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2024屆高考數(shù)學復習專題 ★★新教材知識點全歸納
第1章 集合與常用邏輯用語
§1.1集合的概念
1.集合定義：把研究的對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合.
集合三要素：確定性.互異性.無序性.
2.集合的相等：只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等.
3.元素和集合的關系：屬于（）和不屬于（）.
4.常見數(shù)集：自然數(shù)集：，正整數(shù)集：或，整數(shù)集：，有理數(shù)集：,實數(shù)集.
5.集合的表示方法：
（1）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“ ”括起來表示集合的方法叫列舉法.
（2）描述法：設是一個集合，我們把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法.
§1.2集合間的基本關系
1.子集：對于兩個集合，，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，則稱集合是集合的子集，記作.
2.真子集：如果集合，但存在元素，且，則稱集合是集合的真子集.記作：集合(或).
3.空集：把不含任何元素的集合叫做空集.記作：.并規(guī)定：空集合是任何集合的子集.
4.子集個數(shù)：如果集合A中含有n個元素，則集合A有個子集，個真子集.
§1.3集合的基本運算
1.并集：由所有屬于集合或集合的元素組成的集合，稱為集合集合是集合與的并集.記作：.即.
2.交集：由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合是集合與的交集.記作：.即.
3.補集：對于集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，
記作:,即.
§1.4充分條件與必要條件
1.命題：可以判斷真假的陳述句叫命題；
2.充分條件.必要條件與充要條件
如果“若，則”為真命題，是指由通過推理可以得出，我們就說由可以推出，記作，并且說是的充分條件，是的必要條件；
如果“若，則”為假命題，那么由條件不能提出結論，記作，我們就說不是的充分條件，不是的必要條件；
如果“若，則”和它的逆命題“若，則”均是真命題，即既有，又有，就記作
此時則是的充分條件，也是的必要條件，我們就說是的充分必要條件，簡稱為充要條件．
如果，那么與互為充要條件.
§1.5全稱量詞與存在量詞
1.全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞與全稱量詞命題
短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.
含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.記為.
（2）存在量詞與存在量詞命題
短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.
含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.記為.
2.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
（1）全稱量詞命題：，它的否定：
（2）存在量詞命題：，它的否定：
第2章 一元二次函數(shù)、方程和不等式
§2.1等式性質與不等式性質
1.作差法比較大小
；；.
2.不等式的基本性質
（1）（對稱性）
（2）（傳遞性）
（3）（可加性）
（4）（可乘性）；
（5）（同向可加性）
（6）（正數(shù)同向可乘性）
（7）（正數(shù)乘方法則）
§2.2基本不等式
重要不等式：,（當且僅當時取號）.
變形公式：
基本不等式： ,（當且僅當時取到等號）.
變形公式： ；
用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要滿足條件:“一正.二定.三相等”.
§2.3二次函數(shù)與一元二次方程.不等式
的圖象
的根 沒有實數(shù)根
的解集 R
的解集
第3章 函數(shù)的概念與性質
§3.1函數(shù)的概念及其表示
1. 設.是非空的實數(shù)集，使對于集合中的任意一個數(shù)，如果按照某種確定的對應關系，在集合中都有惟一確定的數(shù)和它對應，那么就稱為集合到集合的一個函數(shù)，記作：.
2. 函數(shù)的構成要素為：定義域.對應關系.值域.
3. 區(qū)間：閉區(qū)間、開區(qū)間、半開半閉區(qū)間.
4. 函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.
5. 分段函數(shù)
§3.2.函數(shù)的基本性質
§3.2.1單調(diào)性與最大（小）值
1.函數(shù)單調(diào)性的定義：
設函數(shù)的定義域為 ，區(qū)間，如果當時，都有：
或上單調(diào)遞增；
特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，就稱它是增函數(shù)；
或上單調(diào)遞減.
特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞減時，就稱它是減函數(shù)；
2. 最大值、最小值：
設函數(shù)的定義域為 ，
如果存在實數(shù)滿足：（1），都有;（2）使得，
我們就稱是函數(shù)的最大值.
如果存在實數(shù)滿足：（1），都有;（2）使得，
我們就稱是函數(shù)的最小值.
§3.2.2奇偶性
1.定義：設函數(shù)的定義域為, 如果，都有，
且（或），那么就稱函數(shù)為偶函數(shù).
偶函數(shù)圖象關于軸對稱.
且若（或），那么就稱函數(shù)為奇函數(shù).
奇函數(shù)圖象關于原點對稱.
2.奇函數(shù)的性質：
若奇函數(shù)的定義域為, 如果，則有.
3.奇偶性與單調(diào)性：
奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.
§3.3冪函數(shù)
1.冪函數(shù)的解析式： ，是自變量，是常數(shù).
2.幾種冪函數(shù)的圖象：
3.冪函數(shù)的性質：
定點：.
單調(diào)性：
當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞減；
第4章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)
§4.1指數(shù)
§4.1.1 n次方根與分數(shù)指數(shù)冪
1.如果，那么叫做 的次方根.其中.
2. 當為奇數(shù)時，；
當為偶數(shù)時，.
3.規(guī)定：
⑴；
⑵ .
(3)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0.0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義.
4. 運算性質：
⑴；
⑵；
⑶.
§4.1.2 無理指數(shù)冪及其運算性質
運算性質：
⑴；
⑵；
⑶.
§4.2指數(shù)函數(shù)
1.定義：函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，定義域為.
2.性質：
圖 象
性 質 （1）定義域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）過定點（0，1），即x=0時，y=1
（4）增函數(shù) （4）減函數(shù)
（5）; （5）;
§4.3.對數(shù)
1.定義：如果；
那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作：，叫對數(shù)的底數(shù)，叫真數(shù).
2.指數(shù)與對數(shù)間的關系：當時，
3.對數(shù)恒等式：，.
4.兩個特殊對數(shù)：
（1）以10為底的對叫做常用對數(shù)，并把記為；
（2）以無理數(shù) 為底數(shù)的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把記為；
5.基本性質：⑴；⑵；⑶負數(shù)和0沒有對數(shù).
6.積、商、冪的對數(shù)運算法則：當時：
⑴；
⑵；
⑶.
5.換底公式：.
6.推論：⑴ ⑵.
§4.4.對數(shù)函數(shù)
1.定義：函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，定義域是.
2.性質：
圖 象
性 質 （1）定義域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）過定點（1，0），即x=1時，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函數(shù) （4）在（0，+∞）上是減函數(shù)
（5）； （5）；
§4.5.函數(shù)的應用
4.5.1函數(shù)的零點與方程的解
1.方程有實數(shù)解 函數(shù)的圖象與軸有公共點 函數(shù)有零點.
2. 函數(shù)零點存在性定理：
如果函數(shù)在區(qū)間 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.
3.用二分法求方程的近似解
對于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把它零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
第5章 三角函數(shù)
§5.1.1.任意角
正角、負角、零角、象限角的概念.
正角：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角；
負角：按順時針方向旋轉形成的角叫做負角；
零角：一條射線沒有任何旋轉，就稱它形成了一個零角。
旋轉與運算：
（1）角的加法：角的終邊旋轉角后所得的終邊對應的角是.
（2）角的減法：。
3. 與角終邊相同的角的集合： .
§5.1.2.弧度制
1. 1弧度角：把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.
2. 弧度公式： （為圓的半徑，弧長為 的弧所對的圓心角為）。
弧長公式：.
角度與弧度換算： ；。
扇形面積公式：.（為圓的半徑，扇形弧長為，圓心角為）
§5.2.1.三角函數(shù)的概念
三角函數(shù)定義1：設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點，則：
把點的縱坐標叫做的正弦函數(shù)，記作.即；
把點的橫坐標叫做的余弦函數(shù)，記作.即；
把點的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切函數(shù)，記作.即。
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常記為：
正弦函數(shù)：
余弦函數(shù)：
正切函數(shù)：
2. 三角函數(shù)定義2：設點（不與原點重合）為角終邊上任意一點，點P與原點的距離為：，則： ，，.
3.、、在四個象限的符號: 一全正，二正弦，三正切，四余弦.
§5.2.2.同角三角函數(shù)的基本關系式
1. 平方關系：. 2. 商數(shù)關系：.
§5.3.誘導公式
1. 誘導公式一： 2. 誘導公式二：
（其中：）
3.誘導公式三： 4.誘導公式四：
5.誘導公式五： 6.誘導公式六：
,
§5.4.正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質
正弦.余弦函數(shù)圖象：
2.會用五點法作圖.
在上的五個關鍵點為：
在上的五個關鍵點為：
3.周期函數(shù)定義：函數(shù)定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個，都有，且，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.
最小正周期：如果周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那這個最小正數(shù)叫的最小正周期.
4.正余弦函數(shù)的周期：
正弦函數(shù)是周期函數(shù)，（且）都是它的周期，最小正周期是；
余弦函數(shù)是周期函數(shù)，（且）都是它的周期，最小正周期是；
5.正切函數(shù)的圖象：
5.正弦.余弦.正切函數(shù)的圖像及其性質：
圖象
定義域
值域 [-1,1] [-1,1]
最值 無
周期性
奇偶性 奇 偶 奇
單調(diào)性 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減 在每一個區(qū)間上單調(diào)遞增
對稱性 對稱軸方程： 對稱中心， 對稱軸方程： 對稱中心， 無對稱軸 對稱中心，
§5.5.1兩角和與差的正弦.余弦.正切公式
1.兩角和與差的正弦：
:
:
2.兩角和與差的余弦：
:
:
3.兩角和與差的正切：
:.
:.
4.倍角公式
（1） 變形： .
（2）.
變形：降冪公式：
（3）.
5.輔助角公式
（其中, ).
（其中, ).
第6章 平面向量及其應用
§6.1.平面向量的概念
1.平面向量的概念：
向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量.
向量的模：向量的大小，也就是向量的長度（或稱模），記作.
零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作.
單位向量：長度等于1個單位的向量叫做單位向量.
平行（共線）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）.記作：.
規(guī)定：零向量與任意向量平行.
相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§6.2.平面向量的運算
§6.2.1.向量的加法運算
1.向量加法的法則：向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.
2.≤（當且僅當與方向方向相同時等號成立）.
3.向量加法的運算律：
交換律： 結合律：
§6.2.2.向量的減法運算
相反向量：
與長度相等，方向相反的向量叫做的相反向量.記作.
向量減法的定義：
加上的相反向量，叫做與的差.
3. 向量減法的法則：三角形法則.
§6.2.3.向量的數(shù)乘運算
數(shù)乘的定義：實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘.記作：，它的長度和方向規(guī)定如下：
⑴；
　　⑵當時, 的方向與的方向相同；當時, 的方向與的方向相反.
2.運算律：
；；
3.線性運算：向量的加.減.數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.
4.平面向量共線定理：
向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使.
§6.2.4.向量的數(shù)量積
向量的夾角：
已知兩個非零向量，，O是平面上的任意一點，作,則叫做向量與的夾角.
2. 與垂直：
如果與的夾角是 ，則與垂直，記作.
3.數(shù)量積：
已知兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即.
4.投影向量：
向量在上的投影向量：在平面內(nèi)任取一點O，作,過點作直線的垂線，垂足為
，則就是向量在向量上的投影向量.
設與同方向的單位向量為，與的夾角為，則.
5.數(shù)量積的性質：
（1）
（2）
（3） 或
（4）
6.數(shù)量積的運算律：
（1）
（2）
（3）
結論： ，.
§6.3平面向量基本定理及坐標表示
§6.3.1平面向量基本定理
平面向量基本定理：
如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任一向量，有且只有一對實數(shù)，使.叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.
§6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示
正交分解：
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
2.向量的坐標表示：
在平面直角坐標系中,設與軸.軸方向相同的兩個單位向量分別為 ,取作為基底.對于平面內(nèi)的任意一個向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數(shù),使得 ，這樣平面內(nèi)的任一向量都可由唯一確定,我們把有序數(shù)對叫做向量的坐標,記作，其中叫做在
軸上的坐標，叫做 在 軸上的坐標，叫做向量的坐標表示.
§6.3.3平面向量加.減運算的坐標表示
1.設，則：
⑴，
⑵，
即：兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）
2.已知 ，則 .
§6.3.4平面向量數(shù)乘運算的坐標表示
1.設，則.
2.設,則向量共線的充要條件是 .
§6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標表示
1. 設，則：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）設，則：.
6.4 平面向量的應用
1.余弦定理： 推論：
2.正弦定理：
.
（其中為外接圓的半徑）
第7章 復數(shù)
§7.1復數(shù)的概念
1.復數(shù)：形式如的數(shù)叫復數(shù)，其中叫虛數(shù)單位，.
叫復數(shù)的實部，叫復數(shù)的虛部.
2.復數(shù)的分類
復數(shù)
3．復數(shù)的幾何意義
復平面：用來表示復數(shù)的直角坐標系，其中軸叫做實軸，軸叫做虛軸.
4.復數(shù)的模
向量的模叫復數(shù)的模或絕對值，即.
5.共軛復數(shù)
當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)，復數(shù)z的共軛復數(shù)用表示，.
§7.2復數(shù)的四則運算
1．復數(shù)的加、減運算及其幾何意義
（1）復數(shù)加減法：；
（2）復數(shù)加法的幾何意義：
復數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行：
分別對應復數(shù)，即，
則對應復數(shù).
2.復數(shù)的乘、除運算
（1）復數(shù)的乘法：；
（2）復數(shù)的除法.
3.常見的運算規(guī)律
第8章 立體幾何初步
§8.1基本立體圖形
空間幾何體的結構：
⑴常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球.
⑵棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.
直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.
斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.
正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱.
平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體.
（3）棱錐：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成 的多面體叫棱錐.
正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫正棱錐.
（4）棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺.
（5）圓柱：以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫圓柱.
軸：旋轉軸叫圓柱的軸；
底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫圓柱的底面.
側面：平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫圓柱的側面.
母線：平行于軸的邊都叫圓柱側面的母線.
（6）圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫圓錐.
（7）圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺，
（8）球： 半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周所形成的曲面叫球面，球面所圍成的旋轉體叫球體，簡稱球.半圓的圓心叫球的球心.連結球心和球面上任意一點的線段叫球的半徑.連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑.
§8.2立體圖形的直觀圖
斜二測畫法：
(1) 建立平面直角坐標系: 在已知平面圖形中取互相垂直的軸和軸,兩軸相交于點.
(2) 畫出斜坐標系: 在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對應的軸和軸, 兩軸相交于點，且使，它們確定的平面表示水平面.
(3) 畫對應圖形: 在已知圖形平行于軸的線段, 在直觀圖中畫成平行于軸，長度保持不變. 在已知圖形平行于軸的線段, 在直觀圖中畫成平行于軸, 且長度為原來一半.
§8.3簡單幾何體的表面積與體積
（1）圓柱側面積；（是底面圓半徑，是母線長）
（2）圓錐側面積：（是底面圓半徑，是母線長）
（3）體積公式：
； ；
（4）球的表面積和體積：
.
§8.4空間點、直線、平面之間的位置關系
§8.4.1平面
1.三個事實：
基本事實1：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.
（即不共線的三點確定一個平面）
基本事實2：如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).
基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
2.三個推論：
推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.
推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.
推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.
§8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系
1.空間中直線和直線的位置關系
異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線.
2.空間中直線和平面的位置關系
3.空間中平面和平面的位置關系
§8.5空間直線、平面的平行
§8.5.1直線與直線平行
1.基本事實4：平行與同一條直線的兩條直線平行.
2.定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.
§8.5.2直線與平面平行
1.線面平行判定定理（線線平行線面平行）：
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.
2.線面平行性質定理（線面平行線線平行）：
一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.
§8.5.3平面與平面平行
1.面面平行判定定理1（線面平行面面平行）：
如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.
2.面面平行判定定理2（線線平行面面平行）：
如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條直線平行，那么這兩個平面平行.
3.面面平行性質定理（面面平行線線平行）：
兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.
4.面面平行的定義推論（面面平行線面平行）：
如果兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面平行.
§8.6空間直線、平面的垂直
§8.6.1直線與直線垂直
1.異面直線所成的角定義：
已知兩異面直線，經(jīng)過空間任一點O分別作直線，我們把直線所成的角叫做異面直線所成的角.空間兩條直線所成角的取值范圍是.
2.兩條異面直線互相垂直的定義：
如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直.
§8.6.2直線與平面垂直
1.直線與平面垂直的定義：
如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線與平面互相垂直.
2. 線面垂直定義的推論（線面垂直線線垂直）：
如果一條直線垂直于一個平面，那么該直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線.
3.點到平面的距離的定義：
過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條，過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段.垂線段的長度叫這個點到平面的距離.
4.線面垂直判定定理（線線垂直線面垂直）：
如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.
5.線面垂直性質定理：
（1）垂直于同一個平面的兩條直線平行.
（2）如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于該平面.
6.直線和平面所成的角的定義：
平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.
直線和平面所成的角范圍是.
7.直線到平面的距離的定義：
一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到平面的距離.
8.兩個平行平面間的距離的定義：
如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，把它叫做兩個平行平面間的距離.
§8.6.3平面與平面垂直
二面角的定義：
從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面.
記作：例如二面角或二面角或二面角.
二面角的平面角：
在二面角的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內(nèi)作射線，則為二面角的平面角.
二面角的范圍是.
3．兩個平面互相垂直的定義：
兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.
4. 面面垂直判定定理（線面垂直面面垂直）：
如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.
5. 面面垂直性質定理（面面垂直線面垂直）：
兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.
第9章 統(tǒng)計
§9.1隨機抽樣
1.抽樣調(diào)查
根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分個體進行調(diào)查，并以此為依據(jù)對總體的情況作出估計和推斷的調(diào)查方法，稱為抽樣調(diào)查.
樣本：從總體中抽取的那部分個體稱為樣本.
樣本容量（樣本量）：樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本容量.
2.簡單隨機抽樣
設一個總體含有N(N為正整數(shù))個個體，從中逐個抽取n(l≤n3.分層隨機抽樣
按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣.
§9.2用樣本估計總體
總體取值規(guī)律的估計
頻率分布直方圖的畫法：
（1）求極差 （2）決定組距和組數(shù)（3）將數(shù)據(jù)分組（4）列頻率分布表
（5）畫頻率分布直方圖：縱軸表示，小長方形面積=頻率.
總體百分位數(shù)的估計
(1)第p百分位數(shù)：它使得這組數(shù)據(jù)中至少的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有 的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.
(2)第p百分位數(shù)的計算步驟：
①按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
②計算 .
③若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)，若i是整數(shù)，則第p
百分位數(shù)為第i項與第i+1項數(shù)據(jù)的平均數(shù).
(3)四分位數(shù)：第25、50、75百分位數(shù)稱為四分位數(shù)。
總體集中趨勢的估計：
平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.
對數(shù)值型數(shù)據(jù)（如身高、收入）集中趨勢的描述可以用平均數(shù)、中位數(shù)；
而對分類型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別）集中趨勢的描述可以用眾數(shù).
總體離散程度的估計
方差與標準差：一組樣本數(shù)據(jù)
方差：； 標準差：
第10章 概率
§10.1 隨機事件與概率
§10.1.1 有限樣本空間與隨機事件
隨機試驗：
對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗.
有限樣本空間：
樣本點：隨機試驗的每個可能的基本結果稱為樣本點，用表示.
樣本空間：全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間，用表示.
有限樣本空間：如果一個隨機試驗有個可能結果，則稱樣本空間為有限樣本空間.
隨機事件
隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.
隨機事件：樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件.
基本事件：只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.
事件發(fā)生：在每次試驗中，當且僅當中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件發(fā)生.
必然事件：
不可能事件：
必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形，這樣每個事件都是樣本空間的子集.
§10.1.2事件的關系和運算
事件B包含事件：
若事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，就稱事件包含事件（或事件包含于事件），記作（或）.
事件的相等：
如果事件包含事件，事件也包含事件，則稱事件和事件相等.
并事件（或和事件）：
事件與事件至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件中，或者在事件中，我們稱這個事件為事件與事件的并事件（或和事件）.記作（或）.
交事件（或積事件）：
事件與事件同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件中，也在事件中，我們稱這個事件為
事件與事件的交事件（或積事件）.記作（或）.
互斥事件：
如果事件與事件不能同時發(fā)生，即是一個不可能事件，即，則稱事件與事件互斥（或互不相容）.
對立事件：
如果事件和事件在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即，且，那么稱事件與事件互為對立.事件的對立事件記為.
§10.1.3古典概型
1.概率：對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率.事件的概率用表示.
2.古典概型的特點：
①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.
2.古典概型概率計算公式：
設試驗是古典概型，樣本空間包含n個樣本點，事件包含其中的k個樣本點，則事件發(fā)生的概率.
§10.1.4概率的基本性質
性質1：對任意事件，都有.
性質2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即.
性質3：如果事件與事件互斥，那么.
性質4：如果事件與事件互為對立事件，那么,.
性質5：如果，那么.
性質6： 設，是一個隨機試驗中的兩個事件，有.
§10.2事件的相互獨立性
相互獨立事件：對任意兩個事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱獨立.
注意：當三個事件,,兩兩獨立時， 一般不成立.
若事件與事件相互獨立，則與，與，與也相互獨立.
§10.3頻率與概率
頻率的穩(wěn)定性：
在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性，一般地，隨著試驗次數(shù)的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率.我們稱頻率的這個性質為頻率的穩(wěn)定性，因此我們可以用頻率估計概率.
第1章 空間向量與立體幾何
§1.1 空間向量及其運算
1.空間向量基本概念
空間向量：在空間,我們把具有大小和方向的量叫作空間向量.
長度（模）：空間向量的大小叫作空間向量的長度或模,記為或.
零向量：長度為0的向量叫作零向量,記為.
單位向量：模為1的向量叫作單位向量.
相反向量：與向量長度相等而方向相反的向量,叫作的相反向量,記為.
共線向量（平行向量）：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫作共線向量或平行向量.規(guī)定:零向量與任意向量平行.
相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.
2.空間向量的線性運算
空間向量的線性運算包括加法、減法和數(shù)乘,其定義、畫法、運算律等均與平面向量相同.
3.共線、共面向量基本定理
（1）直線的方向向量：在直線上取非零向量,與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量.
（2）共線向量基本定理：
對任意兩個空間向量（）， 的充要條件是存在實數(shù)，使.
（3）共面向量：
如果表示向量的有向線段所在的直線與直線平行或重合,那么稱向量平行于直線.
如果直線平行于平面或在平面內(nèi),那么稱向量平行于平面.
平行于同一個平面的向量,叫作共面向量.
（4）共面向量基本定理:如果兩個向量 ,不共線,那么向量與向量,共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對,使.
4.空間向量的數(shù)量積
（1）向量的夾角：已知兩個非零向量,,在空間任取一點,作,則叫作向量,的夾角,記作.如果,那么向量互相垂直,記作.
（2）數(shù)量積定義：已知兩個非零向量,則叫作的數(shù)量積,記作.
即 .
（3）數(shù)量積的性質：
.
（4）空間向量的數(shù)量積滿足如下的運算律：
(交換律):
（分配律).
推論：， .
（5）向量的投影向量：
向量在向量上的投影向量：
向量在平面內(nèi)的投影向量與向量的夾角就是向量所在直線與平面所成的角.
§1.2 空間向量基本定理
1.空間向量基本定理
如果三個向量不共面，那么對空間任意一個空間向量.存在唯一的有序實數(shù)組.使得
.
2.基底與正交分解
(1)基底:如果三個向量不共面,那么我們把叫作空間的一個基底,都叫作基向量.
(2)正交分解:
如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直.且長度都為1.那么這個基底叫作單位正交基底，常用表示.把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量,叫作把空間向量進行正交分解.
§1.3空間向量及其運算的坐標表示
1.空間直角坐標系
在空間選定點和一個單位正交基底 .
以點為原點，分別以的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸:軸.軸、軸,它們都叫作坐標軸.這時我們就建立了一個空間直角坐標系,叫作原點，都叫作坐標向量,通過每兩個坐標軸的平面叫作坐標平面.
空間直角坐標系通常使用的都是右手直角坐標系.
2.空間向量的坐標
在空間直角坐標系中為坐標向量.給定任一向量,存在唯一的有序實數(shù)組,使
.有序實數(shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標.記作.也叫點在空間直角坐標系中的坐標.記作.
3.空間向量運算的坐標表示
設，則：
（1），
（2），
（3）.
4.空間向量平行、垂直、模長、夾角的坐標表示
（1），
（2） ，
（3） ，
（4） .
5.空間兩點間的距離公式
設，則 .
§1.4 空間向量的應用
1.平面的法向量：直線，取直線的方向向量，稱為平面的法向量.
2.空間中直線、平面的平行
（1）線線平行:若分別為直線的方向向量,則
使得 .
（2）線面平行:設直線的方向向量,是平面的法向量,，則
.
法2:在平面內(nèi)取一個非零向量,若存在實數(shù),使得,且，則.
法3:在平面內(nèi)取兩個不共線向量,若存在實數(shù)，使得,且,則.
（3）面面平行:設分別是平面的法向量，則
，使得.
3. 空間中直線、平面的垂直
（1）線線垂直:若分別為直線的方向向量,則.
（2）線面垂直: 設直線的方向向量, 是平面的法向量,則，使得.
法2: 在平面內(nèi)取兩個不共線向量,若.則.
（3）面面垂直: 設分別是平面的法向量，則.
4.用空間向量研究距離、夾角問題
（1）點到直線的距離：已知是直線上任意兩點, 是外一點，，則點到直線的距離為.
(2)求點到平面的距離
已知平面的法向量為 , 是平面內(nèi)的任一點，是平面外一點,過點作則平面的垂線，交平面于點,則點到平面的距離為.
（3）直線與直線的夾角
若分別為直線的方向向量，為直線的夾角，則.
(4)直線與平面的夾角
設是直線的方向向量,是平面的法向量,直線與平面的夾角為.則.
（5）平面與平面的夾角
平面與平面的夾角：兩個平面相交形成四個二面角,我們把這四個二面角中不大于的二面角稱為這兩個平面的夾角.
若分別為平面的法向量，為平面的夾角，則.
第2章 直線和圓的方程
§2.1直線的傾斜角與斜率
1.傾斜角與斜率：
傾斜角：當直線與軸相交時，以軸為基準，軸正向和直線向上的方向之間所成的角叫直線的傾斜角，取值范圍為.
斜率：直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用來表示.
斜率公式：如果直線經(jīng)過兩點,則.
直線的方向向量：斜率為的直線的一個方向向量是,若斜率為的直線的一個方向向量的坐標為，則.
2.兩條直線平行和垂直的判定
斜率分別為的兩條不重合的直線，有.
斜率分別為的兩條直線，有.
§2.2 直線的方程
1.直線方程：
⑴點斜式：（不能表示斜率不存在的直線）
⑵斜截式：（不能表示斜率不存在的直線，是直線與軸的交點縱坐標（即軸上的截距））
⑶兩點式：
⑷截距式：（是直線在軸上的截距，且）
⑸一般式：（不同時為0）
2.給定直線方程判斷直線的位置關系：
（一）對于直線有：
⑴；
⑵和相交；
⑶和重合；
⑷.
（二）對于直線：
（1）與直線垂直的一個向量為，平行的一個向量為.
（2）對于直線有：
；
和相交；
.
§2.3直線的交點坐標與距離公式
（1）兩點間距離公式：
已知，則.
（2）點到直線距離公式：
到直線的距離為：.
（3）兩平行線間的距離公式：
：與：間的距離為：.
§2.4 圓與方程
1.圓的方程：
⑴標準方程：(其中圓心為，半徑為.)
⑵一般方程：.().
§2.5 直線與圓、圓與圓的位置關系
1.直線與圓的位置關系:（表示圓心到直線的距離）
;
;
.
2.直線和圓相交弦長公式：（表示圓心到直線的距離）
3.兩圓位置關系：
（1）外離：；
（2）外切：；
（3）相交：；
（4）內(nèi)切：（）；
（5）內(nèi)含：（.
第3章 圓錐曲線的方程
§3.1 橢圓
定義 平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫橢圓，兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標準方程
范圍 且 且
頂點 、 、 、 、
軸長 長軸的長 短軸的長
對稱性 關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱
焦點 、 、
焦距
關系
離心率
焦點三角形面積
通徑 過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：
弦長公式 ，
§3.2 雙曲線
定義 平面內(nèi)與兩個定點、的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)（小于）的點的軌跡叫雙曲線，兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標準方程
范圍 或， 或，
頂點 、 、
軸長 實軸的長 虛軸的長
對稱性 關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱
焦點 、 、
焦距
關系
離心率
漸近線方程
焦點到漸近線距離
焦點三角形面積
通徑 過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：
§3.3 拋物線
定義 平面內(nèi)與一定點和一條定直線( 不經(jīng)過點)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點叫拋物線的焦點，直線叫拋物線的準線.
圖形
標準方程
頂點
離心率
對稱軸 軸 軸
范圍
焦點
準線方程
通徑 過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑：
焦點弦長 公式
參數(shù)的幾何意義 參數(shù)表示焦點到準線的距離，越大，開口越闊
第4章 數(shù)列
§4.1 數(shù)列的概念
1.定義：我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.第一項叫首項，常用表示.
2.通項公式：如果數(shù)列的第項與它的序號之間的對應關系可以用一個式子來表示，那這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.
3.遞推公式：如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.
4.數(shù)列的前項和：把數(shù)列從第1項起到第項止的各項之和，稱為數(shù)列的前項和.記作，即.
5.通項與之間的關系：
§4.2 等差數(shù)列
1.等差數(shù)列定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用表示.
2.等差中項：有三個數(shù)組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，此時叫做與的等差中項.可知.
3. 等差數(shù)列的通項公式：.
引申式：，，
4.等差數(shù)列的前項和公式：
5.等差數(shù)列常用性質：
①若，則；
②下標為等差數(shù)列的項，仍組成等差數(shù)列；
③數(shù)列（為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；
④若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、，…也成等差數(shù)列.
⑤單調(diào)性：的公差為，則：
ⅰ）為遞增數(shù)列；
ⅱ）為遞減數(shù)列；
ⅲ）為常數(shù)列；
⑥數(shù)列{}為等差數(shù)列（p,q是常數(shù)）
⑦若等差數(shù)列的前項和，則、、…是等差數(shù)列.
§4.3 等比數(shù)列
1.等比數(shù)列定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，常用來表示（）.
2.等比中項：若三數(shù)成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項.此時.
3.通項公式：
引申式：，.
4.等比數(shù)列前項和公式：
5.等比數(shù)列常用性質：
①若，則；
②為等比數(shù)列，公比為(下標成等差數(shù)列,則對應的項成等比數(shù)列)
③數(shù)列（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為的等比數(shù)列；
對于正項等比數(shù)列，則是公差為的等差數(shù)列；
④若是等比數(shù)列，則 是等比數(shù)列，公比依次是
⑤單調(diào)性：
為遞增數(shù)列；為遞減數(shù)列；
為常數(shù)列；
為擺動數(shù)列；
⑥既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列.
⑦若等比數(shù)列的前項和，則、、…是等比數(shù)列.
第5章 一元函數(shù)的導數(shù)及其應用
§5.1導數(shù)的概念及其意義
1.導數(shù)定義：對于函數(shù)，把比值叫做函數(shù)從到的平均變化率，如果當時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱在處可導，并把這個確定的值叫做在處的導數(shù)（也稱瞬時變化率），記作或，即.
2. 函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義：
（1）切線：在曲線上任取一點，如果當點沿著曲線無限趨近于點時，割線無限趨近于一個確定的位置，這個確定的位置的直線稱為曲線在點處的切線.
（2）的幾何意義：是曲線在處的切線的斜率.
3.導函數(shù)：當時，是一個唯一確定的數(shù)，這樣當變化時，就是的函數(shù)，我們稱它為的導函數(shù)，簡稱導數(shù).有時記作.
§5.2導數(shù)的運算
1.幾種常見函數(shù)的導數(shù)
①；②； ③； ④；
⑤； ⑥； ⑦；⑧
2.導數(shù)的四則運算法則
（1）.
（2）. 特別地：.
（3）.
3.復合函數(shù)求導法則
由函數(shù)復合而成的的函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)的導數(shù)間的關系為，即對的導數(shù)等于對的導數(shù)與對的導數(shù)的乘積.
§5.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用
1.導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
（1）在某個區(qū)間上，如果，則函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增；
在某個區(qū)間上，如果，則函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減.
（2）設函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，
若為增函數(shù)，則（在上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零）；
若為減函數(shù)，則（在上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零）.
2.函數(shù)的極值
函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其他點的函數(shù)值都小，,而且在點附近的左側,右側，我們把叫做函數(shù)的極小值點，叫做函數(shù)的極小值；
函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其他點的函數(shù)值都大，,而且在點附近的左側,右側，我們把叫做函數(shù)的極大值點，叫做函數(shù)的極大值.
極小值點和極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.
3. 最大值、最小值：
設函數(shù)的定義域為 ，
如果存在實數(shù)滿足：（1），都有;（2）使得，
我們就稱是函數(shù)的最大值.
如果存在實數(shù)滿足：（1），都有;（2）使得，
我們就稱是函數(shù)的最小值.
第6章 計數(shù)原理
§6.1 分類加法與分步乘法計數(shù)原理
1.分類加法計數(shù)原理：
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，那么完成這件事情共有種不同的方法.
2.分步乘法計數(shù)原理：
完成一件事有兩個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，那么完成這件事情共有種不同的方法.
§6.2 排列與組合
1.排列定義：從個不同的元素中任取個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從個不同的元素中取出個元素的一個排列.
全排列：把個不同的元素全部取出的一個排列，叫做個元素的一個全排列.
2.排列數(shù)：從個不同的元素中任取個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，記作.
3.排列數(shù)公式：
（1）；
（2），規(guī)定.
；
4.組合定義：從個不同的元素中取出個元素作為一組，叫做從個不同的元素中取出個元素的一個組合.
5.組合數(shù)：從個不同的元素中取出個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，記作.
6.組合數(shù)公式：
（1）或或；
（2），規(guī)定；
（3）.
§6.3 二項式定理
1.二項式定理
（1）二項式定理：
.
右邊的多項式叫做的二項展開式.
（2）二項展開式的通項：第項：.
（3）二項式系數(shù)：
2.二項式系數(shù)的性質：
（1）若令,則有：，
若令，則有.
奇數(shù)項二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)的和.即.
（2）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即；
（3）增減性與最大值：
當時，二項式系數(shù)的值逐漸增大，當時,的值逐漸減小；
當為偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；
當為奇數(shù)時，中間的兩項和相等，且同時取最大值.
第7章 隨機變量及其分布
§7.1 條件概率與全概率公式
1.條件概率：設,為兩個隨機事件，且 ，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.
2.乘法公式：對任意兩個事件與，若，則.
3.全概率公式：設 是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對任意的事件,有.
§7.2 離散型隨機變量及其分布列
1.隨機變量：對于隨機試驗樣本空間中的每個樣本點，都有唯一的實數(shù)與之對應，我們稱為隨機變量，可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱為離散型隨機變量.隨機變量常用大寫英文字母表示，例.
2.概率分布列：
（1）定義：設離散型隨機變量可能取的不同值為，我們稱取每一個值的概率：，為的概率分布列，簡稱分布列.常用表格表示：
… …
… …
（2）性質：① ②
3.兩點分布：
若的分布列如表所示
0 1
我們稱服從兩點分布或分布.
§7.3 離散型隨機變量的數(shù)字特征
1.離散型隨機變量的均值
（1）定義：若離散型隨機變量的分布列如表所示
… …
… …
則稱則稱為離散型隨機變量的均值或數(shù)學期望（簡稱期望）.它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.
（2）性質：.
2.離散型隨機變量的方差
（1）定義：若離散型隨機變量的分布列為
… …
… …
則稱為離散型隨機變量的方差，也記為，并稱為隨機變量的標準差.記為.它反映了離散型隨機變量取值的離散程度.
越小，取值越集中; 越大，取值越分散.
（2）性質：
§7.4 二項分布與超幾何分布
1.二項分布
我們只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復進行次所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗，重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發(fā)生的概率為，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為
隨機變量的具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布，記作.
2.超幾何分布
在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件（不放回）,用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù),則的分布列為,
其中,,,.
如果隨機變量的分布列具有上式形式,那么稱隨機變量服從超幾何分布.
§7.5 正態(tài)分布
1.正態(tài)分布定義：
若連續(xù)性隨機變量的概率分布密度函數(shù)為，
則稱隨機變量服從正態(tài)分布，記為記作它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.
當 時，稱隨機變量服從標準正態(tài)分布.
2.正態(tài)曲線的特點：
曲線是單峰的，它關于直線 對稱；
曲線在處達到峰值；
當無限增大時，曲線無限接近軸；
當較小時，峰值高，正態(tài)曲線瘦高，表示隨機變量的分布比較集中；
當較大時，峰值低，正態(tài)曲線矮胖；表示隨機變量的分布比較分散.
3.正態(tài)分布的期望、方差
若，則.
4.原則
若，由此看到一次試驗中，的取值幾乎總是落在區(qū)間內(nèi)，在此區(qū)間外的概率大約只有0.0027，通常認為服從正態(tài)分布的隨機變量只取中的值，這在統(tǒng)計學中稱為原則.
第8章 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析
§8.1 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性
相關關系：兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系.
相關關系分類：
正相關：當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現(xiàn)增加的趨勢，就稱這兩個變量正相關；
負相關：當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現(xiàn)減小的趨勢，就稱這兩個變量負相關.
線性相關：如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，就稱這兩個變量線性相關.
樣本相關系數(shù)：
（1）
（2）樣本相關系數(shù)的數(shù)字特征：
當時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關；
當時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關；
當越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強；
當越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越弱.
§8.2 一元線性回歸模型及其應用
1.一元線性回歸模型：
稱為因變量或響應變量，稱為自變量或解釋變量，為截距參數(shù)，為斜率參數(shù)，是與之間的隨機誤差.
2.經(jīng)驗回歸方程：
(1)相關概念：
經(jīng)驗回歸直線：經(jīng)驗回歸方程也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，圖形稱為經(jīng)驗回歸直線.
最小二乘估計：求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做的最小二乘估計.
殘差：對于響應變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的稱為預測值，觀測值減去預測值稱為殘差.
（2）
（3）決定系數(shù)：
越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；
越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差；
§8.3 列聯(lián)表與獨立性檢驗
1.分類變量：現(xiàn)實生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質之間是否存在關聯(lián)性或相互影響的問題，為了表述方便，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質，這類隨機變量稱為分類變量.
2.列聯(lián)表：
合計
合計
3.獨立性檢驗：
（1）零假設（原假設）：，即分類變量和獨立.
（2）獨立性檢驗：
①
②臨界值：對于小概率值，可以找到相應的正實數(shù)，使下面關系成立：，我們稱為的臨界值.
常用小概率值和相應的臨界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
③基于小概率值的檢驗規(guī)則：
當時，我們就推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過.
當時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為和獨立.
這種利用的取值推斷分類變量和是否獨立的方法稱為獨立性檢驗，簡稱獨立性檢驗.

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