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第三章 功和能
一、水平方向的彈性碰撞
在光滑水平地面上有兩個(gè)相同的彈性小球A、B，質(zhì)量都為m，現(xiàn)B球靜止，A球向B球運(yùn)動(dòng)，發(fā)生正碰。已知碰撞過(guò)程中總機(jī)械能守恒，兩球壓縮最緊時(shí)的彈性勢(shì)能為EP，則碰前A球的速度等于（ ）
A. B. C. D.
解析：設(shè)碰前A球的速度為v0，兩球壓縮最緊時(shí)的速度為v，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得出，由能量守恒定律得，聯(lián)立解得，所以正確選項(xiàng)為C。
在原子核物理中，研究核子與核子關(guān)聯(lián)的最有效途徑是“雙電荷交換反應(yīng)”。這類反應(yīng)的前半部分過(guò)程和下述力學(xué)模型類似，兩個(gè)小球A和B用輕質(zhì)彈簧相連，在光滑的水平直軌道上處于靜止?fàn)顟B(tài)，在它們左邊有一垂直于軌道的固定擋板P，右邊有一小球C沿軌道以速度v0射向B球，如圖3.01所示，C與B發(fā)生碰撞并立即結(jié)成一個(gè)整體D，在它們繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)彈簧長(zhǎng)度變到最短時(shí)，長(zhǎng)度突然被鎖定，不再改變，然后，A球與擋板P發(fā)生碰撞，碰后A、D都靜止不動(dòng)，A與P接觸而不粘連，過(guò)一段時(shí)間，突然解除鎖定（鎖定及解除鎖定均無(wú)機(jī)械能損失），已知A、B、C三球的質(zhì)量均為m。
圖3.01
（1）求彈簧長(zhǎng)度剛被鎖定后A球的速度。
（2）求在A球離開(kāi)擋板P之后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能。
解析：（1）設(shè)C球與B球粘結(jié)成D時(shí)，D的速度為v1，由動(dòng)量守恒得當(dāng)彈簧壓至最短時(shí)，D與A的速度相等，設(shè)此速度為v2，由動(dòng)量守恒得，由以上兩式求得A的速度。
（2）設(shè)彈簧長(zhǎng)度被鎖定后，貯存在彈簧中的勢(shì)能為EP，由能量守恒，有撞擊P后，A與D的動(dòng)能都為零，解除鎖定后，當(dāng)彈簧剛恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)，勢(shì)能全部轉(zhuǎn)彎成D的動(dòng)能，設(shè)D的速度為v3，則有
以后彈簧伸長(zhǎng)，A球離開(kāi)擋板P，并獲得速度，當(dāng)A、D的速度相等時(shí)，彈簧伸至最長(zhǎng)，設(shè)此時(shí)的速度為v4，由動(dòng)量守恒得
當(dāng)彈簧伸到最長(zhǎng)時(shí)，其勢(shì)能最大，設(shè)此勢(shì)能為EP'，由能量守恒，有解以上各式得。
圖3.02中，輕彈簧的一端固定，另一端與滑塊B相連，B靜止在水平直導(dǎo)軌上，彈簧處在原長(zhǎng)狀態(tài)。另一質(zhì)量與B相同滑塊A，從導(dǎo)軌上的P點(diǎn)以某一初速度向B滑行，當(dāng)A滑過(guò)距離l1時(shí)，與B相碰，碰撞時(shí)間極短，碰后A、B緊貼在一起運(yùn)動(dòng)，但互不粘連。已知最后A恰好返回出發(fā)點(diǎn)P并停止，滑塊A和B與導(dǎo)軌的滑動(dòng)摩擦因數(shù)都為，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧最大形變量為l2，重力加速度為g，求A從P出發(fā)的初速度v0。
圖3.02
解析：令A(yù)、B質(zhì)量皆為m，A剛接觸B時(shí)速度為v1（碰前）
由功能關(guān)系，有
A、B碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，令碰后A、B共同運(yùn)動(dòng)的速度為v2
有
碰后A、B先一起向左運(yùn)動(dòng)，接著A、B一起被彈回，在彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)，設(shè)A、B的共同速度為v3，在這一過(guò)程中，彈簧勢(shì)能始末狀態(tài)都為零，利用功能關(guān)系，有
此后A、B開(kāi)始分離，A單獨(dú)向右滑到P點(diǎn)停下，由功能關(guān)系有
由以上各式，解得
用輕彈簧相連的質(zhì)量均為2kg的A、B兩物塊都以的速度在光滑水平地面上運(yùn)動(dòng)，彈簧處于原長(zhǎng)，質(zhì)量為4kg的物體C靜止在前方，如圖3.03所示，B與C碰撞后二者粘在一起運(yùn)動(dòng)。求在以后的運(yùn)動(dòng)中，
（1）當(dāng)彈簧的彈性勢(shì)能最大時(shí)物體A的速度多大？
（2）彈性勢(shì)能的最大值是多大？
（3）A的速度有可能向左嗎？為什么？ 圖3.03
解析：（1）當(dāng)A、B、C三者的速度相等時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大，由于A、B、C三者組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有
解得：
（2）B、C碰撞時(shí)B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)碰后瞬間B、C兩者速度為，則
設(shè)物塊A速度為vA時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大為EP，根據(jù)能量守恒
（3）由系統(tǒng)動(dòng)量守恒得
設(shè)A的速度方向向左，，則
則作用后A、B、C動(dòng)能之和
實(shí)際上系統(tǒng)的機(jī)械能
根據(jù)能量守恒定律，是不可能的。故A不可能向左運(yùn)動(dòng)。
如圖3.04所示，在光滑水平長(zhǎng)直軌道上，A、B兩小球之間有一處于原長(zhǎng)的輕質(zhì)彈簧，彈簧右端與B球連接，左端與A球接觸但不粘連，已知，開(kāi)始時(shí)A、B均靜止。在A球的左邊有一質(zhì)量為的小球C以初速度向右運(yùn)動(dòng)，與A球碰撞后粘連在一起，成為一個(gè)復(fù)合球D，碰撞時(shí)間極短，接著逐漸壓縮彈簧并使B球運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，D球與彈簧分離（彈簧始終處于彈性限度內(nèi)）。
圖3.04
（1）上述過(guò)程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能是多少？
（2）當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)B球速度是多大？
（3）若開(kāi)始時(shí)在B球右側(cè)某位置固定一塊擋板（圖中未畫出），在D球與彈簧分離前使B球與擋板發(fā)生碰撞，并在碰后立即將擋板撤走，設(shè)B球與擋板碰撞時(shí)間極短，碰后B球速度大小不變，但方向相反，試求出此后彈簧的彈性勢(shì)能最大值的范圍。
答案：（1）設(shè)C與A相碰后速度為v1，三個(gè)球共同速度為v2時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，由動(dòng)量守恒，能量守恒有：
（2）設(shè)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，D球速度為，B球速度為
則有
（3）設(shè)B球與擋板相碰前瞬間D、B兩球速度
與擋板碰后彈性勢(shì)能最大，D、B兩球速度相等，設(shè)為
當(dāng)時(shí)，最大
時(shí)，最小，
所以
二、水平方向的非彈性碰撞
如圖3.05所示，木塊與水平彈簧相連放在光滑的水平面上，子彈沿水平方向射入木塊后留在木塊內(nèi)（時(shí)間極短），然后將彈簧壓縮到最短。關(guān)于子彈和木塊組成的系統(tǒng)，下列說(shuō)法真確的是
從子彈開(kāi)始射入到彈簧壓縮到最短的過(guò)程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒
子彈射入木塊的過(guò)程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒
子彈射入木塊的過(guò)程中，系統(tǒng)動(dòng)量不守恒
木塊壓縮彈簧的過(guò)程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒
圖3.05
答案：B
如圖3.06所示，一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為M的長(zhǎng)方形木塊，靜止在光滑水平面上，一個(gè)質(zhì)量為m的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），以水平初速度從木塊的左端滑向右端，設(shè)物塊與木塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，當(dāng)物塊與木塊達(dá)到相對(duì)靜止時(shí)，物塊仍在長(zhǎng)木塊上，求系統(tǒng)機(jī)械能轉(zhuǎn)化成內(nèi)能的量Q。
圖3.06
解析：可先根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出m和M的共同速度，再根據(jù)動(dòng)能定理或能量守恒求出轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的量Q。
對(duì)物塊，滑動(dòng)摩擦力做負(fù)功，由動(dòng)能定理得：
即對(duì)物塊做負(fù)功，使物塊動(dòng)能減少。
對(duì)木塊，滑動(dòng)摩擦力對(duì)木塊做正功，由動(dòng)能定理得，即對(duì)木塊做正功，使木塊動(dòng)能增加，系統(tǒng)減少的機(jī)械能為：
本題中，物塊與木塊相對(duì)靜止時(shí)，，則上式可簡(jiǎn)化為：
又以物塊、木塊為系統(tǒng)，系統(tǒng)在水平方向不受外力，動(dòng)量守恒，則：
聯(lián)立式<2>、<3>得：
故系統(tǒng)機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的量為：
如圖3.07所示，光滑水平面地面上放著一輛兩端有擋板的靜止的小車，車長(zhǎng)L＝1m，一個(gè)大小可忽略的鐵塊從車的正中央以速度向右沿車滑行。鐵塊與小車的質(zhì)量均等于m，它們之間的動(dòng)摩擦因數(shù)，鐵塊與擋板碰撞過(guò)程中機(jī)械能不損失，且碰撞時(shí)間可以忽略不計(jì)，取，求從鐵快由車的正中央出發(fā)到兩者相對(duì)靜止需經(jīng)歷的時(shí)間。
圖3.07
答案：
如圖3.08所示，電容器固定在一個(gè)絕緣座上，絕緣座放在光滑水平面上，平行板電容器板間的距離為d，右極板上有一小孔，通過(guò)孔有一左端固定在電容器左極板上的水平絕緣光滑細(xì)桿，電容器極板以及底座、絕緣桿總質(zhì)量為M，給電容器充電后，有一質(zhì)量為m的帶正電小環(huán)恰套在桿上以某一初速度v0對(duì)準(zhǔn)小孔向左運(yùn)動(dòng)，并從小孔進(jìn)入電容器，設(shè)帶電環(huán)不影響電容器板間電場(chǎng)分布。帶電環(huán)進(jìn)入電容器后距左板的最小距離為0.5d，試求：
（1）帶電環(huán)與左極板相距最近時(shí)的速度v；
（2）此過(guò)程中電容器移動(dòng)的距離s。
（3）此過(guò)程中能量如何變化？
圖3.08
答案：（1）帶電環(huán)進(jìn)入電容器后在電場(chǎng)力的作用下做初速度為v0的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，而電容器則在電場(chǎng)力的作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它們的速度相等時(shí)，帶電環(huán)與電容器的左極板相距最近，由系統(tǒng)動(dòng)量守恒定律可得：
動(dòng)量觀點(diǎn)：
力與運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)：
設(shè)電場(chǎng)力為F
（2）能量觀點(diǎn)（在第（1）問(wèn)基礎(chǔ)上）：
對(duì)m：
對(duì)M：
所以
運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)：
對(duì)M：，對(duì)m：
，解得：
帶電環(huán)與電容器的速度圖像如圖5所示。由三角形面積可得：
圖5
解得：
（3）在此過(guò)程，系統(tǒng)中，帶電小環(huán)動(dòng)能減少，電勢(shì)能增加，同時(shí)電容器等的動(dòng)能增加，系統(tǒng)中減少的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為電勢(shì)能。
三、人船模型
如圖3.09所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為M的小船停在靜水中，質(zhì)量為m的人從靜止開(kāi)始從船頭走到船尾，不計(jì)水的阻力，求船和人對(duì)地面的位移各為多少？
圖3.09
解析：以人和船組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，在人由船頭走到船尾的過(guò)程中，系統(tǒng)在水平方向不受外力作用，所以整個(gè)系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒。當(dāng)人起步加速前進(jìn)時(shí)，船同時(shí)向后做加速運(yùn)動(dòng)；人勻速運(yùn)動(dòng)，則船勻速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)人停下來(lái)時(shí)，船也停下來(lái)。設(shè)某時(shí)刻人對(duì)地的速度為v，船對(duì)地的速度為v'，取人行進(jìn)的方向?yàn)檎较颍鶕?jù)動(dòng)量守恒定律有：，即
因?yàn)槿擞纱^走到船尾的過(guò)程中，每一時(shí)刻都滿足動(dòng)量守恒定律，所以每一時(shí)刻人的速度與船的速度之比，都與它們的質(zhì)量之比成反比。因此人由船頭走到船尾的過(guò)程中，人的平均速度v與船的平均速度v也與它們的質(zhì)量成反比，即，而人的位移，船的位移，所以船的位移與人的位移也與它們的質(zhì)量成反比，即
<1>式是“人船模型”的位移與質(zhì)量的關(guān)系，此式的適用條件：原來(lái)處于靜止?fàn)顟B(tài)的系統(tǒng)，在系統(tǒng)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，某一個(gè)方向的動(dòng)量守恒。由圖1可以看出：
由<1><2>兩式解得
如圖3.10所示，質(zhì)量為M的小車，上面站著一個(gè)質(zhì)量為m的人，車以v0的速度在光滑的水平地面上前進(jìn)，現(xiàn)在人用相對(duì)于小車為u的速度水平向后跳出后，車速增加Δv，則計(jì)算Δv的式子正確的是：（ ）
A.
B.
C.
D. 圖3.10
答案：CD
如圖3.11所示，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點(diǎn)O兩側(cè)的人的序號(hào)都記為n（n＝1，2，3，…），每人只有一個(gè)沙袋，x>0一側(cè)的沙袋質(zhì)量為14千克，x<0一側(cè)的沙袋質(zhì)量為10千克。一質(zhì)量為M＝48千克的小車以某初速度從原點(diǎn)出發(fā)向正x方向滑行。不計(jì)軌道阻力。當(dāng)車每經(jīng)過(guò)一人身旁時(shí)，此人就把沙袋以水平速度u朝與車速相反的方向沿車面扔到車上，u的大小等于扔此袋之前瞬間車速大小的2n倍（n是此人的序號(hào)數(shù)）。
圖3.11
空車出發(fā)后，車上堆積了幾個(gè)沙袋時(shí)車就反向滑行？
車上最終會(huì)有幾個(gè)沙袋？
　(1)在小車朝正x方向滑行的過(guò)程中,第(n-1)個(gè)沙袋扔到車上后的車速為vn-1,第n個(gè)沙袋扔到車上后的車速為vn,由動(dòng)量守恒定律有
　　
　　小車反向運(yùn)動(dòng)的條件是vn-1>0,vn<0,即
　　M-nm>0 ②
　　M-(n+1)m<0 ③
　　代入數(shù)字,得
　　
　　n應(yīng)為整數(shù),故n=3,即車上堆積3個(gè)沙袋后車就反向滑行.
　　(2)車自反向滑行直到接近x<0一側(cè)第1人所在位置時(shí),車速保持不變,而車的質(zhì)量為M+3m.若在朝負(fù)x方向滑行過(guò)程中,第(n-1)個(gè)沙袋扔到車上后車速為vn-1′,第n個(gè)沙袋扔到車上后車速為vn′,現(xiàn)取在圖中向左的方向(負(fù)x方向)為速度vn′、vn-1′的正方向,則由動(dòng)量守恒定律有
　　
　　車不再向左滑行的條件是
vn-1′>0,vn′≤0
　　即 M+3m-nm′>0 ⑤
　　M+3m-(n+1)m′≤0 ⑥
　　
　　n=8時(shí),車停止滑行,即在x<0一側(cè)第8個(gè)沙袋扔到車上后車就停住.故車上最終共有大小沙袋3+8=11個(gè).
四、爆炸反沖模型
如圖3.12所示海岸炮將炮彈水平射出，炮身質(zhì)量（不含炮彈）為M，每顆炮彈質(zhì)量為m，當(dāng)炮身固定時(shí)，炮彈水平射程為s，那么當(dāng)炮身不固定時(shí)，發(fā)射同樣的炮彈，水平射程將是多少？
圖3.12
解析：兩次發(fā)射轉(zhuǎn)化為動(dòng)能的化學(xué)能E是相同的。第一次化學(xué)能全部轉(zhuǎn)化為炮彈的動(dòng)能；第二次化學(xué)能轉(zhuǎn)化為炮彈和炮身的動(dòng)能，而炮彈和炮身水平動(dòng)量守恒，由動(dòng)能和動(dòng)量的關(guān)系式知，在動(dòng)量大小相同的情況下，物體的動(dòng)能和質(zhì)量成反比，炮彈的動(dòng)能，由于平拋的射高相等，兩次射程的比等于拋出時(shí)初速度之比，即：，所以。
思考：有一輛炮車總質(zhì)量為M，靜止在水平光滑地面上，當(dāng)把質(zhì)量為m的炮彈沿著與水平面成θ角發(fā)射出去，炮彈對(duì)地速度為，求炮車后退的速度。
提示：系統(tǒng)在水平面上不受外力，故水平方向動(dòng)量守恒，炮彈對(duì)地的水平速度大小為，設(shè)炮車后退方向?yàn)檎较颍瑒t
在光滑地面上，有一輛裝有平射炮的炮車，平射炮固定在炮車上，已知炮車及炮身的質(zhì)量為M，炮彈的質(zhì)量為m；發(fā)射炮彈時(shí)，炸藥提供給炮身和炮彈的總機(jī)械能E0是不變的。若要使剛發(fā)射后炮彈的動(dòng)能等于E0，即炸藥提供的能量全部變?yōu)榕趶椀膭?dòng)能，則在發(fā)射前炮車應(yīng)怎樣運(yùn)動(dòng)？
答案：若在發(fā)射前給炮車一適當(dāng)?shù)某跛俣葀0，就可實(shí)現(xiàn)題述的要求。
在這種情況下，用v表示發(fā)射后炮彈的速度，V表示發(fā)射后炮車的速度，由動(dòng)量守恒可知：
由能量關(guān)系可知：
按題述的要求應(yīng)有
由以上各式得：

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