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蝴蝶定理：
蝴蝶定理: 過圓內(nèi)一點(diǎn) ，引出三條弦 , , ，且 M 是 的中點(diǎn)，直線 與直線 交直絨 于 ，
則 =
證明: 作 ⊥ , ⊥ ，則 , 分別是 , 的中點(diǎn)
注意到 ∠ = ∠ = 90 ，從而 , , , 四點(diǎn)共圖，進(jìn)而 ∠ = ∠
同理，可知 ∠ = ∠
注意到 △ △ ，且 , 是這對相似三角形的對應(yīng)點(diǎn)，那么 ∠ = ∠ ，即 ∠ = ∠ ，
從而 = ，證畢。
外接圖形為任意二次曲線的蝴蝶定理
定理: 在圓錐曲線中，過弦 的中點(diǎn) 任作兩條弦 , ，直線 , 交 于點(diǎn) , , 則 =
1 1 1 1
Candy 定理: 過圓中一點(diǎn) 引出三條弦 , , , 直線 , 交直線 于 , ，則 =

1
此定理也適用于二次曲線，橢圓，雙曲線，拋物線。
2 2
例 1.已知橢圓 : + = 1 的左、右頂點(diǎn)分別為 , ，過橢圓右焦點(diǎn) 的直線 與橢圓交于 , 兩點(diǎn)，且直
16 12
線 的斜率不為 0 . 分別記直線 和 的斜率為 1 與 2 ，問是否存在常數(shù) ，使得在直線 轉(zhuǎn)動過程
中，有 1 = 2 恒成立
設(shè) ( 1, 1), ( 2, 2) ，直戰(zhàn) : = + 2
1 2
1 = , = 21 + 4 2 4
1 1( 2 4) 2
1 4 1
= = =
2 2( 1 + 4) 1 2 + 4 2
來到這個位置，通常有以下幾種處理手法。
法一、常規(guī)非對稱問題手法

用 = + 2 消去 . 得到 = 2
( 2;2) ;2 = 1 2 1
2( 1:6) 1 2:6 2
;144 ;48
由韋達(dá)式 1 2 = , + = . 12 2:16 1 2 12 2:16
:3
可得 = 3( + ) ，代入上式，得到 = 1 2
1
1 2 1 2 = 3 1:9 2 3
法二、三點(diǎn)共線

因?yàn)? , , 三點(diǎn)共線，故有 1 = 2 .
1;2 1;2
整理可得 1 2 2 1 = 2( 2 1)
;384
1 2 + 2 1 = 12 2又由基本量 { :16;48 , 可得 1 2 + 2 1 = 8( 1 + 2)
1 + 2 = 12 2:16
2
1 2 2 1 = 2( 2 1) 1 2 = 3 1 + 5 所以由 { 解得 { 2
1 2 + 2 1 = 8( 1 + 2) 2 1 = 5 1 + 3 2
;4 :3 1
從而 = 2 1 1 = 1 2 =
1 2:4 2 3 1:9 2 3
法三、設(shè)點(diǎn)法
5 ;16 3
設(shè) ( , ), 由直線 與橢圓聯(lián)立解得 ( 0 , 00 0 ) 0;5 0;5
2 2
例 2．已知橢圓 : + = 1 與定點(diǎn) (0, 2) ，經(jīng)過點(diǎn) (0,1) 且斜率存在的直線 交橢圓于 , 兩點(diǎn)，點(diǎn)
6 4
與點(diǎn) 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，連接 , ，求證: 存在實(shí)數(shù) ，使 = 成立。
它們有以下其同特點(diǎn)，請看下圖
耳繞 過坐際軸上一定點(diǎn)
3
2 2
因?yàn)? = 2 ，又有 = ，從而
=
2

2 2
情形 1. 設(shè)橢圓 : 2 + 2 = 1 的左、右頂點(diǎn)分別為 , ，橢圓的弦 過定點(diǎn) ( , 0) ，直線 斜率為 且

≠ 0 ，求 的值.

2 2
設(shè) ( 1, 1), ( 2, 2) ，因點(diǎn) 在橢圓上，有
2
2 +
2
2 = 1 ，
因 異于 , 兩點(diǎn)，故 2 ≠ ± ，從 而有
2 22 2 2
=
2 2
= =
2 +

2 2 2

另有 2 1 1 2 = = 2: 1: ( 1: )( 2: )
考慮到關(guān)于 的式子較復(fù)雜，故沒直線 : = ( ) 與橢圓聯(lián)立消去 .
聯(lián)立為 ( ) = ( 2 2 + 2) 2 + ( 2 2 2) + 2( 2 2 2) = 0.
(; )
令 = 得， ( 1 + )( 2 + ) = 2 2 2 :
2( 2; 2) 2
代入原式中， = 4 2 :2 2 2: 2 2 2; 2 2: 2 2
由于 ≠ 0 且 ≠ ，
2( 2; 2) 2( ; )
化簡得 = = 2( : )2 2( : )
2
又因 = 2 ，上下兩式作商得
4

=
+
1
用例題的數(shù)據(jù)驗(yàn)證一下，代入 = 2， = 4 ，從而 =
RQQ 3
情形 2. 將定點(diǎn)換到 軸上，如下圖 (0, )
2 2 :
有 = 2 與 = ( ) 2 ;
;
兩式作商有 =
:
2 2
例 3.已知橢圓 : + = 1 長軸的兩個端點(diǎn)分別為 , ，直線 : = + 1 交橢圓于點(diǎn) , , 記直線 ,
6 4

的斜率分別為 1, 2 ，若
1 = 2, 求 的值.
2
解：設(shè) : = + 1過 軸上的點(diǎn)為( , 0)，由蝴蝶定理可得
1
= 2 =
2 +
√6解得 = =
3 3
又 : = + 1過點(diǎn)(0,1)
√6
∴ = ；
2
2 2
例 4．已知橢圓 : + = 1 的左焦點(diǎn)為 ，過 且斜率為 ( ≠ 0) 的直線與橢圓交于 , 兩點(diǎn)，定點(diǎn)
9 5 1 1

(1,0). 延長 , 分別與橢圓交于 , 兩點(diǎn)，直線 的鈄率為 ，求證: 12 為定值. 2
5
解：此題得用設(shè)點(diǎn)法來做，
設(shè)點(diǎn) ( 0, 0) ，在求 點(diǎn)坐標(biāo)時需要經(jīng)過兩次聯(lián)立求點(diǎn)，運(yùn)算量大; 這么做破壞了點(diǎn) , 的輪換對稱性。
所以考慮設(shè)兩點(diǎn) ( 1, 1), ( 2, 2) ，考慮到地位等價，應(yīng)該不會出現(xiàn)非對稱情況。而且聯(lián)立求點(diǎn)只需要進(jìn)行一次,
第二次同理即可, 省掉不少功夫。
因此，主要目標(biāo)是分別利用直線 , 求出 , 兩點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式表示 2,
5 ;9 4
直線 : 0 = 1 ( 1) 與橢圓聯(lián)立。解得 ( 1 , 1 )
1;1 1;5 1;5
5 ;9 4
對直能 如法炮制得到 ( 2 , 2 )
2;5 2;5
所以充分利用輪換對稱性的好處就是只需要換個下標(biāo)就能解決問題.
從而

2 =
4 2 4 1
5 5
= 2 1
5 2 9 5 1 9
2 5 1 5
4 2( 1 5) 4 1( 2 5)
=
(5 2 9)( 1 5) (5 1 9)( 2 5)
4( 1 2 2 1) + 20( 1 2)
=
16( 1 2)
出現(xiàn)形側(cè) 1 2 2 1 的式子，考慮利用 , , 三點(diǎn)共線將它構(gòu)造出來，
1 2
= = 1 + 2 2 + 2
整理得到 1 2 2 1 = 2( 1 2) ，代入未完成的上式，
28( 1 2) 7 1 4
2 = = 16( ) 4 1
, 所以 =
1 2 2 7
2 2
例 5．已知橢圓 : + = 1，左右頂點(diǎn)分別為 1 2，過右焦點(diǎn) 作直線 交橢圓于 , 兩點(diǎn)，直線 1 的斜率為 1，直4 3

線 2 的斜率為 ，則
1
2 的值。 2
6
解：設(shè) 過 軸上的點(diǎn) (1,0)，由蝴蝶定理可得
1 1
= 2 = =
2 + 3
2 2
例 6．已知橢圓 : + = 1，過橢圓的左焦點(diǎn) 任做一條弦 （不與長軸重合），點(diǎn) 是橢圓的左右頂點(diǎn)，設(shè)直
9 5
1
線 的斜率為 1，直線 的斜率為 2，則 1 2 + 2 的最小值為__________. 2
解：解：設(shè) 過 軸上的點(diǎn) ( 2,0)，由蝴蝶定理可得
1
= 2 = = 5
2 +
1 = 5 2
1 1
1 2 + 2 = 5
2
2 + 2 ≥ 2√5 2 2
例 7． (2022 年全國甲卷 21 題改編) 設(shè)拋物線 : 2 = 2 ( > 0) 的焦點(diǎn)為 , 點(diǎn) ( , 0),過 的直線交 于
, 兩點(diǎn). 當(dāng)直線 垂直于 軸時, | | = 3.
(1) 求 的方程; ( 2 = 4 )

(2)直線 , 分別交拋物線于 , 兩點(diǎn)， 的斜率為 1, 的斜率為 2, 求
1
2
7
解：由題意知， (1,0)， (2,0), ( , 0)，由蝴蝶定理可得
1
=
2
1 1 1 1
由 Candy 定理: =
∞
= 2，
1 = = 2；
2
2 2
例 8.已知橢圓 : 2 + 2 = 1( > > 0) 上的點(diǎn)到焦點(diǎn) 的最小距離為 1，且以橢圓 的短軸為直徑的圓過點(diǎn)
(0,√5) 且 ， 為橢圓的左右頂點(diǎn)．
（1）求橢圓 的方程；
（2）過 (2,0) 直線交橢圓于 ， 兩點(diǎn)（ 在第一象限），直線 、 的斜率為 1 ， 2 ，是否存
在實(shí)數(shù) ，使得 1 = 2 ，若存在，求出實(shí)數(shù) 的值；若不存在，說明理由．
= 1
【答案】 （1）解：由題意可得： * ，
= √5
∴ = 3, = √5,
2 2
∴橢圓 的方程為 + = 1 ．
9 5
（2）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù) ，使得 1 = 2 ；
由題意可知直線 斜率不為零，
設(shè) : = + 2 ， ( 1, 1) ( 2, 2) 且 1 > 0, 2 < 0 ， 1 ≠ 3 ， 2 ≠ 3
2 2
+ = 1
* 9 5 可得 (5 2 + 9) 2 + 20 25 = 0
= + 2
20 25
∴ > 0, 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ， 5 :9 5 :9
5
∴ 1 2 = ( 1 + 2) 4
2
1 2+3 ( 1;3) 2 ( 1;1) ; ∴ = = = = 2 = 1 2 2 1 2 ( 2:3) 1 ( 2:5) 1 1 2:5 11 3
5 5 1
( 1: 2); :
= 4
2 4 1 4 2 1
5 = 5 1 = ．
( 1: 2):5 4 1
5( 1: 4 4 2
) 5
8
1
故存在實(shí)數(shù) = ，使得
5 1
= 2 成立.
2 2
例 9.如圖，已知橢圓 : 2 + 2 = 1( > > 0)
3 1
過點(diǎn) (1, ) ，離心率為 ， , 分別是橢圓 的左、右
2 2
頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn) 且斜率為 ( > 0) 的直線 與橢圓 相交于 , 兩點(diǎn)．
（1）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
6
（2）記 △ 、 △ 的面積分別為 1 、 2 ，若
1 =
5 ，求 的值； 2

（3）記直線 、 的斜率分別為 1 、 2 ，求
2 .
的值1
【答案】（1）解：設(shè)橢圓的焦距為 2 ，
1 9
+ 2 2
= 1
3 1 4 2 = 4
∵ 橢圓過點(diǎn) (1, ) ，離心率為 ， ∴ ，解得： { ，
2 2 2 2
2 2
1 = 3
{ 2 = 2 = 4
2 2
∴ 橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為： + = 1 . 4 3
（2）解：設(shè)點(diǎn) ( 1, 1) 、 ( 2, 2) ，
1
1 6 | | | | 6∵ = 2 1
5 ， ∴ 1 = ，由（1）可知： 5 | | = + = 3
， | | = = 1 ，
2 | | | |
2 2
3| 1| 6∴ = 2
→ 2 →
| | 5 ，即
| 1| = | 5 2|
， ∴ = ，
2 5
2 7 2
1 1 = (1 5 2) 1 = ∴ { ，即 { 5 5
2
2 2
1 = 2 1 = 5 5 2
2 2
(7 2 2) (
2 ) 5
5 5 + 5
2
= 1 2 = 4
又 , 在橢圓 上， ∴ 4 3 ，解得： { ，
2 2 3√ 13
2 2 = + = 1 2 8
{ 4 3
3
√13
√13
∴ 直線 的斜率 = 8 = .
5 1 64
（3）解：由題意得：直線 的方程為 = ( 1) ，
9
= ( 1)
由 { 2 2 消去 得： (3 + 4
2) 2 8 2 + 4 2 12 = 0 ，
4 + 3 = 1
2 2
8 4 12
∴ 1 + 2 = ， 2 1 2 = ， 2
4 +3 4 +3
2 22 4 12+2 ( 8 ) 2
2 2 2 2( 1+2) ( 2 1)( 1+2) 1 2+2 2 2
2 2 2
∴ = = = = 2 1 = 4 +3 4 +3
2 2
=
1 1 1( 2 2) ( 1 1)( 2 2) 1 2 2 1 2+2 4 12 2( 8 1+2 2) 2+22 2
4 +3 4 +3
2 2
12 18+3 3( 4 62 + 2 2 2)
4 +3 4 +3
2 = 2 = 3 ，
4 6+ 4 6+
2 2 2 2
4 +3 4 +3

∴ 2 = 3 .
1
10蝴蝶定理：
蝴蝶定理: 過圓內(nèi)一點(diǎn) ，引出三條弦 , , ，且 M 是 的中點(diǎn)，直線 與直線 交直絨 于 ，
則 =
外接圖形為任意二次曲線的蝴蝶定理
定理: 在圓錐曲線中，過弦 的中點(diǎn) 任作兩條弦 , ，直線 , 交 于點(diǎn) , , 則 =
1
1 1 1 1
Candy 定理: 過圓中一點(diǎn) 引出三條弦 , , , 直線 , 交直線 于 , ，則 =

此定理也適用于二次曲線，橢圓，雙曲線，拋物線。
2 2
例 1.已知橢圓 : + = 1 的左、右頂點(diǎn)分別為 , ，過橢圓右焦點(diǎn) 的直線 與橢圓交于 , 兩點(diǎn)，且直
16 12
線 的斜率不為 0 . 分別記直線 和 的斜率為 1 與 2 ，問是否存在常數(shù) ，使得在直線 轉(zhuǎn)動過程
中，有 1 = 2 恒成立
2
2 2
例 2．已知橢圓 : + = 1 與定點(diǎn) (0, 2) ，經(jīng)過點(diǎn) (0,1) 且斜率存在的直線 交橢圓于 , 兩點(diǎn)，點(diǎn)
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與點(diǎn) 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，連接 , ，求證: 存在實(shí)數(shù) ，使 = 成立。
3
2 2
情形 1. 設(shè)橢圓 : 2 + 2 = 1 的左、右頂點(diǎn)分別為 , ，橢圓的弦 過定點(diǎn) ( , 0) ，直線 斜率為 且

≠ 0 ，求 的值.

情形 2. 將定點(diǎn)換到 軸上，如下圖 (0, )
4
2 2
例 3.已知橢圓 : + = 1 長軸的兩個端點(diǎn)分別為 , ，直線 : = + 1 交橢圓于點(diǎn) , , 記直線 ,
6 4

的斜率分別為 1, 2 ，若
1 = 2, 求 的值.
2
2 2
例 4．已知橢圓 : + = 1 的左焦點(diǎn)為 ，過 且斜率為 1( 1 ≠ 0) 的直線與橢圓交于 , 兩點(diǎn)，定點(diǎn) 9 5

(1,0). 延長 , 分別與橢圓交于 , 兩點(diǎn)，直線 的鈄率為 ，求證: 12 為定值. 2
5
2 2
例 5．已知橢圓 : + = 1，左右頂點(diǎn)分別為 1 2，過右焦點(diǎn) 作直線 交橢圓于 , 兩點(diǎn)，直線 1 的斜率為 ，直4 3 1

線 的斜率為 ，則 12 2 的值。 2
2 2
例 6．已知橢圓 : + = 1，過橢圓的左焦點(diǎn) 任做一條弦 （不與長軸重合），點(diǎn) 是橢圓的左右頂點(diǎn)，設(shè)直
9 5
1
線 的斜率為 1，直線 的斜率為 2，則 1 2 + 2 的最小值為__________. 2
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例 7． (2022 年全國甲卷 21 題改編) 設(shè)拋物線 : 2 = 2 ( > 0) 的焦點(diǎn)為 , 點(diǎn) ( , 0),過 的直線交 于
, 兩點(diǎn). 當(dāng)直線 垂直于 軸時, | | = 3.
(1) 求 的方程; ( 2 = 4 )

(2)直線 , 分別交拋物線于 , 兩點(diǎn)， 的斜率為 1, 的斜率為 2, 求
1
2
2 2
例 8.已知橢圓 : 2 + 2 = 1( > > 0) 上的點(diǎn)到焦點(diǎn) 的最小距離為 1，且以橢圓 的短軸為直徑的圓過點(diǎn)
(0, √5) 且 ， 為橢圓的左右頂點(diǎn)．
（1）求橢圓 的方程；
（2）過 (2,0) 直線交橢圓于 ， 兩點(diǎn)（ 在第一象限），直線 、 的斜率為 1 ， 2 ，是否存
在實(shí)數(shù) ，使得 1 = 2 ，若存在，求出實(shí)數(shù) 的值；若不存在，說明理由．
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例 9.如圖，已知橢圓 : 2 + 2 = 1( > > 0)
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過點(diǎn) (1, ) ，離心率為 ， , 分別是橢圓 的左、右
2 2
頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn) 且斜率為 ( > 0) 的直線 與橢圓 相交于 , 兩點(diǎn)．
（1）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
1 6（2）記 △ 、 △ 的面積分別為 1 、 2 ，若 = ，求 5 的值； 2

（3）記直線 、 的斜率分別為 1 、 2 ，求
2 .
的值1
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