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蘇教六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一單元知識(shí)梳理
棱：兩個(gè)面相交的線叫做棱。
頂點(diǎn)：三條棱相交的點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。
長(zhǎng)方體相交于同一頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度，分別叫做長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。
長(zhǎng)方體的特證：6個(gè)面，8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱。
相對(duì)的兩個(gè)面完全相同，相對(duì)的棱長(zhǎng)度完全相等。
6個(gè)面都是長(zhǎng)方形（特殊情況：有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形）
長(zhǎng)方體中最多只有 2個(gè)面是正方形，且其他 4 個(gè)面完全相同。
正方體的特征：6個(gè)面，8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱。
6個(gè)面都是完全相同的正方形，12條棱的長(zhǎng)度都相等。
正方體 是特殊的長(zhǎng)方體。正方體具有長(zhǎng)方體的所有特征。
長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和公式：長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和=（長(zhǎng)+寬+高）×4
長(zhǎng)+寬+高=長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和÷4
正方體棱長(zhǎng)總和公式：正方體棱長(zhǎng)總和=棱長(zhǎng)×12
正方體棱長(zhǎng)=棱長(zhǎng)總和÷12
長(zhǎng)方體正方體的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)
正方體的展開(kāi)圖：（一共11種）
1-4-1型（6種）
中間4個(gè)一連串，兩邊各一隨便放。（中間4個(gè)做側(cè)面，上下兩個(gè)各做上、下面）
2-3-1型（3種） （二三緊連錯(cuò)一個(gè)，三一相連一隨意）
2-2-2型（1種） 兩兩相連各錯(cuò)一 3-3-3型（1種 ） 三個(gè)兩排一對(duì)齊
長(zhǎng)方體展開(kāi)圖中有 3組 相對(duì)的面，相對(duì)的面 完全相同 ，相對(duì)的面 完全隔開(kāi) 。
（前后、左右、上下）面展開(kāi)后不會(huì)相鄰，中間一定隔著其他的面。
挖小正方體的應(yīng)用：
1.從頂點(diǎn)挖掉小1個(gè)正方體，表面積 不變 ；
2.從棱長(zhǎng)中間挖掉1個(gè)小正方體，表面積增加 2 個(gè)面；
3.從中心面挖掉1個(gè)小正方體，表面積增加 4 個(gè)面。
（2） （3）
求棱長(zhǎng)總和的變化——包扎盒子的絲帶要多少長(zhǎng)？
需要彩帶的長(zhǎng)度= 高×4+長(zhǎng)×2+寬×2+打結(jié)部分長(zhǎng)度
長(zhǎng)方體的每個(gè)面計(jì)算：
上面面積=下面面積=長(zhǎng)×寬=ab
前面面積=后面面積=長(zhǎng)×高=ah
左面面積=右面面積=寬×高=bh
長(zhǎng)方體表面積：長(zhǎng)方體6個(gè)面總面積叫做它的 表面積 。（上面+下面+前面+后面+左面+右面）
表面積公式：（ 上面 + 前面 + 右面）×2
（長(zhǎng)×寬 + 長(zhǎng)×高 + 寬×高）×2 = 長(zhǎng)×寬×2 + 長(zhǎng)×高×2 + 寬×高×2
正方體表面積：正方體6個(gè)面的總面積叫做它的表面積。
表面積公式：棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6
占地面積：就是與地面接觸的那1個(gè)面。（一個(gè)面的面積）
兩個(gè)棱長(zhǎng)總和相等的長(zhǎng)方體或一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體，表面積不一定相等
表面積相等的兩個(gè)長(zhǎng)方體或一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體，棱長(zhǎng)總和也不一定相等
長(zhǎng)方體表面積的變化：（注意求哪幾個(gè)面的面積）
①　貼商標(biāo)類型：只求四周面積。
例如：包裝盒四周貼上商標(biāo)；通風(fēng)管道的面積，火柴盒外套。
②　游泳池類型：只求四周和底面。
例如：游泳池內(nèi)貼瓷磚，火柴盒內(nèi)盒。
③　抽紙盒類型：六個(gè)面面積減去缺口面積。
例如：一款抽紙盒，長(zhǎng)寬高分別是20cm，12cm，5cm，上面有長(zhǎng)14cm，寬3cm的抽紙口，做這款抽紙盒需要多少硬紙片？
④　粉刷教室型：教室粉刷四壁和頂面，五個(gè)面的面積減去門窗黑板面積。
⑤ 占地面積問(wèn)題：只求底面面積。
小正方體擺放的組合體表面積問(wèn)題
三視圖法：
（上面看到的面的個(gè)數(shù)+前面看到的面的個(gè)數(shù)+右面看到的面的個(gè)數(shù)）×2×一個(gè)面的面積
（棱長(zhǎng)為1厘米）
物體所占空間的大小叫做物體的 體積 。
容器所能容納物體的體積，叫做這個(gè)容器的 容積 。
常用的體積單位有立方厘米、立方分米、立方米。
計(jì)量容積，一般用體積單位；計(jì)量液體的體積，通常用 升 或 毫升 作單位。
一個(gè)物體的容積一般都比它的體積小。
當(dāng)容器壁厚度忽略不計(jì)時(shí)：體積=容積；否則體積＞容積。
1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米。
高級(jí)單位化低級(jí)單位乘進(jìn)率，低級(jí)小單位化高級(jí)單位除以進(jìn)率。
長(zhǎng)度單位：mm、cm、dm、m 相鄰兩個(gè)單位進(jìn)率為10
面積單位：mm2、cm22、dm2、m2 相鄰兩個(gè)單位進(jìn)率為100
體積單位：mm 、cm 、dm 、m 相鄰兩個(gè)單位進(jìn)率為1000
容積單位：mL、L 相鄰兩個(gè)單位進(jìn)率為1000
特別的： 1mL = 1cm 1L=1dm
長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高= abh
正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng) = a×a×a = a
長(zhǎng)方體和正方體的體積=底面積×高 V=sh （h=V÷s s=V÷h）
(統(tǒng)一體積公式） =右面面積×長(zhǎng) (橫截面×長(zhǎng))
=前面面積×寬
1.體積相等的兩個(gè)長(zhǎng)方體或者一個(gè)長(zhǎng)方體與一個(gè)正方體，表面積不一定相等，棱長(zhǎng)和也不一定相等。
2.體積相等的兩個(gè)正方體，表面積一定相等，棱長(zhǎng)和也一定相等。
3.體積相等的情況下：正方體的表面積比長(zhǎng)方體的小；
4.表面積相等的情況下：正方體的體積比長(zhǎng)方體的體積大。
正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大2倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大2倍，表面積擴(kuò)大4倍，體積擴(kuò)大8倍；
正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大3倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大3倍，表面積擴(kuò)大9倍，體積擴(kuò)大27倍；
正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大n倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大n倍，表面積擴(kuò)大n 倍，體積擴(kuò)大n 倍
長(zhǎng)方體的長(zhǎng)擴(kuò)大a倍，寬擴(kuò)大b倍，高擴(kuò)大c倍，棱長(zhǎng)總和變化無(wú)規(guī)律，表面積變化也無(wú)規(guī)律，體積擴(kuò)大a×b×c倍。
小正方體拼大長(zhǎng)方體的規(guī)律
首先觀察大長(zhǎng)方體各棱長(zhǎng)分別是小正方體棱長(zhǎng)的幾倍，如，長(zhǎng)方體長(zhǎng)是小正方體棱長(zhǎng)的a倍，寬是小正方體棱長(zhǎng)的b倍，高是小正方體棱長(zhǎng)的c倍，則，大長(zhǎng)方體就是由a×b×c個(gè)小正方體組成的。
小正方體拼大正方體的規(guī)律
由于正方體，每條棱的長(zhǎng)度相等，所以要用小的正方體拼出大的正方體每條棱上擺放的小正方的個(gè)數(shù)應(yīng)該是相等的，因此要拼出最小的正方體至少需要 8個(gè)（2×2×2=2 ）（也就是說(shuō)每條棱上放2個(gè)小正方體），接著再往大了拼正方體，就是每條棱上放3個(gè)小正方體即3×3×3=3 =27個(gè)，依次類推接下來(lái)是4×4×4=4 =64個(gè)；5×5×5=5 =125個(gè)……
從中我們可以發(fā)現(xiàn)要用小的正方體拼出大的正方體所需要的小正方體的個(gè)數(shù)應(yīng)該是一個(gè)數(shù)的立方。這就要求我們能夠熟記一些數(shù)的立方：
2 =8 3 =27 4 =64 5 =125 10 =1000
立體圖形的切：
（切會(huì)使表面積增加，因此存在表面積增加最多或最少的問(wèn)題）
長(zhǎng)方體
沿與原來(lái)長(zhǎng)方體最大面平行的方向切割，其表面積比原來(lái)增加的最多。
沿與原來(lái)長(zhǎng)方體最小面平行的方向切割，其表面積比原來(lái)增加的最少。
而且每切一刀增加兩個(gè)完全相同的面，切兩刀增加四個(gè)完全相同的面……
正方體
無(wú)論沿那個(gè)面平行的方向切，都將增加 2個(gè)正方形的面，增加的面積均為2a 。
從一個(gè)長(zhǎng)方體中切出一個(gè)最大的正方體
應(yīng)該以長(zhǎng)方體中最短的棱作為切出正方體的棱長(zhǎng)，這樣的正方體將是能切出的最大正方體，否則切出的將不是正方體。
立體圖形的拼：
（兩個(gè)相同長(zhǎng)方體拼一起會(huì)使表面積減少，因此存在表面積減少最多或最少的問(wèn)題）
將較大的面拼一起，表面積減少最多；將較小的面拼一起，表面積減少最少
小正方體拼長(zhǎng)方體
例如：用12塊大小一樣的小正方體拼成一個(gè)表面積最小的長(zhǎng)方體，是 D拼法，拼成2排2層；
拼成一個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體用 A拼法，拼成一排。
規(guī)律：越接近正方體，相拼的面越多，消失的面越多，拼成的長(zhǎng)方體表面積就越小。
若干個(gè)正方體一字型排列組合成長(zhǎng)方體，表面積的變化情況
每個(gè) 都是棱長(zhǎng)為1厘米的正方體．
小正方體個(gè)數(shù) 圖形 表面積（平方厘米）
棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，1個(gè)面的面積是1平方厘米，觀察圖形可得：每增加1個(gè)正方體，表面積就增加 4 個(gè)面；由此即可推理出一般規(guī)律：當(dāng)正方體個(gè)數(shù)為10時(shí)，所拼成的長(zhǎng)方體表面積是 42平方厘米。
當(dāng)正方體個(gè)數(shù)為n時(shí)，所拼成的長(zhǎng)方體表面積是 4n+ 2 平方厘米。
表面涂色的正方體
（1）一個(gè)表面涂色的大正方體，棱長(zhǎng)被平均分成n份，變成若干個(gè)小正方體，小正方體的個(gè)數(shù)為 n 個(gè)。
在頂點(diǎn)位置的小正方體涂色的面有3個(gè)，3面涂色的小正方體有 8 個(gè)；
（2）3面涂色的小正方體個(gè)數(shù)： 8 個(gè)。3面涂色的在頂點(diǎn)上，無(wú)論分成多少個(gè)小正方體，都是8個(gè)。
（3）2面涂色的小正方體個(gè)數(shù)： 12（n-2）個(gè)。2面涂色的在棱 上，有12條棱，所以乘12。
（4）1面涂色的小正方體個(gè)數(shù)： 6（n-2） 個(gè)。1面涂色的在面 上，有6個(gè)面，所以乘6。
（5）沒(méi)有涂色的小正方體個(gè)數(shù)： （n-2） 個(gè)。沒(méi)有涂色的在體內(nèi)。
前面和后面的彩帶長(zhǎng)度=高的長(zhǎng)度；
左面和右面的彩帶長(zhǎng)度=高的長(zhǎng)度；
上面和下面的彩帶長(zhǎng)度=長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度。
上面面積=8平方厘米
前面面積=5平方厘米
右面面積=5平方厘米
表面積=（8+5+5）×2
=36平方厘米
上面面積=7平方厘米
前面面積=7平方厘米
右面面積=6平方厘米
表面積=（7+7+6）×2
=40平方厘米

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