資源簡介

圓錐曲線必背口訣(紅字為口訣)-橢圓
一、橢圓定義
橢圓三定義，簡稱和比積.
1、定義 1：(和)到兩定點的距離之和為定值的點的軌跡叫做橢圓.
定點為焦點，定值為長軸.（定值= 2a ）
2、定義 2：(比)到定點和到定直線的距離之比為定值的點的軌跡叫做
橢圓.定點為焦點，定直線為準線，定值為離心率.（定值= e ）
3、定義 3：(積)到兩定點連線的斜率之積為定值的點的軌跡是橢圓.
定點為短軸頂點，定值為負值. （定值 k e2 1）
二、橢圓的性質定理
長軸短軸與焦距，形似勾股弦定理①
準線方程準焦距， a方、 b方除以 c②
通徑等于 2 e p，切線方程用代替③
焦三角形計面積，半角正切連乘 b④
注解：
1、長軸短軸與焦距，形似勾股弦定理
長軸 2a ，短軸 2b ，焦距 2c，則： a2 b2 c2
2、準線方程準焦距， a方、 b方除以 c
a2
準線方程： x c （
a 方除以 c ）
b2
準焦距 p ：焦點到準線的距離： p （ bc 方除以 c ）
3、通徑等于 2 e p，切線方程用代替
橢圓的通徑 d ：過焦點垂直于長軸的直線與橢圓的兩交點之間的
c b2 2b2
距離稱為橢圓的通徑.（通徑 d 2ep 2 a c a ）
過橢圓上 (x0 , y0 )點的切線方程，用 (x0 , y0 )等效代替橢圓方程得到.
x0 x y y
等效代替后的是切線方程是： 2
0 1
a b2
4、焦三角形計面積，半角正切連乘 b
焦三角形：以橢圓的兩個焦點 F1 , F2 為頂點，另一個頂點 P 在橢圓上
的三角形稱為焦三角形.半角是指 F1PF2 的一半.
2
則焦三角形的面積為： S b tan 2 y
P
證明：設 PF1 m ， PF2 n ，則 m n 2a . m n
由余弦定理：
F1 O F2 x
m 2 n2 2mn cos 4c 2
4a2 4b2 (m n)2 4b2
即： 2mn cos 2mn 4b2 ，即： 2b2 (1 cos )mn .
2
即： mn | PF1 || PF2 |
2b

1 cos
1 2b21 sin
故： S△F PF m n sin sin b
2
1 2 2 2 1 cos 1 cos
sin 2 sin
cos
2 2 tan
又： 1 cos 2 cos2 2
2
2
所以：橢圓的焦點三角形的面積為 S F b tan1 PF2 2 .
三、橢圓的相關公式
切線平分焦周角，稱為弦切角定理①
切點連線求方程，極線定理須牢記②
弦與中線斜率積，準線去除準焦距③
細看中點弦方程，恰似弦中點軌跡④
注解：
1、切線平分焦周角，稱為弦切角定理
弦切角定理：切線平分橢圓焦周角的外角，平分雙曲線的焦周角.
焦周角是焦點三角形中，焦距所對應的角.
弦切角是指橢圓的弦與其切線相交于橢圓上時它們的夾角，當弦為
焦點弦時（過焦點的弦），那么切線是兩個焦點弦的角平分線.
2、切點連線求方程，極線定理須牢記
2
P (x , y ) x y
2
若 0 0 0 在橢圓 2 2 1外，則過 P0作橢圓的兩條切線，切點為a b
P1 , P2 ，則點 P0和切點弦 P1 , P2 分別稱為橢圓的極點和極線.
切點弦 P1P
x x y y
2的直線方程即極線方程是
0
2
0
2 1（稱為極線定理） a b
3、弦與中線斜率積，準線去除準焦距
弦指橢圓內的一弦 AB .中線指弦 AB的中點 M 與原點 O 的連線，即
a2
OAB得中線 .這兩條直線的斜率的乘積，等于準線距離 xc c 去除
b2 p b
2
準焦距 p ，其結果是： kAB kOM x a2c c
4、細看中點弦方程，恰似弦中點軌跡
中點弦 AB的方程：在橢圓中，若弦 AB的中點為 M (x0 , y0 )，弦 AB稱
x 2 20 x y0 y x0 y0
為中點弦，則中點弦的方程就是 a 2 b 2 a 2 b 2 ，是直線方程.
弦中點 M 的軌跡方程：在橢圓中，過橢圓內點 P0 (x0 , y0 )的弦 AB，其
x 0 x y
2 2
0 y x y
中點 M 的方程就是 2 2 a b a 2

b 2 ，仍為橢圓.
這兩個方程有些相似，要擦亮眼睛，千萬不要搞混了.
圓錐曲線必背口訣(紅字為口訣)-雙曲線
一、雙曲線定義
雙曲線有四定義，差比交線反比例
1、定義 1：(差)平面內，到兩個定點 F1, F2 的距離之差的絕對值為定
值 2a （小于這兩個定點間的距離 F1F2 ）的點的軌跡稱為雙曲線。定點
F1, F2 叫雙曲線的焦點。即： PF1 PF2 2a
2、定義 2：(比)平面內，到給定一點及一直線的距離之比為定值
e 1的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點，定直線叫雙曲線
的準線。
3、定義 3：(交線)一平面截一圓錐面，當截面與圓錐面的母線不平
行，且與圓錐面的兩個圓錐都相交時，交線稱為雙曲線。
k
4、定義 4：(反比例)在平面直角坐標系中，反比例函數 y x 的圖
象稱為雙曲線。
證明：反比例函數圖象是雙曲線軌跡經過旋轉得到.
2
xy k y x x y
2
證明：因為 的對稱軸是 , y x，而 a2
2 1b 的對稱軸
是 x 軸， y 軸，所以應該旋轉 45o . 設旋轉的角度為 （ 0，順時針）
（ 為雙曲線漸進線的傾斜角）
則有： X x cos y sin ， Y x sin y cos
取 45 o ，則：
2 2
X 2 Y 2 x cos 45
o y sin 45o o o x sin 45 y cos 45
1
x y 2 x y 2 2xy
2
而 xy k ，所以， X 2 Y 2 2xy 2k
X 2 Y 2 Y 2 X 2
即： 1 ( k 0 )或 1 ( k 0 )
2k 2k ( 2k) ( 2k)
由此證得，反比例函數其實就是雙曲線的一種形式，只不過是雙曲
線在平面直角坐標系內的另一種擺放形式.
二、雙曲線的性質定理
基本同橢圓，有所區別：
長軸短軸與焦距，形似勾股弦定理①
準線方程準焦距， a方、 b方除以 c②
通徑等于 2 e p，切線方程用代替③
焦三角形計面積，半角余切連乘 b④
注解：
1、長軸短軸與焦距：形似勾股弦定理
長軸 2a ，短軸 2b 2 2 2，焦距 2c，則： a b c
實際上，雙曲線是實軸、虛軸、與焦距，但為了方便記憶，也不至
于造成混亂，我們還是按橢圓的口訣記憶.
2、準線方程準焦距， a方、 b方除以 c
2
準線方程： x
a

c （ a 方除以 c ）
b2
準焦距 p ：焦點到準線的距離： p c （ b 方除以 c ）
3、通徑等于 2 e p，切線方程用代替
雙曲線的通徑 d ：過焦點垂直于長軸的直線與雙曲線的兩交點之
c b2 2b2
間的距離稱為雙曲線的通徑.（通徑 d 2ep 2 a c a ）
過雙曲線上 P0 (x0 , y0 )點的切線方程，用 P0 (x0 , y0 )等效代替雙曲線方程
x0 x y0 y
得到，等效代替后的是切線方程是： a2
1
b2
4、焦三角形計面積，半角余切連乘 b
焦三角形：以雙曲線的兩個焦點 F1 , F2 為頂點，另一個頂點 P 在橢圓
上的三角形稱為焦三角形.半角是指 F1PF2 的一半.
x2 y2
雙曲線 2 2 1a b 的左右焦點分別為 F1 , F2 ，點 P 為雙曲線上異于頂
點 任 意 一 點 F1 PF2 ， 則 雙 曲 線 的 焦 點 三 角 形 滿 足 ：
2b2PF1 PF2 1 cos
2
其面積為； S F PF b co t1 2 2 .
證明：設 PF1 m, PF2 n ，則 m n 2a
在 F1PF2 中，由余弦定理得：
PF 2 PF 21 2 2 PF1 PF2 cos F F
2
1 2 ，
2 2
即： m n 2mn cos 4c2 4a2 4b2 (m n)2 4b2
2
即： m n2 2mn cos (m n)2 4b2
即： 2mn 2mn cos 4b2 2b2，即： mn(1 cos )
mn 2b
2
2
即：
2b
1 cos ，即： PF1 PF 2 1 cos
那么，焦點三角形的面積為：
1 1 2b2S F PF mn sin sin 1 2 2 2 1 cos
2 sin cos b2 sin
b2 2 2 2
1 cos b cot2 sin2 2
2
S 故： F PF b
2 cot
1 2 2
2
同時： S
1
F PF F1F2 yP c y
b
1 2 2 P ，故：
y p cotc 2
2
雙曲線的焦點三角形的面積為： S F PF b co t1 2 2 .
三、雙曲線的相關公式
切線平分焦周角，稱為弦切角定理①
切點連線求方程，極線定理須牢記②
弦與中線斜率積，準線去除準焦距③
細看中點弦方程，恰似弦中點軌跡④
注解：
1、切線平分焦周角，稱為弦切角定理
弦切角定理：切線平分橢圓焦周角的外角，平分雙曲線的焦周角.
焦周角是焦點三角形中，焦距所對應的角.
弦切角是指雙曲線的弦與其切線相交于雙曲線上時它們的夾角，當
弦為焦點弦時（過焦點的弦），那么切線是兩 y P
個焦點弦的角平分線.
F1 F2 x
如圖， F1PF2是焦點三角形， F1PF2 為焦周 T
角， PT 為雙曲線的切線. 則 PT 平分 F1PF2 .
2、切點連線求方程，極線定理須牢記
P (x , y x
2 y2
若 0 0 0 )在雙曲線 2 2 1外，以包含焦點的區域為內，不包含a b
焦點的區域為外，則過 P0作雙曲選的兩條 y
P
切線，切點為 P1、 P2 ，則點 P0和切點弦 P1P
1
2
P
分別稱為雙曲線的極點和極線，切點弦 P P 01 2
F1 O F2 x
x x y y
的直線方程即極線方程是 0 02 2 1（稱
P2
a b
為極線定理）
3、弦與中線斜率積，準線去除準焦距
弦指雙曲線內的一弦 AB .中線指弦 AB的
y
中點 M 與原點 O 的連線，即 OAB得中線 . M B
A
這兩條直線的斜率的乘積，等于準線距離
F O1 F2 x
a2 b2 k k p b
2
x 去除準焦距 p ，其結果是： AB OM c c c xc a
2
4、細看中點弦方程，恰似弦中點軌跡
中點弦 AB的方程：在雙曲線中，若弦 AB 的中點為 M (x0 , y0 )，稱弦 AB
x x y y x2 y2
為中點弦，則中點弦的方程就是： 0 0 0 02 2 2 2 ，它是直線方程. a b a b
弦中點 M 的軌跡方程：在雙曲線中，過雙曲線外一點 P0 (x0 , y0 )的弦
x x y y x 2 y 2
AB 0 0，其 AB 中點 M 的方程就是 2 a b 2

a 2 b 2 ，仍為雙曲線.
這兩個方程有些相似，要擦亮眼睛，千萬不要搞混了.
圓錐曲線必背口訣(紅字為口訣)-拋物線
一、拋物線定義
拋物線，有定義，定點定線等距離
1、到一個定點和一條定直線距離相等得點的軌跡稱為拋物線.
2、二次函數的圖象是拋物線.
二、拋物線性質
焦點準線極點線①，兩臂點乘積不變②
焦弦切線成直角，切點就是兩端點③
端點投影在準線，連結焦點垂直線④
焦弦垂直極焦線⑤，切線是角平分線⑥
直角梯形對角線，交點就是本原點⑦
焦弦三角計面積，半個 p方除正弦⑧
注解：
1、焦點準線極點線
拋物線的焦點和準線是一對極點和極線.
p p
拋物線方程： y2 2 px，焦點 F ( ,0)，準線 x
2 p 2
p
(拋物線的頂點 O(0,0)到定點 F ( ,0)和定直線 x pp 距離相等) 2 2
焦弦：過焦點的直線與拋物線相交于兩點 A和 B ，則 AB稱為焦弦.
x x y y
弦中點 M (x A B A BM , yM )， xM ， yM 2 2
焦弦方程： y k(x p )， k 為斜率.
2
2、兩臂點乘積不變
焦點三角形兩邊 OA 和 OB 的點乘積為定值，且夾角是鈍角.
證明：焦弦 AB滿足的條件
y2 2 px p 2 2
p k
2 (x )2 2 px k2 x2 (k2 2) px k p 0
y k(x ) 2 4 2
2
由韋達定理得： xAx
p
B 4
yA yB 2 pxA 2 pxB 2 p x x
p
A B 2 p p
2，
2
p2
即： xAxB ， yA yB p
2 ①
4

且： OA OB (xA , y
3 2
A ) (xB , yB ) xAxB yA yB p 0 . 4
故：焦點三角形兩邊之點乘積為定值.
3、焦弦切線成直角，切點就是兩端點
即：焦弦兩端點的切線互相垂直.
證明：如圖，由拋物線方程： y2 2 px D A
E
得到導數： yy ' p p，即： y ' M
y F
k p p
C B
故： AE ， ky BE

A yB
p p p2
于是： kAE kBE yA yB yA yB
將①式 y 2A yB p 代入上式得： kAE kBE 1

即： AE BE
4、端點投影在準線，連結焦點垂直線
即：焦弦端點在準線的投影點與焦點構成直角三角形.
p p
證明：坐標 C( , y
2 B
) , D( , yA ) 2

則： CF ( p, yB )， DF ( p, y D AA )

于是：CF DF p2 y EA yB M
F
將①式 yA yB p
2代入上式得： CF DF 0
C B

故： CF DF
即：焦弦端點 A, B在準線的投影點 D,C ，則

CF DF ，即：焦弦端點在準線的投影點與焦點構成直角三角形.
5、焦弦垂直極焦線
若焦弦 AB對應的極點 E ，則 EF 為極焦線，于是 EF AB
用向量方法可證.
由于 M 是 AB的中點， AEB 為直角三角形，計算可得 E 是 DC 的中點，
故： ED EF EC

由向量法可證 EF AB 0
即：焦弦 AB 與極焦線 EF 互相垂直.
6、切線是角平分線
即：切線平分焦弦的傾角(或傾角的外角)
D A
如圖：因為 ADE 和 AFE 都是直角三角形，
E M
且由定義知： AF AD ， AE AE F
故 ADE ≌ AFE ，則對應角相等. C B
即： AE 是 DAF 的角平分線
同理， BE 是 CBF 的角平分線
7、直角梯形對角線，交點就是本原點
即：直角梯形 ABCD對角線相交于原點
即： A,O,C 三點共線； B,O, D三點共線.

用向量法證明：OA / /CO，OB / / DO
y2 y2A( A , y ) B( B , y ) C( p , y ) D( p證明：坐標 A ， ， ， , y ) 2 p 2 p B 2 B 2 A

OA ( y
2
向量： A , yA )， CO (
p , y )
2 p 2 B
2
yA
(O A )x 2 p y
2 (OA) 2
各分量之比： A2 ，
y y y
p
A A
(CO)x p (CO) y yB yA yB
2

(OA) y2 y2
將①式 yA yB p
2代入上式得： y A A
(CO) y y
2
A yB p

(OA) (OA)
故： x y O A ，即：OA / /CO
(CO)x (CO) y CO

同理：OB / / DO.直角梯形 ABCD對角線相交于原點.
8、焦弦三角計面積，半個 p方除正弦
p2
即：焦弦三角形的面積為： S AOB （ 為焦弦的傾角） 2 sin
證明： AB AF p p p BF xA xB xA xB p 2(xM ) 2 EM2 2 2
如圖： GF 2 OF p
E M

EF 1 GF
則： EM p
sin sin sin sin2
G O F
于是： AB 2 p
sin2
2
故： S 1 AOB OF AB sin
1 p 2 p p
sin
2 2 2 sin2 2 sin
附：圓錐曲線必背----極坐標
一、極坐標通式
圓錐曲線的極坐標以準焦距 p和離心率 e來表示常量，以極徑 和極角
來表示變量.
0， [0, 360o )
L
以焦點 F (0, )為極點 (原點
O )，以橢圓長軸、拋物線對稱軸、
雙曲線的實軸為極軸的建立極坐
標系. 故準線是到極點距離為準 O (F ) x
e 1
e 1 e 1
焦距 p、且垂直于極軸的直線 L .
y
極坐標系與直角坐標系的換算關系是： x2 y2 ， arctan
x
或者： x cos ， y sin
特別注意：極坐標系中，以焦點為極點(原點)，而直角坐標系中以對稱
點為原點得到標準方程.
如圖，O 為極點， L為準線，則依據定義，到定點(極點)和到定直線(準
線)的距離之比為定值(定值 e)的點的軌跡為圓錐曲線.
所以，對極坐標系，請記住：
⑴ 極坐標系的極點O 是橢圓的左焦點、拋物線的焦點、雙曲線的右焦點；
⑵ 曲線上的點 P( , )到焦點 F 的距離是 ，到準線的距離是 p cos ，

根據定義： e
p cos
即： ep e cos ，即： ep e cos ，
ep即： ①
1 e cos
這就是極坐標下，圓錐曲線的通式.
⑶ 對應不同的 e，呈現不同的曲線. 對雙曲線，只是右邊的一支；
對拋物線，開口向右.
二、極軸旋轉 180o
將極軸旋轉 180o， 和 分別對應變 L
換前后的極角，即轉角為 180o ，則
極坐標方程變換前方程為：
O (F ) x
e 1
e 1 e 1
ep
1 e cos
ep
變換后方程為： ②
1 e cos
此時的極坐標系下，此時有：
⑴ 極坐標系的極點O 是橢圓的右焦點、拋物線的焦點、雙曲線的左焦點；
⑵ 對應不同的 e，呈現不同的曲線. 對雙曲線，只是左邊的一支；對拋
物線，開口向左.
三、極軸旋轉 90o
⑴將極軸順時針旋轉 90o，即：
e 1
90o ，則情況如圖. e 1
圓錐曲線的方程為：
ep e 1 ③
1 e sin O (F ) x
此時的極坐標系下：
對應于直角坐標系下，焦點在 y軸 L
的情況，且極點O 對應于橢圓下方的
焦點，雙曲線上方的焦點，拋物線的焦點.
對雙曲線，只是 y軸上邊的一支；對拋物線，開口向上.
⑵如果將極軸逆時針旋轉 90o，即：
L
90o，則情況如圖. e 1
ep圓錐曲線的方程為： ③
1 e sin O x
此時的極坐標系下： (F ) e 1
e 1
對應于直角坐標系下，焦點在 y軸的情況，且對應于橢圓上方的焦點，
雙曲線下方的焦點，拋物線的焦點.
對雙曲線，只是 y軸下邊的一支；對拋物線，開口向下.
四、坐標變換
ep
⑴在極坐標系中，圓錐曲線的通式為： = ①
1 e cos
即： e cos ep，即： ep e cos
即： 2 (ep e cos )2 e2 p2 e2 ( cos )2 2e2 p( cos ) ②
將 2 x2 y2， cos x 代入②式得：
x2 y2 e2 p2 e2 x2 2e2 px
即： (1 e2 )x2 2e2 px y2 e2 p2 ③
當 e 1時
2 2 2
有： (1 e2 )[x2 2 e p x ( e p )2 ] y2 e2 p2 (1 e2 )( e p )2
1 e2 1 e2 1 e2
2 2 2 2
即： (1 e2 )(x e p )2 e e p2 y
2 e2 p2 (1
1 e 1 e2
)
1 e2
2
(x e p 22 ) y2
即： 1 e2 2 2 2 1 ④ e p e p
(1 e2 )2 1 e2
e2 p2 e2 p2 e2e 1 a2 p⑴當 時，令 ， b2 ， c
(1 e2 )2 1 e2 1 e2
2 2 2 2 2 2 4 2
則： a2 e p e p e p e p b2 [1 (1 e2 )]
(1 e2 )2 1 e2 (1 e2 )2 (1 e2 )2
e2c2 ( p )2 e
4 p2
而： a22 2 2 b
2
1 e (1 e )
(x c)2 y2
代入④式得： 1 ⑤
a2 b2
這是標準的橢圓方程.
2 2 2 2 2
⑵當 e 1時，令 a2 e p ， b2 e p2 2 2 ， c
e p

(e 1) e 1 e2 1
2 2 2 2 2 2 4 2
則： a2 b2 e p e p e p e p 2
(e2 1)2
[1 (e 1)]
e2 1 (e2 1)2 (e2 1)2
2 4 2
而： c2 e p ( )2 e p a2 b2
e2 1 (e2 1)2
(x c)2 y2
代入④式得： 1 ⑥
a2 b2
這是標準的雙曲線方程.
⑶當 e 1時，由③式 (1 e2 )x2 2e2 px y2 e2 p2得： 2 px y2 p2
即： y2 2 px p2 2 p(x p )
2
y2 2 p(x p即： ) ⑦
2
這是標準的拋物線方程.

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