數相除 表示兩個比相等的式子
各部分
名稱
比的前項和后項同時乘或除以相
基本 內項之積=外項之積同的數（0 除外），比值不變
性質
作用：化簡比 作用：解比例
2.比與分數、除法的關系
聯系 性質 舉例
比 前項 比號(:) 后項 比值[] 基本性質 2:3
2
分數 分子 分數線(—) 分母 分數值 基本性質
3
除法 被除數 除號（÷） 除數 商 商不變 2÷3
3.求比值和化簡比
意義 方法 結果
一個整數、分數或小
求比值 前項除以后項所得的商 前項除以后項
數
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化簡比 最簡整數比 前項和后項同除以最大公因數 一個比
4.正比例、反比例
不同點
相同點
意義 變化方向 關系式
x 都是兩種相關聯的
正比例 兩種量商一定 相同 k（k一定）
y
量，其中一種量隨另
反比例 兩種量積一定 相反 xy k （k一定） 一種量變化而變化
5.比例尺
圖上距離:實際距離=比例尺
數值比例尺
按表現形式
線段比例尺
比例尺
縮小比例尺
按將實際距離放大還是縮小 放大比例尺
6.按比例分配
在農業生產和日常生活中，常常需要把一個數量按照一定的比來進行分配。這種分配的方法通常叫做按比
例分配。
方法：先求一份量，再求部分量。
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第二章 圖形與幾何
一．圖形的認識與測量
1.平面圖形的認識
（1）圖形的分類


三角形

平行四邊形 長方形 正方形平面圖形 四邊形
梯形
圖形 圓環 圓
扇形
長方體 正方體
立體圖形 圓柱

圓錐
（2）直線、射線、線段
圖形 意義 特點
線段 直線上兩點間部分 兩個端點，可以度量
射線 線段一端無限延伸 一個端點，不可度量
直線 線段兩端無限延伸 沒有端點，不可度量
（3）垂直與平行
垂直：相交成直角（ 90 ）。
平行：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。平行線之間距離處處相等。
（4）角的分類
圖形 特點
銳角 大于 0 小于 90
直角 等于 90
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鈍角 大于 90 小于180
平角 等于180
周角 等于 360
（5）三角形
意義 三條線段首尾順次連接圍成的封閉圖形
名稱 邊、頂點、內角
銳角三角形 三個角都是銳角
按
分類 直角三角形 有一個角是直角
角
鈍角三角形 有一個角是鈍角
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不等邊三角形 三邊都不相等
按
等腰三角形 有兩條邊相等
邊
等邊三角形 三邊都相等
性質 三角形具有穩定性
內角和 三角形的內角和是180
任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；
三邊關系
直角三角形中，斜邊大于直角邊。
（6）四邊形
圖形 特征
一般四邊形 四條邊圍成。
兩組對邊分別平行且相等，兩組
平行四邊形
對角分別相等。
兩組對邊分別平行且相等，四個
長方形
角都是直角。
四條邊都相等，四個角都是直
正方形
角。
梯形 只有一組對邊平行。
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（7）圓
圖形
意義 圓是一種封閉的曲線圖形
名稱 圓心O、半徑 r、直徑 d
在同圓或等圓中，d 2r ，即直徑是半徑的 2 倍，所有的半徑都相等，所
特征 有的直徑都相等。
圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是對稱軸，圓有無數條對稱軸。
圓周長與直徑的比值，用“ ”表示。 是無限不循環小數，一般近似取
圓周率
≈3.14。
扇形 一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。
2.平面圖形的周長和面積
圖形 周長 C 面積 S
正方形 4a a2
長方形 2(a b) ab
ah
三角形 a b c
2
平行四邊形 2(a b) ah
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(a b)h
梯形 a b c d
2
圓 2 r、 d r 2
n d
d n r
2
扇形
360 360
S R2 2圓環 環 r
S陰影 r
2 2r 2
外圓內方
( 2)r 2
S 2 2陰影 4r r
外方內圓
(4 )r 2
3.不規則平面圖形周長和面積求法
（1）周長：平移法、箭頭法；
（2）面積：公式轉換法、割補法、整體減部分法等。
二.立體圖形
1.立體圖形的認識
（1）長方體和正方體
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相同點 不同點
主 俯 左
圖形 頂 面的
面 棱 面的特點 棱長 視 視 視
點 大小
圖 圖 圖
相對的
相 對
棱長度
的 面
相等且
完 全 長 長 長
6 個面都是 互相平
長方體 相 方 方 方
長方形 行，相
同 ， 形 形 形
交的棱
面 積
6 12 8 互相垂
相等
個 條 個 直
6 個 12條棱
面 完 長度都
6 個面都是 正 正 正
全 相 相等，
正方體 完全相同的 方 方 方
同 ， 棱長總
正方形 形 形 形
面 積 和 是
相等 12a
（2）圓柱和圓錐
圖形 特征 主視圖 俯視圖 左視圖
1.上下是圓，側面展開是長方
形；
圓柱
2.以長方形一條邊所在直線為
軸旋轉一周形成圓柱。
1.底面是圓，側面展開是扇形；
2.以直角三角形一條直角邊所
圓錐
在直線為軸旋轉一周形成圓
錐。
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2.立體圖形的表面積和體積
圖形 表面積 體積
正方體 6a2 a3
長方體 2(ab ah bh) abh
圓柱體 2 rh 2 r 2 r2h
2
圓錐體 r 2 rl r h
[]
3
3.不規則立體圖形體積求法
(1)排水法：物體體積=上升（或下降）那部分水的體積（物體要浸沒在水中）；
(2)轉化法：利用體積不變，化不規則為規則。
三.圖形的變換與運動
圖例 特征
軸對稱 沿對稱軸折疊，完全重合
平移 沿直線運動，形狀、大小不變
旋轉 繞一個點移動，形狀、大小不變
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放大縮小 按一定的比得到相似圖形
四.圖形與位置
上北下南，左西右東；
方向 東北、西北、東南、西南
東偏北、西偏北、東偏南、西偏南
1.有序數對，如（3，5）
位置描述
2.角度+距離，（北偏西 23°，距離觀測點 200 米）
路線描述 先按照什么方向走多少距離到達 A 地，然后按照什么方向······
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第三章 統計與概率
一.知識梳理
數據的收集、整理與分析

單式統計表
統計表 復式統計表

統計 條形統計圖（單式和復式）

統計圖 折線統計圖（單式和復式）
扇形統計圖
統計量 平均數
二.步驟與方法
1.確定調查主題和需要調查的數據；
2.設計調查表或統計表；
3.確定調查的方法：實地調查、問卷調查、網上搜集信息等；
4.進行調查，做好記錄；
5.分析數據，作出判斷和預測。
三.統計表
1.統計表的意義
把統計數據填寫在一定格式的表格中，用來反映情況，說明問題，這樣的表格叫做統計表。
2.單式統計表：直有一組統計項目的統計表。
3.復式統計表：有兩組或兩組以上統計項目的統計表。
四.統計圖
條形統計圖 折線統計圖 扇形統計圖
用一個單位長度表示一定的數量 用整個圓的面積表示總數，
特點
用直條的長短表示數 用折線的起伏表示數量 用圓內的扇形面積表示各
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量的多少。 的增減變化。 部分數量占總數量的百分
比。
便于直觀了解數據的 便于直觀了解數據的變 便于直觀了解各部分數量
作用 大小及不同數據的差 化趨勢，也便于了解數 占總數量的百分比，以及各
異。 據的大小。 部分之間的大小關系。
1.根據圖紙的大小，畫 1.根據圖紙的大小，畫出 1.先算出各部分數量占總量
出兩條互相垂直的射 兩條互相垂直的射線； 的百分之幾；
線； 2.在水平射線上，適當分 2.再算出表示各部分數量的
2.在水平射線上，適當 配折線的位置，確定直 扇形的圓心角度數；
分配條形的位置，確定 線的寬度和間隔； 3.取適當的半徑畫一個圓，
直線的寬度和間隔； 3.在與水平射線垂直的 并按照上面算出的圓心角
制作
3.在與水平射線垂直的 深線上根據數據大小的 的度數，在圓里畫出各個扇
步驟
深線上根據數據大小 具體情況，確定單位長 形；
的具體情況，確定單位 度表示多少； 4.在每個扇形中標明所表示
長度表示多少； 4.按照數據的大小描出 的各部分數量名稱和所占
4.按照數據的大小畫出 各點，再用線段順次連 的百分數，并用不同顏色或
長短不同的直條，并注 接起來，并注明數量。 條紋把各個扇形區別開。
明數量。
五.平均數
意義 在保證幾個數和不變的情況下，通過移多補少，將這幾個數變得相等。
特點 反映一組數據的集中趨勢
求法 總數量÷總份數=平均數
六.可能性
不確定事件 生活中，有些事件的發生是不確定的，一般用“可能發生”來描述。
確定事件 有些事件的發生是確定的，一般用“一定發生”或“不可能發生”來描述。
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第四章 數學思考
一.常用數學思想和方法
說明
轉化法 把陌生問題、復雜問題轉化為已學簡單問題；
數形結合法 把抽象的數學語言與直觀幾何圖形結合起來；
對應法 實際問題中存在著一些相關聯的對應量；
列表法 用表格分析問題，使問題條理化、明朗化；
觀察法 觀察數字、圖形、位置變化規律；
分析法 由“問題結論”探求“已知條件”；
綜合法 由“已知條件”到“可知”再到“未知”。
二.常見數列規律
舉例 解釋
等差數列 1，3，5，7，9，11，… 后面一個數減去前一個數，差相等
等比數列 1，2，4，8，16，32，… 后面一個數除以前一個數，商相等
差后等差數列 0，1，3，6，10，15，… 后一個數和前一個數的差形成等差數列
差后等比數列 0，1，3，7，15，31，… 后一個數和前一個數的差形成等比數列
平方數列 0，1，4，9，16，25，… 連續自然數的平方
乘積數列 0，2，6，12，20，30，… 相鄰兩個自然數的乘積
三角數列 1，3，6，10，15，21，… 最常用的差后等差數列
兔子數列 0，1，1，2，3，5，8，… 從第三個數起，每個數都是前面兩個數的和
求和取個位 3，5，8，3，1，4，… 從第三個數起，每個數都是前面兩個數和的個位
求積取個位 2，3，6，8，8，4，… 從第三個數起，每個數都是前面兩個數積的個位
三.計數方法
1.加法原理（加法分類、類類獨立）
如果完成一件事情有 N 類方法，每一類方法數分別為 A1，A2，A3， ，An ，則完成這件事一共有
A1 A2 A3 An 種方法。
注意：每一類方法都可以獨立完成事件。
例：小明衣柜里有藍、黑、灰三種顏色的褲子，其中 3 種款式的藍褲子、2 種款式的黑褲子、2 種款式的灰
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褲子，那么小明共有 3+2+2=7 種選擇褲子的方法。
2.乘法原理（乘法分步，步步相關）
如果完成一件事情需要 n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2 種不同的方法，…，做第 n步
有mn種不同的方法，則完成這件事一共有m1 m2 mn 種不同的方法。
例：小明衣柜里有 5 件上衣、4 件褲子，如果小明想上衣、下衣各選一件，那么小明一共有 5×4=20 種搭配
方式。
3.排列（先選后排）
Amn ：從 n個不同元素中任取m個元素，按照一定的順序排成一列的不同的方法數。
Amn n(n 1)(n 2) (n m 1)
例：從 5 名同學中任選 3 名（不能重復選），然后給這 3 名同學排列順序，共有 A35 5 4 3 60種不同的方
法。
4.組合（只選不排）
Cmn ：從 n個不同元素種任取m個元素（不用排序）的方法數。
m 個數
Am
Cm n n (n 1) (n 2) (n m 1)n m Am m (m 1) (m 2) 2 1
3
例：從 5 名同學中任選 3 名（不能重復選），共有C3 A5 5 4 35 3 10 種不同的選擇方法。A3 3 2 1
四．抽屜原理
1.簡單抽屜原理
把 n 1或多于 n 1個蘋果放在 n個抽屜里，其中一定有抽屜里至少有兩個蘋果。
2.復雜抽屜原理
把蘋果放在抽屜里，一定有抽屜里至少有:
余數 0 商
蘋果 抽屜=商 余數 個蘋果。
余數 0 商+1
3.最不利原則（最倒霉原則）
最不利原則：極限討論，考慮最不利或最倒霉的情況。
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例：盒子里有 3 個白球和 4 個黑球，每次任取一個，至少要取多少次，才能保證一定能取到白球？
答：考慮最不利的情況，先將 4 個黑球全部取出，再多取 1 個，一定能取到白球，因此至少要拿 4+1=5 次，
才能保證一定能拿到白球。
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