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全書要點速記
第四章　數列
01
要點一　數列的概念
1．在數列{an}中，
an＋1＞an {an}是遞增數列；
an＋1＜an {an}是遞減數列；
an＋1＝an {an}為常數列．
2．一般規律數列
(1)數列1，2，3，4，…的通項公式是an＝n(n∈N*)；
(2)數列1，3，5，7，…的通項公式是an＝2n－1(n∈N*)；
(3)數列2，4，6，8，…的通項公式是an＝2n(n∈N*)；
(4)數列1，2，4，8，…的通項公式是an＝2n-1(n∈N*)；　
(5)數列1，4，9，16，…的通項公式是an＝n2(n∈N*)；　
(6)數列1，，，，…的通項公式是an＝(n∈N*)．　
要點二　等差數列
1．等差數列的定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示．
2．等差中項
a，A，b成等差數列 A是a，b的等差中項 2A＝a＋b．
3．等差數列的通項公式
以a1為首項，d為公差的等差數列{an}的通項公式為an＝a1＋(n－1)d．
4．等差數列的前n項和公式
首項為a1，公差為d，末項為an，項數為n的等差數列{an}的前n項和為Sn＝＝na1＋．
5．等差數列的性質
數列{an}是公差為d的等差數列，則：
(1)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)，d＝(n≠m)．
(2)若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
特別地，①若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap(m，n，p∈N*)；
②有窮等差數列中，與首末兩項等“距離”的兩項之和都相等，都等于首末兩項的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…．
(3)下標成等差數列的項ak，ak＋m，ak＋2m，…組成以md為公差的等差數列．
(4)數列{tan＋λ}(t，λ是常數)是公差為td的等差數列．
(5)若數列{bn}為等差數列，則數列{tan±λbn}(t，λ是常數)仍為等差數列．
6．等差數列前n項和的性質
(1)項數的“等和”性質：Sn＝＝．
(2)若等差數列共有2n－1項，則S2n－1＝an；
若等差數列共有2n項，則S2n＝n(an＋an＋1)．
(3)與項數有關的“奇偶”性質(S奇，S偶分別表示所有奇數項的和與所有偶數項的和)：
①若等差數列的項數為2n，則S偶－S奇＝nd，＝；
②若等差數列的項數為2n－1，則S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．
(4)已知等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，則＝，＝·．　
(5)“片段和”性質：等差數列{an}中，公差為d，前k項的和為Sk，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，Smk－S(m－1)k，…構成公差為k2d的等差數列．
(6)數列是等差數列，首項為a1，公差為等差數列{an}公差的一半．
7．等差數列的判斷方法
(1)定義法：an＋1－an＝d(常數)(n∈N*) {an}是等差數列；an－an－1＝d(常數)(n≥2，n∈N*) {an}是等差數列．
(2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}是等差數列．
(3)通項公式法：an＝kn＋b(k，b為常數) {an}是等差數列．
(4)前n項和法：Sn＝An2＋Bn(A、B為常數) {an}是等差數列．
要點三　等比數列
1．等比數列的概念
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0)．
2．等比中項
a，G，b成等比數列 G是a，b的等比中項 G2＝ab(ab≠0)．
3．等比數列的通項公式
設等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則這個等比數列的通項公式是an＝a1qn-1(a1，q≠0)．
4．等比數列的前n項和公式
設等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則{an}的前n項和公式為
Sn＝
5．等比數列的性質
若數列{an}是公比為q的等比數列，則
(1)an＝amqn－m(m，n∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*，則aman＝apaq．
特別地：①若m＋n＝2r，則aman＝(m，n，r∈N*)；
②a1an＝a2an－1＝…＝aian＋1－i(n∈N*，n≥2，i＝1，2，…，n)．
(3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差數列，則am，an，ap成等比數列．
(4)數列{λan}(λ≠0)仍是公比為q的等比數列；
數列是公比為的等比數列；
數列{|an|}是公比為|q|的等比數列；
若數列{bn}是公比為q′的等比數列，則數列{an·bn}是公比為q·q′的等比數列．
(5)在數列{an}中，每隔k(k∈N*)項取出一項，按原來的順序排列，所得數列仍為等比數列，且公比為qk+1．
(6)已知b>0且b≠1，如果數列{an}是以d為公差的等差數列，那么數列是以bd為公比的等比數列．
如果數列{an}是各項均為正且公比為q的等比數列，那么數列{logban}是以logbq為公差的等差數列．
6．等比數列前n項和的性質
(1)當q＝1時，＝；當q≠±1時，＝．
(2)Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm．
(3)設S偶與S奇分別是偶數項的和與奇數項的和．若項數為2n，則＝q；若項數為2n＋1，則＝q．
(4)當q≠－1時，連續m項的和(如，S3m－S2m，…)仍組成等比數列(公比為qm，m≥2)．
7．等比數列的判斷方法
(1)定義法：如果數列{an}滿足關系式＝q(q≠0，n∈N*)，那么數列就是一個以q為公比的等比數列．
(2)等比中項法：如果數列{an}滿足關系式＝an－1·an＋1(n≥2，n∈N*)，那么數列{an}就是一個等比數列．
(3)通項公式法：如果數列{an}滿足關系式an＝k·qn-1(k≠0，q≠0，n∈N*)，那么該數列{an}是以k為首項，以q為公比的等比數列．
(4)前n項和法：如果數列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0)，那么數列{an}是一個等比數列．
8．求數列{an}通項公式的方法
(1)公式法：若{an}為等差數列，則an＝a1＋(n－1)d；
若{an}為等比數列，則an＝a1qn-1．
(2)累加法：an＋1－an＝f (n)型．
(3)累積法：＝f (n)型．
(4)構造法：即構造等差數列或等比數列求通項．
9．數列求和的方法
(1)裂項相消法：常見的裂項類型與方法如下：
①an＝＝(t≠0)；
②an＝＝；
③an＝loga＝loga(n＋1)－logan；
④an＝＝[－]；
⑤an＝＝－．
(2)錯位相減法
設數列{an}為等差數列，公差為d；數列{bn}為等比數列，公比為q(q≠1)；數列{anbn}的前n項和為Tn．則Tn的求解步驟如下．
①列出和式Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn．
②兩邊同乘以公比q：qTn＝a1b1q＋a2b2q＋a3b3q＋…＋anbnq＝a1b2＋a2b3＋a3b4＋…＋anbn＋1．
③兩式相減(錯位相減)并求和：
(1－q)Tn＝a1b1＋(a2b2－a1b2)＋(a3b3－a2b3)＋…＋(anbn－an－1bn)－anbn＋1＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1＝a1b1＋d×－anbn＋1．
④兩邊同除以(1－q)即得數列{anbn}的前n項和Tn．
(3)分組求和法
分組求和法適用于解決數列通項公式可以寫成cn＝an＋bn的形式的數列求和問題，其中數列{an}與{bn}是等差數列或等比數列或可以直接求和的數列．基本的解題步驟為：
①準確拆分，根據通項公式的特征，將其分解為可以直接求和的一些數列的和；
②分組求和，分別求出各個數列的和；
③得出結論，對拆分后每個數列的和進行求和，解決原數列的求和問題．
第五章　一元函數的導數及其應用
02
要點一　導數的幾何意義
1．導數的幾何意義
函數y＝f (x)在x＝x0處的導數f ′(x0)就是曲線y＝f (x)在點(x0，f ′(x0))處的切線的斜率k0，即
k0＝f ′(x0)＝．
2．切線方程的求法
(1)曲線y＝f (x)在點P(x0，y0)處的切線方程為y＝f ′(x0)(x－x0)＋y0．
(2)求曲線y＝f (x)過點P(x0，y0)的切線方程的步驟：
①設切點為A(xA，f (xA))，求切線的斜率k＝f ′(xA)，寫出切線方程(含參)；
②把點P(x0，y0)的坐標代入切線方程，建立關于xA的方程，解得xA的值，進而求出切線方程．
要點二　導數的運算
1．基本初等函數的導數公式
函數 導數
f (x)＝c(c為常數) f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝αxα-1
f (x)＝sin x f ′(x)＝cos x
f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin x
f (x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝ax ln a
f (x)＝ex f ′(x)＝ex
f (x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f (x)＝ln x
2．導數的四則運算及復合函數的導數
和差的導數 [f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)，可推廣為[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)
乘積的導數 [f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)，
特別地，[cf (x)]′＝cf ′(x)
商的導數
復合函數 的導數 一般地，對于由函數y＝f (u)和u＝g(x)復合而成的函數y＝f (g(x))，它的導數與函數y＝f (u)，u＝g(x)的導數間的關系為yx′＝yu′·ux′，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積
要點三　導數的應用
1．函數單調性與其導函數的關系
一般地，函數f (x)的單調性與導函數f ′(x)的正負之間具有如下的關系：
在某個區間(a，b)上，如果f ′(x)>0，那么函數y＝f (x)在區間(a，b)上單調遞增；
在某個區間(a，b)上，如果f ′(x)<0，那么函數y＝f (x)在區間(a，b)上單調遞減．
2．函數極值的概念
若函數y＝f (x)在點x＝a的函數值f (a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f ′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f ′(x)<0，右側f ′(x)>0，則我們把a叫做函數y＝f (x)的極小值點，f (a)叫做函數y＝f (x)的極小值．函數y＝f (x)在點x＝b的函數值f (b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f ′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f ′(x)>0，右側f ′(x)<0，則b叫做函數y＝f (x)的極大值點，f (b)叫做函數y＝f (x)的極大值．極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值．
“f ′(x0)＝0”是“x0為極值點”的必要不充分條件．
3．利用導數判斷函數單調性的一般步驟
—般情況下，我們可以通過如下步驟判斷函數y＝f (x)的單調性：
第1步，確定函數的定義域；
第2步，求出導數f ′(x)的零點；
第3步，用f ′(x)的零點將f (x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出
f ′(x)在各區間上的正負，由此得出函數y＝f (x)在定義域內的單調性．
4．求函數極值的方法
一般地，可按如下方法求函數y＝f (x)的極值：
解方程f ′(x)＝0，當f ′(x0)＝0時：
(1)如果在x0附近的左側f ′(x)>0，右側f ′(x)<0，那么f (x0)是極大值；
(2)如果在x0附近的左側f ′(x)<0，右側f ′(x)>0，那么f (x0)是極小值．
5．求函數最值的方法
一般地，求函數y＝f (x)在區間[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：
(1)求函數y＝f (x)在區間(a，b)上的極值；
(2)將函數y＝f (x)的各極值與端點處的函數值f (a)，f (b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
6．不等式恒成立問題
(1)不等式f (x)≥0在定義域內恒成立，等價于≥0；
(2)不等式f (x)≤0在定義域內恒成立，等價于≤0；
(3)不等式f (x)>g(x)，x∈(a，b)恒成立，等價于F (x)＝f (x)－g(x)>0，x∈(a，b)恒成立．

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