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不等式性質應記要點
1、實數的基本性質
在研究不等式的性質,解不等式和證明不等式時,經常要用到實數的一些基本性質,這些基本性質可概括為8條公理.
公理1 a是正數a > 0；b是負數b<0；a >0且b<0 >a > b.
公理1可表述為:正數大于零,負數小于零,正數大于負數.
公理2若a > 0, b > 0,則l a l>l bl a > b；若a<0,b <0,則l a l>l bl a< b.
公理2可表述為:正(負)數中,絕對值較大的數其數值較大(小),反之亦然.
公理3 a > 0- a<0，
a<0 - a >0.
公理3 可表述為:正(或負)數的相反數是負(或正)數.
公理4 a - b > 0a > b；a - b = 0a = b，a - b<0a< b.
公理4可表述為:兩數之差大于零,則被減數大于減數;兩數之差等于零,則兩數相等;兩數之差小于零,則被減數小于減數,反之亦然.這是實數的三歧性.
公理4是實數的基本出發點,是實數大小比較的依據,通過“作差”并確定差的符號是實現兩個實數比較大小的基本方法.
公理5 a>0且b>0>a+b > 0；a<0且b<0>a + b <0.
公理5可表述為:兩個正(或負)數的和仍是正(或負）數.
公理6可表述為:同號(或異號)兩數相乘或相除,其積或其商為正數(或負數),反之亦然.
公理7若a > 0,且b > 0,則:
公理7可表述為:兩正數之商大于1,則被除數大于除數;兩正數之商等于1,則被除數等于除數;兩正數之商小于1,則被除數小于除數,反之亦然.
公理7是作商法的理論依據.
公理8 .
公理8可表述為:任何一個實數的平方都不小于零,反之亦然.
此外,還有:除零外,任何實數與它的倒數同號;兩個正數,較大的倒數較小;正數的全量大于它的任一部分……
2.不等式的基本性質
由實數的基本性質可順利地推出不等式的11條基本性質.
性質1 a > bb性質1是不等式的對稱性,其證明要用到公理1.公理3,公理4.
性質2 a > b且b >Ca> c.
性質2是不等式的傳遞性,其證明要用到公理4、公理5.關于性質2,要正確處理帶等號的問題:在傳遞性的兩個不等式中,如果只有一個帶等號,那么等號是傳遞不過去的，例如a ≥ b,b > ca > c,而a ≥ b,b≥ c不一定可推出a = c ,可能是a ≥ c ,也可能是a > c.當且僅當a = b且b= c時才會有a = c.
性質3 a > ba+c > b+ c.
性質3可由公理4證明,是不等式的不等量加等量法則.
性質3可表述為:不等式的兩邊同時加上或減去同一個數,所得不等式與原不等式同向.
推論:a + b > c< a> c - b.
性質3的推論是不等式的移項法則,該推論可表述為:不等式中任何一項,可以把它的符號變成相反的符號后,從不等式的一邊移到另一邊.
性質5 a > b,且c >da+c > b + d.
性質5是不等式的同向不等式可加原則,可表述為:同向不等式兩邊分別相加,所得的不等式與原不等式同向,簡稱為“同向不等式可以相加,不等號不變”.
性質5可推廣為:兩個或兩個以上的同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向,其證明只需用到公理4,公理5.
性質5的補充 a > b,c < da-c > b - d.
性質5的補充是不等式的異向不等式可減原則,可表述為:兩個異向不等式的兩邊分別相減,所得不等式與被減不等式同向.簡稱為:“兩個異向不等式可以相減,不等號與被減不等式同向.”
性質4 若c > 0則a > b bc ，
若c <0則a > b ac < bc .
性質是不等式的不等量乘等量法則,可表述為:不等式的兩邊同時乘以同一個正數,所得不等式與原不等式同向;不等式的兩邊同時乘以同一個負數,所得不等式與原不等式異向.
性質4的證明要用到公理4和公理6.
性質6 a > b > 0,c > d > 0ac > bd.
性質6 是不等式的同向不等式可乘原則,必須注意:不等式兩邊相乘時,不等式兩邊必須是正數,性質6可表述為:兩邊都是正數的同向不等式,兩邊分別相乘,所得不等式與原不等式的不等號同向,簡稱為:“兩邊都是正數的同向不等式可以相乘,不等號不變.”
性質6可推廣為:兩個或兩個以上的兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘,所得不等式與原不等式同向.
性質6補充
性質6補充是不等式的異向不等式可除原則.必須注意:不等式兩邊相除時,不等式兩邊必須都是正數,定理8可表述為:兩邊都是正數的兩個異向不等式兩邊分別相除,所得不等式與被除不等式同向,可簡稱為:“兩邊都是正數的兩個異向不等式可以相除,不等式與被除不等式同向.”
性質6補充的證明要用到“除零外,任何實數與它的倒數同號”、“兩個正數,較大的倒數較小”的結論.
推論的功能可表述為:不等式兩邊可以顛倒分子分母,不等式改向,但必須保證不等式兩邊同號.
性質7 兩邊是正數的不等式可以乘或開n次方,不等式不變號
教材性質7拓展
初中已有的三角形不等式,應用非常廣泛,它可表述為:兩數和或差的絕對值不大于兩數絕對值的和,不小于兩數絕對值的差的絕對值.
三角形不等式揭示出了兩數及其和、差的絕對值與兩數是否同號的關系,搞清楚等號何時成立及三角形不等式何時是嚴格不等式,對透徹理解三角形不等式是至關重要的,現將它們的關系列出:

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