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第 14 章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第 2 課時 兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形
如圖，小明不慎將一塊三角形玻璃打碎為三塊，他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去，就能配一塊與原來一樣的三角形模具嗎？如果可以，帶哪塊去合適
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2
1
Ⅰ
Ⅱ
思考：觀察上面圖形變換，你認為應該帶哪塊去，猜想下這是為什么？
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問題1：如果已知一個三角形的兩角及一邊，那么有幾種可能的情況呢？
A
B
C
A
B
C
圖一
圖二
“兩角及夾邊”
“兩角和其中一角的對邊”
它們能判定兩個三角形全等嗎？
三角形全等的判定（“角邊角”）
作圖探究
先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A′B′C′， 使 A′B′ = AB， ∠A′ =∠A， ∠B′ =∠B (即使兩角和它們的夾邊對應相等).把畫好的△A′B′C′ 剪下，放到△ABC 上，它們全等嗎？
A
C
B
作法：
（1）畫線段 A'B' = AB；
（2）在 A'B' 的同旁畫∠DA'B' =∠A，∠EB'A' =∠B，
A'D，B'E 相交于點 C'.
A′
B′
C′
E
D
想一想：從中你能發現什么規律？
A
C
B
知識要點
“角邊角”判定方法
文字語言：有兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等(簡記為“角邊角”或“ASA”）.
幾何語言：
∠A =∠A′ (已知)，
AB = A′B′ (已知)，
∠B =∠B′ (已知)，
在△ABC 和△A′B′C′ 中，
∴△ABC≌△A′B′C′ (ASA).
A
B
C
A′
B′
C′
例1 已知：如圖，點 A，F，E，C 在同一條直線上，AB∥DC，AB = CD，∠B =∠D.
求證：△ABE≌△CDF.
證明： ∵ AB∥DC，
∴ ∠A =∠C.
在△ABE 和△CDF 中，
∴ △ABE≌△CDF (ASA).
∠A =∠C，
AB = CD，
∠B =∠D，
典例精析
已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求證：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共邊），
∠ACB＝∠DBC（已知），
證明：
在△ABC 和△DCB 中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
練一練
B
C
A
D
如圖，已知∠ACB =∠DBC，∠ABC =∠CDB，判別圖中的兩個三角形是否全等，并說明理由.
不全等，因為 BC 雖然是公共邊，但不是對應邊.
A
B
C
D
議一議
易錯點：判定全等的條件中，必須是對應邊相等，對應角相等，否則不能判定.
例2 如圖， ∠1＝∠2，∠ 3＝∠4，求證：DB＝CB.
證明：∵ ∠DBA +∠3 =180°，
∠ABC +∠4 =180°，∠3＝∠4，
∴∠ABD＝∠ABC(等角的補角相等).
在△ABD 和△ABC 中，
∠1＝ ∠2 (已知)，
AB＝AB(公共邊)，
∠ABD＝∠ABC(已證)，
∴ △ABD≌△ABC(ASA).
∴ DB＝CB .
1
2
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4
“ASA”的判定與性質的綜合運用
例3 如圖，為測量河寬 AB，小軍從河岸的 A 點沿著和 AB 垂直的方向走到 C 點，并在 AC 的中點 E 處立一根標桿，然后從 C 點沿著與 AC 垂直的方向走到 D 點，使 D，E，B 恰好在一條直線上. 于是小軍說：“CD 的長就是河的寬”
你能說出這個
道理嗎？
A
B
E
C
D
解：在△AEB 和△CED 中，
∠A＝∠C＝ 90°，
AE＝CE，
∠AEB＝∠CED (對頂角相等)，
∴ △AEB≌△CED（ASA）.
∴ AB＝CD (全等三角形的對應邊相等).
因此，CD 的長就是河的寬度.
A
B
C
D
E
F
1. 如圖，∠ACB =∠DFE，BC = EF，那么應補充一個條件 ，才能使△ABC≌△DEF (寫出一個即可).
∠B =∠E
（ASA）
AB∥DE
或 AC = DF
（SAS）
D′
∠B =∠E
2. 如圖，點 D 在 AB 上，點 E 在 AC 上，AB = AC，∠B =∠C. 求證：AD = AE.
證明：在△ACD 和△ABE 中，
∠A =____（ ），
_______ ( )，
∠C =____( )，
∴△ACD≌△ABE( )，
∴AD = AE（ ）.
分析：只要找出 ≌ ，得 AD = AE.
△ACD
△ABE
∠A
公共角
AB = AC
∠B
ASA
全等三角形的對應邊相等
已知
已知
A
D
B
C
O
E
∵
3. 已知：如圖，△ABC≌△A′B′C′，CF，C′F′ 分別是∠ACB 和∠A′C′B′ 的平分線. 求證：CF = C′F′.
證明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∠A =∠A′，
∠ACB =∠A′C′B′.
∴ AC = A′C′，
∴ CF = C′F′.
又∵CF，C′F′ 分別是∠ACB 和∠A′C′B′ 的平分線，
∴ ∠ACF =∠A′C′F′.
∴ △ACF≌△A′C′F′ (ASA).
4.如圖，已知 AB = AE，∠1 =∠2，∠B =∠E，
求證：BC = ED.
證明：∵∠1=∠2，
∴ ∠1 +∠BAD =∠2 +∠BAD，
即∠EAD =∠BAC.
在△AED 和△ABC 中，
∠E =∠B，
AE = AB，
∠EAD =∠BAC，
A
B
E
C
D
1
2
∴△AED≌△ABC(ASA).
∴ BC = ED.
學以致用：如圖，小明不慎將一塊三角形模具打碎為三塊，他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去，就能配一塊與原來一樣的三角形模具呢 如果可以，帶哪塊去合適 你能說明其中理由嗎
3
2
1
答：可以帶 1 去，因為兩角且夾邊分別相等的兩個三角形全等.
兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形
應用：證明角相等，邊相等
三角形全等的“ASA”判定：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.

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