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第二章 圓周運動
解題模型：
一、水平方向的圓盤模型
如圖1.01所示，水平轉盤上放有質量為m的物塊，當物塊到轉軸的距離為r時，連接物塊和轉軸的繩剛好被拉直（繩上張力為零）。物體和轉盤間最大靜摩擦力是其正壓力的μ倍，求：
（1）當轉盤的角速度時，細繩的拉力。
（2）當轉盤的角速度時，細繩的拉力。
圖2.01
解析：設轉動過程中物體與盤間恰好達到最大靜摩擦力時轉動的角速度為，則，解得。
（1）因為，所以物體所需向心力小于物體與盤間的最大摩擦力，則物與盤間還未到最大靜摩擦力，細繩的拉力仍為0，即。
（2）因為，所以物體所需向心力大于物與盤間的最大靜摩擦力，則細繩將對物體施加拉力，由牛頓的第二定律得：，解得。
如圖2.02所示，在勻速轉動的圓盤上，沿直徑方向上放置以細線相連的A、B兩個小物塊。A的質量為，離軸心，B的質量為，離軸心，A、B與盤面間相互作用的摩擦力最大值為其重力的0.5倍，試求：
（1）當圓盤轉動的角速度為多少時，細線上開始出現張力？
（2）欲使A、B與盤面間不發生相對滑動，則圓盤轉動的最大角速度為多大？（）
圖2.02
（1）當圓盤轉動的角速度為多少時，細線上開始出現張力？
（2）欲使A、B與盤面間不發生相對滑動，則圓盤轉動的最大角速度為多大？（）
解析：（1）較小時，A、B均由靜摩擦力充當向心力，增大，可知，它們受到的靜摩擦力也增大，而，所以A受到的靜摩擦力先達到最大值。再增大，AB間繩子開始受到拉力。
由，得：
（2）達到后，再增加，B增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同來提供，A增大的向心力靠增加拉力來提供，由于A增大的向心力超過B增加的向心力，再增加，B所受摩擦力逐漸減小，直到為零，如再增加，B所受的摩擦力就反向，直到達最大靜摩擦力。如再增加，就不能維持勻速圓周運動了，A、B就在圓盤上滑動起來。設此時角速度為，繩中張力為，對A、B受力分析：
對A有
對B有
聯立解得：
如圖2.03所示，兩個相同材料制成的靠摩擦傳動的輪A和輪B水平放置，兩輪半徑，當主動輪A勻速轉動時，在A輪邊緣上放置的小木塊恰能相對靜止在A輪邊緣上。若將小木塊放在B輪上，欲使木塊相對B輪也靜止，則木塊距B輪轉軸的最大距離為（ ）
A. B. C. D.
圖2.03
答案：C
二、行星模型
已知氫原子處于基態時，核外電子繞核運動的軌道半徑，則氫原子處于量子數1、2、3，核外電子繞核運動的速度之比和周期之比為：（ ）
A. ；
B.
C.
D. 以上答案均不對
解析：根據經典理論，氫原子核外電子繞核作勻速率圓周運動時，由庫侖力提供向心力。
即，從而得
線速度為
周期為
又根據玻爾理論，對應于不同量子數的軌道半徑與基態時軌道半徑r1有下述關系式：。
由以上幾式可得v的通式為：
所以電子在第1、2、3不同軌道上運動速度之比為：
而周期的通式為：
所以，電子在第1、2、3不同軌道上運動周期之比為：
由此可知，只有選項B是正確的。
衛星做圓周運動，由于大氣阻力的作用，其軌道的高度將逐漸變化（由于高度變化很緩慢，變化過程中的任一時刻，仍可認為衛星滿足勻速圓周運動的規律），下述衛星運動的一些物理量的變化正確的是：（ ）
A. 線速度減小 B. 軌道半徑增大 C. 向心加速度增大 D. 周期增大
解析：假設軌道半徑不變，由于大氣阻力使線速度減小，因而需要的向心力減小，而提供向心力的萬有引力不變，故提供的向心力大于需要的向心力，衛星將做向心運動而使軌道半徑減小，由于衛星在變軌后的軌道上運動時，滿足，故增大而T減小，又，故a增大，則選項C正確。
經過用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經發現了許多雙星系統，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質的存在形式和分布情況有了較深刻的認識，雙星系統由兩個星體組成，其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離，一般雙星系統距離其他星體很遠，可以當作孤立系統來處理。現根據對某一雙星系統的光度學測量確定；該雙星系統中每個星體的質量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動。
（1）試計算該雙星系統的運動周期；
（2）若實驗中觀測到的運動周期為，且。
為了理解與的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質。作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布這種暗物質。若不考慮其他暗物質的影響，請根據這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度。
答案：（1）雙星均繞它們連線的中點做圓周運動，設運動的速率為v，得：
（2）根據觀測結果，星體的運動周期：
這種差異是由雙星系統（類似一個球）內均勻分布的暗物質引起的，均勻分布雙星系統內的暗物質對雙星系統的作用，與一個質點（質點的質量等于球內暗物質的總質量且位于中點O處）的作用相同。考慮暗物質作用后雙星的速度即為觀察到的速度，則有：
因為周長一定時，周期和速度成反比，得：
有以上各式得
設所求暗物質的密度為，則有

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