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第 14 章 全等三角形
14.1 全等三角形
問題：觀察下面各組圖形，說說他們有什么共同特點(diǎn).
（1）
（2）
我發(fā)現(xiàn)它們可以完全重合
做一做：如圖是兩組形狀、大小完全相同的圖形. 用透明紙描出每組中的一個(gè)圖形，并剪下來與另一個(gè)圖形放在一起，它們完全重合嗎？
全等圖形
觀察思考：每組中的兩個(gè)圖形有什么特點(diǎn)？它們是不是全等圖形？為什么？與同伴進(jìn)行交流.
（1）
（2）
（3）
形狀相同
大小不相同
大小相同
形狀不相同
全等圖形
歸納總結(jié)
全等形定義：
能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.
全等形性質(zhì)：
如果兩個(gè)圖形全等，它們的形狀相同，大小相等 ！
下面哪些圖形是全等形？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
看大小、形狀是否完全相同
全等三角形的對(duì)應(yīng)元素
把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.
其中點(diǎn) A 和 ，點(diǎn)B和 ，點(diǎn)C和_ 是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).
AB 和 ，BC 和 ，AC 和 是對(duì)應(yīng)邊.
∠A 和 ，∠B 和 ， ∠C 和 是對(duì)應(yīng)角.
B
C
A
點(diǎn) D
點(diǎn) E
點(diǎn) F
DE
EF
DF
∠D
∠E
∠F
E
F
D
△ABC≌△FDE
A　
B
C
E
D
F
注意：記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.
全等的表示方法
“全等”用符號(hào)“≌”表示，讀作“全等于”.
例1 如圖，△ABC≌△CED， ∠B 和∠ DEC是對(duì)應(yīng)角，BC 與ED 是對(duì)應(yīng)邊，說出另兩組對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊.
A
B
C
E
D
解： ∠A 和∠DCE 是對(duì)應(yīng)角，∠D 和∠ACB 是對(duì)應(yīng)角；
AC 和 CD 是對(duì)應(yīng)邊，
AB 和 CE 是對(duì)應(yīng)邊.
典例精析
尋找對(duì)應(yīng)元素的規(guī)律
1. 有公共邊的，公共邊一般是對(duì)應(yīng)邊；
2. 有公共角的，公共角一般是對(duì)應(yīng)角；
3. 有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一般是對(duì)應(yīng)角；
4. 兩個(gè)全等三角形最大的邊是對(duì)應(yīng)邊，最小的邊也是對(duì)應(yīng)邊；
5. 兩個(gè)全等三角形最大的角是對(duì)應(yīng)角，最小的角也是對(duì)應(yīng)角.
方法總結(jié)
A
D
F
C
E
B
1
2
A
B
D
C
1
4
2
3
E
A
B
C
F
1
2
3
4
找一找下列全等圖形的對(duì)應(yīng)元素：
A
B
C
D
F
全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.
我們知道，能夠完全重合的兩條線段是相等的，能夠完全重合的兩個(gè)角是相等的，由此得到：
全等三角形的性質(zhì)
二
∵△ABC≌△FDE
∴A B = F D，A C = F E，B C = D E
∠A =∠F，∠B =∠D，∠C =∠E
A　
B
C
E
D
F
全等三角形的性質(zhì)的幾何語言
(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)
(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)
例2 如圖，已知△ABC≌△DCB，AB = 3，DB = 4，∠A = 60°.
(1) 寫出△ABC 和△DCB 的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角；
(2) 求 AC，DC 的長及∠D 的度數(shù).
解：(1) 對(duì)應(yīng)邊：AB 與 DC，AC 與 DB，
BC 與 CB；
∴ AC = DB = 4，DC = AB = 3，∠D =∠A = 60°.
(2) ∵ △ABC≌△DCB，
對(duì)應(yīng)角：∠A 與∠D，∠ABC 與∠DCB，∠ACB 與∠DBC.
例3 如圖，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠E 的度數(shù)和 CF 的長．
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，
∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，
∴∠E＝∠B＝50°，BC＝EF＝7.
∴ CF＝BC－BF＝7－4＝3.
分析：根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等求∠DEF 的度數(shù)和 CF 的長．
例4 如圖，△EFG≌△NMH，EF = 2.1 cm，EH = 1.1 cm，NH = 3.3 cm.
（1）試寫出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角；
解：對(duì)應(yīng)邊有 EF 和 NM，F(xiàn)G 和 MH，EG 和 NH；
對(duì)應(yīng)角有∠E 和∠N，∠F 和∠M，∠EGF 和∠NHM.
（2）求線段 NM 及 HG 的長度；
（3）觀察圖形中對(duì)應(yīng)線段的數(shù)量或位置關(guān)系，試提出
一個(gè)正確的結(jié)論并說明理由.
解：∵ △EFG≌△NMH，
∴ EF = NM = 2.1 cm，
EG = NH = 3.3 cm.
∴ HG = EG - EH = 3.3 - 1.1 = 2.2 (cm).
解：結(jié)論：EF∥NM (答案不唯一).
理由：∵ △EFG≌△NMH，
∴∠E =∠N. ∴ EF∥NM.
想一想：你還能得出
其他結(jié)論嗎？
1. 如圖，△ABC≌△BAD，如果 AB = 4 cm，BD = 3 cm，
AD = 5 cm，那么 BC 的長是（ ）
A. 5 cm B. 4 cm
C. 3 cm D. 無法確定
2. 在上題中，∠CAB 的對(duì)應(yīng)角是（　 ）
A.∠DAB　 B.∠DBA C.∠DBC D.∠CAD
A
O
C
D
B
A
B
∠D
∠BAD
∠ABD
AD
BD
BA
B
C
D
A
角
角
角
邊
邊
邊
AB =
AC =
BC =
∠BAC =
∠ABC =
∠C =
3. 如圖，已知△ABC≌△BAD請(qǐng)指出圖中的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.
有公共邊的，公共邊一般是對(duì)應(yīng)邊.
歸納
B
C
A
D
E
F
如圖，平移后△ABC≌△EFD，若 AB＝6，AE＝2. 你能求出 AF 的長嗎？說說你的理由.
解：∵△ _____≌△_____，
　　∴ AB＝____＝____.
∴ AB－_____＝EF－____.
∴ AF＝EB＝ .
變式：
ABC
EFD
EF
6
AE
AE
6 - 2＝4
∠ADE
∠E
∠A
ED
AD
AE
A
B
C
E
D
角
角
角
邊
邊
邊
AB =
AC =
BC =
∠A =
∠B =
∠ACB =
4. 如圖，已知△ABC≌△AED，請(qǐng)指出圖中的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.
有公共角的，公共角一般是對(duì)應(yīng)角.
歸納
如圖，已知△ABC≌△AED，若 AB = 6，AC = 2，∠B = 25°，你還能說出△ADE 中其他角的大小和邊的長度嗎？
解：∵△ABC≌△AED，
　　∴∠E = ∠B = 25°
(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)，
AD = AC = 2，AE = AB = 6
(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等).
變式：
A
B
C
E
D
5.如圖，△ABC≌△AED，AB 是△ABC 的最大邊，AE 是△AED 的最大邊，∠BAC 與∠ EAD 是對(duì)應(yīng)角，且∠BAC = 25°，∠B = 35°，AB = 3 cm，BC = 1 cm，求出∠E，∠ ADE 的度數(shù)和線段 DE，AE 的長度.
B
C
E
D
A
解：∵ △ABC≌△AED(已知)，
∴∠E =∠B = 35°(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)，
∠ADE =∠ACB =180°－25°－35°=120°
(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)，
DE = BC = 1 cm，AE = AB = 3cm
(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等).
擺一擺：利用平移，翻折，旋轉(zhuǎn)等變換所得到的三角形與原三角形組成各種各樣新的圖形，你還能拼出什么不同的造型嗎？比一比看誰更有創(chuàng)意！
拼接的圖形展示
全等
三角形
定義
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形
基本性質(zhì)
對(duì)應(yīng)邊相等
對(duì)應(yīng)角相等
對(duì)應(yīng)元素確定方法
對(duì)應(yīng)邊
對(duì)應(yīng)角
長對(duì)長，短對(duì)短，中對(duì)中
公共邊一般是對(duì)應(yīng)邊
大角對(duì)大角，小角對(duì)小角
公共角一般是對(duì)應(yīng)角
對(duì)頂角一般是對(duì)應(yīng)角

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