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第四章 力學綜合
一、解題模型：
如圖5.01所示，一路燈距地面的高度為h，身高為的人以速度v勻速行走。
（1）試證明人的頭頂的影子作勻速運動；
（2）求人影的長度隨時間的變化率。
圖5.01
解：（1）設t=0時刻，人位于路燈的正下方O處，在時刻t，人走到S處，根據題意有OS=vt，過路燈P和人頭頂的直線與地面的交點M為t時刻人頭頂影子的位置，如圖2所示。OM為人頭頂影子到O點的距離。
圖2
由幾何關系，有
聯立解得
因OM與時間t成正比，故人頭頂的影子作勻速運動。
（2）由圖2可知，在時刻t，人影的長度為SM，由幾何關系，有SM=OM-OS，由以上各式得
可見影長SM與時間t成正比，所以影長隨時間的變化率。
一水平放置的圓盤繞豎直固定軸轉動，在圓盤上沿半徑開有一條寬度為2mm的均勻狹縫。將激光器與傳感器上下對準，使二者間連線與轉軸平行，分別置于圓盤的上下兩側，且可以同步地沿圓盤半徑方向勻速移動，激光器連續向下發射激光束。在圓盤轉動過程中，當狹縫經過激光器與傳感器之間時，傳感器接收到一個激光信號，并將其輸入計算機，經處理后畫出相應圖線。圖5.02（a）為該裝置示意圖，圖5.02（b）為所接收的光信號隨時間變化的圖線，橫坐標表示時間，縱坐標表示接收到的激光信號強度，圖中。
（1）利用圖（b）中的數據求1s時圓盤轉動的角速度；
（2）說明激光器和傳感器沿半徑移動的方向；
（3）求圖（b）中第三個激光信號的寬度△t3。
圖5.02
解析：（1）由圖線讀得，轉盤的轉動周期，
角速度
（2）激光器和探測器沿半徑由中心向邊緣移動（理由為：由于脈沖寬度在逐漸變窄，表明光信號能通過狹縫的時間逐漸減少，即圓盤上對應探測器所在位置的線速度逐漸增加，因此激光器和探測器沿半徑由中心向邊緣移動）。
（3）設狹縫寬度為d，探測器接收到第i個脈沖時距轉軸的距離為ri，第i個脈沖的寬度為△ti，激光器和探測器沿半徑的運動速度為v。
由以上式聯立解得
如圖5.03是某種靜電分選器的原理示意圖。兩個豎直放置的平行金屬板帶有等量異號電荷，形成勻強電場，分選器漏斗的出口與兩板上端處于同一高度，到兩板距離相等。混合在一起的a、b兩種顆粒從漏斗出口下落時，a種顆粒帶上正電，b種顆粒帶上負電。經分選電場后，a、b兩種顆粒分別落到水平傳送帶A、B上。已知兩板間距d=0.1m，板的度，電場僅局限在平行板之間；各顆粒所帶電量大小與其質量之比均為。設顆粒進入電場時的初速度為零，分選過程中顆粒大小及顆粒間的相互作用力不計。要求兩種顆粒離開電場區域時，不接觸到極板但有最大偏轉量。重力加速度g取。
（1）左右兩板各帶何種電荷？兩極板間的電壓多大？
（2）若兩帶電平行板的下端距傳送帶A、B的高度H=0.3m，顆粒落至傳送帶時的速度大小是多少？
（3）設顆粒每次與傳送帶碰撞反彈時，沿豎直方向的速度大小為碰撞前豎直方向速度大小的一半。寫出顆粒第n次碰撞反彈高度的表達式。并求出經過多少次碰撞，顆粒反彈的高度小于0.01m。
圖5.03
解析：（1）左板帶負電荷，右板帶正電荷。依題意，顆粒在平行板間的豎直方向上滿足
在水平方向上滿足：
兩式聯立得
（2）根據動能定理，顆粒落到水平傳送帶上滿足
（3）在豎直方向顆粒作自由落體運動，它第一次落到水平傳送帶上沿豎直方向的速度
反彈高度
根據題設條件，顆粒第n次反彈后上升的高度：
當時，
偵察衛星在通過地球兩極上空的圓軌道上運行，它的運行軌道距地面高為h，要使衛星在一天的時間內將地面上赤道各處在日照條件下的情況全部都拍攝下來，衛星在通過赤道上空時，衛星上的攝影像機至少應拍地面上赤道圓周的弧長是多少？設地球半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球自轉的周期為T。
解析：設衛星周期為T1，那么：
①
又 ②
有 ③
地球自轉角速度為 ④
在衛星繞行地球一周的時間T1內，地球轉過的圓心角為 ⑤
那么攝像機轉到赤道正上方時攝下圓周的弧長為 ⑥
由①②③④⑤⑥得
如圖5.04所示，一對雜技演員（都視為質點）乘秋千（秋千繩處于水平位置）從A點由靜止出發繞O點下擺，當擺到最低點B時，女演員在極短時間內將男演員沿水平方向推出，然后自己剛好能回到高處A。求男演員落地點C與O點的水平距離s。已知男演員質量m1和女演員質量m2之比，秋千的質量不計，擺長為R，C點比O點低5R。
圖5.04
解析：設分離前男女演員在秋千最低點B的速度為，由機械能守恒定律，
設剛分離時男演員速度的大小為，方向與相同；女演員速度的大小為，方向與相反，由動量守恒，
分離后，男演員做平拋運動，設男演員從被推出到落在C點所需的時間為t，根據題給條件，由運動學規律，
根據題給條件，女演員剛好回A點，由機械能守恒定律，，已知，由以上各式可得。
在廣場游玩時，一個小孩將一充有氫氣的氣球用細繩系于一個小石塊上，并將小石塊放置于水平地面上。已知小石塊的質量為，氣球（含球內氫氣）的質量為，氣球體積為V，空氣密度為ρ（V和ρ均視作不變量），風沿水平方向吹，風速為v。已知風對氣球的作用力（式中k為一已知系數，u為氣球相對空氣的速度）。開始時，小石塊靜止在地面上，如圖5.05所示。
（1）若風速v在逐漸增大，小孩擔心氣球會連同小石塊一起被吹離地面，試判斷是否會出現這一情況，并說明理由。
（2）若細繩突然斷開，已知氣球飛上天空后，在氣球所經過的空間中的風速v保持不變量，求氣球能達到的最大速度的大小。
圖5.05
答案：（1）將氣球和小石塊作為一個整體；在豎直方向上，氣球（包括小石塊）受到重力G、浮力F和地面支持力FN的作用，據平衡條件有：
由于式中FN是與風速v無關的恒力，而，故氣球連同小石塊不會一起被吹離地面。
（2）氣球的運動可分解成水平方向和豎直方向的兩個分運動，達到最大速度時氣球在水平方向做勻速運動，有
氣球在豎直方向做勻速運動，有：
氣球的最大速度：
聯立求解得：
二、滑輪模型
如圖5.06所示，將一根不可伸長、柔軟的輕繩左、右兩端分別系于A、B兩點上，一物體用動滑輪懸掛在輕繩上，達到平衡時，兩段繩子間的夾角為，繩子張力為；將繩子右端移到C點，待系統達到平衡時，兩段繩子間的夾角為，繩子張力為；將繩子右端再由C點移到D點，待系統達到平衡時，兩段繩子間的夾角為，繩子張力為，不計摩擦，并且BC為豎直線，則（ ）
A. B.
C. D.
圖5.06
解析：由于跨過滑輪上繩上各點的張力相同，而它們的合力與重力為一對平衡力，所以從B點移到C點的過程中，通過滑輪的移動，，再從C點移到D點，肯定大于，由于豎直方向上必須有，所以。故只有A選項正確。
如圖5.07所示在車廂中有一條光滑的帶子（質量不計），帶子中放上一個圓柱體，車子靜止時帶子兩邊的夾角∠ACB=90°，若車廂以加速度a=7.5m/s2向左勻加速運動，則帶子的兩邊與車廂頂面夾角分別為多少？
圖5.07
解析：設車靜止時AC長為，當小車以向左作勻加速運動時，由于AC、BC之間的類似于“滑輪”，故受到的拉力相等，設為FT，圓柱體所受到的合力為ma，在向左作勻加速，運動中AC長為，BC長為
由幾何關系得
由牛頓運動定律建立方程：
代入數據求得
如圖5.08所示，細繩繞過兩個定滑輪A和B，在兩端各掛一個重為P的物體，現在A、B的中點C處掛一個重為Q的小球，Q<2P，求小球可能下降的最大距離h。已知AB的長為2L，不計滑輪和繩之間的摩擦力及繩的質量。
圖5.08
解析：選小球Q和兩重物P構成的整體為研究對象，該整體的速率從零開始逐漸增為最大，緊接著從最大又逐漸減小為零（此時小球下降的距離最大為h），如圖4在整個過程中，只有重力做功機械能守恒。
圖4
因重為Q的小球可能下降的最大距離為h，所以重為P的兩物體分別上升的最大距離均為。
考慮到整體初、末位置的速率均為零，故根據機械能守恒定律知，重為Q的小球重力勢能的減少量等于重為P的兩個物體重力勢能的增加量，即。
從而解得
如圖5.09輕繩AD跨過固定在水平橫梁BC右端的定滑輪掛住一個質量為M1的物體。∠ACB=30°；圖（b）中輕桿HG一端用鉸鏈固定在豎直墻上，另一端G通過細繩EG拉住，EG與水平方向也成30°，輕桿的G點用細繩GF拉住一個質量為M2的物體，求細繩AC段的張力FTAC與細繩EG的張力FTEG之比？
圖4.09
圖5.09
解析：圖（a）中繩AC段的拉力FTAC＝M1g
圖（b）中由于FTEGsin30°=M2g，解得：
如圖5.10所示，質量分別為M和m（M>m）的小物體用輕繩連接；跨放在半徑為R的光滑半圓柱體和光滑定滑輪B上，m位于半圓柱體底端C點，半圓柱體頂端A點與滑輪B的連線水平。整個系統從靜止開始運動。設m能到達圓柱體的頂端，試求：
（1）m到達圓柱體的頂端A點時，m和M的速度。
（2）m到達A點時，對圓柱體的壓力。
圖5.10
答案：（1）
（2）
三、渡河模型
如圖5.11所示，人用繩子通過定滑輪以不變的速度拉水平面上的物體A，當繩與水平方向成θ角時，求物體A的速度。
圖5.11
解：本題的關鍵是正確地確定物體A的兩個分運動。物體A的運動（即繩的末端的運動）可看作兩個分運動的合成：一是沿繩的方向被牽引，繩長縮短。繩長縮短的速度即等于；二是隨著繩以定滑輪為圓心的擺動，它不改變繩長，只改變角度θ的值。這樣就可以將按圖示方向進行分解。所以及實際上就是的兩個分速度，如圖所示，由此可得。
如圖5.12所示，某人通過一根跨過定滑輪的輕繩提升一個質量為m的重物，開始時人在滑輪的正下方，繩下端A點離滑輪的距離為H。人由靜止拉著繩向右移動，當繩下端到B點位置時，人的速度為v，繩與水平面夾角為θ。問在這個過程中，人對重物做了多少功？
解析：人移動時對繩的拉力不是恒力，重物不是做勻速運動也不是做勻變速運動，故無法用求對重物做的功，需從動能定理的角度來分析求解。
當繩下端由A點移到B點時，重物上升的高度為：
重力做功的數值為：
當繩在B點實際水平速度為v時，v可以分解為沿繩斜向下的分速度和繞定滑輪逆時針轉動的分速度，其中沿繩斜向下的分速度和重物上升速度的大小是一致的，從圖中可看出：
以重物為研究對象，根據動能定理得：
一條寬度為L的河，水流速度為，已知船在靜水中速度為，那么：
（1）怎樣渡河時間最短？
（2）若，怎樣渡河位移最小？
（3）若，怎樣渡河船漂下的距離最短？
解析：（1）小船過河問題，可以把小船的渡河運動分解為它同時參與的兩個運動，一是小船運動，一是水流的運動，船的實際運動為合運動。如圖4所示。設船頭斜向上游與河岸成任意角θ。這時船速在垂直于河岸方向的速度分量為，渡河所需要的時間為，可以看出：L、v船一定時，t隨sinθ增大而減小；當時，（最大）。所以，船頭與河岸垂直。
圖4
（2）如圖5所示，渡河的最小位移即河的寬度。為了使渡河位移等于L，必須使船的合速度v的方向與河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。這時船頭應指向河的上游，并與河岸成一定的角度θ，所以有，即。
圖5
因為，所以只有在時，船才有可能垂直河岸渡河。
（3）若，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游，怎樣才能使漂下的距離最短呢？
如圖6所示，設船頭v船與河岸成θ角。合速度v與河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距離x越短，那么，在什么條件下α角最大呢？以v水的矢尖為圓心，v船為半徑畫圓，當v與圓相切時，α角最大，根據
圖6
船頭與河岸的夾角應為，船沿河漂下的最短距離為：
此時渡河的最短位移：
小河寬為d，河水中各點水流速度大小與各點到較近河岸邊的距離成正比，，x是各點到近岸的距離，小船船頭垂直河岸渡河，小船劃水速度為，則下列說法中正確的是（ ）
A. 小船渡河的軌跡為曲線
B. 小船到達離河岸處，船渡河的速度為
C. 小船渡河時的軌跡為直線
D. 小船到達離河岸處，船的渡河速度為
答案：A
圖5.12

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